ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 8 CẤP HUYỆN MÔN TOÁN SƠN DƯƠNG

PHÒNG GD&ĐT SƠN DƯƠNG KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2013-2014 MÔN THI: TOÁN LỚP ĐỀ THI CHÍNH THỨC Thời gian làm 120 phút, không kể thời gian giao đề Đề thi có 01 trang Câu (4,0 điểm) Phân tích đa thức sau thành nhân tử: x + 2013x + 2012 x + 2013  x2 − x   2x2 − − ÷ Rút gọn biểu thức sau: A =  − ÷  2x + 8 − 4x + 2x − x   x x  Câu (4,0 điểm) Giải phương trình sau: (2 x + x − 2013) + 4( x − x − 2012) = 4(2 x + x − 2013)( x − x − 2012) Tìm số nguyên x, y thỏa mãn x + 2x + 3x + = y3 Câu (4,0 điểm) Tìm đa thức f(x) biết rằng: f(x) chia cho x + dư 10, f(x) chia cho x − dư 24, f(x) chia cho x − thương −5x dư Chứng minh rằng: a (b − c)(b + c − a ) + c (a − b)(a + b − c ) = b(a − c )(a + c − b) Câu (6,0 điểm) Cho hình vuông ABCD, cạnh AB lấy điểm E cạnh AD lấy điểm F cho AE = AF Vẽ AH vuông góc với BF (H thuộc BF), AH cắt DC BC hai điểm M, N Chứng minh tứ giác AEMD hình chữ nhật Biết diện tích tam giác BCH gấp bốn lần diện tích tam giác AEH Chứng minh rằng: AC = 2EF Chứng minh rằng: 1 = + 2 AD AM AN Câu (2,0 điểm) Cho a, b, c ba số dương thoả mãn abc = Chứng minh : 1 + + ≥ a (b + c) b (c + a ) c (a + b) -Hết -Cán coi thi không giải thích thêm PHÒNG GD&ĐT SƠN DƯƠNG HƯỚNG DẪN CHẤM BÀI THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN MÔN THI: TOÁN LỚP ĐỀ THI CHÍNH THỨC Bản hướng dẫn chấm có 04 trang Câu Hướng dẫn giải Ta có x + 2013 x + 2012 x + 2013 = ( x − x ) + 2013x + 2013x + 2013 (2.0 điểm) = x ( x − 1) ( x + x + 1) + 2013 ( x + x + 1) = ( x + x + 1) ( x − x + 2013) 2 Kết luận x + 2013 x + 2012 x + 2013 = ( x + x + 1) ( x − x + 2013) x ≠ x ≠ (4.0 điểm) 0,5 0.5 0.5 0.5 ĐK:  0.25  x2 − x   x2 A = − 1− − ÷ Ta có  2 ÷  2x + 8 − 4x + 2x − x   x x  0.25  x2 − x  x − x −  2x2 = − ÷ ÷ 2 x2  2( x + 4) 4(2 − x) + x (2 − x)   0.25 (2.0 điểm)  x2 − 2x   ( x + 1)( x − 2)   x( x − 2) + x   ( x + 1)( x − 2)  2x2 = − ÷ ÷ ÷=  ÷ 2 x2 x2   2( x − 2)( x + 4)     2( x + 4) ( x + 4)(2 − x)   x − x + x + x x + x( x + 4)( x + 1) x + = = 2( x + 4) x x ( x + 4) 2x x ≠ x +1 Vậy A = với  2x x ≠ = Câu Phương trình cho trở thành: (2.0 điểm) 0.5 0.25 (4.0 điểm)  a = x + x − 2013 Đặt:  b = x − x − 2012 0.5 a + 4b = 4ab ⇔ ( a − 2b) = ⇔ a − 2b = ⇔ a = 2b Khi đó, ta có: x + x − 2013 = 2( x − x − 2012) ⇔ x + x − 2013 = x − 10 x − 4024 −2011 ⇔ 11x = −2011 ⇔ x = 11 −2011 Vậy phương trình có nghiệm x = 11 0.25 0.5 0.5 0.5 0.25 3  Ta có y − x = 2x + 3x + =  x + ÷ + > 4  3 ⇒x  16  (2.0 điểm) ⇒ y< x+2 (2) Từ (1) (2) ta có x < y < x+2 mà x, y nguyên suy y = x + Thay y = x + vào pt ban đầu giải phương trình tìm x = -1; từ tìm hai cặp số (x, y) thỏa mãn toán là: (-1 ; 0) KL Câu 0.5 0.25 0.5 0.25 (4 điểm) Giả sử f(x) chia cho x − thương −5x dư ax + b Khi đó: f ( x) = ( x − 4).(−5 x) + ax+b Theo đề bài, ta có: (2.0 điểm)   f (2) = 24 2a + b = 24 a = ⇔ ⇔   f (−2) = 10 −2a + b = 10 b = 17 Do đó: f ( x) = ( x − 4).