Chúng ta dành mục này áp dụng các phương trình Schr¨odinger để nghiên cứu các tính chất của hạt chuyển động theo phương Ox. Trong các bài toán một chiều, nghiệm của phương trình Schr¨odinger có một số tính chất cần lưu ý.
(1) Các mức năng lượng của phổ gián đoạn không suy biến.
Ta giả sử ngược lại, ứng với mức năng lượng En của phổ gián đoạn có hai hàm sóng, ψ1 và ψ2, độc lập tuyến tính, nghĩa là:
ψ100= 2m
~2
[U(x)−En]ψ1 (1) ψ200= 2m
~2 [U(x)−En]ψ2 (2)
Vì ψ1, ψ2 6= 0, chia các vế tương ứng của (1) và (2) cho nhau ψ001
ψ002 = ψ1 ψ2, hay
ψ100ψ2 −ψ1ψ200 = (ψ10ψ2−ψ1ψ20)0 = 0 Từ đây suy ra
ψ10ψ2−ψ1ψ20 = const (3)
Vì phổ năng lượng gián đoạn nên ở vô cùng ψ1, ψ2 → 0, bởi vậy const = 0 và:
ψ10 ψ1 = ψ20
ψ2
Từ đây suy ra ln(cψ1) = lnψ2, và kết quả là ψ2 = cψ1, trái với giả thiết là hệ {ψ1, ψ2} độc lập tuyến tính. Do đó mức En không suy biến.
(2)Nếu thế năng là hàm chẵn của toạ độ thì nghiệm của phương trình Schr¨odinger là hàm chẵn (hoặc lẻ) của toạ độ.
Giả sử U(x) =U(−x) và ψ(x) là hàm sóng ứng với năng lượng En. Hàm ψ(x) phải thoả mãn phương trình Schr¨odinger
ψ00(x) +2m
~2
[En−U(x)]ψ(x) = 0.
Ở vế trái của phương trình này, thay x bởi −x và chú ý rằng [ψ(−x)]0 =−ψ0(−x), [ψ(−x)]00= [−ψ0(−x)]0 =ψ00(−x).
Cho nên ψ00(−x) + 2m
~2
[En−U(−x)]ψ(−x) =ψ00(−x) + 2m
~2
[En−U(x)]ψ(−x) (4) Nếu ψ(−x) =±ψ(x) thì (4) trở thành
±{ψ00(x) +2m
~2 [En−U(x)]ψ(x)}= 0
Thành thử ψ(x) và ψ(−x) đều mô tả trạng thái ứng với năng lượng En của hạt, và vì ψ(−x) =±ψ(x) nên hàm ψ(x) phải là hàm chẵn (hoặc lẻ) của toạ độ.
Sau đây chúng ta xét một vài bài toán đơn giản.
1. Hạt chuyển động trong “giếng thế” sâu vô hạn
Xét chuyển động một chiều của hạt khối lượngmtrên trục 0x trong một trường thế có dạng một “giếng” sâu vô hạn không đối xứng, bề rộng a:
U(x) =
0 khi 06 x6a
∞ khix <0, x > a (5.26) Hạt sẽ chuyển động tự do trong khoảng 0 6 x 6 a, còn ngoài khoảng đó vì U =∞ nên không có hạt và vì vậy ψ(x)≡ 0.
ψ(0) =A sin 0 +B cos 0 = 0 ψ(a) =A sin(ka) +B cos(ka) = 0
Từ đây rút ra B = 0, ka=nπ (n = 1,2,3, ... vì k >0) và năng lượng:
En = n2π2~2
2ma2 (5.28)
Chuyển động của hạt ở trong “giếng” được mô tả bởi phương trình Schrodinger:
ψ00(x) +k2ψ(x) = 0, k=
√2mE
~ (5.27)
Nghiệm của phương trình (5.27) có thể tìm dưới dạng:
ψ(x) = Asin(kx) +Bcos(kx)
Từ tính liên tục của hàm sóng tại các điểm x= 0 và x=a (do ở các điểm đó thế năng có bước nhảy vô hạn nên không xét tính liên tục của ψ0(x), ta thu được hệ phương trình tuyến tính cho các biên độA và B:
Hình 5.3: “Giếng thế” sâu vô hạn một chiều không đối xứng.
Thành thử năng lượng của hạt trong “giếng thế” bị lượng tử hoá, nó có phổ gián đoạn và tỉ lệ với bình phương số lượng tử n.
