giáo trình Cơ học lượng tử

Tính chất tổng quát của nghiệm phương trình Schrodinger trong 3... Sự chuyển từ phương trình Schrodinger phụ thuộc thời gian về Cnương VI.. Phương trình Klein - Gordon của hạt không có s

v ũ V Ă N H Ù N G

LƯỢNG Tư

Cơ HỌC

N H À X U Ấ T B Ả N Đ Ạ I H Ọ C s ư P H Ạ M

v ũ V Ă N H Ù N G

C ơ HỌC LƯỢNG TỬ

(T úi ban lần thứ I x ỉ )

NHÀ XU ẤT BẢN ĐẠI HỌC s ư PHẠM

MỤC LỤC

§2.8 Phương trình Schrodinger trong biểu diễn tọa độ và biểu diễn xung lượng 67

C h ư ơ n g IV N G H IỆ M P H Ư Ơ N G T R ÌN H S C H R O D IN G E R M Ộ T C H IỂ U 103

§4.1 Tính chất tổng quát của nghiệm phương trình Schrodinger trong

3

§4.2 Hố thế hút vuông góc có bề cao hữu hạn 110

§4.8 Dạng ma trận của các toán tử sinh, huỷ a, a* và trị trung bình của

§5.2 Sự chuyển từ phương trình Schrodinger phụ thuộc thời gian về

Cnương VI CHUYỂN ĐỘNG CỦA HẠT TRONG TRƯỜNG XUYÊN TÂM 159

§6.1 Toán tửmomen xung lượng - Hàm riêng và tri riêng của toán tử

C h ư ơ n g V III HỆ H Ạ T Đ Ồ N G N H Ấ T 215

§8.4 Toán tử sinh và hủy hạt fermion - Hàm sóng trong biểu diễn số lấp đấy 235

C h ư ơ n g IX C Á C P H Ư Ơ N G P H Á P G Ầ N Đ Ú N G T R O N G

C h ư ơ n g X C H U Y Ể N Đ Ộ N G C Ủ A H ẠT TÍC H Đ IỆ N T R O N G

§12.2 Phương trình Klein - Gordon của hạt không có spin trong điện từ trường 299

õ

LỜI NÓI ĐẨU

Cơ học lượng tử là m ôn học rấ t quan trọ n g của v ậ t lí lí th u yế t, đó là cơ

sở lí lu ậ n để nghiên cứu các hệ vi mô, nghiên cứu cấu trú c của vật chất,

Do đó Cơ học lượng tử là k iế n thức cơ bản cho v ậ t lí học, hoá học và nhiều ngành k ĩ th u ậ t hiện đại khác

Giáo trìn h 4tCơ h o c lư ợ n g tử ' dược viế t theo chương trìn h môn

Cơ học lượng tử giảng dạy trong mấy năm gần đây ở trường Đại học Sư

phạm Hà Nội và m ột số trư ờng Đại học Sư phạm khác Khổì lượng kiến thức được trìn h bày tron g cuôn sách là khá cần th iế t đê sinh viên có thể sử dụng trong nghiên cứu và ứng dụng vậ t lí hiện đại vào các lĩn h vực khoa học công nghệ Ngoài ra, giáo trìn h có thể làm tà i liệu tham khảo cho sinh viên các trường đại học khác có học môn Cơ học lượng tử

Tác giả xin chân th à n h cảm ơn các giáo sư N guyễn Hữu Tăng, Đỗ

Đ ìn h T h a n h và N guyễn Q uang Báu đã đóng góp n h iề u ý kiế n quý báu cho cuôn sách

Tác giả mong n hậ n được những ý kiê n đóng góp q uý báu của các đồng nghiệp và độc giả, để cuô"n sách hoàn th iệ n hơn tro n g các lầ n tá i bản sau

T á c g iả

Sự ra đ ờ i của các t h u y ế t n à y đã là m th a y đ ổ i tư d u y con n g ư ò i vô các

h iệ n tư ợ n g và q u á t r ì n h v ậ t lí tro n g t h ế g iớ i các h ạ t k íc h th ư ỏ c nhỏ

