Chương 12. LÝ THUYẾT CHUYỂN LƯỢNG TỬ 187 12.1. Xác suất chuyển lượng tử
12.5. Quy tắc lọc lựa
Nguyên tử có nhiều mức năng lượng, nhưng không phải sự chuyển giữa 2 mức bất kì nào cũng có thể thực hiện được. Đã từ lâu, bằng phép phân tích quang phổ người ta đã phát hiện ra những quy tắc gọi là quy tắc lọc lựa. Trong tất cả những sự chuyển từ mức này sang mức khác, chỉ có một số nhỏ sự chuyển là “được phép”, nghĩa là xảy ra thực, các sự chuyển khác đều bị “cấm”, nghĩa là không xảy ra.
Mỗi mức năng lượng của nguyên tử được đặc trưng bằng những lượng tử số, cho nên mỗi sự chuyển giữa 2 mức được đặc trưng bằng độ biến thiên của những
lượng tử số ấy. Quy tắc lọc lựa là quy tắc quy định những độ biến thiên này cho những sự chuyển được phép.
Trước khi có cơ học lượng tử, những quy tắc lọc lựa là những điều bí hiểm, không thể giải thích được. Nhưng cơ học lượng tử chứng tỏ rằng những quy tắc chỉ là hệ quả của tính trực giao của các hàm riêng. Sau đây chúng ta thiết lập những quy tắc lọc lựa về lượng tử số quỹ đạo l và về lượng tử từ m. Những sự chuyển được phép là những sự chuyển trong đó:
∆l=±1; ∆m=±1 hoặc 0
Để thiết lập những quy tắc này ta chỉ cần chứng minh rằng xác suất chuyển bằng 0 nếu ∆l6=±1; ∆m6=±1,0.
Xác suất chuyển phụ thuộc vào giá trị của các phần tử ma trận xjk, yjk, zjk, với
xjk =
Z
ψj∗xψkdV, yjk =
Z
ψj∗yψkdV, zjk =
Z
ψj∗zψkdV Xác suất chuyển bằng 0 nếu cả 3 phần tử ma trận này bằng 0.
Hàm sóng của hạt chuyển động trong trường xuyên tâm có dạng (8.6). Giả sử r= const. Trường hợp này hạt gọi là “rotator”. Hàm sóng của rotator là hàm cầu, khác nhau ở các giá trị của các lượng tử số l và m. Giả sử trong trạng thái ψj các lượng tử số đó là l và m, còn trong trạng thái ψk các lượng tử đó là l0 và m0. Bỏ qua các hệ số chuẩn hoá:
ψj =Plm(cosθ) exp{imφ}, ψk = Plm0 0(cosθ) exp{im0φ}
Plm và Plm0 0 là các đa thức Legendre. Ta thay toạ độ Descartes bằng toạ độ cầu (lấyr = 1 cho tiện tính toán).
x= cosφsinθ, y = sinφsinθ, z = cosθ, dV = sinθdθdφ Chú ý rằng cosφ và sinφ có thể thay bằng các hàm số mũ, ta được
xjk = 1 2
2π Z
0
[ei(m0−m+1)φ +ei(m0−m−1)φ]dφ
π Z
0
PlmPlm0 0sin2θdθ (12.30) yjk = 1
2i
2π Z
0
[ei(m0−m+1)φ+ei(m0−m−1)φ]dφ
π Z
0
PlmPlm0 0sin2θdθ (12.31) zjk =
2π Z
0
ei(m0−m)φdφ
π Z
0
PlmPlm0 0cosθsinθdθ (12.32)
Các tích phân trong xjk và yjk khác không khi m0 = m±1, còn tích phân trong zjk khác không khi m0 =m. Do đó quy tắc lọc lựa về m là:
∆m= 0,±1 (12.33)
Để thiết lập quy tắc lọc lựa về l, ta xét zjk trong đó m0 = m. Đặt x = cosθ.
Tích phân theo θ thành ra
+1 Z
−1
xPlm(x)Plm0 0(x)dx Sử dụng công thức trong lí thuyết hàm số cầu:
xPlm(x) = l+m
2l+ 1Pl−1m (x) +l−m+ 1
2l+ 1 Pl+1m (x)
và chú ý đến tính trực giao của các đa thức Legendre, chúng ta thấy tích phân trên chỉ khác không khi l0 =l±1. Chúng ta cũng đi tới kết quả này nếu xét xjk và yjk. Như vậy, quy tắc lọc lựa về l là:
∆l= ±1 (12.34)
Bây giờ chúng ta xét chuyển động của hạt trong trường Coulomb. Chuyển động này được mô tả bởi hàm sóng:
ψnlm(r, θ, φ) = 1
rRnl(r)Ylm(θ, φ)
Các phần tử ma trận sẽ bằng các tích phân (12.30)-(12.32) nhân với các tích phân
Z
RnlRn0l0dr
Phép tính chứng tỏ rằng với điều kiện ∆l =±1, tích phân này khác 0 với mọi giá trị của ∆n =n0−n. Vậy không có quy tắc lọc lựa về lượng tử số chính n.
13.1. Định nghĩa các tiết diện hiệu dụng
Chúng ta hãy xét một thí nghiệm về sự tán xạ, thí dụ khi cho một chùm hạt đồng đều bắn phá một bia cố định. Giả sử chùm hạt có vận tốc~v = ~~k
m, trong đó m là khối lượng của hạt tới.
Thông thường trong các thí nghiệm, chùm hạt tới có mật độ khá loãng (trong một lò phản ứng mạnh, mật độ chùm neutron vào khoảng 1015−1017 hạt/cm2.s).
Bởi vậy có thể bỏ qua tương tác của các hạt trong chùm hạt với nhau và sự va chạm của từng hạt với bia coi như độc lập. Chúng ta hãy tính số hạt N bị tán xạ trong một đơn vị thời gian, theo góc khối Ω theo phương Ω = (θ, φ) cho trước. Số này sẽ tỉ lệ với mật độ dòng hạt J:
N =JΣ(Ω)dΩ (13.1)
Đại lượng Σ(Ω) có thứ nguyên diện tích, là thông số đặc trưng cho sự va chạm của các hạt, được gọi là tiết diện hiệu dụng của sự tán xạ theo hướng Ω.
Đa số các trường hợp, bia được tạo thành bởi N phần tử (các nguyên tử hoặc các hạt nhân), đó chính là các tâm tán xạ. Trước hết, vì khoảng cách giữa các nguyên tử (hay giữa các hạt nhân) đủ lớn so với bước sóng của các hạt tới (khoảng cách giữa các nguyên tử vào cỡ 10−10cm, còn bước sóng của các electron có vận tốc 105m/s vào cỡ 10−15cm), do đó có thể bỏ qua hiện tượng nhiễu xạ (điều kiện Bragg dsinθ= nλ không được thực hiện). Ngoài ra, nếu bỏ qua tương tác của các tâm tán xạ với nhau và nếu bia đủ mỏng để có thể loại trừ sự tán xạ nhiều lần, thì N phải tỉ lệ với số tâm tán xạ:
N =J N σ(Ω)dΩ (13.2)
Diện tíchσ(Ω) được gọi là tiết diện tán xạ hiệu dụng của các hạt lên tâm tán