Giáo trình cơ học lượng tử đại học BKHN

CƠ HỌC LƢỢNG TỬ CHƢƠNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI CƠ HỌC LƯỢNG TỬ PHI TƯƠNG ĐỐI TÍNH 2012 npktho@gmail.com - 0904999568 CƠ HỌC LƢỢNG TỬ CHƯƠNG 1: CHƢƠNG NHỮNG NGUYÊN LÝ CƠ SỞ CỦA CƠ HỌC LƯỢNG TỬ CƠ HỌC CỔ ĐIỂN Những nguyên lý sở học cổ điển đƣợc biết từ thời Newton (1643-1727), nhƣng cấu trúc toán học đạt tới mức hồn thiện cơng Lagrange (1736-1813), Hamilton (1805-1865) Jacobi (1804-1851) Do đó, học cổ điển thƣờng đƣợc trình bầy dƣới dạng hình thức luận (formalism) tƣơng đƣơng với học Lagrange, học Hamilton phƣơng trình Hamilton-Jacobi từ ta rút định luật Newton nhƣ hệ 1.1 Cơ học Lagrange Trong học Lagrange, trạng thái hệ có s bậc tự đƣợc mơ tả 2s đại lƣợng gồm s tọa độ suy rộng q  (q1 , q , q s ) s tốc độ suy rộng q  (q1 , q , q s ) Mọi thông tin hệ nằm hàm Lagrange L  L(q, q , t )  L(q1 , q , q s ; q1 , q , q s ; t ) Phƣơng trình chuyển động hệ hệ phương trình Lagrange d  L  dt  q i  L    , i  1,2, s  qi (1.1) Đặc biệt, hệ hạt ( s  3) , tức hạt khối lƣợng m , hàm Lagrange hay lagrangien hệ tọa độ Descartes hạt có dạng tổng quát L  T U  p x2  p y2  p z2 2m  U ( x, y , z ) (1.2) Các đại lượng vật lý hay biến động lực hệ lượng hay hamiltonien E  H  T U  p x2  p y2  p z2 2m  U ( x, y , z ) (1.3) Ba thành phần vector xung lượng  p x  mv x    p  mv   p y  mv y   p z  mv z (1.4) Ba thành phần vector mômen xung lượng hay mơmen góc (mơmen xoắn)  Lx  ypz  zp y     L  [ r  p ]   L y  zp x  xpz   Lz  xp y  ypx npktho@gmail.com - 0904999568 (1.5) CƠ HỌC LƢỢNG TỬ CHƢƠNG Phƣơng trình Lagrange hệ định luật Newton  dp U   dt r (1.6) 1.2 Cơ học Hamilton Trong học Hamilton, trạng thái hệ có s bậc tự đƣợc mô tả 2s đại lƣợng gồm s tọa độ suy rộng q  (q1 , q , q s ) s xung lượng suy rộng p  ( p1 , p , p s ) Bản thân hệ đƣợc đặc trƣng hàm Hamilton: H  H (q, p, t )  H (q1 , q2 , qs ; p1 , p2 , ps ; t ) Hàm Hamilton hay hamiltonien có vai trò quan trọng lƣợng hệ Phƣơng trình chuyển động hệ hệ phương trình tắc Hamilton H qi H q i  pi p i   (1.7) (1.8) 1.3 Phƣơng trình Hamilton-Jacobi Để đơn giản, ta xét hạt chuyển động trƣờng lực Trong hình thức luận Hamilton – Jacobi, ngƣời ta dùng hàm S phụ thuộc tọa độ thời gian, gọi hàm tác dụng đặc trƣng cho hạt  S  S ( r , t )  S ( x, y , z , t ) (1.9) Phƣơng trình chuyển động hạt khối lƣợng m trƣờng lực U ( x, y , z ) phương trình Hamilton – Jacobi S    S  U ( x , y , z ) (1.10) t 2m    Giải phƣơng trình tìm đƣợc hàm tác dụng S ( r , t ) , từ tìm đƣợc biến động lực quan trọng nhƣ lƣợng vector xung lƣợng hạt theo công thức sau S t  S  p    S r E (1.11) (1.12) 1.4 Các dấu ngoặc Poisson Giữa biến động lực f g có định nghĩa ngoặc Poisson  f g f    g , f    qi pi pi qi   f , g    g i npktho@gmail.com - 0904999568 (1.13) CƠ HỌC LƢỢNG TỬ CHƢƠNG Nhƣ biết, hạt có biến động lực H , p x , p y , p z , Lx , Ly , Lz Giữa biến động lực tọa độ Descartes x, y, z (không phải biến động lực) có dấu ngoặc Poisson sau xi , xk   p i , p k   ; ; xi , pk    ik (1.14) Trong đó, i, k  1,2,3  x, y, z Các dấu ngoặc Poisson (1.14) dấu ngoặc Poisson Giữa thành phần vector mơmen xung lƣợng có dấu ngoặc quan trọng L , L   L x y Hay z ; L , L   L y z L , L   e i j ; x i jk L z , Lx   Ly (1.15) (1.16) Lk Trong đó, ei j k có giá trị  số i, j , k hoán vị chẵn; ei j k có giá trị  số i, j , k hoán vị lẻ; ei j k có giá trị số i, j , k có từ số trùng