UBND HUYỆN LƯƠNG TÀI ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN ĐỢT PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO Năm học 2015 - 2016 Môn thi: Toán – Lớp Thời gian làm bài:150 phút (không kể thời gian giao đề) Bài 1: (2,0 điểm) x+2 x x −1 + + ÷ ÷: x x −1 x + x +1 1− x 1.Cho biểu thức A = a) Rút gọn biểu thức A b) Chứng minh < A ≤ Cho biểu thức: thức 2+x+ 2-x = với –2 < x < x ≠ Tính giá trị biểu 2+x− 2-x x+2 x-2 Bài 2: (2 điểm) Giải phương trình: x − x = x + − 30 Cho hai đường thẳng (d1): y = ( m – ) x – m2 – 2m (Với m tham số) (d2): y = ( m – ) x – m2 – m + cắt G a) Xác định toạ độ điểm G b) Chứng tỏ điểm G thuộc đường thẳng cố định m thay đổi Bài 3: (2 điểm) a/ Cho p số nguyên tố lớn Chứng minh p2 – M24 b/ Tìm số tự nhiên n cho A = n + n + số phương c/ Tìm số nguyên x; y thỏa mãn: y + xy − 3x − = Bài 4: (3 điểm) Cho đường tròn tâm O, đường thẳng d cố định nằm đường tròn, M di động đường thẳng d, kẻ tiếp tuyến MA MB với đường tròn (O,R), OM cắt AB I a Chứng minh tích OI.OM không đổi b Tìm vị trí M để ∆ MAB c Chứng minh M di động d AB qua điểm cố định Bài 5: (1 điểm) Cho số thực dương x; y; z thỏa mãn x + y + z = Chứng minh x y z + + ≤ x + yz y + zx z + xy …………………HẾT.………………… (Đề thi gồm có 02 trang) Thí sinh không sử dụng tài liệu Cán coi thi không giải thích thêm Họ tên thí sinh:…………………………… ;Số báo danh:………………… UBND HUYỆN LƯƠNG TÀI PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO Câu ý HƯỚNG DẪN CHẤM Môn thi: Toán – Lớp Đáp án hướng dẫn chấm Điểm 0,25đ a/ với x ≥ 0, x ≠ Ta có A = x+2 x x −1 x + + x − x − x − x −1 + + ÷ ÷: = x x − x + x + 1 − x x −1 x − x + x + ( ( b/ x − x +1 )( ) x −1 x + x +1 )( ) 2 = x −1 x + x + với x ≥ 0, x ≠ ta có A > Lại có: x + x + ≥ ⇒ 0,25đ 0,25đ 0,25đ ≤ hay A ≤ x + x +1 0,25đ Vậy < A ≤ 0,25đ Áp dụng tính chất: Nếu a c a-b c-d = ⇒ = ; từ giả thiết b d a+b c+d 2+x+ 2-x 2-x −1 = suy = 2+x− 2-x 2+x +1 Từ giả thiết –2 < x < suy 2-x - x −1 2+x >0⇒ = ⇒ = 3+ 2 ÷ 2+x + x +1 ÷ x ⇒ 0,25 ( x+2 = −17 − 12 x−2 Đk: x ≥ −5 ) 0,25 x − x = x + − 30 ⇔ (x – 8x + 16) + (x + - x + + 9) = ⇔ ( x – 4)2 + ( x + - 3)2 = ⇔ 0.5đ x − = ⇔ x = x + − = 0.5đ Vậy x = a/ Hoành độ điểm G nghiệm phương trình: (m-1)x - m2 - 2m = (m - 2)x - m2 - m + 0.5đ ⇔ x=m+1 Tung độ điểm G là: y = (m-1) (m+1) - m2 - 2m ⇔ y = -2m – Toạ độ điểm G (m + ; -2m - 1) b/ Có y = -2m - = -2(m + 1) + 0.5đ Mà x = m + ⇒ y = -2x + Toạ độ điểm G thoả mãn phương trình đường thẳng y = -2x + cố định Chứng tỏ G thuộc đường thẳng y = -2x + cố định m thay đổi a/ Ta có p2 – = (p – 1)(p + 1) 0,25 Vì p số nguyên tố lớn nên