Hàm sóng mô tả chuyển động của hạt ứng với số lượng tử n là hàm sóng lẻ ψn(x) =
s2
asinnπx
a , n= 1,2,3, ... (5.29) Trong đó hệ số chuẩn hoá A=
s2
a tìm từ điều kiện chuẩn hóa
a Z
0
|ψn(x)|2dx= 1
2. Hạt truyền qua “hàng rào thế năng”
Ta xét một “hàng rào” thế năng một chiều được xác định như sau (Hình 5.4):
U(x) =
0 x <0 (miền I) U0 06x6 a (miền II) 0 x > a (miền III)
Theo cơ học cổ điển, một hạt truyền từ phía trái sang phía phải có năng lượng E > U0 sẽ truyền qua hàng rào thế, không bị phản xạ trở lại. Còn nếu năng lượng của hạt E < U0, hạt sẽ bị phản xạ toàn phần bởi hàng rào thế.
Ta giải bài toán theo cơ học lượng tử và đặc biệt chú ý trường hợp E < U0.
Hình 5.4:Electron có năng lượng E thấp hơn hàng rào thế tới hàng rào thế từ phía trái. Nó có xác suất phản xạ bởi hàng rào thế là R và xác suất truyền qua hàng rào thế do hiệu ứng đường hầm là Q. Hình phía dưới mô tả mật độ xác suất của electron ở phía trước và phía sau hàng rào. Các “vân” ở phía trái biểu diễn sự giao thoa của sóng tới và sóng phản xạ.
Phương trình Schr¨odinger mô tả chuyển động của hạt ở các miền có dạng:
ψ00+k02ψ = 0 (miền I) (5.30)
ψ00−k2ψ = 0 (miền II) (5.31)
ψ00+k02ψ = 0 (miền III) (5.32) Ở đây :
k0 =
√ 2mE
~
, k =
q2m(U0−E)
~
(5.33) Nghiệm của phương trình (5.30) có dạng:
ψI = eik0x+Ae−ik0x (5.34) Số hạng đầu trong (5.34) tương ứng với sóng tới, số hạng thứ hai tương ứng với sóng phản xạ bởi hàng thế. Ta chọn cường độ sóng tới bằng đơn vị, cho nên hệ số của eik0x được đặt bằng 1 (cường độ sóng tới =|ψT|2 =|eik0x|2 = 1).
Nghiệm của (5.31):
ψII =Bekx+Ce−kx (5.35)
Nghiệm của (5.32):
ψIII =Deik0x (5.36)
Ở miền III chỉ có sóng truyền qua, không có sóng phản xạ, do đó không có mặt số hạng tỉ lệ với e−ik0x.
Ở các điểm x= 0 và x =a thế năng có các bước nhảy hữu hạn, do đó cả ψ(x) lẫn ψ0(x) đều liên tục:
ψI(0) =ψII(0), ψ0I(0) =ψII0 (0), ψII(a) =ψIII(a), ψII0 (a) =ψIII0 (a) Ta có:
1 +A = B +C
ik0(1−A) = k(B −C) Beka+Ce−ka = Deik0a k(Beka−Ce−ka) = ik0Deik0a
(5.37)
Giải hệ phương trình này ta sẽ tìm được các giá trị của các hệ số A, B, C, D.
Ta gọi:
R = Cường độ sóng phản xạ
Cường độ sóng tới = Hệ số phản xạ bởi hàng rào thế.
R =
ψP X ψT
2
=
Ae−ik0x eik0x
2
= |A|2 (5.38)
Và:
Q= Cường độ sóng truyền qua
Cường độ sóng tới = Hệ số truyền qua hàng rào thế.
Q =
ψQ ψT 2
=
Deik0x eik0x
2
=|D|2 (5.39)
Ở đây ta sẽ chú ý đặc biệt đến hệ số truyền qua Q =|D|2 = |Deik0a|2, do đó ta cần tính toán cho Deik0a:
Deik0a = 4ikk0
(ik0+k)2e−ka −(ik0−k)2eka (5.40) Trong các trường hợp hay gặp ka 1, khi đó có thể bỏ qua e−ka so với eka, và:
Deik0a =− 4ikk0
(ik0−k)2e−ka (5.41)
Q= |D|2 =|Deik0x|2 = 16
ikk0 (ik0−k)2
2
e−2ka = 16
k
k0 + kk02 e−2ka
Trong đó
Q0 = 16
k
k0 + kk02 vào cỡ hàng đơn vị.
