Chương 2. HỆ TIÊN ĐỀ THỨ NHẤT CỦA CƠ HỌC LƯỢNG TỬ 31 2.1. Lưỡng tính sóng hạt của chuyển động vật chất
2.5. Xác suất các trạng thái lượng tử
Ta giả thiết hệ lượng tử ở trạng thái được mô tả bởi hàm xác định ψ nào đó.
Do tác động của các hệ khác, hệ lượng tử của chúng ta có thể ở trong các trạng thái ψ1, ψ2, ..., ψn (Các trạng thái liên kết giữa các hệ tương tác). Để đơn giản lập luận và thấy rõ ngay vấn đề, ta giả thiết thêm, hệ ψ1, ψ2, ..., ψn là hệ trực chuẩn, đủ.
Theo nguyên lí chồng chất các trạng thái, chúng ta có thể khai triển hàm ψ theo hệ {ψn}=ψ1, ψ2, ..., ψn
ψ =X
n
cnψn (hoặc
Z
cfψfdf) (2.14)
Với (ψn, ψn0) =δnn0 (nếu phổ n là rời rạc), hoặc (ψf0, ψf) =δ(f −f0) (nếu phổ f là liên tục).
(2.15) Vì hàm ψ và các hàm{ψn} là các phần tử của không gian Hilbert các hàm số liên tục, nên hệ các hàm trực chuẩn, đủ {ψn} có thể coi là cơ sở của không gian Hilbert này. Vì vậy (2.14) chính là khai triển một vector của không gian Hilbert theo hệ cơ sở của nó.
Với các hàm ψ,{ψn} xác định, khai triển (2.14) là duy nhất, và cn =
Z
ψn∗ψdq = (ψn, ψ) (2.16) Nếu hàmψ được chuẩn hoá ((ψ, ψ) = 1), thì:
X n
|cn|2 = 1 (2.17)
Đại lượng|cn|2 có ý nghĩa như một xác suất (mật độ xác suất, nếu phổ n liên tục).
Ở mục 2.3 ở trên chúng ta đã phân tích rằng, về ý nghĩa nào đó hàm ψ mô tả một trạng thái trung gian (hoặc pha trộn) giữa các trạng thái ψ1, ψ2, ... và càng gần với tính chất của một trong các trạng thái ấy nếu "trọng số" của trạng thái ấy càng lớn. Hơn nữa, trong khai triển (2.14) và biểu thức của cn cho bởi (2.16), cn xác định duy nhất bởi hàm ψ và hàm ψn. Bởi vậy ta có thể liên hệ "trọng số" của trạng thái ψn với đại lượng |cn|2 và có thể coi |cn|2 là xác suất để hệ lượng tử ψ chuyển về nằm ở trạng thái ψn.
Trở về trường hợp tổng quát hơn, chúng ta thừa nhận rằng, nếu hệ lượng tử ở trạng thái được mô tả bởi hàm ψ khi tương tác với các hệ khác (vi mô hoặc vĩ mô) hệ sẽ chuyển sang các trạng thái khả dĩ ψ1, ψ2, ... xác định bởi tương tác ấy, thì đại lượng |cn|2 trong khai triển ψ = c1ψ1+c2ψ2+...+cnψn +... tỉ lệ với xác suất để hệ lượng tử ψ chuyển sang nằm ở trạng thái ψn.
BÀI TẬP CHƯƠNG 2
2.1. Dựa vào các công thức (2.1), (2.2) và hệ thức tán sắc của ánh sáng trong chân khôngνλ= c, hãy xác định năng lượng, khối lượng và xung lượng của photon có bước sóng tương ứng trong dải:
a) Ánh sỏng trụng thấy λ= 0.55àm.
b) Bức xạ R¨oentgen λ = 2.5nm.
c) Bức xạ Gamma λ = 0.1nm.
2.2. Bỏ qua hiệu ứng tương đối tính và vận tốc ban đầu của electron, áp dụng công thức (2.4), (2.5) và mối liên hệ p=mv =√
2mE, xác định bước sóng và tần số sóng De Broglie của:
a) Electron bay qua hiệu điện thế 1V, 1000V; b) Electron có vận tốc 108m/s;
c) Viên đạn khối lượng 15g chuyển động với vận tốc 400m/s.