CỠ n g u y ê n tử (10 10m ) và n h ỏ hơn nữ a L í do là từ cuôì t h ế k ỉ X IX lí

th u y ế t cổ đ iể n b ị p h á sản k h i k h ô n g th ể g iả i th íc h được t ín h bển

v ữ n g của n g u y ê n tử , q u y lu ậ t bức x ạ c ủ a v ậ t đen tu y ệ t đ ố i, h iệ u ứ ng

q u a n g đ iệ n và h iệ u ứ n g C o m p to n , T ừ đó dẫn tó i sự ra đ ò i của

th u y ế t lư ợ n g tử và h ìn h th à n h cơ học lư ợ n g tử Đ i sâu vào t h ế g io i vi

mô, v ậ t lí cổ đ iể n tỏ ra b ấ t lự c và m â u th u ẫ n k h i g iả i th íc h các h iệ n

tư ợng N ộ i d u n g của g iá o t r ì n h n à y là n g h iê n cứu các q u y lu ậ t lư ợ n g

tử của các h ạ t v i mô

§1.1 Tính chất hạt của bức xạ

1.1.1 B ứ c x ạ c ủ a v ậ t đ e n t u y ệ t đ ô i

X é t m ộ t v ậ t đen p h á t ra bức xạ diệ n từ d ồ n g tn ờ i h ấ p th ụ n ă n g

lư ợ n g của n h ư n g bức xạ ch ie u tớ i, nếu th ự c h iệ n được bức xạ cân

b ằ n g th ì n h iệ t độ T của v ậ t lu ô n k h ô n g đổi N ă n g lư ợ n g của bức xạ cân b ằ n g có tầ n sô" góc b iế n đ ố i từ co đến a) -I- dco, c h ứ a tro n g m ộ t đơn

p = Ị p ( 〇 ),T )d (ú = - T T — I =00

Đế g iả i q u y ê t v â n đê n à y , P la n c k đã mô h ìn h hoá v ậ t đon tu y ệ t đôi gồm m ộ t sô h ữ u h ạ n các h ạ t là các dao đ ộ n g tử và g iả t h ie t n ă n g

lư ợ n g của các dao đ ộ n g tử c h ỉ có th ề n h ậ n n h ữ n g g iá t r ị g iá n đoạn,

b ằ n g m ộ t sô n g u y ê n lầ n lư ợ n g tử n ă n g lư ợ n g n h ỏ n n a t E

E = n e (n e N) (1.3)tro n g đó c tí lệ v ớ i tầ n sô của dao động

v ớ i h là h ằ n g sô P la n c k th u gọn, h~ 1 ,0 5 4 5 10 ^7ec.s, và h là h ằ n g sô"

P la n c k

h = 271ft = 6 ,6 2 5 6 10 27 ec.s

D ù n g p h ư ơ n g p h á p v ậ t lí thôVig kê và g iả t h u y ế t P la n c k , n g ư ờ i ta

đã t h ie t lậ p được công th ứ c cho m ậ t độ n ă n g lư ợ n g bức xạ:

N ế u c h ie u m ộ t c h ù m sá n g đơn sắc tầ n sô" 0) th íc h hợp lên m ặ t

m ộ t tấ m k im lo ạ i th ì có th ế là m cho tâ m k im lo ạ i p h á t xạ e le c tro n

H iệ n tư ợ n g n à y gọi là h iệ u ứ n g q u a n g đ iệ n N ă n g lư ợ n g củ a e le c tro n

p h á t ra chỉ p h ụ th u ộ c vào tầ n sô co m à k h ô n g p h ụ th u ộ c vào cường

độ á n h s á n g c h iế u tớ i

Đ ể g iả i th íc h các đ ịn h lu ậ t q u a n g đ iệ n , E in s te in cho rằ n g á n h sáng v ớ i tầ n sô" xác đ ịn h (0 gồm tậ p hớp các h ạ t p h o to n cố n ă n g

lư ợ n g E, x u n g lư ợ n g P xác đ ịn h : 0 = ^co, P - /ík

M ỗ i p h o to n tớ i bể m ặ t k im lo ạ i của c a tô t có th ô là m cho m ộ t

e le c tro n b ậ t ra k h ỏ i bề m ặ t n à y n ếu n ă n g lư ợ n g 8 của p h o to n lốn hơn c ô n g A cần t h iế t d ù n g để b ứ t e le c tro n ra k h ỏ i tấ m k im lo ạ i

Sử d ụ n g công th ứ c E in s te in :

