ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CÁP HUYỆN ĐỢT UBND HUYỆN LƯƠNG TÀI Năm học 2015 - 2016 Môn thi: Toán - Lớp PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO Thời gian làm bài:150 phút (không kể thời gian giaođề) Bài 1: (2,0 điểm) Cho biểu thức: P = x2 − x x + x ( x − 1) − + x + x +1 x x −1 a Rút gọn P b Tìm giá trị nhỏ P c Xét biểu thức: Q = x , chứng tỏ < Q < P Bài 2: (2,0 điểm) a.Tìm x, y, z, biết: 4x2 + 2y2 + 2z2 – 4xy – 2yz + 2y – 8z + 10 ≤ b Tìm số tự nhiên n cho A = n + n + là số chính phương Bài 3: (2.25 điểm) a Giải phương trình: 36 + x−2 = 28 − x − − y − y −1 b Cho đường thẳng y = ( m − 1) x + (d) Chứng minh đường thẳng d qua điểm cố định với giá trị m Tìm m để khoảng cách từ gốc tọa độ đến đường thẳng (d) có giá trị lớn Bài 4: (3,0 điểm) Cho đường tròn (O; R ) AB và CD là hai đường kính cố định (O) vuông góc với M là điểm thuộc cung nhỏ AC (O) K và H là hình chiếu M CD và AB · · · · a Tính sin MBA + sin MAB + sin MCD + sin MDC b Chứng minh: OK = AH (2 R − AH ) c Tìm vị trí điểm H để giá trị của: P = MA MB MC MD lớn Bài 5: (0,75 điểm) Tìm nghiệm nguyên phương trình: x + y + x = 19 HẾT -(Đề thi gồm có … trang) Thí sinh không sử dụng tài liệu Cán coi thi không giải thích thêm Họ và tên thí sinh: ; Số báo danh: UBND HUYỆN LƯƠNG TÀI HƯỚNG DẪN CHẤM Môn thi: Toán - Lớp PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO Bài 1: (2.0 điểm) Ý/Phần Đáp án Tìm điều kiện : Đk : x > 0; x ≠ P= a) ( ) − x(2 x x x −1 x + x +1 = x ( ) ( ) + 2( x +1 x ) ( )( x +1 x −1 ) x −1 − x +1 + ) x −1 Điểm 0.25 0.25 x +1 = x − x +1 0.25 0.25 Vậy P = x − x + , với x > 0; x ≠ b) c) 1 3 P = x − x +1 = x − ÷ + ≥ 2 4 dấu xảy x = , thỏa mãn đk Vậy GTNN P là x = 4 x a Với x > 0; x ≠ Q = > (1) x − x +1 ( ) 0.25 0.25 Đáp án Phân tích thành (2x - y) + (y – z + 1)2 + ( z - 3)2 ≤ (1) Vì (2x - y)2 ≥ ; (y – z + 1)2 ≥ ; ( z - 3)2 ≥ với x, y, z nên từ (1) suy x = 1; y = 2; z = A = n + n + là số chính phương nên A có dạng a) 0.25 x −1 Xét − x = ≥0 x − x +1 x − x +1 Dấu không xảy điều kiện x ≠ suy Q < 2.