2.3. Phải đặt một hiệu điện thế bằng bao nhiêu để electron có bước sóng De Broglie vào cỡ bước sóng của bức xạ R¨oentgen λ = 1nm?
2.4. “Bó sóng” là tập hợp các sóng phẳng có các vector sóng~k hướng dọc trục Oz và có các giá trị nằm trong khoảng k0−∆k đến k0+ ∆k:
ψ(z, t) =
k0+∆k Z
k0−∆k
A(k) exp{i(kz −ωt)}dk (2.18) Đưa vào biến số mới ξ = k −k0, khai triển ω(k) và A(k) theo chuỗi các luỹ thừa của ξ và chỉ giới hạn nhiều nhất là hai số hạng của chuỗi. Hãy tính ψ(z, t)?
Giải:
Khai triển ω(k) =ω(k0) + dω dk
!
0
∆k và A(k) ≈ A(k0) thì
ψ(z, t) = 2A(k0)sinhz−dωdk
0ti∆k z−dωdk
0t exp{i(k0z−ω0t)} (2.19) 2.5. Trong (2.19), nhân số đứng trước hàm dao động nhanh exp{i(k0z−ω0t)}
có thể coi là biên độ của nó:
B = 2A(k0)sinhz −dωdk
0ti∆k z−dωdk
0t = 2A(k0)sinq
q ∆k (2.20)
là hàm biến đổi chậm theo t, còn q =
"
z− dω dk
!
0
t
#
∆k (2.21)
Hàm B = B(q) có cực đại chính tại q = 0, tức là tại điểm zM, zM = 0 nếu t= 0, zM = dω
dk
!
0
t nếu t6= 0.
Sát cực đại chính, B triệt tiêu tại hai điểm q = ±π, tức là tại các điểm zP và zQ:
zP,Q =± π
∆k + dω dk
!
0
t (2.22)
Các cực đại khác rất nhỏ so với cực đại chính, nên ta có thể coi “bó sóng” hầu như tập trung trong khoảng không gian giới hạn bởi hai điểm zP và zQ.
∆z =zP −zQ = 2π
∆k (2.23)
Từ (2.23) ta suy ra độ tản mạn của các giá trị xung lượng (∆p) càng nhỏ thì kích thước của “bó sóng” (∆z) càng lớn và ngược lại. Nếu để ý để ý rằng ∆k = ∆p thì ~
∆z∆p=~ (2.24)
Theo thời gian, điểm trung bình của “bó sóng”, tương ứng với giá trị cực đại chính của biên độ sẽ dịch chuyển trong không gian với vận tốc:
vg = dω dk
!
0
, (2.25)
gọi là vận tốc nhóm. Sử dụng (2.4) và (2.5) ta tìm được vg = v, trong đó v = p m là vận tốc của hạt. Như vậy “bó sóng” chuyển động với vận tốc của hạt. Hơn nữa có thể lập được các “bó sóng” có kích thước không gian (∆z) có cỡ kích thước của hạt. Như thế có thể cho rằng “bó sóng” chính là hạt được không?
2.6. Trong khai triển A(k) và ω(k) thành chuỗi luỹ thừa của (k− k0), nếu giữ lại nhiều hơn hai số hạng, người ta thấy rằng tuy cực đại chính của “bó sóng”
chuyển động với vận tốc của hạt, nhưng “bó sóng” không bảo toàn dạng và kích thước. Thời gian để “bó sóng” nở ra gấp đôi vào cỡ τ ∼ m
~
(∆z)2.
Ở đây ∆z là kích thước không gian của “bó sóng” ở phép gần đúng cấp 1, và cũng vào cỡ kích thước của hạt.
1) Tính τ đối với vật vĩ mô có m= 1g và ∆z = 0.1cm?
2) Tính τ đối với vật vi mô có m= 10−27g và ∆z = 10−13cm?
