ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 8 CẤP HUYỆN MÔN TOÁN

PHÒNG GD&ĐT XUYÊN MỘC TRƯỜNG THCS BƯNG RIỀNG ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP MÔN TOÁN Thời gian 120 phút ĐỀ BÀI : Bài 1: Chứng minh với số tự nhiên x biểu thức A = x5 – x chia hết cho 30 Bài 2: Phân tích đa thức sau thành nhân tử 1/ a(x2 +1) – x(a2 + 1) 2/ 6x3 + 13x2 + 4x – 3/ ( x2 + x)2 – 2(x2 + x) – 15 Bài : a/ Tìm giá trị nguyên x để biểu thức B = x − 6x + 8x nhận giá trị nguyên 2x − b/ Tìm giá trị a b để biểu thức C = a2 – 4ab + 5b2 -2b – đạt giá trị nhỏ Tìm giá trị nhỏ Bài : Chứng minh : (x – 1)(x – )( x – )(x – ) +10 ≥ Bài : Cho hình vuông ABCD có cạnh a Gọi M , N theo thứ tự trung điểm AB BC a/ Tính diện tích tứ giác AMND b/ Phân giác góc CDM cắt BC E, Chứng minh DM = AM + CE Bài : Cho tam giác ABC có ba góc nhọn BD , CE hai đường cao tam giác cắt điểm H Chứng minh : a/ HD.HB = HE.HC ∆ HCB b/ ∆ HDE c/ BH.BD + CH.CE = BC2 HẾT PHÒNG GD&ĐT XUYÊN MỘC TRƯỜNG THCS BƯNG RIỀNG ĐÁP ÁN – BIỂU ĐIỂM ĐỀ THI HSG TOAN MÔN TOÁN Thời gian 120 phút BÀI 1: (2đ) A = x5 – x = x( x4 - ) = x( x2 – )( x2 + 1) = (x – ) x ( x + 1)( x2 + 1) Vì (x – ) x ( x + 1) số tự nhiên liên tiếp nên chia hết cho => A  (1) +/ Nếu x  => A  +/ Nếu x : dư ( x – 1)  => A  +/ Nếu x : dư ( x + 1)  => A  +/ Nếu x : dư x : dư => ( x2 + 1)  => A  Vậy A  với x (2) Ta có UCLN ( 5;6) = nên kết hợp (1) (2) => A  (5.6) =30 A  30 với x Bài : (3đ) 1/ a(x2 +1) – x(a2 + 1) = ax2 + a – a2 – x = ax2 –a2x +a – x = = ax(x – a ) – ( x – a ) = ( x – a ) ( ax – ) 2/ 6x3 + 13x2 + 4x – = 6x3 + 6x2 + 7x2 + 7x – 3x – = 6x2( x + 1) + 7x( x + 1) – 3( x + 1) = ( x + 1)( 6x2 + 7x – ) = ( x + 1)( 6x2 + 9x – 2x – ) = ( x + )( 3x( 2x + 3) – ( 2x + 3) = (x + 1)( 2x +3)( 3x – ) 3/ ( x2 + x)2 – 2(x2 + x) – 15 = ( x2 + x)2 – 2(x2 + x) + – 16 = ( x2 + x – )2 – 42 = ( x2 + x – )( x2 + x + ) x − 6x + 8x nhận giá trị nguyên 2x − x − 6x + 8x x − 2x − 4x + x + 6x − + 3 = = 2x − 2x + + B= 2x − 2x − 2x − Để B nhận giá trị nguyên  (2x – 1) Hay ( 2x – ) ∈ U(3) = { -1;1;-3;3} Suy x ∈ { 0;1; -1; 2} Bài : (4đ) a/ Tìm giá trị nguyên x để biểu thức B = b/ Tìm giá trị a b để biểu thức C = a2 – 4ab + 