Chương 3. HỆ TIÊN ĐỀ THỨ HAI CỦA CƠ HỌC LƯỢNG TỬ 45 3.1. Các đại lượng động lực và các toán tử
3.3. Nguyên lí bất định và các hệ thức ước lượng độ bất định
Như đã phân tích ở mục 2.3, cơ học lượng tử thừa nhận những trạng thái, trong đó có những đại lượng vật lí không có giá trị xác định; cụ thể, trong cơ học lượng tử người ta thừa nhận rằng một hạt chuyển động không có quỹ đạo rõ rệt, nghĩa là toạ độ và xung lượng của nó không cùng xác định trong trạng thái ấy.
Trong quá trình nghiên cứu các hệ hạt nhân, nguyên tử người ta nhận thấy có nhiều cặp đại lượng động lực không xác định đồng thời khi đồng thời đo chúng
trong cùng một trạng thái, thí dụ tọa độ và xung lượng, năng lượng và thời gian, vết chiếu moment xung lượng lên phương từ trường và góc giữa vector moment xung lượng và từ trường,...
Đó là một quy luật khách quan phổ biến khi đo đạc các đại lượng vật lý các hệ vi mô và được gọi là nguyên lí bất định trong cơ học lượng tử.
Ở mục 3.2 chúng ta đã xét điều kiện để cho hai đại lượng vật lí đo được đồng thời trong cùng một trạng thái, đó là điều kiện hai toán tử tương ứng phải giao hoán với nhau. Ngược lại, nếu hai toán tử của các đại lượng vật lí không giao hoán với nhau, hai đại lượng ấy sẽ không đo được đồng thời; nghĩa là một đại lượng có sai số phép đo nhỏ, còn đại lượng kia có sai số phép đo rất lớn. Bây giờ dựa vào nguyên lí bất định chúng ta sẽ đưa ra một hệ thức ước lượng “độ bất định” của hai đại lượng vật lí này và gọi nó là hệ thức bất định trong cơ học lượng tử.
Giả sử ˆA và ˆB là hai toán tử Hermite tương ứng với hai đại lượng A và B và:
AˆBˆ−BˆAˆ=iCˆ ( ˆC 6= 0) (3.14) Dễ thấy rằng ˆC cũng Hermite, thật vậy:
Cˆ =−i( ˆABˆ−BˆA),ˆ
Cˆ+ =i( ˆB+Aˆ+−Aˆ+Bˆ+) =i( ˆBAˆ−AˆB) =ˆ −i( ˆABˆ−BˆA) = ˆˆ C (đpcm).
Trường hợp đặc biệt, khi ˆA = x (tương ứng với tọa độ x của hạt), ˆB = ˆpx =
−i~ d
dx (tương ứng với xung lượng px của hạt) thì có thể dễ dàng tính được ˆC =~ là một hằng số (các toán tử này xây dựng nhờ hệ tiên đề của cơ học lượng tử).