(2) Từ (1) và (2) suy < Q < Bài 2: (2,0 điểm) Ý/Phần 0.25 A = n + n + = k (k ∈ N * ) Điểm 0.5 0.25 0.25 0.25 ⇔ 4n + 4n + 24 = 4k ⇔ (2k ) − (2n + 1) = 23 b) 2 2k + 2n + = 23 ⇔ (2k + 2n + 1)(2k − 2n − 1) = 23 ⇔ 2k − 2n − = 0.25 (Vì 23 là số nguyên tố và 2k + 2n + 1> 2k – 2n -1) 2k + 2n + = 23 k = ⇔ ⇔ 2k − n − = n = Vậy với n = A là số chính phương Bài 3: (2,25 điểm) Ý/Phần Đáp án 0.25 Điểm : đk : x>2 ,y>1 0.25 Biến đổi pt dạng a) + x−2 x−2 ( + y −1 y −1 ) + ) = 28 Áp dụng BĐT cô si vói hai số dương VT ≥ 28 (2) Để có (1) dấu sảy (2)Khi −2 −2 = ;0) ⇒ OB = m −1 m −1 m −1 1 ∆AOB vuông O, kẻ OH ⊥ AB Áp dụng hệ thức: = + h b c 2 1 OA OB = + ⇔ OH = 2 OH OA OB OA + OB2 Điểm cắt trục hoành B ( OH = ( m − 1) ( m − 1) + 16 : ( m − 1) = ( m − 1) 0.25 = x−2 x−2 và = y −1 y −1 Từ tìm x=11 và y=5 (thỏa mãn )2 Điểm cố định mà đường thẳng qua là A(0; 2) Điểm cắt trục tung A(0; 2) ⇒ OA = b) 0.25 +1 OH đạt GTLN và OH đạt GTLN mà ta có ⇔ ( m − 1) + ≥ đạt GTNN là m = Vậy max OH = ⇔ m = 0.25 0.5 0.25 0.25 0.25 Bài 4: (3,0điểm) Ý/Phần a) Đáp án Điểm C K B M O H 0,25 A D Vì M thuộc (O) nên tam giác: BMA và CMD vuông tại M nên: · · · · sin MBA + sin MAB + sin MCD + sin MDC · · · · = (sin MBA + cos MBA ) + (sin MCD + cos MCD ) b) 2 =1 +1=2 Chứng minh: OK = AH (2 R − AH ) Thật vậy: KOHM là hình chữ nhật nên: OK = MH 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 Mà MH2 = HA.HB (Hệ thức lượng tam giác vuông MAB có MH đường cao) và BH = AB – AH = 2R - AH Suy ra: OK2 = MH2 = AH(2R- AH) c) P = MA MB MC MD =AB.MH.CD.MK = 4R2.OH.MH(Vì MK = OH) OH + MH OM R = = Mà OH.MH ≤ (Pitago) 2 2 R Vậy P ≤ R = R đẳng thức xẩy ⇔ MH = OH ⇔ OH = R 2 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 Bài 5: (0,75 điểm) Ý/Phần ⇔ ( x + x + 1) = ( − y ⇔ ( x + 1) = ( − y ) ) Đáp án Điểm ⇔ ( − y ) M2 0,25 ⇔ y là số nguyên lẻ 2 Mà ( x + 1) ≥ 0⇒ ( − y ) ≥ 0⇔ y =1 0,25 Thay y =1 vào tìm x = 2, x = - Thử lại :… và trả lời Có nghiệm (2,1) ;(2,-1) ;(- 4,1) ;(- 4,-1) (Học sinh làm cách khác cho điểm tối đa) 0,25 ... c t trục hoành B ( OH = ( m − 1) ( m − 1) + 16 : ( m − 1) = ( m − 1) 0.25 = x−2 x−2 và = y −1 y −1 T t m x=11 và y=5 (thỏa mãn )2 Điểm cố định mà đường thẳng qua là A(0; 2) Điểm c t trục... định mà đường thẳng qua là A(0; 2) Điểm c t trục tung A(0; 2) ⇒ OA = b) 0.25 +1 OH đa t GTLN và OH đa t GTLN mà ta có ⇔ ( m − 1) + ≥ đa t GTNN là m = Vậy max OH = ⇔ m = 0.25 0.5 0.25 0.25...UBND HUYỆN LƯƠNG T I HƯỚNG DẪN CHẤM Môn thi: Toán - Lớp PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO T O Bài 1: (2.0 điểm) Ý/Phần Đáp án T m điều kiện : Đk : x > 0; x ≠ P= a) ( ) − x(2