5b2 -2b – đạt giá trị nhỏ Tìm giá trị nhỏ C = a2 – 4ab + 4b2 + b2 – 2b + – = ( a -2b)2 + ( b – 1)2 – ≥ – Vậy : Tại a – 2b = b – = ⇔ a = b = MinC = -7 Bài : ( 2đ) Chứng minh : (x – 1)(x – )( x – )(x – ) +10 ≥ Ta có (x – 1)(x – )( x – )(x – ) +10 = (x – 1)(x – )( x – )(x – ) +10 = x2 -7x + )( x2 – x + 12) + 10 = ( x2 – 7x + – )( x2 – 7x +9 + 3) + 10 = = ( x2 – 7x + 9)2 – 32 + 10 = ( x2 – 7x + 9)2 + Vì ( x2 – 7x + 9)2 ≥ ,với x Nên ( x2 – 7x + 9)2 + ≥ , với x Bài : ( 4đ) a/ SAMND = SABCD – S ∆ BMN - S ∆ NCD Ta có ∆ BMN vuông B có BM = BN = Suy a = CN ∆ NCD vuông C có DC = a 1aa a a2 a 5a − a = a − − = SAMND = a − 222 2 8 b/ Chứng ming DM = AM + CE Trên tia đối tia CB lấy điểm K cho CK = AM Dễ dàng chứng minh ∆ ADM = ∆ CDK ( c.g.c) Suy AM = CK DM = DK (1) Và góc ADM = góc CDK Ta có : ∠ ADE = ∠ ADM + ∠ MDE = = ∠ EDC + ∠ CDK = ∠ EDK ( Vì ∠ MDE = ∠ EDC theo GT) Mặt khác ∠ ADE = ∠ DEK ( so le ) = > ∠ EDK = ∠ DEK Vậy ∆ DKE cân K => DK = KE = CK + CE ( 2) Từ (1) (2) suy DM = AM + CE Bài : ( 5đ) a/ HD.HB = HE.HC : Chứng minh ∆ vuông : ∆ BHE ∆ CHD đông dạng ( ∠ E = ∠ D = 900; ∠ EBH = ∠ DCH phụ với ∠ A ) => HE HB = HD HC => HD.HB = HE.HC HE HB HE HD = ⇒ = HD HC HB HC ∆ HCB ∠ EHD = ∠ CHB (đối đỉnh) => ∆ HDE b/ ∆ HDE ∆ HCB : Từ c/ H giao điểm hai đường cao BD CE nên H trực tam tam giác => AH đường cao thứ ba Gọi F giao điểm AH với BC Ta có AF ⊥ BC BH BF = Hay BH.BD = BF.BC (*) BC BD CH CF = ∆ CHF đồng dạng ∆ BCE ( ∆ vuông có góc BCE) => Hay CH.CE = CF.BC (**) CB CE ∆ BHF đồng dạng ∆ BCD ( ∆ vuông góc nhọn B) => Cộng theo vế (*), (**) : BH.BD + CH.CE = BC(BF + CF) = BC2 ...PHÒNG GD&ĐT XUYÊN MỘC TRƯỜNG THCS BƯNG RIỀNG ĐÁP ÁN – BIỂU ĐIỂM ĐỀ THI HSG TOAN MÔN TOÁN Thời gian 120 phút BÀI 1: (2đ) A = x5 – x = x( x4 - ) = x( x2 – )( x2 + 1) = (x –... x)2 – 2(x2 + x) + – 16 = ( x2 + x – )2 – 42 = ( x2 + x – )( x2 + x + ) x − 6x + 8x nhận giá trị nguyên 2x − x − 6x + 8x x − 2x − 4x + x + 6x − + 3 = = 2x − 2x + + B= 2x − 2x − 2x − Để B nhận giá... B có BM = BN = Suy a = CN ∆ NCD vuông C có DC = a 1aa a a2 a 5a − a = a − − = SAMND = a − 222 2 8 b/ Chứng ming DM = AM + CE Trên tia đối tia CB lấy điểm K cho CK = AM Dễ dàng chứng minh ∆ ADM