3) So sánh hai kết quả?
2.7. Chuyển động của một hạt có thể được mô tả bởi các hàm sóng:
ψn(x) =Asin nπ
a x (06x 6a, n = 1,2, . . .).
1. Hãy chuẩn hoá các hàm ψn?
2. Tính mật độ xác suất để tìm thấy giá trị x của toạ độ của hạt nằm ở trạng thái được mô tả bởi số lượng tử n= 3?
3. Tính xác suất tìm thấy hạt ở trạng thái mô tả bởi số lượng tử n = 1 trong đoạn x∈[a/4, a/2]?
Giải:
1. Phổ của số lượng tử n là rời rạc, do đó ta chuẩn hoá hàm ψn về đơn vị:
a Z
0
|ψn|2dx= 1 và A=
s2 a
2. Mật độ xác suất để tìm thấy giá trị x của toạ độ của hạt nằm trong trạng thái ψ3 =Asin 3π
a x (n = 3) là
%3(x) =|ψ3|2 = 2
asin23π a x
3. Hàm sóng của hạt nằm trong trạng thái mô tả bởi số lượng tử n = 1 là ψ1 = Asin π
ax. Vì vậy mật độ xác suất để tìm thấy giá trị x của toạ độ của hạt nằm trong trạng thái này là
%1(x) =|ψ1|2 = 2
asin2 π ax Xác suất tìm thấy hạt trong đoạn [x, x+dx] là
dW(x) =%1(x)dx
Còn xác suất tìm thấy hạt trong đoạn x∈[a/4, a/2] là W =
a/2 Z
a/4
%1(x)dx=
a/2 Z
a/4
2
asin2 πx
a dx= π+ 2
4π ≈ 0.40915 2.8. Chuyển động của một hạt có thể mô tả bởi các hàm sóng:
ψ~p(~r) =Apexp
(i
~
~ p~r
)
(0 6p, r < ∞) Hãy tìm hệ số chuẩn hoá Ap?
Giải:
Trường hợp này phổ của ~plà liên tục, do đó phải chuẩn hoá hàm ψ~p về δ-hàm:
Z
ψ∗~
p0(~r)ψ~p(~r)dV = δ(px−p0x)δ(py−p0y)δ(pz−p0z)
= |Ap|2 Y
k=x,y,z Z∞
−∞
exp
(i
~
(pk−p0k)k
)
dk
= (2π)3|Ap|2δ px−p0x
~
!
δ py −p0y
~
!
δ pz−p0z
~
!
= (2π~)3|Ap|2δ(px−p0x)δ(py −p0y)δ(pz−p0z) Từ đây ta tính được hệ số chuẩn hóa:
Ap = 1
q(2π~)3 2.9. Chứng minh công thức
2π Z
0
ei(m−n)xdx= 2πδmn (m, n∈ Z) (2.26)
2.10. Tính các hệ số chuẩn hóa của các hàm (06 ϕ6 2π):
a) cosϕ, b) sin2ϕ, c) cos3ϕ, d) sin4ϕ, e) 2 sin2ϕ+ 3 cos3ϕ?
Hướng dẫn:
Việc tính các hệ số chuẩn hóa của hàm Φ(ϕ) dựa vào hệ thức chuẩn hóa:
2π Z
0
|Φ(ϕ)|2dϕ = 1
Thay các hàm lượng giác sinϕ và cosϕ bằng các hàm exponent e±iϕ: cosϕ = eiϕ+e−iϕ
2 , sinϕ = eiϕ−e−iϕ
2i (2.27)
Áp dụng công thức nhị thức Newton (a+b)n =
n X k=0
Cnkan−kbk =
n X k=0
n!
(n−k)!k!an−kbk (2.28) rồi tính các tích phân dựa vào (2.26).