Qui ƣớc: e123  1 ; Thí dụ: e321  e123  1 (số hốn vị lẻ: hoán vị với 3); e231  e213  e123  1 (số hoán vị chẵn: hoán vị với hoán vị với 1); e122  ; e333  Ký hiệu ei j k gọi ký hiệu Levy – Civita tƣơng tự nhƣ ký hiệu Kronecker  ik Cuối dấu ngoặc Poisson hamiltonien biến động lực khác H , pi   Và H , Lz   ; (1.17) 2 H , L  (1.18)  Trong đó, L2  L2x  L2y  L2z bình phƣơng độ dài vector mômen xung lƣợng Định nghĩa: dấu ngoặc Poison biến động lực khơng, ta nói biến động lực giao hốn với nhau, thí dụ dấu ngoặc Poisson xi , x k   ; pi , p k   (1.14) Nếu dấu ngoặc Poisson biến động lực khác khơng, ta nói biến động lực khơng giao hốn, thí dụ dấu ngoặc Poisson (1.15) thành phần mômen xung lƣợng Nhận xét: Từ (1.17), nhận thấy hamiltonien H giao hoán với thành phần vector xung lƣợng p x , p y , p z từ (1.18) hamiltonien H giao hoán với thành phần trục z vector  mômen xung lƣợng L z bình phƣơng độ dài vector mơmen xung lƣợng L2 1.5 Nguyên lý tất định Laplace Nguyên Lý Tất Định (Certainty Principe) hay Tất Định Luận (Determinism) có nguồn gốc từ Luật Nhân Quả (The Law of Causality) cho rằng: kết xẩy nguyên nhân gây khứ, hay kiện xẩy nguyên nhân kiện diễn tƣơng lai Trong học cổ điển, nguyên lý tất định đƣợc phát biểu dƣới dạng: Nếu biết trước trạng thái ban đầu hệ, ngun tắc, học cổ điển tiên đốn xác trạng thái hệ thời điểm tương lai Đó nguyên lý tất định Laplace học cổ điển npktho@gmail.com - 0904999568 CƠ HỌC LƢỢNG TỬ CHƢƠNG CÁC LÝ THUYẾT TIỀN CƠ HỌC LƯỢNG TỬ 2.1 Bức xạ vật đen tuyệt đối – Thuyết lƣợng tử lƣợng Planck Năm 1900, nỗ lực giải vấn đề gây khủng hoảng vật lý học lúc đó: xạ vật đen tuyệt đối, Planck (!858-1947) đề xuất ý tƣởng táo bạo lượng tử hóa lượng , hồn tồn xa lạ với vật lý học cổ điển Theo đó, vật đen tuyệt đối phát xạ hay hấp thụ lượng cách gián đoạn dƣới dạng lượng tử lượng (energy’s quantum) Mỗi lƣợng tử lƣợng chứa lƣợng lƣợng tỷ lệ thuận với tần số xạ có giá trị   hf   (2.1) Trong đó, f tần số   2 f tần số góc xạ Hệ số h số đƣợc gọi số Planck h  6,625  10 34 Js   h 2  1,054  1034 Js gọi số Planck rút gọn Do đó, lƣợng vật đen tuyệt đối tổng lƣợng tử lƣợng E  n  nhf  n ; n  1,2,3, (2.2) Với giả thuyết thiên tài trên, Planck tìm đƣợc công thức suất phát xạ đơn sắc vật đen tuyệt đối nhiệt độ T hoàn toàn phù hợp với thực nghiệm   ( , T )   k BT  c e 1 (2.3) Trong đó, c  2,9979 108 m / s vận tốc ánh sáng chân không k B  1,3806 1023 J / K số Boltzmann Với công thức Planck trên, vấn đề xạ nhiệt cân vật đen tuyệt đối, hai bế tắc lớn vật lý học đầu kỷ 20, đƣợc giải trọn vẹn Từ công thức Planck (2.3), dễ dàng tìm đƣợc cơng thức Rayleigh – Jeans Wien coi nhƣ trƣờng hợp đặc biệt Thật vậy, Khi   k BT hay   0  h k B T , tức xạ điện từ có bƣớc sóng nhỏ, ta có exp ( k BT )  bỏ số mẫu số Từ công thức Planck tìm đƣợc cơng thức Wien npktho@gmail.com - 0904999568 CƠ HỌC LƢỢNG TỬ CHƢƠNG  ( , T )       exp    c  k BT  (2.4)        Khi   k BT hay   0  h k B T , ta có cơng thức gần đúng: exp  k BT  k BT    Do đó, cơng thức Planck qui công thức Rayleigh – Jeans k BT  ( , T )  k T  k B T  2B  2  c   c (2.5) Lƣu ý rằng, khác biệt là: công thức Rayleigh – Jeans Wien dựa quan niệm phát hay hấp thụ cách liên tục xạ Chúng công thức gần 2.2 Hiệu ứng quang điện – Thuyết lƣợng tử ánh sáng Eisntein Năm 1905 Einstein (1879 - 1955) phát triển ý tƣởng lƣợng tử lƣợng Planck đề xuất thuyết lượng tử ánh sáng hay thuyết photon , theo cho xạ điện từ ánh sáng tập hợp vô số lượng tử ánh sáng hay photon Nói khác đi, Einstein lƣợng tử hóa xạ điện từ, tức xem xạ điện từ ánh sáng cấu tạo rời rạc từ “hạt ánh sáng” hay photon So sánh đặc trưng sóng đặc trưng hạt ánh sáng: Sóng ánh sáng phẳng – đơn sắc Photon Tần số: f ,  Năng lƣợng:   hf    2  n Vector sóng: k   Tính chất sóng Vector xung lƣợng:   p  k Tính chất hạt Nhƣ vậy, ánh sáng vừa có tính chất sóng vừa có tính chất hạt, ánh sáng có lưỡng tính sóng – hạt Theo thuyết lƣợng tử ánh sáng, photon  có khối lƣợng m  , tốc độ c   108 m / s , điện tích q  nhƣng có spin s  , chúng tuân theo phân bố Bose – Einstein Thuyêt lƣợng tử ánh sáng giải thích thành cơng định luật thực nghiệm hiệu ứng quang điện, mà thuyết sóng điện từ ánh sáng Maxwell (1831-1879) giải thích đƣợc npktho@gmail.com - 0904999568 CƠ HỌC LƢỢNG TỬ CHƢƠNG   Lƣu ý để thiết lập công thức vector xung lƣợng photon p  k , Einstein sử dụng hệ thức lƣợng xung lƣợng hạt tƣơng đối tính E  m c  p c , hệ thức quan trọng thuyết tƣơng đối hẹp Vì photon độ có khối lƣợng m  , đó, lƣợng photon    hf  p c (2.6) Suy p  hf    k c c (2.7) Định nghĩa vector sóng ánh sáng  2  k  n (2.7)   Trong đó, n vector đơn vị phƣơng truyền ánh sáng  c  2 cT  2  , với   cT bước sóng ánh sáng chân khơng Do đó, ta tìm đƣợc biểu thức vector xung lƣợng photon   p  k (2.8) 2.3 Hiệu ứng Compton Thuyết điện từ ánh sáng Maxwell thất bại hồn tồn giải thích hiệu ứng Compton tán xạ chùm tia X (tia Roentgen) lên electron tự giả thiết đứng yên Để giải thích hiệu ứng Compton, ta khơng thể xem chùm tia X nhƣ sóng điện từ có bƣớc sóng cực ngắn theo thuyết điện từ ánh sáng Maxwell mà phải xem chúng chùm photon có tần số cao theo thuyết lƣợng tử ánh sáng Einstein Các photon có lƣợng cao va chạm đàn hồi với electron tự giả thiết đứng yên tuân theo định luật bảo toàn lƣợng hf  me c  hf   npktho@gmail.com - 0904999568 me c 1 v2 c2 (2.9) CƠ HỌC LƢỢNG TỬ CHƢƠNG Và định luật bảo toàn xung lƣợng   k  k    me v (2.10) 1 v2 c2 Phƣơng trình vector (2.10) tƣơng đƣơng với phƣơng trình đƣợc chiếu lên trục tọa độ x, y me v     cos  cos c c 1 v2 c2 (2.11) me v   sin   sin  c 1 v2 c2 (2.12) Và Từ phƣơng trình (2.9) , (2.11) (2.12), dễ dàng tìm đƣợc cơng thức        2     sin   me c 2 (2.13)  Đặt   2 c     2 c  vào (2.13), ta tìm đƣợc công thức tán xạ Compton biểu diễn hiệu bƣớc sóng theo góc tán xạ          4  C sin   2 11 Trong đó, C   me c  2,2 10 m gọi bước sóng Compton electron Dễ dàng tìm đƣợc động T electron sau va chạm đàn hồi với photon T        npktho@gmail.com - 0904999568 2C sin  2   2C sin  2 (2.14) (.2.15) CƠ HỌC LƢỢNG TỬ CHƢƠNG Hiệu ứng Compton chứng minh tính đắn thuyết photon Einstein khẳng định tính chất hạt ánh sáng Do đó, photon cần đƣợc xem hạt tƣơng tự nhƣ electron, positron, proton, neutron, neutrino, … Nhƣng tƣợng giao thoa nhiễu xạ ánh sáng lại chứng minh chất sóng ánh sáng Do đó, ánh sáng có tính lƣỡng ngun, vừa hạt vừa sóng 2.4 Giả thuyết De Broglie Năm 1924, Louis de Broglie (1892-1987) đƣa ý tƣởng thiên tài cho rằng: ánh sáng hay photon có lưỡng tính sóng hạt Nó thuộc tính phổ biến hạt vật chất Do đó, tất hạt vật chất biết nhƣ: electron, positron, proton, neutron, …đều có lƣỡng tính sóng – hạt  Theo ý tƣởng De Broglie, vi hạt tự có lượng E vector xung lượng p liên kết   với sóng phẳng – đơn sắc có tần số   E  vector sóng k  p  Sóng phẳng – đơn sắc