Trong trạng thái ψ tuỳ ý, các đại lượng vật lí tương ứng với các toán tử ˆA và Bˆ có giá trị trung bình:
A¯= (ψ,Aψ),ˆ B¯ = (ψ,Bψ)ˆ
Bây giờ ta đưa vào các toán tử Hermite (các toán tử sai số):
∆ ˆA = ˆA−A,¯ ∆ ˆB = ˆB −B¯ (3.15) Thay (3.15) vào (3.14) chúng ta thấy rằng các toán tử (3.15) thoả mãn cùng một hệ thức giao hoán (3.14):
∆ ˆA∆ ˆB −∆ ˆB∆ ˆA =iCˆ (3.16)
Xét tích phân bổ trợ phụ thuộc vào thông số thực tuỳ ý α I(α) =
Z
|(α∆ ˆA−i∆ ˆB)ψ|2dq >0 với ∀α (3.17) Dùng tính Hermite của ∆ ˆA và ∆ ˆB ta biến đổi (3.17) về dạng:
I(α) =
Z
(α∆ ˆA−i∆ ˆB)∗ψ∗(α∆ ˆA−i∆ ˆB)ψdq
=
Z
ψ∗(α∆ ˆA+i∆ ˆB)(α∆ ˆA−i∆ ˆB)ψdq
=
Z
ψ∗[α2(∆ ˆA)2+iα(∆ ˆB∆ ˆA−∆ ˆA∆ ˆB) + (∆ ˆB)2]ψdq
= 10
Z
ψ∗[α2(∆ ˆA)2+αCˆ+ (∆ ˆB)2]ψdq
= α2∆A2+αC¯+ ∆B2
I(α) > 0 với ∀α trong trường hợp biệt thức của tam thức bậc hai α2∆A2+ αC¯+ ∆B2 của α luôn âm:
C¯2−4∆A2.∆B2 6 0 hay
q
∆A2.∆B2 >
C¯
2 (3.18)
Bất đẳng thức (3.18) được rút ra từ bất đẳng thức toán học (3.17). Chúng ta có thể sử dụng nó để ước lượng tích sai số quân phương cho các đại lượng vật lí A vàB, nó liên hệ các sai số của các đại lượng vật lí với nhau và được gọi là hệ thức bất định. Nếu đại lượng vật lí A xác định (sai số quân phương
q
∆A2 = 0) thì sai số quân phương
q
∆B2 không xác định và ngược lại, hoặc cả hai đại lượng A vàB đều không xác định. “Độ bất định” của A vàB xác định bởi bất đẳng thức (3.18).
Trường hợp ˆA =x, Bˆ = ˆpx thì (3.18) được viết lại
q
∆x2.∆p2x > ~
2 (3.19)
Hệ thức (3.19) được gọi là hệ thức bất định Heisenberg, được Heisenberg đưa ra năm 1927. Từ (12.6) ta suy ra rằng, nếu trong một trạng thái nào đó, xung lượng px có giá trị xác định, thì toạ độ x của trạng thái đó hoàn toàn bất định, ngược lại, toạ độ xác định thì xung lượng bất định...
Trong vật lí cổ điển, người ta giả thiết rằng trong một trạng thái bất kì, tại mỗi thời điểm hạt có những giá trị xác định của toạ độ x và xung lượng px. Ta thấy rằng, điều đó không đúng trong cơ học lượng tử. Các khái niệm cổ điển của toạ độ và xung lượng có ứng dụng hạn chế đối với các đối tượng vi mô. Hệ thức (3.19) nêu lên giới hạn ứng dụng của các khái niệm đó. Hơn nữa, định nghĩa xung
lượng dùng trong vật lí cổ điển dưới dạng ~p=md~r
dt không ứng dụng được cho các đối tượng nguyên tử hạt nhân.
Về phương diện khác hệ thức bất định nêu lên giới hạn về mức chính xác của các phép đo đối với hệ vi mô. Dù cho phương tiện kĩ thuật hoàn hảo bao nhiêu chăng nữa, thì tích các sai số quân phương của phép đo đồng thời toạ độ và xung lượng cũng không thể nhỏ hơn ~
2.
Hệ thức bất định còn cho ta tiêu chuẩn để xét vấn đề khi nào hạt vi mô chuyển động giống hạt vĩ mô, nghĩa là có quỹ đạo rõ rệt. Ta nói điều đó, nếu như với giả thiết hợp lí về sai số của toạ độ (dùng giá trị |∆x| ≈
q
∆x2 để đánh giá) mà (3.19) cho phép một sai số về xung lượng (dùng giá trị|∆p| ≈q∆p2x ) bé hơn chính xung lượng rất nhiều (xem bài tập 3.10).
