Chương 3. HỆ TIÊN ĐỀ THỨ HAI CỦA CƠ HỌC LƯỢNG TỬ 45 3.1. Các đại lượng động lực và các toán tử
4.1. Dạng các toán tử trong hệ toạ độ Descartes
Trong chương này, dựa trên hệ tiên đề thứ hai của cơ học lượng tử, chúng ta đi xây dựng dạng của các toán tử quan trọng nhất trong cơ học lượng tử: toán tử Hamilton, toán tử xung lượng, toán tử moment xung lượng, và toán tử toạ độ trong hệ toạ độ Descartes, hệ toạ độ cầu và hệ toạ độ trụ. Ngoài ra, do tính đối xứng của bài toán cụ thể, người ta còn xây dựng dạng của các toán tử trong một số hệ toạ độ (elliptic, parabolic, hyperbolic, ...) mà ở đây chúng ta sẽ không đề cập đến.
1. Các toán tử toạ độ
Trong hệ toạ độ Descastes vuông góc, không gian cấu hình của hạt là không gian ba chiều thông thường: q1 = x, q2 = y, q3 = z. Theo tiên đề mục 3.1, các toán tử tương ứng là các toán tử nhân ˆx = x, yˆ= y, zˆ= z. Ba toán tử ˆx, y,ˆ zˆ lập thành toán tử vector bán kính ˆr = ˆx~i+ ˆy~j + ˆz~k. Kết quả việc tác dụng toán tử toạ độ nào đó lên một hàm của toạ độ và thời gian là việc nhân đơn thuần toạ độ đó với hàm đó.
ˆ
rψ(~r, t) =~rψ(~r, t) =ψ0(~r, t) (4.1) Như vậy, tác động của toán tử ˆU(~r) là một hàm của toán tử ˆr lên hàm ψ(~r, t) tuân theo quy tắc:
Uˆ(~r)ψ(~r, t) =U(ˆr)ψ(~r, t) =U(~r)ψ(~r, t) = Φ(~r, t) (4.2) Có thể mở rộng cho hệ nhiều hạt:
Uˆ(~r1, ..., ~rn)ψ(~r1, ..., ~rn, t) =U(~r1, ..., ~rn)ψ(~r1, ..., ~rn, t) (4.3)
2. Các toán tử xung lượng
Theo tiên đề mục 3.1 trong hệ toạ độ Descartes các toán tử hình chiếu xung lượng của một hạt
ˆ
px =−i~
∂
∂x, pˆy =−i~
∂
∂y, pˆz =−i~
∂
∂z (4.4)
Các toán tử hình chiếu xung lượng (4.4) lập thành toán tử vector xung lượng ˆ
p= ˆpx~i+ ˆpy~j+ ˆpz~k =−i~ ~i ∂
∂x +~j ∂
∂y +~k ∂
∂z
!
=−i~∇ (4.5) Các hàm riêng, giá trị riêng của các toán tử (4.4 - 4.5) được trình bày trong bài tập 10.1.
Hàm riêng (3.23) của toán tử ˆp chỉ khác hàm sóng de Broglie nhân tử đơn sắc exp −i
~ Et
!
có modul bằng đơn vị. Bởi vậy hàm riêng của toán tử ˆplà hàm sóng của hạt chuyển động tự do với xung lượng xác định p.~
Toán tử xung lượng của hệ n hạt là ˆ
p=
n X s=1
ˆ
ps= −i~
n X s=1
∇s= −i~
n X s=1
~i ∂
∂xs +~j ∂
∂ys +~k ∂
∂zs
!
(4.6) 3. Toán tử Hamilton
Toán tử Hamilton là toán tử quan trọng vào bậc nhất của cơ học lượng tử.
Trong hệ toạ độ Descartes, toán tử Hamilton của một hạt gồm toán tử động năng của nó và toán tử hàm lực
Hˆ = ˆK + ˆU Toán tử động năng ˆK = pˆ2
2m =− ~2
2m∇2, còn toán tử hàm lực ˆU = U(~r, t) là toán tử nhân phụ thuộc vào toạ độ~r và thời gian t, thành thử
Hˆ =− ~2
2m∇2+U(~r, t) (4.7) Nếu U =U(~r)∈/ t, thì nó được gọi là thế năng. Lúc đó:
Hˆ =− ~2
2m∇2+U(~r) (4.8)
Trong trường hợp tổng quát nếu hạt chuyển động trong một trường lực phụ thuộc vào vận tốc, gia tốc..., thì:
Hˆ =− ~2
2m∇2+ ˆW (4.9)
Trong vế phải của (4.9), thành phần đầu là toán tử động năng của hạt còn thành phần ˆW mô tả chuyển động của hạt trong trường lực tổng quát.
Đối với một hệ n hạt, dạng tổng quát của toán tử Hamilton là:
Hˆ =
n X s=1
− ~2 2ms∇2s
!
+ ˆW0 (4.10)
Trong đó ˆW0 là thành phần viết cho trường lực tổng quát nào đó mô tả tương tác tổng quát của các hạt trong hệ và là hàm của tọa độ các hạt và thời gian,...vv.