liên kết với vi hạt tự có dạng    i   (r , t )  0 exp  ( pr  Et )   0 exp i [ k r   t ]     (2.15) gọi sóng De Broglie hay sóng vật chất (matter wave) So sánh vi hạt tự sóng De Broglie liên kết với Vi hạt tự Sóng De Broglie Hàm tác dụng:   S (r , t )   Et  pr Hàm sóng:   i   (r , t )  0 exp  ( pr  Et )     Năng lƣợng: E  p 2m Tần số sóng:   E  ; f  E h  2  n Vector xung lƣợng: k    Vector sóng: k  p   Khơng có đại lƣợng tƣơng ứng Bƣớc sóng De Broglie: D  h p  h 2mE  Trong công thức (2.15), 0  const biên độ   k r   t pha sóng De Broglie Nhƣ vậy, vi hạt có lưỡng tính hạt-sóng Tuy nhiên vấn đề chất sóng De Broglie khơng đơn giản: npktho@gmail.com - 0904999568 CƠ HỌC LƢỢNG TỬ CHƢƠNG Ta biết rằng, photon liên kết với sóng điện từ phẳng – đơn sắc hay sóng ánh sáng phẳng – đơn sắc, sóng tồn thực Các hạt vật chất nhƣ electron, proton, neutron,…cũng tồn thực, nhƣng sóng De Broglie liên kết với chúng sóng tồn thực nhƣ sóng điện từ hay sóng ánh sáng Vậy chất sóng De Broglie gì? Theo giải thích tác giả, sóng De Broglie liên kết với hạt vật chất tƣơng tự nhƣ phao tiêu dao động trơi dạt sóng nƣớc, đó, sóng De Broglie đƣợc gọi sóng hoa tiêu (pilot wave) hay sóng vật chất (matter wave) Nhƣng giải thích De Broglie nhanh chóng bị bác bỏ Pauli (1900-1958) hiệu ứng tán xạ phi đàn hồi Giải thích chất hàm sóng đƣợc thừa nhận vật lý đại giải thích thống kê Max Born (1982-1970) phát biểu năm 1953 2.5 Thí nghiệm Davisson – Germer Năm 1927, Davisson (1891-1958) Germer (1896-1971) thực thí nghiệm tán xạ chùm tia electron đơn tinh thể, kết nhận đƣợc hình nhiễu xạ electron kính ảnh tƣơng tự nhƣ hình nhiễu xạ chùm tia X đơn tinh thể mà Laue (1879-1960) thực Điều chứng tỏ chuyển động electron có tính chất sóng, đồng thời giả thuyết De Broglie đƣợc kiểm chứng thực nghiệm Nhƣ vậy, lưỡng tính sóng-hạt khơng phải đặc tính riêng photon mà thuộc tính phổ biến hạt vật chất electron, proton, neutron,… npktho@gmail.com - 0904999568 10 CƠ HỌC LƢỢNG TỬ CHƢƠNG 10 TÁN XẠ LƯỢNG TỬ CHƯƠNG 10 51 MỞ ĐẦU 51.1 Tán xạ cổ điển Theo học cổ điển, tán xạ va chạm hay tƣơng tác dòng hạt tới với tâm tán xạ, thƣờng tâm trƣờng lực đối xứng xuyên tâm, thí dụ tán xạ chùm hạt alpha He với hạt nhân nguyên tử vàng  79 Au 197  thí nghiệm Rutherford, lực đẩy Coulomb hạt nhân nguyên tử vàng hạt alpha làm chùm hạt alpha bị lệch so với phƣơng ban đầu   Tiết diện tán xạ vi phân d tỷ lệ với góc khối vi phân d  sin  d d d  D( ) d (51.1) Trong đó, D( ) hàm tán xạ xác định công thức D( )  dN N d (51.2) với N số hạt tới (incident particles) đơn vị tiết diện đơn vị thời gian dN số hạt tán xạ (scattering particles) góc khối vi phân d Vấn đề tán xạ cổ điển tìm hàm tán xạ D( ) phụ thuộc góc tán xạ  cho D( )  b( ) db( ) sin  d (51.3) Trong đó, b khoảng cách ngắm npktho@gmail.com - 0904999568 241 CƠ HỌC LƢỢNG TỬ CHƢƠNG 10 Nếu tìm đƣợc hàm D( ) , ta tính đƣợc tiết diện tán xạ toàn phần    D( ) d (51.4) Thí dụ1: Tán xạ cổ điển hạt cầu rắn tuyệt đối   b  R cos   2 db R     sin  d 2 D( )  R cos  2 R    R2  sin   sin  2    D( ) d   R2 d  R2  4 R   R Thí dụ 2: Tán xạ Rutherford chùm hạt alpha tâm lực đẩy Coulomb hạt nhân vàng  Ze d    mv   d   sin  2 (51.5)  Khoảng cách ngắm xác định b  2Ze mv cot  2 , Điện tích số vàng Z  79 npktho@gmail.com - 0904999568 242 CƠ HỌC LƢỢNG TỬ CHƢƠNG 10 51.2 Tán xạ lƣợng tử - Biên độ tán xạ Tán xạ lƣợng tử (quantum scattering) tƣơng tác hạt tán