p lẻ p – p + hai số chẵn liên tiếp , suy (p – 1)(p + 1) M8 (1) Xét ba số tự nhiên liên tiếp p – 1; p; p + ta có (p – 1) p(p + 1) M 0,25 Mà p số nguyên tố lớn nên p không chia hết cho 3, số nguyên tố suy (p – 1)(p + 1) M3 (2) Từ (1) (2) kết hợp với (3, 8)=1 3.8 = 24 suy p2 – M 0,25 24 (đpcm) b/ A = n + n + số phương nên A có dạng A = n + n + = k (k ∈ N * ) ⇔ 4n + 4n + 24 = 4k ⇔ (2k ) − (2n + 1) = 23 2k + 2n + = 23 ⇔ (2k + 2n + 1)(2k − 2n − 1) = 23 ⇔ 2k − 2n − = (Vì 23 số nguyên tố 2k + 2n + 1> 2k – 2n -1) 0.25 0.5 2k + 2n + = 23 k = ⇔ ⇔ k − 2n − = n = Vậy với n = A số phương c/ y + xy − x − = ⇔ x + xy + y = x + 3x + ⇔ ( x + y ) = ( x + 1)( x + 2) 0,25đ (*) VT (*) số phương; VP (*) tích số nguyên 0,25đ x +1 = x = −1 ⇒ y = ⇔ x + = x = −2 ⇒ y = liên tiếp nên phải có số ⇔ Vậy có cặp số nguyên ( x; y ) = (−1;1) ( x; y ) = (−2; 2) A O 0,25đ I K 0,25đ B (d) 0,25đ M H Vẽ hình đến câu a a) Vì MA, MB hai tiếp tuyến đường tròn (O,R) ⇒ OB ⊥ MB ; OA ⊥ MA 0,5đ Chứng minh ∆OAM = ∆OBM từ suy MA = MB 0,25đ Lại có OA=OB suy OM đường trung trực đoạn thẳng AB ⇒ OM ⊥ AB 0,5đ ⇒ ∆ OMB vuông B có BI đường cao ⇒ OB2 = OI.OM ⇒ OI.OM = R2 không đổi 0,25đ b) ∆ AMB cân M (chứng minh trên) 0,25đ Để ∆ AMB góc AMB = 600 ⇔ góc BMO = 300 0,25đ ⇔ ∆ OBM vuông B có OB = 0,5 OM ⇒ OM = 2.OB = 2R 0,25đ Kết luận c/ Kẻ OH ⊥ d, H ∈ d ⇒ H cố định, OH cắt AB K Chứng minh ∆OIK ∆OHM đồng dạng ⇒ OH.OK = OI OM = R2 không đổi Mà O, H cố định nên OH không đổi ⇒ OK không đổi, K ∈ OH cố định ⇒ K cố định Ta có x + yz = x(x + y + z) + yz = (x + y)(z + x) Tương tự ta có y + zx = (x + y)(y + z); z + xy = (y + z)(z + x) 0.25đ Do đó: x y z x ( y + z ) + y ( z + x) + z ( x + y ) + + = x + yz y + zx z + xy ( x + y )( y + z )( z + x) 2( ( x + y )( y + z )( z + x) + xyz ) = ( x + y )( y + z )( z + x) 2xyz 0,25đ = + (x + y)(y + z)(z + x) ≤ + = ( áp dụng BĐT Côsi cho hai 0,25đ số dương ta có: (x + y)(y + z)(z + x) ≥ xy.2 yz.2 zx = 8xyz )) Đẳng thức xảy ⇔ x = y = z = …………………HẾT.………………… 0,25đ ... (3 điểm) Cho đường tròn t m O, đường thẳng d cố định nằm đường tròn, M di động đường thẳng d, kẻ tiếp tuyến MA MB với đường tròn (O,R), OM c t AB I a Chứng minh t ch OI.OM không đổi b T m vị trí... thực dương x; y; z thỏa mãn x + y + z = Chứng minh x y z + + ≤ x + yz y + zx z + xy …………………H T. ………………… (Đề thi gồm có 02 trang) Thí sinh không sử dụng t i liệu Cán coi thi không giải thích thêm... có (p – 1) p(p + 1) M 0,25 Mà p số nguyên t lớn nên p không chia h t cho 3, số nguyên t suy (p – 1)(p + 1) M3 (2) T (1) (2) k t hợp với (3, 8)=1 3. 8 = 24 suy p2 – M 0,25 24 (đpcm) b/ A = n