NAM ĐịNH đề thi học sinh giỏi môn: toán (Thời gian làm bài: 120 phút) Bài 1: (5 điểm) Phân tích đa thức sau thành nhân tử: x + x + x + 2008 x + 2007 x + 2008 Bài 2: (6điểm) Giải phơng trình: x 3x + + x = 2 2 1 x + ữ + x + ữ x + ữ x + ữ = ( x + ) x x x x Bài 3: (2điểm) CMR với a,b,c,là số dơng ,ta có: (a+b+c)( 1 + + )9 a b c Bài 4: (7 điểm)Cho tam giác ABC vuông A (AC > AB), đờng cao AH (H BC) Trên tia HC lấy điểm D cho HD = HA Đờng vuông góc với BC D cắt AC E Chứng minh hai tam giác BEC ADC đồng dạng Tính độ dài đoạn BE theo m = AB Gọi M trung điểm đoạn BE Chứng minh hai tam giác BHM BEC đồng dạng Tính số đo góc AHM Tia AM cắt BC G Chứng minh: NAM ĐịNH GB HD = BC AH + HC ỏp ỏn đề thi học sinh giỏi môn: toán (Thời gian làm bài: 120 phút) Bài Câ u 1 (0,75 điểm) Nội dung Điểm 2,0 x + x + = x + x + x + = x ( x + 1) + ( x + 1) 0.5 = ( x + 1) ( x + ) 0,5 (1,25 điểm) x + 2008 x + 2007 x + 2008 = x + x + 2007 x + 2007 x + 2007 + = x + x + + 2007 ( x + x + 1) = ( x + 1) x + 2007 ( x + x + 1) = ( x + x + 1) ( x x + 1) + 2007 ( x + x + 1) = ( x + x + 1) ( x x + 2008 ) 2 2 2 0,25 0,25 2,0 x x + + x = (1) + Nếu x : (1) ( x 1) = x = (thỏa mãn điều kiện x ) x < 1: + Nếu (1) x x + = x x ( x 1) = ( x 1) ( x ) = x = 1; x = (cả hai không bé 1, nên bị loại) Vậy: Phơng trình (1) có nghiệm x =1 2 0,25 2 0,5 0,5 1 x + ữ + x + ữ x + ữ x + ữ = ( x + ) (2) x x x x Điều kiện để phơng trình có nghiệm: x 2 1 x + + x + x + x + (2) ữ ữ = ( x + 4) ữ ữ x x x x 1 2 x + ữ x + ữ = ( x + ) ( x + ) = 16 x x x = hay x = x Vậy phơng trình cho có nghiệm x = 0,25 0,5 0,25 2.0 3 Ta có: a 1 a a b b c b c a a b a c c b =3 + ( + ) + ( + ) + ( + ) b a c a b c x y Mà: y + x (BĐT Cô-Si) Do A + + + = Vậy A b c c a 0,5 c b A= (a + b + c)( + + ) = + + + + + + + + 0,5 Ta có: P ( x ) = ( x + ) ( x + ) ( x + ) ( x + ) + 2008 = ( x + 10 x + 16 ) ( x + 10 x + 24 ) + 2008 Đặt t = x + 10 x + 21 (t 3; t 7) , biểu thức P(x) đợc viết lại: 0,5 P ( x ) = ( t ) ( t + 3) + 2008 = t 2t + 1993 Do chia t 2t + 1993 cho t ta có số d 1993 0,5 4,0 4 + Hai tam giác ADC BEC có: Góc C chung CD CA = CE CB (Hai tam giác vuông CDE CAB đồng dạng) 1,0 Do đó, chúng dồng dạng (c.g.c) ã Suy ra: BEC = ãADC = 1350 (vì tam giác AHD vuông cân H theo giả thiết) Nên ãAEB = 450 tam giác ABE vuông cân A Suy ra: BE = AB = m 4 BM BE AD = ì = ì (do BEC : ADC ) BC BC AC mà AD = AH (tam giác AHD vuông vân H) BM AD AH BH BH = ì = ì = = nên (do ABH : CBA ) BC AC AC AB BE BHM : BEC Do (c.g.c), suy ra: 0 ã ã BHM = BEC = 135 ãAHM = 45 Ta có: 0,5 0,5 0,5 0,5 Tam giác ABE vuông cân A, nên tia AM phân giác góc BAC GB AB = , GC AC AB ED AH HD = ( ABC : DEC ) = ( ED // AH ) = AC DC HC HC Suy ra: mà 0,5 Do đó: GB HD GB HD GB HD = = = GC HC GB + GC HD + HC BC AH + HC 0,5 .. .môn: toán (Thời gian làm bài: 120 phút) Bài Câ u 1 (0,75 điểm) Nội dung Điểm 2,0 x + x + = x + x + x + = x ( x + 1) + ( x + 1) 0.5 = ( x + 1) ( x + ) 0,5 (1,25 điểm) x + 20 08 x + 2007... ( x + ) ( x + ) + 20 08 = ( x + 10 x + 16 ) ( x + 10 x + 24 ) + 20 08 Đặt t = x + 10 x + 21 (t 3; t 7) , biểu thức P(x) đợc viết lại: 0,5 P ( x ) = ( t ) ( t + 3) + 20 08 = t 2t + 1993 Do chia... 2007 x + 20 08 = x + x + 2007 x + 2007 x + 2007 + = x + x + + 2007 ( x + x + 1) = ( x + 1) x + 2007 ( x + x + 1) = ( x + x + 1) ( x x + 1) + 2007 ( x + x + 1) = ( x + x + 1) ( x x + 20 08 ) 2 2