xạ (hạt tới) có khối lƣợng khối lƣợng rút gọn hạt “đạn” hạt “bia” với trường lực đối xứng xuyên tâm U (r ) Giả thiết chùm hạt tới chùm hạt tán xạ lỗng, bỏ qua tƣơng tác chúng, đồng thời chùm hạt tới từ xa vô chùm hạt tán xạ xa vơ cùng, trƣớc sau tƣơng tác xem chúng hạt tự Tán xạ lƣợng tử chia thành hai loại: tán xạ đàn hồi tán xạ không đàn hồi Tán xạ đàn hồi thỏa mãn định luật bảo toàn lƣợng bảo toàn xung lƣợng Tán xạ đàn hồi không làm thay đổi cấu trúc hạt tán xạ hạt “bia” Trong chƣơng này, xét tán xạ đàn hồi hạt spin Ngồi ra, ta giả thiết tƣơng tác U (r ) giảm nhanh r tăng, tức tƣơng tác hạt xẩy miền khơng gian nhỏ, trƣớc sau tƣơng tác hạt tán xạ (hạt tới) tự Giả thiết hạt tới (tự do) hay sóng tới (phẳng – đơn sắc) ei k z (đã chuẩn hóa), truyền từ trái qua phải dọc theo trục z , tƣơng tác với tâm lực đối xứng xuyên tâm U (r ) đặt gốc hệ tọa độ Sau tƣơng tác, hạt tán xạ hay sóng tán xạ đổi hƣớng rời xa tâm lực dƣới dạng sóng cầu phân kỳ f ( ,  )  e i k r r Hàm sóng tồn phần mơ tả chuyển động hạt tới hạt tán xạ khoảng cách r xa tâm tán xạ  (r , )  e i k z  f ( ,  ) ei k r r (51.6) Trong đó, k  2mE  vector sóng sóng tới hàm f ( ,  ) sóng cầu phân kỳ sóng phản xạ gọi biên độ tán xạ Vấn đề đặt xác định biên độ tán xạ f ( ,  ) Xác suất để hạt tới chuyển động tự với vận tốc v qua tiết diện tán xạ vi phân d khoảng thời gian dt dW   i dV  v dt d (51.7) Mặt khác, xác suất hạt tới qua d khoảng thời gian dt xác suất hạt tán xạ qua góc khối d khoảng thời gian dt với vận tốc v npktho@gmail.com - 0904999568 243 CƠ HỌC LƢỢNG TỬ CHƢƠNG 10 Do đó, ta có dW   incident dV  f ( ,  ) 2 r  (vdt)  r d (51.8) So sánh (51.7) (51.8) suy tiết diện tán xạ vi phân d  f ( ,  ) d (51.9) Hay hàm tán xạ D( ,  )  d  f ( ,  ) d (51.10) Mục đích tốn tán xạ lƣợng tử tìm biên độ tán xạ f ( ,  ) Biên độ tán xạ f ( ,  ) hàm sóng tồn phần (51.6) nghiệm phƣơng trình Schrodinger hạt tán xạ chuyển động trƣờng xuyên tâm U (r ) Có nhiều phƣơng pháp gần khác để xác định biên độ tán xạ f ( ,  ) Các phƣơng pháp gần thông dụng phương pháp gần Born phương pháp sóng thành phần Trong chƣơng xét phương pháp gần Born Trƣớc tiên ta thiết lập phƣơng trình tích phân biên độ tán xạ, dạng tƣơng đƣơng phƣơng trình Schrodinger tốn tán xạ lƣợng tử 52 PHƯƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN CỦA BIÊN ĐỘ TÁN XẠ 52.1 Dạng tích phân phƣơng trình Schrodinger Phƣơng trình Schrodinger trạng thái dừng 2 Hˆ      U  E 2m (52.1)    k  (r)  Q(r) (52.2) viết dƣới dạng Trong đó, k 2mE    2m Q(r )  U (r ) (r )  (52.3) Phƣơng trình (52.2) dạng đặc biệt phương trình Helmholtz khơng Lƣu ý vế phải Q(r ) phƣơng trình (52.2) phụ thuộc hàm sóng  (r )  Giả thiết ta tìm đƣợc hàm G(r ) nghiệm phƣơng trình Helmholtz khơng với vế phải hàm delta  (r ) nhƣ sau npktho@gmail.com - 0904999568 244 CƠ HỌC LƢỢNG TỬ CHƢƠNG 10    k G(r)   (r) (52.4) Khi đó, ta biểu diễn nghiệm  (r ) dƣới dạng tích phân       (r )   G(r  r0 ) Q(r0 ) d r0  d r0  dV0  dx0 dy0 dz với (52.5) Thật    k  (r)      k G(r  r ) Q(r ) d 2       r0    (r  r0 ) G(r0 ) d r0  Q(r ) (52.6)  Hàm G(r ) gọi hàm Green phƣơng trình Helmholtz Do đó, vấn đề tìm hàm  Green G(r ) , tức tìm nghiệm phƣơng trình (52.4)   Khai triển Fourier hàm Green G(r ) để tìm ảnh g (s )  G (r )    exp i r s  g ( s ) d 2   32  s  d s  ds x ds y ds z với (52.7) Khi đó,    k G(r)     k exp i r s  g (s) d  2  32   s   (r ) (52.8) Tác