Chương 3. HỆ TIÊN ĐỀ THỨ HAI CỦA CƠ HỌC LƯỢNG TỬ 45 3.1. Các đại lượng động lực và các toán tử
4.4. Hàm riêng và trị riêng của các toán tử moment xung lượng
1. Hàm riêng và trị riêng của toán tử hình chiếu moment xung lượng Bây giờ ta sẽ đi xác định hàm riêng và trị riêng của toán tử hình chiếu moment xung lượng lên một phương nào đó, giả sử phương Oz và để tiện lợi ta đưa vào hệ toạ độ cầu. Trong thực tế không gian không có phương ưu tiên, vì vậy để đặc biệt hóa một phương, người ta thiết lập một từ trường đều và chọn hướng của từ trường làm trục 0z.
Phương trình cho hàm riêng và trị riêng ˆLzφ = Lzφ với dạng (4.23) của ˆLz được viết dưới dạng:
−i~
∂φ
∂ϕ = Lzφ Phương trình này có nghiệm φ(ϕ) = 1
√2πexp
(i
~ Lzϕ
)
. Hệ số chuẩn hóa tìm từ điều kiện (φ, φ) = 1.
Muốn φ(ϕ) đơn trị thì φ(ϕ) =φ(ϕ+ 2π), hay Lz =m~ (m= 0,±1,±2, . . .) Vậy các hàm φ(ϕ) = 1
√2πeimϕ, (m= 0,±1,±2, . . .) là các hàm riêng ứng với các trị riêngLz = m~ (m= 0,±1,±2, . . .) của toán tử chiếu moment ˆLz = −i~
∂
∂ϕ. 2. Trị riêng của toán tử bình phương moment xung lượng
Chúng ta đã biết rằng vì ˆLz và ˆL2 giao hoán với nhau, do đó chúng có chung nhau hệ hàm riêng và trong các trạng thái này các trị riêng của ˆL2 cũng có các giá trị xác định cùng với các trị riêng của ˆLz. Bởi vậy ta kí hiệuψm là những hàm sóng của các trạng thái dừng ứng với những giá trị khác nhau của Lz = m~. Ta cũng giả thiết rằng, các hàm sóng này cùng ứng với một mức năng lượng, có nghĩa là năng lượng của nó bị suy biến. Trong các trạng thái được mô tả bởi các hàm ψm, bình phương moment xung lượng có giá trị L2 xác định.
Trước hết, chú ý rằng hiệu ˆL2−Lˆ2z = ˆL2x+ ˆL2y bằng toán tử của một đại lượng vật lí xác định dương L2x+L2y > 0 cho nên ứng với mỗi giá trị cho trước của bình phương moment L2 thì tất cả các trị riêng khả dĩ Lz phải thoả mãn bất đẳng thức L2−L2z >0, hay là:
−√
L2 6 Lz 6
√
L2 (4.40)
Bởi vậy các giá trị khả dĩ của Lz (với L2 cho trước) bị giới hạn bởi cận trên và cận dưới. Ta kí hiệul là số nguyên không âm tương ứng với giá trị lớn nhất của Lz, tức là Lz|max = l~, và như vậy các hàm ψ0, ψ±1, ..., ψ±l 6= 0, còn ψ±(l+1) = 0, vv...
Tác dụng toán tử ˆLzLˆ± cho bởi (4.38) lên ψm:
LˆzLˆ±ψm = ˆL±Lˆzψm±~Lˆ±ψm = ˆL±(m~ψm)±~Lˆ±ψm = (m±1)~Lˆ±ψm. Từ đây suy ra rằng, các hàm ˆL±ψm là hàm riêng ứng với trị riêng (m±1)~
của toán tử ˆLz. Vì ψm là hàm riêng của ˆLz cho nên:
Lˆzψm =m~ψm; ˆLzψm±1 = (m±1)~ψm±1. Bởi vậy ta có thể viết:
ψm+1 = ˆL+ψm, ψm−1 = ˆL−ψm (4.41) Nếu trong đẳng thức đầu của (4.41) m=l, thì ta phải có:
Lˆ+ψl =ψl+1 = 0 (4.42)
vì các trạng thái ứng với m > l là không có.
Tác dụng vào (4.42) toán tử ˆL− và dùng (4.39):
Lˆ−Lˆ+ψl = ( ˆL2−Lˆ2z−~Lˆz)ψl = 0 (4.43) Vì ψl là hàm riêng chung cho cả hai toán tử, toán tử ˆLz và toán tử ˆL2 cho nên:
Lˆ2ψl =L2ψl; ˆLzψl =l~ψl; ˆL2zψl =l2~2ψl và từ (4.43) rút ra:
L2 =l(l+ 1)~2 (4.44)
Hệ thức (4.44) xác định những trị riêng phải tìm của bình phương moment xung lượng. Số l nhận tất cả các giá trị nguyên dương, kể cả giá trị 0. Với giá trị cho trước của l, giá trị hình chiếu moment xung lượng Lz = m~ có thể nhận các giá trị khả dĩ với các giá trị của
m=l, l−1, ...,−l+ 1,−l (4.45) Tức là ứng với một số l cho trước, có 2l+ 1 giá trị của m. Thành thử L2 bị suy biến 2l+ 1 lần. Nói một cách khác, ứng với mỗi giá trị của L2 =l(l+ 1)~2 có tất cả 2l+ 1 giá trị hình chiếu moment xung lượng lên phương Oz:
l~,(l−1)~, . . . ,0, . . . ,−l~ (2l+ 1 giá trị).