(−5 x) + x+17 Vậy đa thức f(x) cần tìm có dạng: f ( x) = −5 x + 0.5 0.5 0.5 47 x + 17 0.5 Ta có: a (b − c)(b + c − a ) + c (a − b)(a + b − c) − b(a − c)(a + c − b) = (1) (2.0 điểm)  a = a + b − c = x    Đặt: b + c − a = y => b = a + c − b = z    c =  x+z x+ y y+z 0.25 Khi đó, ta có: x+z x+ y y+z  y+z x+z x+ y  2 − −  ÷ y +  ÷.x − ( x + y )( x − y ).z  2   2  x+z x−z y+z z− y 2 = y + x − ( x − y ) z 2 2 2 2 = ( x − z ) y + ( z − y ).x − ( x − y ).z 4 = ( x − y ).z − ( x − y ).z = = VP(1) (đpcm) 4 VT(1) = KL:… Câu 0.5 0.5 0.25 0.25 0.25 (6 điểm) E A B H F D C M N (2.0 điểm) Ta có ∠DAM = ∠ABF (cùng phụ ∠BAH ) AB = AD ( gt) ∠ BAF = ∠ ADM = 90 O (ABCD hình vuông) ⇒ ΔADM = ΔBAF (g.c.g) => DM=AF, mà AF = AE (gt) Nên AE = DM Lại có AE // DM ( AB // DC ) Suy tứ giác AEMD hình bình hành Mặt khác ∠DA E = 90 (gt) Vậy tứ giác AEMD hình chữ nhật 0.75 0.5 0.5 0.25 Ta có ΔABH ~ΔFAH (g.g) => AB BH BC BH = = hay ( AB=BC, AE=AF) AF AH AE AH Lại có ∠ HAB = ∠ HBC (cùng phụ ∠ ABH) Suy ra: ΔCBH~ ΔEAH (c.g.c) (2.0 điểm) 2 SΔCBH S  BC   BC  = ⇒ ΔCBH =  ⇒ = nên BC2 = (2AE)2 , mà (gt) ÷  ÷ S SΔEAH  AE  ΔEAH  AE  ⇒ BC = 2AE ⇒ E trung điểm AB, F trung điểm AD 0.5 0.5 0.5 Do đó: BD = 2EF hay AC = 2EF (đpcm) 0.5 Do AD // CN (gt) Áp dụng hệ định lý ta lét, ta có: AD AM AD CN (2.0 điểm) ⇒ = ⇒ = 0.5 CN MN AM MN Lại có: MC // AB ( gt) Áp dụng hệ định lý ta lét, ta có: ⇒ MN MC AB MC AD MC = ⇒ = = hay AN AB AN MN AN MN 2 2 AD   AD   CN   CM  CN + CM MN ⇒  = =1 ÷ + ÷ = ÷ + ÷ = MN MN  AM   AN   MN   MN  (Pytago) 0.5 0.5 2 1 AD   AD  ⇒  ÷ + ÷ = => AM + AN = AD  AM   AN  Câu (đpcm) Trước tiên ta chứng minh BĐT: Với ∀ a, b, c ∈ R x, y, z > ta có a b2 c2 ( a + b + c ) + + ≥ x y z x+ y+z a b c Dấu “=” xảy ⇔ = = x y z Thật vậy, với a, b ∈ R x, y > ta có a b2 ( a + b ) + ≥ x y x+ y ⇔ (a 0.5 điểm (*) (**) y + b x ) ( x + y ) ≥ xy ( a + b ) 0.75 ⇔ ( bx − ay ) ≥ (luôn đúng) Dấu “=” xảy ⇔ a b = x y Áp dụng bất đẳng thức (**) ta có a b2 c2 ( a + b ) c2 ( a + b + c ) + + ≥ + ≥ x y z x+ y z x+ y+z a b c Dấu “=” xảy ⇔ = = x y z 1 2 1 Ta có: + + = a + b + c a (b + c) b (c + a) c ( a + b) ab + ac bc + ab ac + bc 2.0 điểm Áp dụng bất đẳng thức (*) ta có 2 1 1 1 1 1  + + ÷  + + ÷ 2 a b c a b c  a b c + + ≥ = (Vì abc = ) ab + ac bc + ab ac + bc 2(ab + bc + ac ) 1 1 2 + + ÷ a b c 1 2 11 1 Hay a + b + c ≥  + + ÷ ab + ac bc + ab ac + bc  a b c  1 Mà + + ≥ nên a b c Vậy 1 2 a + b + c ≥ ab + ac bc + ab ac + bc 1 + + ≥ a (b + c) b (c + a ) c (a + b) (đpcm) 0.5 0.25 0.25 0.25 ...PHÒNG GD&ĐT SƠN DƯƠNG HƯỚNG DẪN CHẤM BÀI THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN MÔN THI: TOÁN LỚP ĐỀ THI CHÍNH THỨC Bản hướng dẫn chấm có 04 trang Câu Hướng... cặp số (x, y) thỏa mãn toán là: (-1 ; 0) KL Câu 0.5 0.25 0.5 0.25 (4 điểm) Giả sử f(x) chia cho x − thương −5x dư ax + b Khi đó: f ( x) = ( x − 4).(−5 x) + ax+b Theo đề bài, ta có: (2.0 điểm)... ≠ x ≠ (4.0 điểm) 0,5 0.5 0.5 0.5 ĐK:  0.25  x2 − x   x2 A = − 1− − ÷ Ta có  2 ÷  2x + 8 − 4x + 2x − x   x x  0.25  x2 − x  x − x −  2x2 = − ÷ ÷ 2 x2  2( x + 4) 4(2 − x) + x