Thí dụ, việc chuẩn hóa hàm sóng sin2ϕ dựa vào hệ thức A2
2π Z
0
sin4ϕdϕ = 1 sẽ dẫn đến việc tính tích phân
2π Z
0
e4iϕ−4e3iϕ+ 6−4e−3iϕ+e4iϕ
16 dϕ = 3π
4 Từ đây chúng ta tính được hệ số chuẩn hóa:
A = 2
√3π
2.11. Chuẩn hóa các hàm sóng (0 6ϕ 6 2π, n∈ N):
a) Asinnϕ, b) Bcosnϕ?
Giải:
Chúng ta sẽ tính hệ số chuẩn hóa A, hệ số chuẩn hóa B tính tương tự.
Sử dụng (2.27) để biến đổi A2
2π Z
0
sin2nϕ dϕ = A2 (2i)2n
2π Z
0 2n X k=0
(−1)kC2nk e2i(n−k)ϕdϕ = 1
Áp dụng (2.28) chúng ta thấy chỉ có một tích phân ứng vớik = n là khác 0 (ở bài toán này có thể sử dụng “sàng” Passcal để “sàng” lấy hệ số tự do trong tổng nhị thức). Như vậy:
2π(2n)!A2 22n(n!)2 = 1 Từ đây rút ra A.
Tương tự:
B = 2nn!
q2π(2n)! =A (2.29)
CỦA CƠ HỌC LƯỢNG TỬ
3.1. Các đại lượng động lực và các toán tử
1. Chúng ta đã biết, một trong những đặc điểm rất đặc trưng để nhận biết các tính quy luật khách quan của các tính chất, hiện tượng của thế giới vi mô là sự cần thiết phải đưa vào sử dụng các "dụng cụ" hay các "máy đo"; điều đó có nghĩa là sử dụng các công cụ nào đó để tác động vào các đối tượng vi mô, mà kết quả là, do sự tương tác của hệ vi mô với máy đo sẽ đưa đến sự thay đổi các trạng thái của cả hệ vi mô lẫn trạng thái của máy đo, phản ảnh độ lớn của tương tác. Qua đó người ta nói rằng, đại lượng vật lí cần xác định đã được đo và máy đo cho phép ta xác định được độ lớn của đại lượng vật lí này.
Ứng với mỗi trạng thái xác định của hệ lượng tử (trạng thái liên kết hệ lượng tử và máy đo), phép đo cho chúng ta một số đo xác định. Ngược lại, có thể đặc trưng cho trạng thái của hệ bằng tập các số đo các đại lượng vật lí khác nhau.
Trong cơ học cổ điển, trạng thái của hệ có thể xác định bằng tập các toạ độ và xung lượng. Các đại lượng vật lí này đủ để đặc trưng cho trạng thái của hệ cơ học và được gọi là các đại lượng động lực của cơ học. Trong cơ học lượng tử, các đại lượng vật lí có vai trò tương tự cũng được gọi là các đại lượng động lực của cơ học lượng tử.
2. Trong các phép đo các đại lượng động lực, cần chú ý rằng, do sự tương tác giữa hệ vi mô và hệ máy đo, hệ vi mô cần nghiên cứu cũng sẽ chịu tác dụng của tương tác, kết quả là, ở mỗi phép đo, hệ lượng tử sẽ ở trong một trạng thái liên kết hệ lượng tử - máy đo xác định và phép đo cho chúng ta một giá trị xác định của đại lượng vật lí cần đo. Trong phép đo tiếp theo, hệ lượng tử sẽ chuyển sang trạng thái mới và máy đo cho chúng ta giá trị mới của phép đo. Giả sử sau một số lần đo đủ lớn, hệ chuyển sang dãy tương ứng các trạng thái ψ1, ψ2, . . . , ψn. Để đơn
giản cho lí luận, ta giả thiết các hàm này độc lập tuyến tính từng đôi, và là tất cả các trạng thái khả dĩ, không có trạng thái nào khác ngoài n trạng thái này. Tương ứng với mỗi lần đo ta được một trị số của đại lượng F, và n lần đo đại lượng F, sẽ được dãy các trị số f1, f2, ..., fn khác nhau từng đôi. Từ lần thứ n+ 1 trở đi, các kết quả đo lại lặp lại một trị số của dãy trên và hệ lại rơi vào một trong n trạng thái ψ1, ψ2, . . . , ψn ban đầu. Như vậy, khi số lần đo đủ lớn, chúng ta đã phải tính đến xác suất để đo F được một giá trị nào đó (trong dãy trị số trên) và tương đương với điều ấy là xác suất để hệ lượng tử nằm ở trạng thái đã cho số đo trên.