3. Hàm riêng của toán tử bình phương moment xung lượng
Trong vế phải của các biểu thức toán tử Hamilton viết trong các hệ toạ độ khác nhau, trong các trường hợp đối xứng xuyên tâm và đối xứng trục (mục 4.2, (4.28), và (4.33)) ngoài các thành phần chứa toạ độ r, z và các đạo hàm theo chúng, còn có thành phần chứa toán tử bình phương moment ˆL2. Bởi vậy, việc xác định
hàm riêng và trị riêng của toán tử ˆH còn bao gồm cả việc tìm hàm riêng và trị riêng của toán tử ˆL2. Ở trên chúng ta đã tìm các trị riêng L2 của ˆL2 trong các trạng thái mà cả L2 và Lz đều được xác định.
Người ta đã chứng minh rằng (điều này được trình bày trong nhiều chuyên khảo về các phương trình vật lí - toán (2)), hàm riêng ứng với trị riêng l(l+ 1)~2 của toán tử ˆL2 là hàm điều hoà cầu:
Ylm(θ, ϕ) = (−1)|m|+m2
v u u t
2l+ 1 4π
(l− |m|)!
(l+|m|)!Pl|m|(cosθ)eimϕ (4.46) thỏa mãn điều kiện chuẩn hóa:
Z
Ylm∗ (θ, ϕ)Yl0m0(θ, ϕ)dΩ =δll0δmm0 (4.47) Hàm Pl|m|(x) nằm trong biểu thức của hàm điều hòa cầu (4.46) được gọi là hàm Legendre liên đới:
Pl|m|(x) = (−1)|m|(1−x2)|m|2 d|m|
dx|m|Pl(x) (4.48) Ở đây Pl(x) là đa thức Legendre cấp l:
Pl(x) = 1 2ll!
dl
dxl(x2−1)l (4.49)
được viết dưới dạng công thức Rodrigues.
Có thể thử trực tiếp rằng, hàm điều hoà cầu (4.46) là hàm riêng chung cho cả hai toán tử, ˆL2 và ˆLz,
Lˆ2Ylm(θ, ϕ) = l(l+ 1)~2Ylm(θ, ϕ) (4.50) LˆzYlm(θ, ϕ) = m~Ylm(θ, ϕ) (4.51) Như vậy hàm điều hoà cầu phụ thuộc vào hai số lượng tử, số lượng tử l và số lượng tử m. Số lượng tử l (l = 0,1,2, ...) được gọi là số lượng tử quỹ đạo, liên quan tới các trạng thái chuyển động trên quỹ đạo ứng với các giá trị xác định của moment quỹ đạo ql(l+ 1)~. Số lượng tử m (m= 0,±1,±2, ...,±l) được gọi là số lượng tử từ. Tên gọi này liên quan tới tính đẳng hướng của không gian, muốn đo vết chiếu của moment quỹ đạo lên phương nào đó, chúng ta phải vật chất hóa phương đó bằng cách đặt một từ trường dọc theo phương đó.
(2)xem Jon Mathews, R. L. Walken. Toán dùng cho vật lí, NXB KHKT Hà nội, 1971
Các trạng thái ứng với l = 0,1,2,3, ... được gọi tương ứng là các trạng thái s, p, d, f, g, ... Ứng với mỗi chữ la tinh ấy ta viết chỉ số của nó ứng với số lượng tử m. Thí dụ, trạng thái s0 là trạng thái ứng vớil = 0, m = 0, còn trạng thái g−1 là trạng thái ứng với l = 4, m=−1, ...vv.
Bảng sau đây liệt kê một số hàm điều hòa cầu đầu tiên:
Y00 = 1
√4π Y10 =
s 3 4π cosθ Y1±1 =∓
s 3
8π sinθe±iϕ Y20 =
s 5 4π
3
2cos2θ− 1 2
!
Y2±1 =∓
s15
8π sinθcosθe±iϕ Y2±2 = 1
4
s15
2π sin2θe±2iϕ Y30 =
s 7 4π
5
2cos3θ− 3 2cosθ
!
Y3±1 =∓1 4
s21
4π sinθ(5 cos2θ−1)e±iϕ Y3±2 = 1
4
s105
2π sin2θcosθe±2iϕ Y3±3 =∓1
8
s35
π sin3θe±3iϕ
(4.52)
Sau đây chúng ta xét trạng thái p (l = 1). Toán tử ˆL2 có trị riêng 2~2 xác định, nhưng ứng với 3 hàm sóng: Y11, Y10, và Y1−1.
Hệ lượng tử cũng có thể ở trong trạng thái mô tả bởi hàm sóng là tổ hợp tuyến tính của 3 hàm trên.
ψ =c+Y11+c0Y10+c−Y1−1
và |c+|2, |c0|2, |c−|2 là xác suất tìm thấy hệ ở trong các trạng thái ở trên tương ứng, phụ thuộc vào các điều kiện vật lí xác định.
Muốn đo hình chiếu moment xung lượng ứng một trục nào đấy, chẳng hạn trục Oz, ta đặc biệt hoá hướng ấy, thí dụ đặt một từ trường theo hướng Oz, tác động này làm hệ chuyển từ trạng thái ψ sang một trong 3 trạng thái trên. Thí dụ ψ → Y11, lúc đó |c+|2 = 1, còn |c0|2 =|c−|2 = 0. Khi đo Lz ta được Lz =~, nhưng không thể nói gì về các đại lượng Lx và Ly vì chúng không đo được.
Nếu muốn đo Lx, ta phải đặc biệt hoá trục Ox.