Định luật bảo toàn điện tích có thể biểu diễn qua phương trình liên tục
∂
∂tρ+ divJ~= 0 trong đó mật độ điện tích
ρ=e|ψ|2
và mật độ dòng điện
J~= e~
2mei(ψ∗∇ψ−ψ∇ψ∗) me và e tương ứng là khối lượng và điện tích của electron.
Chúng ta hãy đi tính mật độ dòng điện chạy trong nguyên tử Hydro. Giả sử rằng electron ở trạng thái dừng với giá trị xác định củaLz =m~(m= 0,±1,±2, ...).
Trong hệ tọa độ cầu, hàm sóng của trạng thái đó có dạng:
ψnlm(r, θ, ϕ) =Anlm1
rRnl(r)Pl|m|(cosθ)eimϕ Như vậy
J~= e~
2mei(ψ∗nlm∇ψnlm−ψnlm∇ψ∗nlm) với dạng của toán tử ∇ được viết trong toạ độ cầu:
∇=
( ∂
∂r, 1 r
∂
∂θ, 1 rsinθ
∂
∂ϕ
)
VìRnl(r) vàPl|m|(cosθ) là các hàm thực. Cho nên các thành phầnJr =Jθ = 0, còn
Jϕ = e~
2meirsinθ ψnlm∗ ∂
∂ϕψnlm−ψnlm ∂
∂ϕψnlm∗
!
= me~
mersinθ|ψnlm|2 (8.53)
Hình 8.12: Dòng điện nguyên tố dI chạy qua yếu tố diện tích dσ của mặt phẳng kinh tuyến.
Như vậy trong trạng thái dừng với giá trị Lz = m~ xác định, dòng điện không chạy theo phương kinh tuyến, cũng không chạy dọc theo phương bán kính mà chỉ chạy theo phương vĩ tuyến, bao thành một vòng tròn quanh trục Oz. Điều này cũng giống như trường hợp cổ điển, electron quay theo quỹ đạo tròn nhận trục Oz làm trục đối xứng.
Ta xét moment từ của nguyên tử gây ra bởi mật độ dòng điện Jϕ này
dMz =SdI =πR2dI =πr2sin2θ jϕdσ với
dI =Jϕdσ
là dòng điện chạy qua yếu tố diện tích dσcủa mặt phẳng kinh tuyến bao một vòng tròn bán kính R.
Muốn có moment từ toàn phần Mz, ta phải lấy tổng theo tất cả các ống dòng nguyên tố có tiết diện ngang dσ
Mz =
Z
πr2sin2θ jϕdσ = me~ 2me
Z
2πrsinθ|ψnlm|2dσ
Nhưng 2πrsinθdσ = 2πR dσ =dV là thể tích của ống dòng nguyên tố, còn
Z
|ψnlm|2dV = 1 thành thử
Mz =m e~
2me =−mMB,(m= 0,±1,±2, ...) (8.54) Trong đó
MB = − e~
2me (8.55)
là Magneton Bohr của electron. Từ đây chúng ta thấy rằng hình chiếu của moment từ nguyên tử lên trục Oz bị lượng tử hoá, giá trị của nó bằng một số nguyên lần Magneton Bohr.
Ở đây chúng ta sử dụng hệ đơn vị SI,e=−1,6.10−19C,MB = 9,27.10−24Am2. Nếu sử dụng hệ đơn vị CGSE, chúng ta phải đưa hằng số c vào mẫu số ở vế phải của (8.55), e=−4,8.10−10 đơn vị CGSE, và MB = 9,27.10−21erg. gauss−1.
Nếu để ý rằng Lz =m~, từ (8.54) ta thu được Mz
Lz = e
2me (8.56)
với e
me là điện tích riêng của electron, trùng với kết quả cổ điển.
Theo kết quả tính toán này, nếu nguyên tử Hydro ở trạng thái s (l= m = 0) thì moment quỹ đạo và moment từ quỹ đạo đều bằng 0 (Lz = Mz = 0) và như vậy khi chuyển động trong từ trường ở trạng thái này thì electron không tương tác với từ trường. Tuy vậy trong một số kết quả thực nghiệm, điều này không đúng, ở trạng tháis nguyên tử Hydro vẫn tương tác với từ trường ngoài. Điều đó có nghĩa là nguyên tử Hydro vẫn có moment từ nào đó. Moment từ này không thể gây bởi chuyển động quỹ đạo của electron được, mà chỉ có thể giả thiết là moment từ này gây ra bởi chuyển động nội tại của electron. Điều đó cũng có nghĩa là electron có moment cơ riêng, moment cơ riêng này gây ra moment từ đã quan sát thấy.
Moment cơ riêng này được gọi là spin.