dụng toán tử Laplace vào exp  ir s  đƣợc    exp i r s   s exp i r s  (52.9) Tính chất hàm delta  (r )   exp i r s  d 2   3  s (52.10) Thay (52.10) vào vế phải thay (52.9) vào hàm dƣới dấu tích phân vế trái phƣơng trình (52.8), có  s 2   32 Hay 2   k 2   32      k exp i r s  g ( s ) d s   exp i r s  d 2        s g ( s ) exp i r s d s  3  s  exp i r s  d 2   (52.11)  s (52.12) So sánh hàm dƣới dấu tích phân hai vế (52.12) suy 2 3 (k  s ) g (s)  npktho@gmail.com - 0904999568 (52.13) 245 CƠ HỌC LƢỢNG TỬ CHƢƠNG 10  Do đó, ảnh Fourier G(r )  g (s )  2  32 k  s2 (52.14)  Hàm Green G(r ) dƣới dạng tích phân Fourier cần tìm có dạng  G (r )  2   k   exp i r s  d s s (52.15)    Giả thiết vector r hƣớng dọc trục z góc vector s r  với góc phƣơng vị  ,   đó, vi phân thể tích d s hệ tọa độ cầu ( s, ,  ) d s  s sin  ds d d Mặt khác  ta có tích vơ hƣớng: r s  rs cos  Trƣớc tiên, ta tính tích phân theo góc  ,  2   4 sin( sr)  exp (irs cos  )   0 d  0 exp (irs cos  ) sin  d  2    irs sr 0 (52.16) Sau tính tích phân theo s  G (r )   2   2 sin( sr) 2 s ds  2 rs k  s 2 2 r   s sin(rs) ds  2 k s 4 r    s sin(rs) ds k  s2 (52.17) Tính tích phân cuối khơng đơn giản có điểm kỳ dị s  k Ta thay sin(rs)  e irs  e irs 2i k  s  (s  k ) (s  k ) vào tích phân cuối có  G (r )  npktho@gmail.com - 0904999568   8 r  i      s e irs s e ire ds   ds  ( s  k ( s  k )) ( s  k )( s  k )   (52.18) 246 CƠ HỌC LƢỢNG TỬ CHƢƠNG 10 Tách tích phân (52.18) thành tích phân nhƣ sau  G (r )   i 8 r    s e irs  i ds    8 r s  k  s  k     s e irs  ds    sk  sk (52.19) Để tính tích phân ta dùng cơng thức tích phân Cauchy  f ( z) dz  2 i f ( z ) z  z0 (52.20) Đồng thời phải tính tích phân theo chu tuyến mặt phẳng phức Tính tích phân thứ (52.19) theo chu tuyến (a) , ta loại điểm kỳ dị s  k lấy điểm kỳ dị s  k cách vòng quanh theo chiều ngƣợc chiều kim đồng hồ Theo công thức Cauchy, ta có   s e irs   s e irs  ds  2 i      i exp (ikr) s  k  s  k  s  k  s k (52.21) Tính tích phân thứ hai (52.19) theo chu tuyến (b) , ta loại điểm kỳ dị s  k lấy điểm kỳ dị s  k cách vòng quanh theo chiều thuận chiều kim đồng hồ, cần phải thêm vào dấu “-” trƣớc dấu tích phân Theo cơng thức Cauchy, ta có npktho@gmail.com - 0904999568 247 CƠ HỌC LƢỢNG TỬ CHƢƠNG 10  s e irs   s e irs    ds    i  i exp (ikr)    s  k s  k s  k     s  k (52.22) Do đó, hàm Green (52.19)  G (r )  i 8 r  i exp (ikr)   i exp (ikr)   exp (ikr) 4 r (52.23) Thay hàm Green (52.23) vào (52.5) ta có  m  (r )   2     exp  i k r  r0   r  r0     U (r0 ) (r0 ) d r0 (52.24) Mặt khác, nghiệm phƣơng trình Helmholtz (khơng có vế phải)    k   (r )  (52.25)   (r ) , mô tả chuyển động hạt tự Vì phƣơng trình Helmholtz phƣơng trình vi phân tuyến tính, nên tổng nghiệm (52.24) (52.25) nghiệm (52.2) Do đó, nghiệm phƣơng trình (52.1) có dạng    (r )   (r )  m 2     exp  i k r  r0   r  r0     U (r0 ) (r0 ) d r0 (52.26) Đó dạng tích phân phương trình Schrodinger (52.1) 52.2 Nhận xét: - Nhờ hàm Green ta chuyển từ tìm nghiệm phƣơng trình Schrodinger (52.2) sang tích phân  (52.26) Tuy nhiên việc tính tích phân (52.26) khơng dễ, khơng biết hàm sóng  (r0 ) Ngƣời ta áp dụng phƣơng pháp tính gần khác để tính tích phân (52.26) để tìm dạng tƣờng minh biên độ tán xạ f ( ,  ) npktho@gmail.com - 0904999568 248 CƠ HỌC LƢỢNG TỬ CHƢƠNG 10 53 PHƯƠNG PHÁP GẦN ĐÚNG BORN Phƣơng pháp gần Born bao gồm chuỗi gần liên tiếp Tuy nhiên trình bầy gần