Giáo trình cơ học lượng tử (phần phi tương đối tính)

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI Trần Thái Hoa GIÁO TRÌNH CƠ HỌC LƯỢNG TỬ Phần phi tương đối tính (Lưu hành nội bộ) HÀ NỘI 2017 TRẦN THÁI HOA GIÁO TRÌNH CƠ HỌC LƯỢNG TỬ Phần phi tương đối tính Giáo trình dùng cho sinh viên ngành Vật lý HÀ NỘI 2017 Lời nói đầu Đây giảng môn học lượng tử mà dùng từ năm 1978 để giảng dạy cho sinh viên Khoa Vật lý, Trường Đại học Sư phạm Hà Nội Năm 1993, sách Trường Đại học Sư phạm Hà Nội in roneo thành tập tên “Giáo trình học lượng tử” Năm 2005, sách Nhà xuất Đại học Sư phạm xuất tên “Cơ học lượng tử” Cuốn sách so với xuất từ trước có nhiều thay đổi Nhiều lỗi in ấn, tả sửa chữa Một số chương mục đưa thêm vào Các lớp tập bổ xung phong phú hơn, giải đầy đủ đặc biệt phương pháp giải lớp tập làm bật Giáo trình dùng cho sinh viên ngành vật lý, học viên cao học ngành vật lý, nhà nghiên cứu vật lý giáo viên dạy vật lý Hà Nội, tháng năm 2017 Một số kí hiệu viết tắt + Chuẩn vector không gian Hilbert: |ψ| b ϕ∗1 (q)ϕ2 (q)dq + Tích vô hướng hai vector: (ϕ1 (q), ϕ2 (q)) = + Liên hợp phức hàm ψ(q): ψ ∗ (q) + Liên hợp Hermite toán tử Fˆ : Fˆ + + đpcm: điều phải chứng minh a MỤC LỤC Lời nói đầu i Một số kí hiệu viết tắt ii Mục lục iii Chương KHÔNG GIAN VECTOR VÀ TOÁN TỬ 1.1 Không gian vector 1.2 Toán tử ma trận 12 1.3 Các toán giá trị riêng 19 1.4 Các tính chất toán tử tuyến tính Hermite 22 BÀI TẬP CHƯƠNG 26 Chương HỆ TIÊN ĐỀ THỨ NHẤT CỦA CƠ HỌC LƯỢNG TỬ 31 2.1 Lưỡng tính sóng hạt chuyển động vật chất 31 2.2 Hàm sóng hệ lượng tử 34 2.3 Nguyên lí chồng chất trạng thái 35 2.4 Ý nghĩa thống kê hàm sóng 37 2.5 Xác suất trạng thái lượng tử 38 BÀI TẬP CHƯƠNG 40 Chương HỆ TIÊN ĐỀ THỨ HAI CỦA CƠ HỌC LƯỢNG TỬ 45 3.1 Các đại lượng động lực toán tử 45 3.2 Phép đo đồng thời hai đại lượng vật lý 49 3.3 Nguyên lí bất định hệ thức ước lượng độ bất định 50 BÀI TẬP CHƯƠNG 55 Bản thảo lưu hành nội Chương CÁC TOÁN TỬ TRONG CƠ HỌC LƯỢNG TỬ 61 4.1 Dạng toán tử hệ toạ độ Descartes 61 4.2 Dạng toán tử hệ toạ độ cầu hệ toạ độ trụ 65 4.3 Các tính chất toán tử moment xung lượng 68 4.4 Hàm riêng trị riêng toán tử moment xung lượng 69 4.5 Cộng moment 74 BÀI TẬP CHƯƠNG 76 ¨ Chương PHƯƠNG TRÌNH SCHRODINGER CÁC HỆ LƯỢNG TỬ ĐƠN GIẢN 77 5.1 Phương trình Schr¨odinger cho hạt 77 5.2 Phương trình liên tục 80 5.3 Các toán chiều kinh điển 82 5.4 Chuyển động hạt mang điện điện từ trường 90 BÀI TẬP CHƯƠNG 