10

tro n g đó m là k h ô i lư ợ n g , V là vận tôc của e le c tro n q u a n g đ iệ n th ì ta

có th ể g iả i th íc h được các đ ịn h lu ậ t q u a n g đ iệ n N h ư v ậ y , h iệ u ứ ng

q u a n g điện m ộ t lầ n n ữ a ch ứ n g tỏ n ă n g lư ợ n g được tra o đồi theo

từ n g lư ợ n g tử riê n g b iệ t và các bức xạ có tín h c h ấ t h ạ t T u y n h iê n , bản c h ấ t h ạ t của bức xạ được th ê h iệ n rõ n h ấ t tro n g h iệ u ứng

C h ia h a i vế (1.10) cho p tp 2 và c h ú ý đến hệ th ứ c P la n c k —E in s te in

入 ニ 一，ta th u được độ b iế n th iê n ciỉa bưóc sóng t ia X b ị tá n xạ:

p

ở đ â y X0 = » 4 1 0 1Jcm là bước sóng C o m p to n của e le ctro n

h ạ t N g à y n a y t ín h c h a t sóng của e le c tro n đã được ứ n g d ụ n g tro n g

k ĩ th u ậ t, tro n g m á y n h iễ u xạ e le c tro n , v v

T ừ lư ỡ n g tín h sóng h ạ t của á n h sáng, de B ro g lie đã g ia t h ie t

ra n g t a t cả các h ạ t v i mô n h ư e le c tro n vừa có tín h c h a i h ạ t, vừ a có

t ín h c h â t sóng K h á c y ó i sóng cơ học và sóng đ iệ n từ có th ể th u và

p h á t được, sóng m ổ i th e o g iả t h iế t của de B ro g lie lu ô n g ắ n liề n vói các v i h ạ t v ậ t c h à t c h u y ể n động D ù sóng de B ro g lie k h ô n g có ng u ồ n

th u và ng\iồn p h a t, nhưng ta có th e p h á t hiện ra n h ờ các hiẹn tượn^

v ậ t lí m à tro n g đó sóng de B ro g lie th ể h iệ n được tín h c h ấ t g ia o th o a

V í d ụ , ở n h iệ t độ T ss 3 0 0 K ta tìm đư ợc bư ỏc s ó n g de B r o g lie

X ^ 1，4 À có độ lố n cõ k h o ả n g cách giữa các n g u y ê n tư tro n g m ạ n g

t in h th ể Do đó c h ù m n ơ tro n n h iệ t sẽ g ây ra n h ie u xạ trê n m ạ n g tin h th ể tư rỉn g tự n h ư t ia X

B â y g iò c h ú n g ta sẽ đ á n h g iá độ lớ n bước sóng de B ro g lie củ a các h ạ t e le c tro n có khôii lư ợ n g m e « 9 ,1 1 0 ^31k g N ế u tă n g tô c c h o

m ộ t c h ù m e le c tro n q u a m ộ t h iệ u đ iệ n t h ế V , các e le c tro n sẽ có

V ó i h iệ u đ iệ n th ê V cở h à n g tr ă m vô n , độ d à i bưốc sóng de

B ro g lie củ a e le c tro n có th ể so s á n h được VƠI bước sóng của t ia X D o

đó có th ể q u a n s á t được h iẹ n tư ợ n g n h ie u xạ củ a các e le c tro n t r ê n

t in h tn e

T ro n g trư ờ n g h ợ p các e le c tro n được tă n g toc lớ n hơn, có n ă n g

lư ợ n g cỡ lG e V = 109eV ( le V = l, 6 1 0 'l9J ) th ì v ậ n tốc tư ơ n g ứ n g của

e le c tro n r ấ t g a n v ố i v ậ n toc á n h sá n g c D o đó, các hệ th ứ c liê n hệ:

— = - - - - 31〇1〇8-(m )= l，2 1 0 13( m ) = 1， 2 (fecm i)

E 1 ,6 1 0 '°

(1 fe c m i = 1 0 - 15m)Các e le c tro n được tă n g tốc có vận tốíc lớ n n h ư t r ê n được d ù n g đế

k h á m p h á cấ u tr ú c h ạ t n h â n nguyên tử , h a y cấu tr ú c của p ro to n vó i

b ie n dọ xác s u a t tìm th ấ y h ạ t ở v ị t r í f V ì v ị t r í có th ể của h ạ t là hen tụ c , nê n xác s u ấ t d P (r,t) tìm h ạ t vào th ờ i đ ie m t tr o n g yếu tô"

th e tíc h d 3r = d x d y d z t ạ i m ộ t diem xác đ ịn h b ở i ve c tơ t ia f ca n p h a i

