ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 8 CẤP HUYỆN MÔN TOÁN

UBND HUYỆN YÊN DŨNG PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2013-2014 ĐỀ THI CHÍNH THỨC Môn: Toán lớp Thời gian làm bài: 150 phút (Đề thi gồm có 01 trang) Câu (4 điểm) Phân tích đa thức sau thành nhân tử: 1) x + 2014 x + 2013 2) x( x + 2)( x + x + 2) + Câu (4 điểm) 1) Tìm a, b biết + 2a 3b − 3a = = 15 23 + a 20 2) Tìm giá trị nhỏ biểu thức A = x + y + xy + x − y + 2013 Câu (4 điểm) 1) Cho a1 , a2 , a2013 số tự nhiên có tổng 20132014 3 Chứng minh rằng: B = a1 + a2 + + a2013 chia hết cho 2) Cho a b số tự nhiên thoả mãn 2a + a = 3b + b Chứng minh rằng: a − b 3a + 3b + số phương Câu (6 điểm) Cho tam giác ABC Gọi I điểm di chuyển cạnh BC Qua I, kẻ đường thẳng song song với cạnh AC cắt cạnh AB M Qua I, kẻ đường thẳng song song với cạnh AB cắt cạnh AC N 1) Gọi O trung điểm AI Chứng minh ba điểm M, O, N thẳng hàng 2) Kẻ MH, NK, AD vuông góc với BC H, K, D Chứng minh MH + NK = AD 3) Tìm vị trí điểm I để MN song song với BC Câu (2 điểm) Cho a < b < c < d x = (a + b)(c + d ), y = (a + c )(b + d ), z = (a + d )(b + c ) Sắp xếp theo thứ tự giảm dần x, y, z Hết Họ tên thí sinh: , Số báo danh: UBND HUYỆN YÊN DŨNG ĐÁP ÁN - THANG ĐIỂM PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN ĐÁP ÁN ĐỀ CHÍNH THỨC MÔN: TOÁN LỚP (Đáp án - thang điểm gồm trang) Chú ý: Dưới hướng dẫn bản, làm học sinh phải trình bày chi tiết HS giải nhiều cách khác cho điểm phần tương ứng Câu Ý Nội Dung Điểm 2 0.5 x + 2014 x + 2013 = x + 2013 x + x + 2013 x ( x + 2013) + ( x + 2013) 1 = = ( x + 1)( x + 2013) 0.5 x( x + 2)( x + x + 2) + = ( x + x )( x + x + 2) + 1 2 0.5 = ( x + x ) + 2( x + x) + = ( x + x + 1) 2 = ( x + 1) + 2a − 3a = Từ có 20(1 + 2a) = 15(7 − 3a) 15 20 => a = 1 + 2a 3b + 2.1 3b = = Thay a = vào tỉ lệ thức ta Suy b = 15 23 + a 15 23 + 7.1 Vậy a = , b = Ta có A = x + y + xy + x − y + 2013 = x + x( y + 1) + y + y + + y − y + + 2003 = ( x + y + 1) + ( y − 3) + 2003 Nhận thấy với x,y ta có ( x + y + 1) ≥ 0;( y − 3) ≥ Suy A ≥ 2003 2 Dấu “=” xảy x = −4, y = Vậy Giá trị nhỏ A 2003 đạt x = −4, y = Dễ thấy a − a = a (a + 1)(a − 1) tích ba số tự nhiên liên tiếp nên chia hết cho 3 ) − (a1 + a2 + + a2013 ) Xét hiệu B − (a1 + a2 + + a2013 ) = (a13 + a23 + + a2013 3 = (a13 − a1 ) + (a23 − a2 ) + + (a2013 − a2013 ) chia hết cho Mà a1 , a2 , a2013 số tự nhiên có tổng 20132014 M3 Do B chia hết cho Từ 2a + a = 3b + b có (a − b)(3a + 3b + 1) = a Cũng có (a − b)(2a + 2b + 1) = b Suy (a − b) (2a + 2b + 1)(3a + 3b + 1) = (ab) 2 Gọi (2a + 2b + 1,3a + 3b + 1) = d Chứng minh d=1 => 3a + 3b + số phương => a − b số phương (đpcm) 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 A M O N B H D E I K C Ta có IM//AC, IN//AB => AMIN hình bình hành => MN cắt AI trung điểm đường Mà O trung điểm AI => M, O, N thẳng hàng (đpcm) Kẻ OE vuông góc với BC Chứng minh MHKN hình thang vuông Ta có O trung điểm MN mà OE//MH//NK Suy OE đường trung bình hình thang vuông MNKH nên MH + NK = 2OE (1) Xét ΔADI có O trung điểm AI OE//AD Suy OE đường trung bình ΔADI nên AD = 2OE (2) Từ (1) (2) ta có MH + NK = AD (đpcm) Ta có MN // BC MN đường trung bình ∆ABC (Do O trung điểm AI) ⇔ I trung điểm BC (Vì MI // AC, MA=MB) Vậy để MN song song với BC I trung điểm BC Xét hiệu x − y = (a + b)(c + d ) − (a + c)(b + d ) = (d − a )(b − c) Vì d > a, b < c nên (d − a )(b − c) < Suy x < y (1) Xét hiệu y − z = (a + c)(b + d ) − (a + d )(b + c ) = (a − b)(d − c) Vì b > a, c < d nên (a − a )(d − c) < Suy y < z (2) Từ (1) (2) ta xếp theo thứ tự giảm dần z > y > x 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 ...UBND HUYỆN YÊN DŨNG ĐÁP ÁN - THANG ĐIỂM PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN ĐÁP ÁN ĐỀ CHÍNH THỨC MÔN: TOÁN LỚP (Đáp án - thang điểm gồm trang)... ÁN ĐỀ CHÍNH THỨC MÔN: TOÁN LỚP (Đáp án - thang điểm gồm trang) Chú ý: Dưới hướng dẫn bản, làm học sinh phải trình bày chi tiết HS giải nhiều cách khác cho điểm phần tương ứng Câu Ý Nội Dung Điểm