Vì hằng số~ rất nhỏ (~ = 1,05443.10−34J s), nên hệ thức (3.19) chỉ quan trọng với hệ vi mô. Đối với hệ vĩ mô, giới hạn chính xác mà hệ thức bất định nêu lên vượt rất xa các giới hạn chính xác mà các dụng cụ đạt được. Bởi vậy trong thực tế người ta không chú ý đến hệ thức bất định khi xét hệ vĩ mô.
Trong một số trường hợp có thể giả thiết bỏ qua các hiệu ứng tỉ lệ với~, nghĩa là về hình thức cho ~ → 0. Lúc đó người ta nói đến trường hợp chuẩn cổ điển và các hệ lượng tử có thể mô tả gần giống các hệ vĩ mô, nghĩa là lúc đó có thể nói đến quỹ đạo của các hạt vi mô.
Nếu mới nhìn nhận, ta tưởng như hệ thức bất định (3.18) là hệ quả của hệ thức toán học (3.17), thực ra, dựa vào nguyên lý bất định, hệ thức (3.18) chỉ là tiêu chuẩn để đánh giá độ bất định. Để ước lượng các độ bất định, người ta có thể lấy các độ lớn
q
∆A2 ≈∆A và
q
∆B2 ≈ ∆B. Như vậy, đối với cặp đại lượng động lực A và B, hệ thức (3.18) được viết lại
∆A.∆B >
C¯
2 (3.20)
Ngoài cặp đại lượng động lực toạ độ và xung lượng (∆px∆x > ~
2), người ta còn kể đến cặp đại lượng năng lượng và thời gian (∆E∆t> ~
2), cặp đại lượng hình chiếu moment xung lượng lên phương OZ và góc phương vị (∆Lz∆ϕ > ~
2),...vv.
Hệ thức bất định có vai trò rất quan trọng trong vật lý hiện đại cũng như trong công nghệ tiên tiến. Hàng loạt các lĩnh vực đã ứng dụng hệ thức bất định
để đánh giá khả năng tối đa của mình. Chúng ta có thể kể ra một vài ví dụ sau:
Độ phân giải của truyền hình mật độ cao chỉ có thể đạt tới một giá trị cực đại nào đó, vì mật độ của các điểm hình càng cao thì số dòng quét càng lớn, và muốn như thế thì thời gian giành cho một xung sẽ nhỏ đi, làm cho sai số về năng lượng càng lớn. Điều đó làm cho các màu bị nhoè đi vì độ đơn sắc kém đi.
Trong thông tin kỹ thuật số, tải thông tin tăng lên kéo theo tiếng ồn tăng lên, bởi vì tải thông tin tăng thì thời gian dành cho một xung giảm đi, dẫn đên sai số năng lượng tăng. Điều này lại dẫn đến việc làm tăng sai số của tần số, kéo theo làm tăng tiếng ồn.
Trong kỹ thuật xung, muốn tạo được các xung sắc nét, cần phải làm nhoè năng lượng và ngược lại...
BÀI TẬP CHƯƠNG 3
3.1.Theo hệ tiên đề trình bày trong mục 3.1 các toán tử hình chiếu xung lượng lên các phương (tương ứng với các vết chiếu xung lượng của hạt lên các phương) là ˆpx =−i~
∂
∂x, pˆy = −i~
∂
∂y và ˆpz =−i~
∂
∂z. Như vậy toán tử xung lượng của hạt có dạng ˆp=~ipˆx+~jpˆy +~kpˆz =−i~ ~i ∂
∂x +~j ∂
∂y +~k ∂
∂z
!
=−i~∇.
Tìm hàm riêng và các giá trị riêng của toán tử ˆp=−i~∇ trong lớp hàm toàn phương khả tích biến số~r?