t ỉ lệ v ớ i d 3r K h i đó b ìn h p h ư ơ n g m ôđun h à m sóng Ịvị/(r,t)| sẽ t i lệ v ớ i

m ậ t độ xác s u ấ t tìm th ấ y h ạ t, tức là:

d P (f,t) = C|v|/(r,t)|2d3r (1.18)

tro n g đó c là hẹ sô c h u a n hoá

N g u y ê n tắ c k h a i t n e n theo pho được áp d ụ n g cho các p h é p đo

m ộ t đ ạ i lư ợ n g v ậ t l í b ấ t kì T rư ớc hết, k ế t q u ả t ìm th ấ y p h a i th u ộ c

m ộ t tro n g các k ế t q u ả r ie n g {a} V ớ i m oi t r ị r ie n g a (tư ơ n g ứ n g là

k ế t qu ả đo đ ạ i lư ợ n g v ậ t lí A b a t k ì) dược liê n k ế t v ớ i m ộ t tr ạ n g

th á i n e n g , đó là m ộ t h à m n e n g V|/a(r) N e u VỊ；( r ,t 〇) = Vị；a(r) ( tr o n g đó

t 0 là t h ò i đ iể m th ự c h iệ n phép đo) t h ì k ế t q u ả đo lu ô n lu ô n n h ậ n

được là a Đôì vớ i trạ n g th á i b ấ t k ì V|/(r,t), xác s u ấ t Pa tìm dược t r ị riê n g a của m ộ t p h é p đo đ ạ i lư ợ n g v ậ t lí A vào th ờ i điể m t„ sẽ dược xác đ ịn h b ằ n g cách k h a i tr iể n h à m sóng Iị/(r,t0) th e o các sô h ạ n g của các h à m sóng Vị/a(r)

N ế u phé p đo đ ạ i lư ợ n g v ậ t lí A n h ậ n được g iá t r ị a th ì h à m sóng

mô tả tr ạ n g th á i của h ạ t n g a y sau phé p đo p h á i là :

v ( r , t 0) = V|/a(r) (1.2 1)

Đ ô i vố i m ộ t h ạ t v ậ t c h ấ t k h ô i lư ợ n g m k h ô n g tự do th ì tr ạ n g t h á i của h ạ t c ủ n g được m ô tả b ơ i h à m sóng iỊ；( r , t ) T a th ừ a n h ậ n sự b iê n đổi th e o th ờ i g ia n của tr ạ n g th á i V|y(f,t) tu â n th e o p h ư ơ n g tr ìn h :

*2

=一~— Av|/(r,t) 4 V (r,i)v ị；( r , t) (1.2 2)

và gọi là p h ư ơ n g t r ì n h S c h ro d in g e r, tro n g do A là to á n tử L a p la c e :

A d2 dx2

d 2 d2

d y 2 ÕZA

P h ư ơ n g t r ì n h S c h ro d in g e r là tu y ế n tín h và th u ầ n n h ấ t Các h à m sóng Vị/(r,t) là n g h iệ m của p h ư ơ n g t r ì n h tu y ế n t ín h sẽ th o ả m ã n

n g u y ê n lí ch ồ n g c h ấ t tr ạ n g th a i: M ộ t h ạ t có th e ơ tro n g tr ạ n g th a i

16

biể u d iễ n b ở i h à m sóng Vị；!, và có th ể ở tr ạ n g t h á i b iể u d iễ n b ở i h à m sóng \ụ2 th o ả m ã n p h ư ơ n g tr ìn h S c h ro d in g e r t h ì h ạ t đó có th ế ở

T rư ờ n g h ợp đơn g iả n là h ạ t c h u y ể n đ ộ n g th e o m ộ t tr ụ c O x có hàm sóng V|/(x,t), t h ì xá c s u a t tìm th ấ y h ạ t tr o n g k h o ả n g từ X đôn

đ iể n và tr ạ n g t h á i lư ợ n g tử T rạ n g t h á i cổ a ie n của m ộ t h ạ t vào th ò i

a ie m t được xác đ ịn h b ở i 6 th a m sô" là to ạ độ và v ậ n tố c của nó: X, y ,

z, v x, v y, v z T r ạ n g t h á i lư ợ n g tử c iia m ộ t h ạ t được xá c đ ịn h bói m ộ t

sô vô h ạ n các th a m sô' là giá t r ị các đ iể m k h á c n h a u tro n g k h ô n g

h k 2 (ứ = ——

T ừ hệ th ứ c de B ro g lie (1.12): E = /?co; p = ^ k s u y ra n ă n g lư ợ n g E

và x u n g lư ợ n g P của h ạ t tự do th o ả m ãn p h ư ơ n g t r ì n h cơ b ả n tro n g

cơ học cố đ iể n :

