ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 8 CẤP HUYỆN MÔN TOÁN QUẾ SƠN 20122013

UBND H QUẾ SƠN PHÒNG GD&ĐT KỲ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI LỚP 6,7,8 CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2012-2013 Môn: Toán - Lớp Thời gian làm bài: 120 phút (Không kể thời gian giao đề) ĐỀ CHÍNH THỨC Bài (2.5 điểm): a) Cho ba số a, b, c thoả mãn: a + b + c = Chứng minh rằng: ab + bc + ca ≤ b) Cho f ( x) = ax + bx + c với a, b, c số thỏa mãn: 13a + b + 2c = Chứng tỏ rằng: f ( −2) f (3) ≤ c) Tìm giá trị nhỏ biểu thức: M = x + y − xy − x + y + Bài (2.0 điểm): Giải phương trình sau: a) x −1 x − x − x − + − = 2013 2012 2011 2010 b) (2 x − 5) − ( x − 2) = ( x − 3) Bài (2.5 điểm): Cho hình vuông ABCD M điểm tuỳ ý đường chéo BD Hạ ME vuông góc với AB, MF vuông góc với AD a) Chứng minh DE ⊥ CF b) Chứng minh ba đường thẳng DE, BF, CM đồng quy c) Xác định vị trí điểm M BD để diện tích tứ giác AEMF lớn Bài (2.0 điểm): Cho hình bình hành ABCD (AC > BD) Gọi G, H hình chiếu C AB AD Chứng minh : a) ∆ABC đồng dạng với ∆ HCG b) AC = AB.AG + AD.AH Bài (1.0 điểm): Chứng minh với số n nguyên dương thì: 5n (5n + 1) − 6n (3n + 2n ) M 91 UBND HUYỆN QUẾ SƠN PHÒNG GD&ĐT KỲ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI LỚP 6,7,8 CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2012-2013 Môn: Toán - Lớp Thời gian làm bài: 120 phút (Không kể thời gian giao đề) HƯỚNG DẪN CHẤM Bài 1(2.5 điểm): Có: a2 + b2 ≥ 2ab; a2 + c2 ≥ 2ac; b2 + c2 ≥ 2ac Cộng được: 2a2 + 2b2 + 2c2 ≥ 2ab + 2ac + 2bc 0,25 ⇔ a2 + b2 + c2 ≥ ab + ac + bc (1) 2 a + b + c = ⇔ a + b + c +2ab + 2ac + 2bc = 0,25 ⇔ -a2 – b2 – c2 =2ab + 2ac + 2bc (2) Cộng (1) với (2) 3ab + 3ac + 3bc ≤ ⇔ ab + bc + ca ≤ 0,25 f(-2) = 4a – 2b + c; f(3) = 9a + 3b + c Có f(-2) + f(3) = 13a + b + 2c = nên: 0,25 Hoặc: f(-2) = f(3) = ⇒ f(-2).f(3) = (1) Hoặc: f(-2) f(3) hai số đối ⇒ f(-2).f(3) < Từ (1) (2) f ( −2) f (3) ≤ (2) 0,25 0,25 4M = 4x + 4y − 4xy − 4x + 4y + = (2x − y − 1)2 + 3y + 2y + = (2x − y − 1)2 + 3(y + y + ) + = (2x − y − 1)2 + 3(y + ) + 3 Giá trị nhỏ 4M y = − ; x = nên 3 2 Giá trị nhỏ M y = − ; x = 3 Bài 2(2.0 điểm): 0,50 0,50 x −1 x−2 x−4 x −3 −1+ −1 = −1+ −1 2013 2012 2010 2011 x − 2013 x − 2012 x − 2010 x − 2011 ⇔ − + − = − + − 2013 2013 2012 2012 2010 2010 2011 2011 x − 2014 x − 2014 x − 2014 x − 2014 ⇔ + = + 2013 2012 2010 2011 1   ⇔ (x − 2014)  + − − ÷=  2013 2012 2010 2011  1 1 + − − Do ≠ nên phương trình có nghiệm x = 2014 2013 2012 2010 2011 ⇔ Đặt 2x - = a; x - = b ⇒ a - b = x -3 Phương trình cho trở thành: a3 - b3 = (a - b)3 (a-b) (a2 + ab + b2 ) = (a-b)(a2 -2ab + b2) (a-b)( a2 + ab + b2 - a2 +2ab - b2) = 3ab(a-b) = a = ⇔ x = ; b = ⇔ x = 2; a = b ⇔ x = 0,25 0,25 0,25 0,25 0,50 0,25 0,25 Bài (1.0 điểm): A = 5n (5n + 1) − 6n (3n + n ) = 25n + 5n − 18n − 12 n A = (25n − 18n ) − (12n − 5n ) A chia hết cho A = (25n − 12n ) − (18n − 5n ) A chia hết cho 13 Do (13,7) =1 nên A chia hết cho 91 0,25 0,25 0,25 0,25 Bài (2.5 điểm): Chứng tỏ AE = DF (Cùng MF) · · Chứng tỏ ∆CDF = ∆DAE ⇒ FCD = EDA · · · · Có EDA phụ ⇒ ECD phụ hay CF⊥ DE EDC EDA 0,25 0,25 0,25 Tương tự có CE ⊥ BF Chứng minh CM ⊥ EF: Gọi G giao điểm FM BC; H giao điểm CM EF · · (Hai HCN nhau) MCG = EFM · · · · (Đối đỉnh) ⇒ MHF = 900 CMG = FMH = MGC CM, FB, ED ba đường cao tam giác CEF nên chúng đồng quy AE + ME ) ( 2 (AE - ME) ≥ nên (AE + ME) ≥ 4AE.ME ⇔ AE.ME ≤ AB ⇔ SAEMF ≤ Do AB = const nên SAEMF lớn AE = ME 0,25 0,50 0,25 0,25 0,50 Lúc M trung điểm BD Bài (2.0 điểm): Chứng tỏ được: ∆CBG đồng dạng với ∆CDH CG BC BC ⇒ = = CH DC BA · · · (Cùng bù với BAD ) ABC = HCG ⇒ ∆ABC đồng dạng với ∆HCG 0,25 0,25 0,50 Gọi E, F hình chiếu B, D AC AF AD = ⇒ AF.AC = AD.AH AH AC AE AB = ⇒ AE.AC = AG.AB ∆AEB đồng dạng ∆AGC: AG AC Cộng được: AF.AC + AE.AC = AD.AH+AG.AB ∆AFD đồng dạng ∆AHC: AC(AF+AE) = AD.AH+AG.AB Chứng tỏ AE = FC Thay được: AC(AF+FC) = AD.AH+AG.AB ⇒AC2 = AD.AH+AG.AB 0,25 0,25 0,25 0,25 ...UBND HUYỆN QUẾ SƠN PHÒNG GD&ĐT KỲ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI LỚP 6,7 ,8 CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2012-2013 Môn: Toán - Lớp Thời gian làm bài: 120 phút (Không kể thời gian giao đề) HƯỚNG DẪN CHẤM... (1.0 điểm): A = 5n (5n + 1) − 6n (3n + n ) = 25n + 5n − 18n − 12 n A = (25n − 18n ) − (12n − 5n ) A chia hết cho A = (25n − 12n ) − (18n − 5n ) A chia hết cho 13 Do (13,7) =1 nên A chia hết