Như vậy hệ số truyền qua phụ thuộc vào bề dàya và chiều cao (U0−E) của hàng rào thế.
Q6= 0 chứng tỏ rằng hạt vẫn đi qua hàng rào thế trong trường hợp E < U0. Hiện tượng hạt đi qua hàng rào thế với năng lượng thấp hơn thế năng cản (hàng rào) được gọi là hiệu ứng đường hầm.
Hình 5.5:Hàng rào thế có dạng U =U(x) trong khoảng [a, b].
Q =Q0exp{−2a
~
q
2m(U0−E)} (5.42)
Trên thực tế, hàng rào thế không phải có dạng hình chữ nhật đơn giản như vừa xét, mà có dạng một đường cong phức tạp biểu diễn bởi phương trình U = U(x) nào đó trải từ điểm x=a đến điểm x=b (Hình 5.5).
Khi đó phân tích diện tích giới hạn bởi đường cong thành các hình chữ nhật nguyên tố có bề rộngdx, ta sẽ đi đến công thức suy rộng sau cho hệ số truyền qua:
Q=Q0exp
−2
~
b Z
a q
2m[U(x)−E]dx
(5.43) Ta thấy ~ rất nhỏ, do đó (5.42) chỉ đáng kể khi aqm(U0−E) rất nhỏ. Bởi vậy hiệu ứng đường hầm chỉ được áp dụng khi nghiên cứu các đối tượng hạt nhân, nguyên tử. Trong thế giới vĩ mô hiệu ứng này không biểu hiện.
3. Dao động tử điều hoà
Chúng ta hãy xét bài toán kinh điển quan trọng, nghiên cứu chuyển động của hạt vi mô khối lượng m quanh một vị trí cân bằng dưới tác dụng của lực đàn hồi Fx = −kx. Nhiều hệ trong vật lí nguyên tử và hạt nhân được xem như tập hợp các dao động tử điều hoà loại như bài toán ta đang xét.
Thế năng của lực đàn hồi có thể lấy là:
U = −
x Z
0
Fxdx=
x Z
0
kxdx = kx2
2 = mω2x2
2 (5.44)
Trong đó ω=
sk
m là tần số góc của dao động.
Chúng ta giải phương trình Schr¨odinger:
ψ00(x) +2m
~2
"
E − mω2x2 2
#
ψ(x) = 0 (5.45)
Phương trình (5.45) có thể đưa về phương trình không thứ nguyên bằng cách đặt:
ξ = x
smω
~
, ε= 2E
~ω (5.46)
Lúc đó (5.45) sẽ được đưa về dạng:
ψ00(ξ) + (ε−ξ2)ψ(ξ) = 0 (5.47) Phương trình (5.47) có một điểm kỳ dị tại ∞. Ta hãy tìm dáng điệu của ψ(ξ) ở lân cận điểm này.
Khi ξ đủ lớn, có thể bỏ qua số hạng εψ(ξ) trong vế trái của (5.47)
ψ00(ξ)−ξ2ψ(ξ) = 0 (5.48) Nghiệm thô thiển của (5.48) là ψ(ξ) ∼ exp{±ξ2
2}.
Những nghiệm chấp nhận được về mặt vật lí là ψ(ξ) phải hữu hạn ở điểm ξ =∞, do đó thử đặt:
ψ(ξ) =y(ξ) exp{−ξ2
2 } (5.49)
Thay (5.49) vào (5.47), ta được phương trình cho hàm y(ξ)
y00−2ξy0+ (ε−1)y = 0 (5.50) Ta tìm nghiệm của (5.50) dưới dạng chuỗi luỹ thừa:
y =
∞ X k=0
akξk; y0 =
∞ X k=0
kakξk−1 =
∞ X k=0
(k+ 1)ak+1ξk; y00 =
∞ X k=0
(k+ 1)kak+1ξk−1 =
∞ X k=0
(k+ 2)(k+ 1)ak+2ξk
(5.51)
Thay (5.51) vào (5.50) và nhóm các hệ số của ξk lại:
∞ X k=0
{(k+ 2)(k+ 1)ak+2−(2k+ 1−ε)ak}ξk = 0 (5.52) Vì hệ các hàm số {ξk} là hệ các hàm số độc lập tuyến tính, nên từ (5.52) suy ra hệ thức truy toán cho các hệ số ak:
ak+2 = 2k+ 1−ε
(k+ 2)(k+ 1)ak (5.53)
Theo tính chất 2 của mục 5.3, thế năngU = ~ω
2 ξ2là hàm chẵn của toạ độ, bởi vậy hàm (5.49) phải là hàm chẵn (hoặc lẻ) của ξ. Phù hợp với điều ấy, chuỗi luỹ thừa (5.51) phải là chuỗi luỹ thừa bậc chẵn (hoặc lẻ) củaξ, bởi vì hàm exp
(
−ξ2 2
)
là hàm chẵn của ξ.