3. Hơn nữa, trong hàng loạt thí nghiệm khi đo các đại lượng vật lí, người ta thấy rằng phổ các đại lượng này có thể rời rạc, có thể liên tục hoặc vừa rời rạc vừa liên tục từng khoảng. Khi nghiên cứu về các toán tử, người ta cũng thấy phổ các giá trị riêng của các toán tử cũng có các tính chất tương tự. Bởi vậy, người ta đã đối ứng các giá trị các phép đo các đại lượng vật lí với các giá trị riêng của các toán tử, đối ứng các đại lượng vật lí xác định với một toán tử xác định.
Để áp dụng được nguyên lí chồng chất các trạng thái, các toán tử phải tuyến tính và để các giá trị riêng của toán tử là thực thì các toán tử phải Hermite. Do đó trong cơ học lượng tử người ta chỉ sử dụng các toán tử tuyến tính - Hermite.
Trong quá trình xây dựng cơ học lượng tử người ta thừa nhận tiên đề sau:
"Mỗi đại lượng vật lí F trong cơ học lượng tử được biểu diễn bằng một toán tử tuyến tính, Hermite Fˆ.
Trong phép đo đại lượng vật lí F hệ lượng tử nằm ở trạng thái ψ(q, t) nào đó ở thời điểm t, để được một số đo xác định, hệ lượng tử sẽ chuyển về nằm ở trạng thái liên kết máy đo - hệ lượng tử. Trạng thái liên kết này được mô tả bởi hàm riêng ψn(q, t) của toán tử Fˆ tương ứng với giá trị riêng fn.
Giá trị riêng fn là số đo fn của phép đo đại lượng vật lí F. Tập các giá trị riêng fn được gọi là phổ (giá trị riêng) của toán tử Fˆ. Phổ của các toán tử có thể rời rạc, cũng có thể liên tục".
Từ tiên đề này chúng ta rút ra các kết luận sau:
(i) Phương trình cho hàm riêng và giá trị riêng của toán tử ˆF:
F ψˆ n(q, t) =fnψn(q, t) (3.1) mô tả phép đo đại lượng vật lí F để có số đo fn. Trong phép đo đó, hệ lượng tử chuyển từ trạng thái ψ(q, t) nào đó về nằm ở trạng thái liên kết ψn. Trường hợp
phép đoF không thực hiện được thì khi liên kết với hệ máy đo, hệ lượng tử không chuyển về trạng thái ψn.
(ii) Hệ các hàm riêng {ψn} của toán tử Hermite ˆF là một hệ cơ sở trực chuẩn đủ của không gian Hilbert các hàm trạng thái ((ψn, ψm) =δnm), vì vậy trạng thái ψ tùy ý (đã được chuẩn hóa) có thể khai triển duy nhất theo hệ cơ sở này:
ψ =X
n
cnψn (3.2)
Từ hệ tiên đề thứ nhất, ta đã nói rằng |cn|2 là xác suất để hệ ψ nằm ở trạng tháiψn ứng với phép đo F để được số đo fn, vì vậy có thể suy ra rằng |cn|2 là xác suất để đo được số trịfn của đại lượng vật lí F của hệ lượng tử.