4. Toán tử Hamilton của hạt mang điện trong điện từ trường
Ta xét hạt điện tích e, khối lượng m chuyển động phi tương đối tính trong điện từ trường (E, ~~ B) tuỳ ý. Điện từ trường này có thể biểu diễn qua thế vector A~ và thế vô hướng ϕ:
E~ = −gradϕ− ∂ ~A
∂t B~ = rotA~
với điều kiện định cỡ Lorentz: divA~ = 0.
Từ biểu thức của hàm Lagrange mô tả chuyển động của điện tíche trong điện từ trường:
L= 1
2m~v2+e ~A~v −eϕ suy ra mối liên hệ giữa xung lượng suy rộng P~ = ∂L
∂~v và xung lượng p~= m~v:
P~ = ∂L
∂~v =m~v+e ~A =~p+e ~A (4.11) Nếu ngoài lực điện từ ra còn có những lực khác diễn tả bởi hàm lực U(~r, t), thì biểu thức của hàm Lagrange trong trường hợp đó:
L(~r, ~v, t) = 1
2m~v2+e ~A~v −eϕ−U(~r, t) và biểu thức của hàm Hamilton:
H(Pk, qk, t) = X
k
Pkq˙k−L(qk,q˙k, t) =P ~~v−L(~r, ~v, t)
= 1
2m(P~ −e ~A)2+eϕ+U(~r, t) (4.12)
Chúng ta sẽ lượng tử hoá hàm Hamilton (4.12) và xung lượng suy rộng (4.11) theo tiên đề mục 3.1.
P~ → Pˆ =−i~∇ (4.13)
H → Hˆ = 1
2m( ˆP −eA)ˆ 2+eϕˆ+ ˆU (4.14) Biểu thị:
( ˆP −eA)ˆ 2 = ( ˆPx−eAˆx)2+ ( ˆPy−eAˆy)2+ ( ˆPz−eAˆz)2 Tính riêng từng số hạng:
( ˆPx−eAˆx)2 = ( ˆPx−eAˆx)( ˆPx−eAˆx) = ˆPx2−eAˆxPˆx−ePˆxAˆx+e2Aˆ2x
= Pˆx2−2eAˆxPˆx+ie~
∂
∂x
Aˆx+e2Aˆ2x Khi tính toán các phép nhân toán tử đã tính đến:
ePˆxAˆxψ = −ie~
∂
∂x(Axψ) =−ie~
∂Ax
∂x
!
ψ−ie~Ax∂ψ
∂x
= −ie~
∂Ax
∂x +eAˆxPˆx
!
ψ Vì ψ tuỳ ý, cho nên:
ePˆxAˆx =−ie~
∂Ax
∂x +eAˆxPˆx Hoàn toàn tương tự:
( ˆPx−eAˆx)2 = Pˆx2−2eAˆxPˆx+ie~
∂
∂x
Aˆx+e2Aˆ2x ( ˆPy−eAˆy)2 = Pˆy2−2eAˆyPˆy+ie~
∂
∂y
Aˆy+e2Aˆ2y ( ˆPz−eAˆz)2 = Pˆz2−2eAˆzPˆz+ie~
∂
∂z
Aˆz+e2Aˆ2z Từ đây suy ra:
( ˆP −eA)ˆ 2 = ˆP2−2eAˆPˆ+ie~ div ˆA+e2Aˆ2 = ˆP2−2eAˆPˆ+e2Aˆ2 (4.15) Kết quả cuối cùng của (4.15) đã tính đến điều kiện định cỡ Lorentz divA~ = 0.
Như vậy toán tử Hamilton mô tả chuyển động của hạt có khối lượng mvà điện tích e trong điện từ trường (E, ~~ B) có dạng:
Hˆ =− ~2
2m∇2+i~e m
A∇~ + e2 2m
A~2+eϕ+ ˆU (4.16)
Thành phần thứ nhất mô tả chuyển động tự do của hạt, thành phần thứ hai và thứ ba mô tả chuyển động của hạt trong từ trường, thành thứ tư mô tả chuyển động của hạt trong điện trường, còn thành phần cuối cùng mô tả chuyển động của hạt trong trường lực U(~r, t).
5. Các toán tử moment xung lượng
Theo cơ học cổ điển, một hạt chuyển động trên quỹ đạo cong tại điểm có bán kính chính khúc vector~r, xung lượng~p, sẽ có moment xung lượng đối với trục tức thời đi qua tâm chính khúc lúc đó là ~L = ~r×~p. Như vậy toán tử moment xung lượng của hạt là ˆL= ˆr×pˆ=−i~(ˆr× ∇) và các toán tử hình chiếu moment xung lượng của hạt sẽ có dạng:
Lˆx =ypˆz−zpˆy =−i~ y ∂
∂z −z ∂
∂y
!
Lˆy = zpˆx−xpˆz =−i~ z ∂
∂x −x ∂
∂z
!
Lˆz =xˆpy −ypˆx =−i~ x ∂
∂y −y ∂
∂x
!
(4.17)
Còn toán tử bình phương moment xung lượng:
Lˆ2 = ˆLLˆ = ˆL2x+ ˆL2y+ ˆL2z. (4.18)