BÀI TẬP CHƯƠNG 8
8.1. Tìm nghiệm của phương trình (8.10).
8.2. Chứng minh hệ thức (8.11).
8.3. Xác định năng lượng và hàm sóng của hạt trong “hốc thế” đối xứng cầu:
U(r) =
0 khi r 6a
∞ khi r > a trong các trạng thái moment quỹ đạo bằng 0 (l = 0).
Hướng dẫn:
Hạt không thể xuyên ra ngoài “hốc thế” được, do đó R(r) = 0 khi r > a.
Chuyển động của hạt trong “hốc thế” được mô tả bởi phương trình (thay l= 0 và U(r) = 0 vào phương trình (8.4)):
R00(r) +k2R(r) = 0, k=
√2mE
~
, r 6 0
với các điều kiện biên: R(r) = 0 tại r = 0 và tại r = a. Giải bài toán này hoàn toàn tương tự như giải bài toán hạt chuyển động trong “giếng thế sâu vô hạn”.
Ghép hàm R(r)/r tìm được với hàm cầu Y00(θ, ϕ) = 1 2√
π ta được nghiệm dừng tổng quát.
8.4. Tìm độ lớn của điện tích nguyên tố trong hệ đơn vị CGSE? Tính số cho đơn vị độ dài (8.15), đơn vị năng lượng nguyên tử (8.16) và hằng số Rydberg (8.33)?
Giải
Hệ đơn vị CGSE sử dụng các đơn vị cơ bản là centimet (cm), gram (g), giây (s), còn các đơn vị điện dùng các đơn vị CGSE (không có tên riêng).
Giả sử 1 đơn vị điện tích của hệ đơn vị SI có độ lớn bằng x trong hệ đơn vị CGSE. Nếu đặt 2 điện tích giống nhau (Q1 = Q2 = Q= 1C) cách nhau R = 1m trong chân không, thì lực Coulomb tác dụng lên chúng có thể tính trong hệ đơn vị SI cũng như trong hệ đơn vị CGSE bằng các công thức:
FSI =k Q2
R2, FCGSE = q2
r2; FSI =FCGSE;Q =xq
Trong công thức đầu, FSI có đơn vị là N, còn độ lớn các hằng số, độ lớn và đơn vị các đại lượng:
k = ke Nm2
C2 , ke = 8,9875517873681764.109; R = 1m; 1 N = 105Dyne Trong công thức sau, FCGSE có đơn vị là Dyne, 1 Dyne = 1 g cm
s2 ; q có đơn vị dẫn xuất g1/2cm3/2s−1 và độ lớn là x; r = 102cm.
Từ đây suy ra phương trình:
ke Nm2 C2
1C2
1m2 = (x g1/2cm3/2s−1)2
(102cm)2 = 105keDyne
Rút ra 1 đơn vị điện tích của hệ đơn vị SI trong hệ đơn vị CGSE bằng:
x =q109ke = 2,99792458.109 = 10−1c (đơn vị CGSE)
Ở đây c = 2.99792458.1010cm/s là vận tốc ánh sáng trong chân không trong hệ CGSE.
Như vậy giá trị điện lượng của eletron trong hệ CGSE bằng:
e= 1.60218.10−19×2.99792458.109 = 4.8032.10−10 CGSE
Khi sử dụng hệ đơn vị CGSE cần chú ý là độ dài phải đo bằng đơn vị cm, khối lượng phải đo bằng đơn vịg, các đơn vị dẫn xuất phải đổi sang các đơn vị cơ bản.
8.5. Tính khoảng giá trị giữa hai mức sát nhau của phổ năng lượng nguyên tử Hydro. Chứng minh rằng khi n tăng lên, các mức sẽ dịch lại gần nhau?
8.6. Trạng thái cơ bản của electron trong nguyên tử Hydro được mô tả bởi hàm sóng (8.36). Trong trạng thái này hãy tính các giá trị trung bình rn và xác suất tìm thấy giá trị xung lượng của electron nằm trong khoảng từ p đến p+dp?
Giải:
- Áp dụng phụ lục (0.5) và sử dụng hệ tọa độ cầu:
rn =
Z
ψ100∗ (r, θ, ϕ)rnψ100(r, θ, ϕ)dV =
Z
|ψ100(r, θ, ϕ)|2rn+2drsinθdθdϕ
= 1
a3π
2π Z
0
dϕ
π Z
0
sinθdθ
∞ Z
0
rn+2exp −2r a
!
dr = 4 a3
∞ Z
0
rn+2exp −2r a
!
dr
= 4
a3Jn+2 2 a
!
= (n+ 2)!