Born bậc 53.1 Gần Born bậc Ngay từ đầu ta giả thiết giảm nhanh khoảng cách lớn, điều có nghĩa tƣơng tác hạt tán xạ tâm tán xạ giới hạn miền không gian nhỏ bên     ngồi miền khơng gian xem nhƣ không: U  r  r0   r  r0 Theo ta tính gần sau   r  r0 Suy  r r0   2  r  r  r r0  r 1  2  r   2 (53.1)   r r0     r r0  r  r0  r  2  r 1    r  n r0 r r   (53.2)      Trong đó, n  r r vector đơn vị phƣơng song song với vector r Đặt k  k n vector sóng hạt tán xạ Khi ta có gần    exp  i k ( r  n r )  exp ikr  exp  k r    exp  i k r  r0 Do đó, ta có   exp  i k r  r0   r  r0   exp ikr  exp  ik r0 r    (53.3) (53.4)    Trong đó, mẫu số ta thay r  r0  r  n r0  r  Đặt (53.4) vào (52.26) đƣa ngồi tích phân thừa số khơng phụ thuộc r0    (r )   (r )  Hay    (r )   (r )      m exp ikr  exp  ik r0  U (r0 ) (r0 ) d r0  r 2  exp ikr   m  r  2       exp  ik r0 U (r0 ) (r0 ) d r0      (53.5) (53.6) So sánh (53.6) (51.6) tìm đƣợc biểu thức tích phân biên độ tán tán xạ f  ,     m 2     0  exp  ikr U (r ) (r ) d  r0 (53.7)  Nhƣng ta chƣa thể tính đƣợc tích phân khơng biết hàm  (r0 ) npktho@gmail.com - 0904999568 249 CƠ HỌC LƢỢNG TỬ CHƢƠNG 10  Nếu bỏ qua U (r0 ) , tức coi nhƣ khơng có tƣơng tác hạt tán xạ bia, ta có gần bậc không      (r )   (r )  exp ikz   exp ik r (53.8)   Lƣu ý góc hai vector sóng tới k  vector sóng tán xạ k góc tán xạ  độ      lớn k   k z k  k n ( z vector đơn vị trục z )  Trong gần bậc một, Born giả thiết hàm sóng chƣa biết  (r0 ) có dạng nhƣ sóng tới    (r0 )  exp ik r0 Do đó, biến độ tán xạ   f  ,     m 2       exp  ik r0 U (r0 ) exp ik r0 d r0 (53.9)      exp  i (k   k ) r0 U (r0 ) d r0 (53.10)  Hay f  ,     m 2        Ký hiệu q  k   k gọi q vector xung lượng truyền Dễ dàng thấy  q2  k  k   k 2  k  2kk  cos   2k 1  cos    4k sin   Hay (53.11) q  2k sin   (53.12) Do đó, biên độ tán xạ f  ,     m 2  exp  iqr  U (r ) d r 0  m 2  exp iqr cos  U (r ) d r 0 (53.13) Vì quan tâm đến biên độ tán xạ để đơn giản hóa cơng thức, ta bỏ qua số "0" ,   tức thay biến tích phân r0 r npktho@gmail.com - 0904999568 250 CƠ HỌC LƢỢNG TỬ CHƢƠNG 10 f  ,     m 2  exp iqr cos  U (r ) r dr sin  d d 2 (53.14) Trong đó, ta giả thiết U xuyên tâm phụ thuộc độ lớn r khơng phụ thuộc góc tà phƣơng vị  ,  Tách riêng phần phụ thuộc góc tà  phƣơng vị  , ta có f  ,     2   m 2  U (r ) r dr  exp iq cos  sin  d 0 2  d (53.15) Trong đó,   exp  iqr cos  sin  d  2sin  qr  qr (53.16) tích phân theo góc  2 Biên độ tán xạ f  ,     2m q   U (r )sin  qr  r dr (53.17) Cuối tiết diện tán xạ vi phân có dạng 4m d  q   U (r )sin(qr ) r dr d (53.18) Trong đó, q  2k sin   Đặc biệt: a) Trƣờng hợp góc tán xạ  nhỏ, suy q nhỏ, sin(qr ) qr  Biên độ tán xạ khơng phụ thuộc góc tán xạ tiêt diện tán xạ vi phân có dạng đơn giản 4m d     U (r ) r dr d (53.19) b) Trƣờng hợp lượng thấp (bƣớc sóng hạt lớn), vector sóng nhỏ, coi gần q  Kết thừa số exp  iqr cos    Khi đó, biên độ tán xạ có dạng f  ,       m U (r ) d r  2  (53.20) Tiết diện tán xạ vi phân npktho@gmail.com - 0904999568 251 CƠ HỌC LƢỢNG TỬ CHƢƠNG 10 d   m2 4   U (r ) d  r d (53.21) 53.2 Thí dụ a) Tán xạ cầu mềm (năng lƣợng thấp) Trƣờng đối xứng xuyên tâm có dạng r  a U U (r )   0 (53.22) r  a Trong trƣờng hợp biên độ tán xạ có dạng 2ma 3U m m f ( ,  )   U dV   U0  a   2   2  3 (53.23) Do đó, tiết diện tán xạ vi phân d  f  2ma 3U d    3   d  (53.24) Tiết diện tán xạ toàn phần  2ma 3U     4     (53.25) b) Tán