ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 8 CẤP HUYỆN MÔN TOÁN

§Ò Trêng THCS ChÝnh Lý M«n: To¸n Thêi gian lµm bµi: 120 Bài 1(3 điểm): Tìm x biết: a) x2 – 4x + = 25 x − 17 x − 21 x + + + =4 b) 1990 1986 1004 c) 4x – 12.2x + 32 = 1 + + = x y z yz xz xy + + Tính giá trị biểu thức: A = x + yz y + xz z + xy Bài (1,5 điểm): Cho x, y, z đôi khác Bài (1,5 điểm): Tìm tất số phương gồm chữ số biết ta thêm đơn vị vào chữ số hàng nghìn , thêm đơn vị vào chữ số hàng trăm, thêm đơn vị vào chữ số hàng chục, thêm đơn vị vào chữ số hàng đơn vị , ta số phương Bài (4 điểm): Cho tam giác ABC nhọn, đường cao AA’, BB’, CC’, H trực tâm HA' HB' HC' + + AA' BB' CC' b) Gọi AI phân giác tam giác ABC; IM, IN thứ tự phân giác góc AIC góc AIB Chứng minh rằng: AN.BI.CM = BN.IC.AM (AB + BC + CA ) ≥ c) Chứng minh rằng: AA'2 + BB'2 + CC'2 a) Tính tổng §Ò Trêng THCS ChÝnh Lý ĐÁP ÁN ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TOÁN • Bài 1(3 điểm): a) Tính x = 7; x = -3 b) Tính x = 2007 c) 4x – 12.2x +32 = ⇔ 2x.2x – 4.2x – 8.2x + 4.8 = ⇔ 2x(2x – 4) – 8(2x – 4) = ⇔ (2x – 8)(2x – 4) = ⇔ (2x – 23)(2x –22) = ⇔ 2x –23 = 2x –22 = ⇔ 2x = 23 2x = 22 ⇔ x = 3; x = ( điểm ) ( điểm ) ( 0,25điểm ) ( 0,25điểm ) ( 0,25điểm ) ( 0,25điểm ) • Bài 2(1,5 điểm): xy + yz + xz 1 + + =0⇒ = ⇒ xy + yz + xz = ⇒ yz = –xy–xz x y z xyz x2+2yz = x2+yz–xy–xz = x(x–y)–z(x–y) = (x–y)(x–z) ( 0,25điểm ) Tương tự: y2+2xz = (y–x)(y–z) ; z2+2xy = (z–x)(z–y) ( 0,25điểm ) Do đó: A = yz xz xy + + ( x − y)( x − z) ( y − x )( y − z) (z − x )(z − y) Tính A = • Bài 3(1,5 điểm): Gọi abcd số phải tìm a, b, c, d ∈ N, ≤ a , b, c, d ≤ 9, a ≠ ( 0,25điểm ) ( 0,25điểm ) ( 0,5 điểm ) (0,25điểm) Ta có: abcd = k Víi k, m ∈ N, 31 < k < m < 100 (a + 1)(b + 3)(c + 5)(d + 3) = m (0,25điểm) abcd = k ⇔ ⇔ abcd + 1353 = m Do đó: m2–k2 = 1353 ⇒ (m+k)(m–k) = 123.11= 41 33 ( k+m < 200 ) m+k = 123 m+k = 41 ⇒ hoÆc m–k = 11 m–k = 33 m = 67 m = 37 ⇔ k = 56 hoÆc k = Kết luận abcd = 3136 (0,25điểm) (0,25điểm) (0,25điểm) (0,25điểm) §Ò Trêng THCS ChÝnh Lý • Bài (4 điểm): Vẽ hình HA'.BC S HBC HA' = = a) ; S ABC AA' AA'.BC (0,25điểm) (0,25điểm) S HAB HC' S HAC HB' = = ; S ABC CC' S ABC BB' HA' HB' HC' SHBC S HAB S HAC + + = + + =1 AA' BB' CC' S ABC S ABC S ABC Tương tự: (0,25điểm) (0,25điểm) b) Áp dụng tính chất phân giác vào tam giác ABC, ABI, AIC: BI AB AN AI CM IC = ; = ; = (0,5điểm ) IC AC NB BI MA AI BI AN CM AB AI IC AB IC = = =1 (0,5điểm ) IC NB MA AC BI AI AC BI (0,5điểm ) ⇒ BI AN.CM = BN.IC.AM c)Vẽ Cx ⊥ CC’ Gọi D điểm đối xứng A qua Cx (0,25điểm) -Chứng minh góc BAD vuông, CD = AC, AD = 2CC’ (0,25điểm) - Xét điểm B, C, D ta có: BD ≤ BC + CD (0,25điểm) 2 - ∆ BAD vuông A nên: AB +AD = BD ⇒ AB2 + AD2 ≤ (BC+CD)2 (0,25điểm) 2 AB + 4CC’ ≤ (BC+AC) 4CC’2 ≤ (BC+AC)2 – AB2 Tương tự: 4AA’2 ≤ (AB+AC)2 – BC2 4BB’2 ≤ (AB+BC)2 – AC2 (0,25điểm) 2 2 -Chứng minh : 4(AA’ + BB’ + CC’ ) ≤ (AB+BC+AC) (AB + BC + CA ) ≥4 ⇔ (0,25điểm) AA'2 + BB'2 + CC'2 (Đẳng thức xảy ⇔ BC = AC, AC = AB, AB = BC ⇔ AB = AC =BC ⇔ ∆ ABC đều) §Ò Trêng THCS ChÝnh Lý *Chú ý :Học sinh giải cách khác, xác hưởng trọn số điểm câu ... Lý ĐÁP ÁN ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TOÁN • Bài 1(3 điểm): a) Tính x = 7; x = -3 b) Tính x = 2007 c) 4x – 12.2x +32 = ⇔ 2x.2x – 4.2x – 8. 2x + 4 .8 = ⇔ 2x(2x – 4) – 8( 2x – 4) = ⇔ (2x – 8) (2x – 4)... BB'2 + CC'2 (Đẳng thức xảy ⇔ BC = AC, AC = AB, AB = BC ⇔ AB = AC =BC ⇔ ∆ ABC đều) §Ò Trêng THCS ChÝnh Lý *Chú ý :Học sinh giải cách khác, xác hưởng trọn số điểm câu