Giải:
Theo ví dụ 3a của mục 1.3 và bài tập 1.9, phổ giá trị riêng của toán tử ˆ
px =−i~
∂
∂x là thực và liên tục, còn hàm riêng ứng với giá trị riêng px là:
ψpx(x) = 1
√ 2π~
e~ipxx, (ψp0x(x), ψpx(x)) = δ(px−p0x) (3.21) Hoàn toàn tương tự, hàm riêng ứng với giá trị riêng py của toán tử ˆpy là
ψpy(y) = 1
√ 2π~
e~ipyy, (ψp0y(y), ψpy(y)) =δ(py −p0y) và hàm riêng ứng với giá trị riêng pz của toán tử ˆpz là
ψpz(z) = 1
√ 2π~
e~ipzz, (ψp0z(z), ψpz(z)) =δ(pz −p0z)
Vì toán tử ~p =~ipx+~jpy +~kpz là tổng của các toán tử thành phần, nên các giá trị riêng và hàm riêng của nó có dạng
~
p = ~ipx+~jpy+~kpz (3.22)
ψ~p(~r) = ψpx(x)ψpy(y)ψpz(z) = 1
(2π~)3/2e~ip~~r (3.23) Bài tập 2.7 là một ví dụ để tính hệ số chuẩn hóa cho hàm (3.23).
3.2. Tính xác suất để đo xung lượng một hạt lượng tử ở trạng thái mô tả bởi hàm sóng Ψ(~r) xác định nào đó được giá trị từ p đếnp+dp (p=qp2x+p2y+p2z).
Giải:
Khai triển hàm Ψ(~r) theo hệ hàm riêng của toán tử xung lượng ˆp=−i~∇ cho bởi (3.2) (trường hợp phổ liên tục thay tổng bằng tích phân):
Ψ(~r) =
Z
cp~ψ~pd~p
Từ đây rút ra (xem (3.3), trường hợp phổ liên tục sử dụng δ-hàm) c~p =
Z
ψ~p∗Ψ(~r)d~r
và mật độ xác suất đo được giá trị ~p của xung lượng ở trạng thái Ψ(~r) là:
|c~p|2 = 1 (2π~)3
Z
Ψ(~r) exp
(
−i
~
~ p~r
)
dV
2
(3.24) Còn xác suất đo được xung lượng có giá trị từpx đếnpx+dpx, py đếnpy+dpy, pz đến pz+dpz (hay có thể nói khác, xác suất đo được xung lượng ~ptrong khoảng d~p) là:
dW(px, py, pz) = 1 (2π~)3
Z
Ψ(~r)e−~i~p~rdV
2
d~p (3.25)
Thông thường trong những bài toán như thế này người ta thường chọn chiều của ~p trùng với chiều dương của trục 0z và đưa vào hệ tọa độ cầu (r, θ, ϕ), dV = r2sinθdrdθdϕ. Như vậy hàm dưới dấu tích phân (3.25) cần thay ~p~r =p rcosθ, trong đó p= qp2x+p2y+p2z là giá trị độ lớn của xung lượng.
Để tiện lợi, người ta đưa vào không gian xung lượng cầu, lúc đó d~p=dpxdpydpz =d 4
3πp3
!
= 4πp2dp
Chúng ta tính được xác suất đo được xung lượng p trong khoảng dp là:
dW(p) = p2dp 2π2~3
ZZZ
Ψ(r, θ, ϕ)e−~ip rcosθ r2sinθdrdθdϕ
2
(3.26) Mật độ xác suất đo được giá trị p của xung lượng:
ρ(p) = p2 2π2~3
ZZZ
Ψ(r, θ, ϕ)e−~ip rcosθ r2sinθdrdθdϕ
2
(3.27) Đối với trường hợp chuyển động một chiều
cpx =
Z∞
−∞
ψp∗x(x)Ψ(x)dx= 1 (2π~)1/2
Z∞
−∞
Ψ(x)e−~ipxxdx (3.28) và mật độ xác suất đo được giá trị px của xung lượng ở trạng thái Ψ(x) là:
|cpx|2 = 1 2π~
Z∞
−∞
Ψ(x)e−~ipxxdx
2
(3.29) 3.3.Tính mật độ xác suất để đo được giá trị px của xung lượng một hạt lượng tử ở trạng thái:
ψn(x) =
s2
asinnπx
a (0 6x6 a, n= 1,2, ...)