(iii) Vì hệ {ψn} là trực chuẩn đủ, dễ dàng rút ra:
cn =
Z
ψn∗ψdq = (ψn, ψ) (3.3)
Như vậy, trong trường hợp phổ của ˆF là rời rạc, xác suất để đo được giá trịfn xác định của đại lượng vật lí F của hệ lượng tử (tương ứng với toán tử ˆF) trong trạng thái được mô tả bởi hàm sóngψ(q) nào đó (cũng là xác suất để hệ lượng tử ψ(q) chuyển về nằm ở (xẹp xuống) trạng thái ψn) sẽ được tính bởi công thức:
W(fn) =|cn|2 =
Z
ψn∗(q)ψ(q)dq
2
(3.4) Còn trong trường hợp phổ của ˆF là liên tục, xác suất để đo đại lượng F trong trạng thái ψ(q) để được giá trị từ f đến f +df sẽ là
dW(f) =|cf|2df =
Z
ψf∗(q)ψ(q)dq
2
df (3.5)
và |cf|2 có ý nghĩa là mật độ xác xuất.
(iv) Nếu hệ lượng tử chỉ ở trong trạng thái được mô tả bởi hàm sóng ψ ≡ψn là hàm riêng của toán tử ˆF ứng với trị riêng fn thì đại lượng vật lí F có giá trị xác định và lần nào đo cũng được trị số fn.
(v) Nếu hệ lượng tử ở trạng thái mô tả bởi hàm sóngψ 6={ψn} (n = 1,2, . . .), các số đo fn của đại lượng F có xác suất đo là |cn|2. Theo lí thuyết xác suất, các số đo fn (n= 1,2, . . .) sẽ có trị trung bình.
F¯ =X
n
W(fn)fn =X
n
c∗ncnfn (3.6)
Ta sẽ biểu diễn ¯F qua hàm ψ bằng cách biến đổi (3.6) như sau:
F¯ = X
n
c∗ncnfn =X
n Z
ψ∗ψndq
cnfn =
Z
ψ∗ X
n
cnfnψn
!
dq
=
Z
ψ∗X
n
cnF ψˆ ndq =
Z
ψ∗Fˆ X
n
cnψn
!
dq =
Z
ψ∗F ψdqˆ = (ψ,F ψ).ˆ Bởi vậy
F¯ =
Z
ψ∗F ψdqˆ = (ψ,F ψ) khiˆ ψ đã chuẩn hoá (3.7) F¯ =
R ψ∗F ψdqˆ
R ψ∗ψdq = (ψ,F ψ)ˆ
(ψ, ψ) khi ψ chưa chuẩn hoá (3.8) Nếu ψ ≡ ψn, (3.7) rút về trường hợp (iv)
F¯ =
Z
ψ∗F ψdqˆ =fn
Z
ψ∗ψdq = fn; nghĩa là ¯F ≡ fn
4. Từ tiên đề trên chúng ta thấy rằng cần phải đối ứng đại lượng vật lí F với toán tử ˆF nào đó. Như vậy nếu nghiên cứu năng lượng của hệ, cần phải biết toán tử Hamilton, còn nếu nghiên cứu xung lượng của hệ, cần phải biết toán tử xung lượng vv... Vấn đề đặt ra là dạng tường minh của các toán tử tương ứng với các đại lượng vật lí cần nghiên cứu sẽ viết như thế nào? Việc xây dựng dạng của các toán tử phải dựa trên các cơ sở:
(i) Cơ học lượng tử xây dựng trên cơ sở của cơ học cổ điển, bởi vậy những đại lượng vật lí của cơ học lượng tử phải trùng với các đại lượng vật lí cổ điển, trong những điều kiện mà hệ lượng tử được coi như hệ cổ điển.
(ii) Các phương trình toán tử chính là các phương trình chuyển động của cơ học lượng tử. Các kết quả rút ra từ các phương trình này phải được thực tế kiểm nghiệm.
(iii) Phương trình toán tử (2.6) mô tả chuyển động tự do của hạt với năng lượng E là phương trình cho hàm riêng và trị riêng của toán tử Hamilton Hˆ = − ~2
2m∇2. Dạng của toán tử Hˆ trong các trường lực khác nhau, trong trường hợp không có tương tác phải chuyển về dạng (2.6).
Người ta đưa ra tiên đề sau thoả mãn được những yêu cầu trên:
Các hệ thức liên hệ giữa các toán tử cũng giống như các hệ thức liên hệ giữa các đại lượng vật lí tương ứng trong cơ học cổ điển.