ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 CẤP HUYỆN MÔN TOÁN vong 2 nam hoc 20122013

PHÒNG GD & ĐT THANH CHƯƠNG ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN VÒNG ĐỀ CHÍNH THỨC NĂM HỌC: 2012 – 2013 Môn thi: TOÁN (Đề gồm trang) Thời gian: 120 phút (Không kể thời gian giao đề) Bài 1: (2.0 điểm ) Rút gọn biểu thức sau:   x + x  P = 1− x  − − 1÷ ÷ x   x −1 ÷  1− x  ( a b c ) Rút gọn P Tính giá trị P x = − Chứng minh: P > Bài 2: (2.0 điểm) Giải phương trình a Cho < x < 90o Chứng minh giá trị biểu thức sau không phụ thuộc vào giá trị biến: sin x + cos6 x + 3sin x cos x + tan x cos x + cotan x sin x b Tìm nghiệm nguyên phương trình: x + y + x = 19 Bài 3: (2.0 điểm) a Cho số nguyên dương: a1; a2 ; a3; ; a2013 cho: N = a1 + a2 + a3 + + a2013 chia hết cho 30 Chứng minh: M = a15 + a25 + a35 + + a2013 chia hết cho 30 2 b Cho x; y thỏa mãn: x + y − x − y ≤ Chứng minh: x + y ≤ 10 Bài 4: ( 2,5 điểm) Cho hình vuông ABCD cạnh a Trên cạnh AB lấy điểm N, CN cắt đường thẳng DA E Đường thẳng qua C vuông góc CN C cắt đường thẳng AB F Diện tích tứ giác ACFE a a Chứng minh: N trung điểm AB b Tính CF theo a Bài 5: (1,5 điểm) Cho đường tròn cố định (O; R) qua đoạn thẳng BC cố định Điểm M di chuyển đường tròn (O), M không trùng với B; C Gọi G trọng tâm tam giác MBC Chứng minh điểm G di động đường tròn cố định Hết./ Họ tên thí sinh…………………………………… ……….SBD………….………… Bài Ý a 1,0 2.0 b 0.5 c 0.5 2a 1.0 HƯỚNG DẪN CHẤM THI HSG KHỐI MÔN: TOÁN Bản hướng dẫn chấm gồm có 02 trang Nội dung cần đạt Điểm x ≥ 0; x ≠ 0.25x4 ĐK:   x − + x  x + x − (2 x − 1)   x + x  P = 1− x  − − 1÷ = − x  ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ x   x −1 ÷ x −1  1− x   (1 − x ) x   ( = ) ( ) x −1 x − x +1 x − x +1 = x x −1 x x = 7−4 ⇔ x = 2− − − + +1 − = =3 2− 2− x − x +1 1 P= = x+ −1 ≥ x −1 ⇔ P ≥ x x x ⇔ x = ; mà x = không thuộc TXĐ Dấu “=” xẩy khi: x = x Vậy P > 0.25 0.25 P= 0.25 0.25 0.25x4 sin x + cos6 x + 3sin x cos x + tan x cos x + cotan x sin x sin x cos x = sin x + cos6 x + 3sin x cos x(sin x + cos x) + c os x + sin x 2 cos x sin x 2 2 = ( sin x + cos x ) + ( sin x + cos x ) = + = Giá trị biểu thức không phụ thuộc giá trị x 2.0 x + y + x = 19 ⇔ 2( x + x + 1) = 3(7 − y ) ⇔ 2( x + 1) = 3(7 − y ) ⇔ 3(7 − y )M2 ⇔ − y M2 ⇔ y số nguyên lẻ 2b 1.0 