V ì: |v|；( f, t) |2 = |A|2 I exp i( k f - co t) |2= |A|2 nên các sóng p h ẳ n g lo ạ i n à y

b iể u d iễ n m ộ t h ạ t có xác s u ấ t x u ấ t h iệ n đ ồ n g đều ở m ọ i n ơ i tro n g

k h ô n g g ia n

The o n g u y ê n lí ch ồ n g c h ấ t trạ n g th á i th ì tổ hợp tu y ế n tín h các sóng p h a n g có d ạ n g (1.30) c ũ n g sẽ là n g h iệ m của p h ư ơ n g t r ì n h (1.29):

VỊベ?，t) = — Jg( k) exp Ị^i(kr - (0 t)Jd3k (1.33)

(d^k xác đ ịn h y e u to th e tích tron g không g ia n k có d ạ n g d3k = d k x dky dkz); g(k) có th ể là sô’ phức

H à m sóng có d ạ n g c h ồ n g c h ấ t của các sóng p h ẳ n g (1.33) g ọ i là

m ộ t "bó sóng'* ba ch ie u Đ ể đơn g ia n , c h ú n g ta th ư ờ n g n g h iê n cứu trư ờ n g hợ p bó sóng m ộ t c h ie u n h ậ n được b a n g cách c h ồ n g c h a t các sóng p h ả n g :

Vị/(x, t) - A exp |i[k x - co(k)t]Ị

N h ư v ậ y bó s ó n g m ột c h ie u ch ỉ p h ụ th u ộc và o X và t.

V[；(x,t) = -~=r J g (k )e ''kx，，(kH'dk (1.34)

N e u ch ọ n gổc t h ơ i g ia n t = 0, th ì bó sóng m ộ t c h ie u vào th ò i a ie mnày là:

các sóng phăng eikx, ta hãy xét iị/(x,0) chỉ là tổng của ba sóng phẳng.

V e ctơ sóng của các sóng n à y lầ n lư ợ t b ằ n g k〇, k〇 — —— ，k〇 + ど 一，và

b iê n độ của c h ú n g t ỉ lệ v ớ i 1 , - và tư ơ n g ứ ng K h i đó ta có:

VỊ/(X) = g ( k〇)

elk〇x4- —e1 i(k〇-—-) X

2

1 i(k〇+ )x+ — e

Công th ứ c n ày c h ứ n g tỏ rằ n g k h i độ rộ n g A k của h à m |g(k)| nhô

hơ n th ì độ rộ n g Ax của h à m |v|；(x)| sẽ lớn hơn

T rở lạ i trư ờ n g h ợ p bó sóng tổ n g q u á t xá c đ ịn h b ở i (1.3 5) Bó sóng có h ìn h d ạ n g là k ế t q u ả xe n p h ủ vào n h a u của các sóng p h ẳ n g

và |v|/(x, 0)| sẽ cực đ ạ i k h i các sóng p h ẳ n g k h á c n h a u đó đ ồ n g p h a

v ớ i n h a u

UỌ1 a (k ) là a c g u m e n củ a h à m g(k).

G iả sử r ằ n g a (k ) b iế n th iê n trơn tru tr o n g k h o ả n g [k〇

k0 + — — ] , kh i Ak nhỏ người ta có th ể khai triển a(k) lâ n cận k = k〇

Ak

~2

a ( k ) « a ( k 0) + ( k - k 0) ^ k = k 0 (1.40)

Sử d ụ n g các b iể u th ứ c ( 1 3 9 ) ,( 1 4 0 ) ta có th ể v iế t lạ i (1 3 5 ) dưối dạng:

T h ự c ra , các g iá t r ị k h ả d ĩ củ a x u n g lư ợ n g p c ũ n g g io n g n h ư toạ

độ X đểu lấ y g iá t r ị liê n tụ c và |g(k)|2 sẽ tỉ lệ vớ i m â t độ xác su ấ t,

n g h ĩa là ta có (sai k h á c m ộ t th ừ a số):

dp(k) = |g(k)|2 dk

tro n g đó d p (k) là xác s u ấ t để n h ậ n m ộ t g iá t r ị x u n g lư ợ n g n ằ m giữa

hk và ^ (k + d k ) B iể u th ứ c (1.35) được v iế t lạ i d ư ớ i d ạ n g :