Giải
Các hệ số khai triển cpx được tính bằng tích phân (Sử dụng phụ lục (0.9)):
cpx =
a Z
0
ψp∗x(x)Ψn(x)dx= 1
√π~a
a Z
0
e−~ipxxsinnπx a dx
= n√ aπ~3
h(−1)ne−iapx~ −1i (a2p2x−n2π2~2)
Mật độ xác suất đo được giá trị px của xung lượng ở trạng thái Ψn(x) là:
|cpx|2 = 2n2aπ~3 (a2p2x−n2π2~2)2
1−(−1)ncosapx
~
= 4n2aπ~3
(a2p2x−n2π2~2)2 ×
sin2
apx 2~
nếu n chẵn cos2
apx
2~
nếu n lẻ
3.4.Tính mật độ xác suất để đo được xung lượng có giá trịpx của hạt ở trạng thái
Ψ(x) =
mω π~
14
exp
−mω 2~
x2
(−∞< x < ∞) Giải
Trước hết tính tích phân:
cpx =
∞ Z
−∞
ψp∗x(x)Ψ(x)dx= 1
√2π~
mω π~
14 Z∞
−∞
e−mω2~x2−~ipxx dx
bằng cách biến đổi biểu thức mũ của hàm exponent
−mω 2~
x2− i
~
pxx=−mω 2~
(x+ ipx
mω)2− px2 2mω~
và sử dụng tích phân Poisson (cho bởi phụ lục (0.6)) chúng ta tính được:
cpx = 1
√2π~
mω π~
14
I0
mω 2~
e− px
2
2mω~ = 1
√4
mωπ~ e− px
2 2mω~
Mật độ xác suất để đo được giá trị xung lượng px là:
|cpx|2 = 1
√
mωπ~ e− p
2x mω~
3.5.Tính giá trị trung bình của các đại lượng:x (tương ứng với toán tử ˆx),x2 (tương ứng với toán tử ˆx2), px (tương ứng với toán tử ˆpx = −i~
d
dx) và p2x (tương
ứng với toán tử ˆp2x =−~2 d2
dx2) khi đo chúng trong trạng thái ψ(x) =
mω π~
1/4
exp
−mω 2~
x2
Giải
Áp dụng (3.7) và các tích phân Poisson (cho bởi phụ lục (0.3) và phụ lục (0.4)) và chú ý rằng hàmψ là hàm chẵn, nên các hàmψ∗xψ =xψ2 vàψ∗pˆxψ =−(i~)ψψ0 là các hàm lẻ, và vì vậy x =px = 0,
x2 =
smω π~
Z∞
−∞
x2e−mω~ x2 dx=
smω π~
I2
mω
~
= ~
2mω; p2x =
∞ Z
−∞
ψ∗ −~2 d2 dx2
!
ψ dx=
∞ Z
−∞
ψ∗(mω~−m2ω2x2)ψ dx
= (mω~−m2ω2x2) = mω~ 2
3.6. Chứng minh rằng đối với hạt ở trong trạng thái ψn(x) =
s2 a sin
nπx a
(06 x6 a, n= 1,2, ...) có các hệ thức
¯ x= a
2, (∆x)2 = a2
12 1− 6 n2π2
!
Hướng dẫn:
Để chứng minh hệ thức thứ hai cần áp dụng hệ thức cho sai số và phương sai của F:
∆F =F −F ,¯ (∆F)2 = F2−F¯2 3.7. Tính các giao hoán tử: a)
"
d dx, x
#
; b)
"
d2 dx2, x
#
; c)
"
d2 dx2, x2
#
; d) [∆, x];
e)
"
∂
∂x, f(x, y, z)
#
.