2.0 3a 1.0 Mà ( x − 1) ≥ ⇔ − y ≥ ⇔ y = HS tìm y thay vào tìm x để tìm cặp nghiệm: (2; 1); (2; -1); (-4; 1); (-4; -1) - HS lập luận: a1 − a1 = a1 (a1 − 1)(a1 + 1)(a1 + 1) chia hết cho có tích số tự nhiên liên tiếp - HS lập luận: a1 − a1 = a1 (a1 − 1)(a1 + 1)(a1 + 1) chia hết cho (Chia trường hợp để xét: a1 = 5k ; a1 = 5k ± 1; a1 = 5k ± ) 0.25 0.25 0.25 0,25 0.25 Mà (5; 6) = nên a1 − a1 M30 5 5 Xét tương tự suy được: a1 − a1 + a2 − a2 + a3 − a3 + + a2013 − a2013 M30 Hay a15 + a25 + a35 + + a2013 - a1 + a2 + a3 + + a2013 M30 ⇔ M − N M30 Theo giả thiết: N M30 ⇔ M M30 3b 1.0 0.25 x + y − x − y ≤ ⇔ x − x + + y − y + ≤ ⇔ ( x − 1) + ( y − 2) ≤ Vận dụng BĐT Bunhiacopski ta có: 0.5 0,25 ( x − + 2( y − 2)) ≤ (12 + 2 ) ( ( x − 1) + ( y − 2) ) = 25 0,5 ⇔ x − + 2( y − 2) ≤ 25 = ⇔ x + y ≤ 10 0.25 E B A F N 4a 1,5đ 4b 1,0 1,5 D C Gọi độ dài BN = b ( Với < b < a) C/m được: ∆ CBF = ∆ CDE (g-c-g) ⇒ CF = CE ⇒ 2S ACFE = 2( S EAC + S ECF ) = EA.CD + CE.CF = a.EA + CE EA AN EA a −b a (a − b ) = ⇔ = ⇔ EA = Vì AN // DC nên áp dụng Talet: ED DC EA + a a b a ( a − b) Suy ra: DE = EA + AD = +a b a4 Áp dụng định lý Py ta go vào ∆DEC ta có CE2 = CD2 +DE2 = a2 + b Từ (1),(2),(3) suy a ( a − b ) a b + a a ( a + b) 2SACEF = + = b b2 b2 a ( a + b) Do SACEF = 3SABCD = 3a2 2b a2 +ab -6b2 = HS lập luận giải: a = 2b Vậy điểm N trung điểm AB a4 a4 = a + = 5a Theo c/m trên: CF = CE mà theo (3) CE2 = a + b 2 a CF = a M NH = NO Lấy N trung điểm BC Trên NO lấy H cho (O) cố định, BC cố định nên H cố định Theo tính chất trọng tâm: NG = NM (2) 1 Từ (1) (2): ∆NHG : ∆NOM ⇒ HG = OM = R 3 H cố định HG = R N Vậy G chạy đường tròn (H; R/3) (1) 0,5 (2) (3) 0,5 0,5 0,5x2 (1) 0.5 0.25 0,25 0,5 ... ± ) 0 .25 0 .25 0 .25 0 ,25 0 .25 Mà (5; 6) = nên a1 − a1 M30 5 5 Xét tương tự suy được: a1 − a1 + a2 − a2 + a3 − a3 + + a2013 − a2013 M30 Hay a15 + a25 + a35 + + a2013 - a1 + a2 + a3 + + a2013 M30... ta có CE2 = CD2 +DE2 = a2 + b Từ (1), (2) ,(3) suy a ( a − b ) a b + a a ( a + b) 2SACEF = + = b b2 b2 a ( a + b) Do SACEF = 3SABCD = 3a2 2b a2 +ab -6b2 = HS lập luận giải: a = 2b Vậy điểm... giả thi t: N M30 ⇔ M M30 3b 1.0 0 .25 x + y − x − y ≤ ⇔ x − x + + y − y + ≤ ⇔ ( x − 1) + ( y − 2) ≤ Vận dụng BĐT Bunhiacopski ta có: 0.5 0 ,25 ( x − + 2( y − 2) ) ≤ ( 12 + 2 ) ( ( x − 1) + ( y − 2)