2n+1 an
- Áp dụng (3.24) để tính mật độ xác suất:
|c~p|2 = 1 (2π~)3
Z
ψ(~r) exp −i
~
~ p~r
!
dV
2
Chọn chiều~ptrùng với chiều dương trục Oz. Lúc đó tích vô hướngp~~r =prcosθ;
dV =r2drsinθdθdϕ. Trước hết tính c~p = 1
(2π~)3/2
Z
ψ(~r) exp −i
~
~ p~r
!
dV
= A
2π Z
0
dϕ
Z∞
0
r2exp
−r a
Zπ
0
exp −i
~
prcosθ
!
sinθdθdr
= 2πA
Z∞
0
r2exp
−r a
Z1
−1
exp −i
~ prz
!
dzdr
= 2πi~A p
∞ Z
0 (
exp −r
a − ipr
~
!
−exp −r
a + ipr
~
!)
rdr
Ở đây ta đặt
A= 1
√
πa3(2π~)3/2 = 1
√
8a3~3π2 Sử dụng phụ lục (0.5) ta tính được
c~p = 8π~4a3
√
πa3(2π~)3/2(~2+a2p2)2 =
√ 8a3~5 π(~2+a2p2)2 Mật độ xác suất đo được giá trị p của xung lượng:
|cp|2 = 8a3~5 π2(~2+a2p2)4
Trong hệ toạ độ không gian xung lượng cầu p= qp2x+p2y+p2z thì dpxdpydpz = 4πp2dp
Xác suất tìm thấy giá trị xung lượng của electron nằm trong khoảng từ p đến p+dp bằng
dW(p) =|cp|24πp2dp = 32a3~5
π(~2+a2p2)4p2dp (8.57)
CƠ BẢN
9.1. Sự kiện thực nghiệm về tồn tại spin của electron
Năm 1922, Stern và Gerlach đã làm các thí nghiệm chứng tỏ rằng các hình chiếu của moment từ nguyên tử lên phương của từ trường chỉ có một vài giá trị rời rạc.
Hình 9.13:Dụng cụ của Stern và Gerlach dùng để chứng minh sự lượng tử hoá không gian, nói về tính gián đoạn của hướng moment từ với từ trường.
Trong thí nghiệm của mình, Stern và Gerlach cho một chùm nhỏ nguyên tử bạc bay hơi trong một lò điện. Các nguyên tử bạc sau đó được phun vào chân không bên ngoài dụng cụ qua một lỗ nhỏ của vách lò. Các nguyên tử bạc tạo thành một chùm hẹp khi chúng đi qua một khe chuẩn trực. Sau đó chùm tia đi qua khoảng giữa hai cực của một nam châm điện, rồi tụ lại trên mặt một tấm thuỷ tinh được làm lạnh.
Nếu nguyên tử có moment từ M~ thì trong từ trường B~ sẽ có một thế năng U = −(M ~~B) =−M Bcosα,
trong đó α là góc giữa phương của từ trường và phương của moment từ nguyên tử.
Lực tác dụng lên nguyên tử trong từ trường không đều bằng F =−∂U
∂z =M∂B
∂z cosα= Mz∂B
∂z Gradient của trường có phương
vuông góc với phương chuyển động của chùm nguyên tử và do đó lực F sẽ làm cho chùm nguyên tử lệch với phương ban đầu.
Theo quan điểm cổ điển, nếu moment từ của nguyên tử có thể có tất cả các phương khả dĩ, thì lựcF có thể lấy tất cả các giá trị từ −M∂B
∂z đến M∂B
∂z.
Những nguyên tử khác nhau sẽ lệch đi khác nhau và khi chiếu chùm tia lên màn ảnh, khe hở giới hạn chùm tia sẽ cho một ảnh nhoè.
Nhưng trong thí nghiệm ta lại nhận được hai ảnh rất rõ nét của khe hở (Hình 9.14). Kết quả thí nghiệm đã chứng tỏ rằng chỉ có hai hướng gián đoạn của moment từ nguyên tử, đó là cosα=±1.
Hình 9.14: Kết quả của thí nghiệm của Stern và Gerlach cho thấy bạc bám trên tấm thuỷ tinh trong hai trường hợp: (a) từ trường ngắt và (b) từ trường đóng. Chùm tia bạc được tách làm hai chùm con dưới tác dụng của từ trường. Thanh bên phải trong (b) biểu diễn chiều dài bằng 1mm.
Hiện tượng khám phá trên được gọi là sự lượng tử hoá không gian, nói về tính gián đoạn của hướng moment từ với từ trường.
Nếu dòng nguyên tử là Hydro, thì thí nghiệm còn quan sát thấy sự tách đôi của chùm nguyên tử chắc chắn ở trong trạng thái s (l = 0, m = 0). Trong trạng thái này, moment quỹ đạo và cả moment từ quỹ đạo đều bằng 0, mà chùm nguyên tử Hydro vẫn bị lệch trong từ trường, thì điều này chỉ có thể giải thích rằng, những nguyên tử này vẫn có moment từ nào đó trong trạng thái s.
Vết chiếu của moment từ này lên phương của từ trường cũng có hai giá trị, các phép đo đã xác định được
Mz =±MB =±e~
2à (9.1)