3.8. Một hạt có khối lượng m chuyển động trên một đoạn thẳng chiều dài L.
Dựa vào hệ thức bất định hãy xác định năng lượng cực tiểu mà hạt có thể có.
Ước lượng động năng cực tiểu của một neutron (mn = 1,6748.10−27kg) trong một hạt nhân có đường kính 10−14m.
Giải:
Có thể đặt ∆x =L. Hệ thức bất định sẽ cho sai số của xung lượng ∆px = ~ 2L. Vì T = p2x
2m, nên động năng T sẽ cực tiểu khi |px| có giá trị nhỏ nhất.
Ta xem như độ bất định về |px| và độ bất định về px trùng nhau và giả thiết rằng khoảng sai số của |px| đối xứng đối với |px|.
Từ hình 3.2, ta có
|px| − 1
2∆|px|>0, hay |px|> ~ 4L Khi đó giá trị cực tiểu củapx là
|px|min = ~ 4L và
Tmin = ~2 32mL2
Hình 3.2: Hạt chuyển động trên đoạn thẳng chiều dài L.
Trường hợp neutron ta coi L là đường kính của hạt nhân, và động năng cực tiểu của neutron ước lượng được chừng
Tmin(n) = (1.0544.10−34)2
32.1,6748.10−27.(10−14)2.1.6.10−19 = 13keV
3.9.Phóng xạ β là dòng các electron chuyển động với vận tốc rất lớn, cỡ 0,6c.
Lần đầu tiên khi quan sát sự phóng xạ β, người ta cho rằng thành phần cấu tạo của hạt nhân nguyên tử, ngoài proton và neutron, còn có electron. Dựa vào hệ thức bất định chứng minh rằng điều đó không đúng.
Giải:
Động năng của electron trong dòng phóng xạ được tính bằng công thức Tβ = mc2
q1− vc22
−mc2 = 0,13MeV
Nếu electron chuyển động trong hạt nhân, tương tự như bài tập 3.7, chúng ta tính được |p(e)|min= ~
4L, do đó
(Tmin(e) +E0)2 = (|p(e)|minc)2+E02, E0 =mc2 = 0,512MeV
Ta tính được Tmin(e) = 4,46MeV. Giá trị này lớn hơn giá trị động năng của electron trong dòng phóng xạ β rất nhiều. Vậy phải kết luận rằng electron không ở trong thành phần cấu tạo nên chất hạt nhân.
3.10.Electron có động năng ước chừng 0,01 MeV khi chuyển động trong buồng Wilson đã để lại dấu vết là một vệt dài chuỗi những bọt nước nhỏ đánh dấu vị trí của hạt trên đường đi. Vệt bọt nước này có bề rộng cỡ 10−6 m và được máy ảnh chụp lại. Chúng ta có thể coi vệt bọt nước này là quỹ đạo chuyển động của electron không?
Giải:
Theo bài tập 3.9, động năng của electron được tính theo công thức Te = mc2
q1− vc22 −mc2 Nếu đặt β = Te
mc2, chúng ta rút ra công thức để tính xung lượng của electron qua động năng của nó
pe = mv
q
1− vc22
=mc
q
(1 +β)2−1
Như vậy xung lượng của electron có động năng 0,01 MeV vào cỡ 10−23 kg.m/s.
Bây giờ chúng ta ước lượng giá trị sai số xung lượng của electron. Có thể lấy sai số tọa độ ∆x≈ 10−6 m. Hệ thức bất định cho phép một giới hạn dưới của sai số về xung lượng là
∆px ≈ ~
∆x = 10−28 kg.m/s
có giá trị nhỏ hơn rất nhiều lần với chính giá trị xung lượng của electron như đã tính ở trên. Như vậy có thể coi vệt bọt nước mà electron tạo ra khi đi vào buồng Wilson là quỹ đạo chuyển động của nó.
CƠ HỌC LƯỢNG TỬ