94 Chương SỰ TIẾN TRIỂN THEO THỜI GIAN CỦA CÁC TRẠNG THÁI LƯỢNG TỬ 101 6.1 Các trạng thái dừng Sự tiến triển trạng thái lượng tử 101 6.2 Phương trình chuyển động học lượng tử 103 6.3 Định lí Ehrenfest 104 6.4 Các tích phân chuyển động định luật bảo toàn 106 BÀI TẬP CHƯƠNG 112 Chương LÝ THUYẾT BIỂU DIỄN 117 7.1 Các biểu diễn khác vector trạng thái 117 7.2 Các biểu diễn khác toán tử 120 iv Bản thảo lưu hành nội 7.3 Phép biến đổi Unite 122 7.4 Biểu diễn Schr¨odinger, biểu diễn Heisenberg biểu diễn tương tác 124 7.5 Biểu diễn số lấp đầy cho dao động tử điều hoà 127 BÀI TẬP CHƯƠNG 129 Chương CHUYỂN ĐỘNG TRONG TRƯỜNG XUYÊN TÂM 133 8.1 Các tính chất tổng quát chuyển động trường xuyên tâm 133 8.2 Chuyển động hạt mang điện trường Coulomb 136 8.3 Nguyên tử Hydro ion tương tự Hydro 141 8.4 Rotator 143 8.5 Dòng điện nguyên tử Hydro 145 BÀI TẬP CHƯƠNG 148 Chương SPIN CỦA CÁC HẠT CƠ BẢN 151 9.1 Sự kiện thực nghiệm tồn spin electron 151 9.2 Toán tử spin electron 153 9.3 Spin hạt 156 9.4 Những tính chất moment xung lượng toàn phần 157 9.5 Hiệu ứng Zeemann 159 BÀI TẬP CHƯƠNG 162 Chương 10 HỆ HẠT ĐỒNG NHẤT 165 10.1 Nguyên lí đồng 165 10.2 Các trạng thái đối xứng phản đối xứng 166 10.3 Nguyên lí Pauli hàm sóng hệ tương tác yếu 167 BÀI TẬP CHƯƠNG 10 168 v Bản thảo lưu hành nội Chương 11 LÝ THUYẾT NHIỄU LOẠN DỪNG 169 11.1 Đặt vấn đề 169 11.2 Nhiễu loạn dừng suy biến 170 11.3 Nhiễu loạn có suy biến 175 11.4 Hiệu ứng Stark nguyên tử Hydro 176 BÀI TẬP CHƯƠNG 11 179 Chương 12 LÝ THUYẾT CHUYỂN LƯỢNG TỬ 187 12.1 Xác suất chuyển lượng tử 187 12.2 Thuyết xạ Einstein 189 12.3 Xác suất chuyển nguyên tử trường điện từ 191 12.4 Tính hệ số Einstein 193 12.5 Quy tắc lọc lựa 194 Chương 13 LÝ THUYẾT TÁN XẠ 197 13.1 Định nghĩa tiết diện hiệu dụng 197 13.2 Biên độ tán xạ 198 13.3 Phép gần Born 200 13.4 Phương pháp sóng riêng phần 201 13.5 Hai trình tán xạ 204 PHỤ LỤC 207 TÀI LIỆU THAM KHẢO 209 vi Chương KHÔNG GIAN VECTOR VÀ TOÁN TỬ 1.1 Không gian vector Chúng ta kí hiệu X tập hợp chứa phần tử Thí dụ, tập hợp vector không gian thông thường, tập hợp hàm số liên tục, tập hợp số thực hay phức, Trường hợp số thực ta kí hiệu R, tập hợp số phức ta kí hiệu C Khi không nói rõ tập số thực hay phức, ta kí hiệu T Định nghĩa 1: X gọi không gian vector T (hay đơn giản không gian) X xác định hai phép toán phép cộng phần tử X phép nhân phần tử X với vô hướng T , thoả mãn tiên đề sau: x + y = y + x với ∀x, y ∈ X, x + (y + z) = (x + y) + z với ∀x, y, z ∈ X, Tồn phần tử ∈ X cho với ∀x ∈ X : x + = + x = x, Tồn phần tử đối (−x) ∈ X phần tử x ∈ X cho: x + (−x) = (−x) + x = 0, 1x = x với ∀x ∈ X, phần tử đơn vị tập số T, a(bx) = (ab)x với ∀x ∈ X a, b ∈ T, (a + b)x = ax + bx với ∀x ∈ X ∀a, b ∈ T, a(x + y) = ax + ay với ∀x, y ∈ X a ∈ T Các phần tử x, y, z ∈ X gọi vector không gian Bản thảo lưu hành nội Ví dụ 1: Tập hợp vector thông thường không gian R Tập hàm số biến thực (phức) không gian R (C) Định nghĩa 2: Cho hệ n vector x1 , x2 , , xn = {xn } ∈ X, vector y = a1 x1 + a2 x2 + · · · + an xn (y ∈ X, ∈ T ) (1.1) gọi tổ hợp tuyến tính vector x1 , x2 , , xn Nếu a1 x1 + a2 x2 + · · · + an xn = tồn hệ số a1 , a2 , , an khác hệ {xn } gọi phụ thuộc tuyến tính Trường hợp ngược lại ∀ai = hệ vector gọi độc lập tuyến tính Chú ý 1: Người ta chứng minh rằng: a Trong không gian X tồn hệ tối đa p vector độc lập tuyến tính Các hệ tối đa vector độc lập tuyến tính X có số vector p b Nếu thêm vào hệ p vector độc lập tuyến tính vector x ∈ X hệ (p + 1) vector phụ thuộc tuyến tính: a1 x1 + a2 x2 + · · · + ap xp + ap+1 x = với hệ số ap+1 x khác không, hay: x = a1 x1 + a2 x2 + · · · + ap xp (1.2) Từ (1.2) ta thấy khai triển vector theo hệ vector x1 , x2 , , xp cách Người ta gọi hệ sở không gian X Các hệ số a1 , a2 , , ap khai triển lúc gọi thành phần toạ độ vector x (trong hệ sở x1 , x2 , , xp cho) c Trong không gian X có nhiều hệ sở Các hệ sở X có số vertor p Người ta gọi p số chiều không gian X kí hiệu dimX = p d Bộ phận X không gian X thoả mãn tiên đề không gian vector không gian vector, gọi không gian X Người ta chứng minh dim X dim X Nếu dim X = p X ≡ X Định nghĩa 3: Trong không gian, người ta định nghĩa tích vô hướng hai vector, số, kí hiệu (x, y) ∈ T Có nhiều cách định nghĩa tích vô hướng hai vector, ta đưa hai ... x, hm tx phi cú dng cu phõn kỡ eikr tx (r ) = tim cn = tc = A() (13.6) r Nh vy, nhng khong cỏch xa tõm tỏn x (13.5) cú dng tim cn ika r (r) = e eikr + A() r (13.7) Thnh phn th nht v phi ca (13.7)... quỏt ca phng trỡnh (13.15) phi cú dng l sin(kr + l ) kr l=0 l l i = ei(kr +l ) ei(kr +l ) (2l + 1)Al Pl (cos ) 2kr l=0 = (2l + 1)Al Pl (cos ) (13.22) Cỏc h s Al phi c la chn cho hm ny cú... (cos ) l l i ei(kr ) ei(kr ) 2kr (13.23) 202 Bn tho lu hnh ni b Hiu eikz = tx phi l súng cu phõn kỡ, ngha l phi loi tt c nhng s hng dng eikr hiu trờn Mun vy (13.22) ta t Al = il eil r v nh