V ì Ap = A A klà độ rộ n g của đường cong b ie u d iễ n |v|>(p)|, nên (1.45)

N ếu c h ia cả h a i vê của p h ư ơ n g t r ì n h n à y cho tíc h cp(r)x(t), ta

N h ư vậ y , n g h iệ m của p h ư ơ n g t r ì n h S c h ro d in g e r (1.4 9) có d ạ n g:

V|/(r,t) = A (p (f)e -iùỉt (1.5 4)tro n g đó cp(r) là n g h iệ m của p h ư ơ n g t r ì n h (1.53)

H à m sóng (1.5 4) gọi là n g h iẹ m d ừ n g của p h ư ơ n g t r ì n h

—A + V (r) cp(r)=E(p(r) (1.55)2m

v ớ i e2 - q (q là đ iộ n tí('h của e le c tro n ) Sử d ụ n g hệ th ứ c b ấ t

đ ịn h g iữ a to ạ độ và x u n g lư ợ ng Ax.AP > /7, ch ứ n g tỏ rằ n g trạ n g

t h á i cơ b ả n (có n ă n g lư ợ n g nhổ n h ấ t) tư ơ n g ứ n g v ớ i b á n k ín h

B o h r th ư n h ấ t c iia e le c tro n r 0 = a〇 = — , được xác đ ịn h bơi

me2công th ứ c E0 me

2 ^

đ ịn h H e is e n b e rg H ơ n nữa, ta chỉ có th e tiê n đ oá n xác s u ấ t của các

sự k iệ n tư ơ n g la i m à th ổ i §ự kh ắ c b iệ t th ử h a i củ a các tr ạ n g th á i

§2.1 Không gian vectơ E - không gian vectd Euclide

Ta biế t rằng cơ học Newton xây dựng trê n cơ sở k h á i niệm không gian

ba chieu Euclide thông thường Các đại lượng v ậ t lí như tọa độ f , vận tốc

や，gia tốỉc ă , xung lượng P = m々，momen xung lượng L = ? 八 p，v v … của một h ạ t hay hệ h ạ t là những vectơ của không gian ba chiểu đó

Để n g h iê n cứu chuyển động tương đôl của các h ạ t có vận tỗic so sánh được với vận tôc ánh sáng, ta sử dụn g k h á i niệm k h ô n g gian - th ờ i gianbôn chiểu (kh ô n g gian M in k o v s k i) K h i đó vectơ n ă n g — xu n g lư ợng ( — ，

không gian E uclide ba chieu và M in k o v s k i Dôn chieu, các không gian

trừ u tượng này là những tập hợp vectơ, tro n g đó có xác đ ịn h h a i phép tín h quen thuộc: phép cộng vectơ với vectơ và phép nhâ n vectơ với m ột so phức H a i phép tín h này đều cho nhữ n g vectơ thuộc kh ô n g gian đang xét

và cũng có tín h c h ấ t phân phốỉ, k ế t hợp, giao hoán, v.v

2.1.1 K hôn g g ia n v e c tơ E

(x, y, z ) với phép cộng hai phần tư X, y bất kì và phép nhân m ột phan tủ

X bat kì với m ột số thực X thoả mãn các tin h chất sau:

4 Với mỗi phần tú X, tồn tại p h ầ n tử đỏi xứng ( X) sao cho X + ( - X)

M ỗ i p h ầ n tử X, y, z, của tậ p hợp E gọi là m ộ t vectơ K h ô n g g ia n E

đ ịn h n g h ĩa VÓI A G R gọi là kh ô n g g ia n th ự c, v ớ i X là so phức (A, G c, c

tr ie n d u y n h â t d ư ớ i d ạ n g tổ hợp tu y ế n tín h của các vectơ cơ sở:

Sau k h i đã chọn cơ sở {e,} th ì các to ạ độ Z, của m ộ t ve ctờ z nào dó

(z e E ) l à xác đ ịn h Có th ể b iể u d iễn vectơ z b ằ n g m ộ t m a tr ậ n cột có n

phầ n tử là n toạ độ Zj：

M a t r ậ n cột (k í h iệ u là Z) p h ụ th u ộ c vào v iệ c ch ọ n cơ sở C ù n g

m ộ t vectơ z tro n g h a i cơ sở k h á c n h a u sẽ có to ạ độ k h á c n h a u và b iể u

d iễ n b ở i h a i m à t r ậ n cộ t k h á c n h a u

2 1 2 K h ô n g g ia n v e c t ơ E u c lid e

T ro n g k h ô n g g ia n ve ctơ th ự c E đã cho, tíc h vô hư óng của h a i vectơ

X, y G E, k í h iệ u là (x, y ) l à m ộ t sô th ự c sao cho:

1 (X, y) = (y, X) V x, y G E (giao h o á n )

2 (X，入y ) = 人(X，y) V x, y e E, VA E R (k ế t hợp)

3 (x + y, z) = (x, z) + (y, z) V x, y, z e E (p h â n p h ô i)

k h i đó E gọi là k h ô n g g ia n vectơ v ố i tíc h vô h ư ớ n g

N ế u th o ả m ã n th ê m a ie u k iẹ n xác đ ịn h dư ơn g:

H ai vectơ trực g ia o với n h a u nếu tích vô h ư ớng b ằ n g không:

(x, y) = 0

Từ định n g h ía của cơ sở {e,} su y ra tron g k h ô n g g ia n E u clid e các

v ectơ cơ sở e ìy e 9, ,e n trự c g ia o n h au

(ei? ej) = 0 n ếu i t i

v à có độ d à i b ằ n g đơn v ị (ch u ẩn hoá): (e„ e3) = 1

T ín h ch ấ t trực c h u ẩ n của h ệ cơ sở như vậy có th ể v iế t lại như sau:

Đ ối vối không gian phức z, tích vô hướng của h a i vectơ bất kì X, y G z

k í h iệ u là (x, y) v à th o ả m ãn n h ữ n g đ iều k iện sau :

k h ô n g g ia n z gọi là k h ô n g g ia n E u clid e phức h a y k h ô n g g ia n U n ita

T ron g k h ô n g g ia n U n ita các toạ độ X, của v ectơ X； X = (x^ x 2, , xn) noi ch u n g là các sôi phức T ích vô hư ớng của h a i vectơ X, y có dạng:

35

' x丨' x2

Do đ ó , tậ p hợp ta t cả các h à m m ột đoi so, VƠI các phép cộ n g và n hân làm th à n h m ột k h ô n g g ia n vectơ, gọi là k h ô n g g ia n h àm m ột đoi so Tập hợp các hàm :

x° = 1 ,X 2, X'\ x n, là m ột cơ sở củ a k h ô n g g ia n n ày.

L ập đ ồn g n h ấ t thức:

入0X0 + ん父1 + 入2X3 + … + 入nxn = 0 ,（n: tuỳ ý) vổi hệ sô' phức 入m Đồng nhất thức trên chỉ thoả mãn khi tất cả các hệ số Xm đều bằng không Do n là tuỳ

ý, chúng ta thấy rằng không gian hàm một đôi sô có tồn tại vô sô vectơ độc lập tuyến tính với nhau, nghĩa là chiều của không gian này bằng vô cùng.

Xét ví dụ về khong gian vectơ trừu tượng có chieu hữu hạn.

* Trong không gian vectơ, chang hạn không gian hàm một đôì so, ta lấy một s ố phần tử xác định: fj(x) (i = 1 , 2 , m) và xét tổ hợp tuyên tính

của các phan tử đó với các hệ so phức: 2^^!^ •

lí đang xét có thể ở trạng thai V Ị； J và trạng thai vị/2, thì hệ cũng có the ơ trạng thái CịVỊ； ! + C2vị/2 (〇! và C2 là s ố phức bất kì) là tổ hợp tuyến tính của các trạng thai trên Đieu này phản ánh một nguyên lí quan trọng trong cơ học lượng tử, gọi là nguyên lí chồng chất trạng thái.

Nêu đưa vào định nghĩa tích vô hướng của hai hàm sóng (ọ(x), V|/(x)), kí hiẹu bơi ((p, Vị/) là một so phức:

(ọ, Vị/) = jdxcp*(x)vị；(x) sao cho:

1 (cp ， VỊ ゾ） = (Vị ；， cp)* Vcp, Vị/ e z

2 (cp，Vị； 入）= 入((p，VỊi) Vọ, lị/ và v> G c (tập hợp s ố phức)

3 ( cp! + cp2, Vị/) = (CP!,^) + (p2, \ụ) Vcp!, cp2, Vị/ G z

37

4 (cp, Vị；) > 0 Vvị/ E z và (vị/, \ụ) = 0 khi và chỉ khi Vị ； (x ) = 0 thì không gian hàm sóng z là không gian Euclide phức hay không gian Unita.