Do đó từ (5.53) suy ra, nếu a0 6= 0 thì a1 = 0, hoặc a1 6= 0 thì a0 = 0.
Trước hết coi chuỗi (5.53) là chuỗi chẵn, cho nên trong (5.53) thayk → 2(k−1):
a2k = 4k−(3 +ε)
2k(2k−1) a2(k−1) Khi k đủ lớn:
a2k = 4k−(3 +ε)
2k(2k−1) a2(k−1) ∼ 1
ka2(k−1) Từ đây suy ra:
a2k ∼ 1 k!a0
Như vậy chuỗi (5.51) có dáng điệu giống hàm a0expξ2: y(ξ) =Xakξk ∼ a0X
k
1
k!ξ2k ∼ a0expξ2
Tương tự như vậy nếu coi chuỗi (5.51) là chuỗi lẻ thì chứng minh được chuỗi lẻ có dáng điệu giống hàm a1ξexpξ2.
Lúc đó, ở lân cận điểm ξ =∞ hàm sóng ψ(ξ) cho bởi (5.49) có dạng:
ψ(ξ) =y(ξ) exp −ξ2 2
!
∼
expξ2
2 (a0 6= 0) → ∞ ξexpξ2
2 (a1 6= 0) → ∞
Điều kiệnψ(∞) triệt tiêu bắt buộcy(ξ) phải trở thành đa thức, nghĩa là chuỗi (5.51) phải ngắt ở kmax= n (n= 0,1,2, ...) nào đó. Nghĩa là
a0 (hoặc a1), . . . , ak, . . . , akmax =an 6= 0, còn an+2, an+4, . . . ≡0.
Trong (5.53) nếu đặt k =n thì an+2 = 0 và suy ra:
ε= 2n+ 1 = εn = 2En
~ω Từ đây rút ra biểu thức của năng lượng:
En = ~ω n+ 1 2
!
(n = 0,1,2, ...) (5.54)
Như vậy năng lượng của dao động tử bị lượng tử hoá, nó phụ thuộc vào số lượng tử n (n = 0,1,2, ...). Trạng thái của dao động tử lượng tử ứng với n = 0 được gọi là trạng thái cơ bản. Khi thay ε−1 = 2n vào (5.50), phương trình (5.50) trở thành:
y00−2ξy0+ 2ny = 0 (5.55)
(5.55) được gọi là phương trình vi phân Hermite, nghiệm của phương trình này là đa thức Hermite y = Hn(ξ) bậc n của ξ. Nếu ta ký hiệu [n/2] là phần nguyên không vượt quá n/2, thì biểu thức của Hn(ξ) là:
Hn(ξ) = (−1)neξ2 dn
dξne−ξ2 =
[n/2]
X k=0
(−1)k n!
k!(n−2k)!(2ξ)n−2k (5.56) Sau đây là một số đa thức Hermite đầu tiên:
H0(ξ) = 1; H1(ξ) = 2ξ; H2(ξ) = 4ξ2−2; H3(ξ) = 8ξ3−12ξ Nghiệm của (5.47) có kể đến (5.49) và (5.56) là hàm sóng:
ψn(ξ) =Anexp −ξ2 2
!
Hn(ξ); An = 1
√2nn!
mω
~π
1/4
(5.57) Hàm số ψn(ξ) là hàm chẵn lẻ cùng với n và thỏa mãn điều kiện trực chuẩn:
AnAm s
~ mω
∞ Z
−∞
e−ξ2Hn(ξ)Hm(ξ)dξ =δnm (5.58) Nếu trở về biến xthì hàm sóng chuẩn hóa của dao động tử điều hoà lượng tử có dạng:
ψn(x) = 1
√2nn!
mω
~π
1/4
exp
−mω 2~
x2
Hn x
smω
~
!
(5.59)