xạ Yukawa Thế Yukawa mô tả lực hạt nhân, tức lực tƣơng tác nucleon bên hạt nhân nguyên tử, có dạng U (r )   exp   r  r (53.26) Trong đó,  ,  số Biên độ tán xạ f ( ,  )   2m q  2m  q2  exp( r )sin(qr ) dr     (53.27) Tiết diện tán xạ vi phân có dạng d   d   npktho@gmail.com - 0904999568  m   q2      (53.28) 252 CƠ HỌC LƢỢNG TỬ CHƢƠNG 10 c) Tán xạ Rutherford Thế Yukawa trở thành Coulomb   , đó, tiết diện tán xạ vi phân d   m    d   2q2  (53.29) Trong đó,   e1e2 q  2k sin   Với e1  79e e2  2e ,   2Z e với Z Au  79 Vì k  p  suy q  k sin    p sin   Thay vào (53.29) có 2  4mZ e   Ze  d    d   d     mv  sin  2  p sin  2  (53.30) Nhận xét: công thức Rutherford (53.30) giống hệt công thức (51.5) học cổ điển 53.3 Điều kiện áp dụng gần Born Phƣơng pháp Born chuỗi liên tiếp gần    (0)   (1)   ( 2)  (53.31) Để chuỗi (53.31) hội tụ, cần thỏa mãn điều kiện  (1)   ( 0) ;  ( 2)   (1) … (53.32) Vì giới hạn gần bậc 1, ta có điều kiện sau cho gần Born bậc  (1)   ( 0)  e i k z  Hay  (1) m  2     i k r  r0 ei k z e   r  r0  U (r0 ) dV0  (53.33) (53.34) Điều kiện đƣợc thỏa mãn miền tán xạ gần tâm tán xạ Đặc trƣng kích thƣớc   miển tán xạ đại lƣợng R  r  r0 giả thiết tâm tán xạ r  Điều kiên (53.34) có dạng m 2  npktho@gmail.com - 0904999568   e i k ( z  r0 ) U (r0 ) dV0  r0 (53.35) 253 CƠ HỌC LƢỢNG TỬ CHƢƠNG 10 Xét trƣờng hợp đặc biệt: a) kR  Thừa số e i k ( z r0 )  z  r0  R  Thế nhận giá trị trung bình miền tán xạ  U (r0 )  U r0  R Khi điều kiện (53.35) có dạng đơn giản m U0 m 2  R  U R   U  0 2  R 2 mR (52.36) Mặt khác, kR  ; k  R Năng lƣợng hạt E   k 2m   mR , hạt chuyển động chậm Từ điều kiện E   mR U   mR suy điều kiện để gần Born bậc áp dụng đƣợc lượng trung bình hạt nhỏ độ sâu tối thiểu hố để có trạng thái liên kết b) kR  Khi E   mR , tức hạt chuyển động nhanh Điều kiên (53.35) có dạng m 2    e i k ( z  r0 ) m U (r0 ) dV0  U0 r0 2  mU e i k ( z  r0 ) dV   r0 2   R  r dr  e 0 0 i k r0 (1cos ) 2 sin  d  d  (53.37) Sau tính tích phân theo góc , ta có mU k  1  e R i k r0 dr  mR U k  (53.38) Trong đó, ta bỏ qua tích phân hàm mũ q nhỏ Do điều kiện áp dụng gần Born cho hạt chuyển đông nhanh R U  k m  p m  v (53.39) Nhƣ vậy, gần Born bậc áp dụng cho hạt chuyển động nhanh hạt chuyển động chậm với điều kiện tƣơng ứng npktho@gmail.com - 0904999568 254 CƠ HỌC LƢỢNG TỬ CHƢƠNG 10 TÁN XẠ LƯỢNG TỬ BÀI TẬP CHƯƠNG 10 10.1 Tính tiết diện tán xạ vi phân gần Born bậc tán xạ Coulomb Z1 Z e U (r )  r 10.2 Tính tiết diện tán xạ vi phân gần Born bậc tán xạ Yukawa U (r )  U e r a r 10.3 Tính tiết diện tán xạ vi phân gần Born bậc tán xạ Gauss U (r )  U e  r a2 10.4 Tính tiết diện tán xạ tồn phần tán xạ đối xứng xuyên tâm cho 0 r  a U (r )   U r  a 10.5 Tính tiết diện tán xạ toàn phần tán xạ đối xứng xuyên tâm cho U (r )  U   r  a  npktho@gmail.com - 0904999568 255 ... tƣơng tự học cổ điển quang hình học gợi ý việc tìm kiếm học thuyết mới: học lƣợng tử CƠ HỌC CỔ ĐIỂN ~ QUANG HÌNH HỌC   h 0  0 | | CƠ HỌC LƯỢNG TỬ ~ QUANG HỌC SĨNG 5.3 Sự chuyển từ phƣơng trình. ..CƠ HỌC LƢỢNG TỬ CHƯƠNG 1: CHƢƠNG NHỮNG NGUYÊN LÝ CƠ SỞ CỦA CƠ HỌC LƯỢNG TỬ CƠ HỌC CỔ ĐIỂN Những nguyên lý sở học cổ điển đƣợc biết từ thời Newton (1643-1727), nhƣng cấu trúc tốn học đạt... Từ tƣơng tự quang hình học học cổ điển suy tƣơng tự quang học sóng học lƣợng tử (cơ học lƣợng tử đƣợc gọi học sóng) Nhƣ ta biết, quang hình học trƣờng hợp riêng quang học sóng bƣớc sóng ánh