Tính chất trực giao của hai hàm sóng được xác định từ định nghĩa:

(ọ, Vị；) = 0, và tính chất chuẩn hoá của hàm sóng được viết dưới dạng: (vị/, Vị/)= 1 Trong không gian hàm sóng, các hàm U n(x) thoả m ãn tính chất trực chuẩn

(Un, U J = jdxƯ：(x )U m(x) = ôlim

làm thành một cơ sở của không gian đó Khi đó ta có thể khai triển mọi hàm sóng thuộc không gian hàm sóng theo cơ sở {Un}

Không gian H ilbert là tách dược nếu nó chứa m ột tập hợp trù mật đếm được của các vectơ Tập hợp trù m ật là tập hợp mà trong đó mỗi vectơ có thê là giới hạn của một chuỗi vectơ của tập hợp (ví dụ các sô hữu

tỉ hợp thành một tập hợp trù m ật trong tập hợp các s ô thực).

Không gian Hilbert là tách được, nếu người ta tìm được ít nhât một cơ

sở đếm được của không gian đó.

T h í d ụ : Tập hợp các đơn thức 1， X，x2， ，xk，… （ vói k là sô nguyên)

là một cơ sở đếm được của không gian các da thức có bậc bât kì Tập

hợp các só n g p h ẳ n g e ikx (vói k là sô són g, có th ể có các g iá trị liên tục)

k h ôn g p h ả i là m ộ t cơ sở đ ẽm được.

Đoi với cờ sở đem được {ep i = 1 , 2, , n \: Gj, e 2, e n th ì m ột vectơ z dược k h a i tr iể n n h ư sau:

b M ột v ectờ củ a k h ô n g gian H ilbort có th ô k h a i trie n tro n g m ột

cơ sớ gỗm các v ectơ n am n g o á i khồng gian dó.

T h í d ụ : K h ô n g g ia n các hàm só n g trong cơ học lư ợ n g tứ th u ộ c vê

39

c T h à n h p h ầ n th ứ i ((p,) củ a vectơ cp tro n g k h ô n g g ia n có N (hữu

h ạn ) c h iề u b ằ n g h ìn h ch iế u củ a v ectơ cp lên v ectơ cơ sở th ứ i (ej).

(Pi = (ep (p)

M uôn xác địn h dược vectơ (p ta cần b iêt t ấ t cá N h ìn h c h iê u của

nó lên các vectơ cơ sở.

§2.3 Các vectơ ket, bra và biêu diễn của chúng

và so s á n h với p h ư ơn g tr ìn h (2 1 1 ), ta rú t ra sự tư ơ n g tự sau:

Các h àm n e n g u, —> cac vectơ cơ sỏ ẽị

H ệ sô k h a i triển Cị —> tích vô h ư ớ n g (ẽ ,，À)

G iư a k h ô n g g ia n vectơ v à k h ô n g g ia n tr ạ n g th a i H ilb ert có sự

tư ơng tự sâ u sa c, do đó ta có th ể dự đoán các to á n tử tro n g k h ô n g

g ia n H ilb ert từ các to á n tư tư ơ n g ứ n g tác d ụ n g tro n g k h ô n g g ia n vectơ tu y e n tín h T o n g cu a h a i vectơ tr ạ n g th a i lạ i là m ộ t v ectơ trạ n g

th a i và vectơ tr ạ n g th a i mới n à y là tích của m ột vectơ tr ạ n g t hai với

m ột sô" phức b ấ t kì.

Tương tự (2.12), tích vô hướng của hai hàm sóng Uị và V|/ cho phép ta xác đ ịn h hệ sô k h a i triể n C ị tron g công thức (2.13).

Cj = ídx u,\|；

Kí hiệu tích vô hướng tron g không gian vectd bởi <Ui|v|/>

Cj = <u,|vị/> = ídx u,*(x)vị/(x)

K í hiệu <u,|vị/> gọi là bracket, <u,| gọi là một hra còn |vị/>- ke t

Với k í hiệu m ỏi này, phương trìn h (2.13) được v iế t như sau: