UBND HUYỆN LƯƠNG TÀI PHỊNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CÁP HUYỆN ĐỢT Năm học 2015 - 2016 Mơn thi: Tốn - Lớp Thời gian làm bài:150 phút (khơng kể thời gian giao đề) Bài 1: (2,0 điểm) Cho biểu thức P = x − x −1 x −1 − ÷ ÷: x x x+ x ÷ a) Tìm x để P xác đònh, rút gọn P b) Tính giá trị P x = 2+ c) Tìm giá trị x thỏa mãn đẳng thức P x = x − 3− x − Bài 2: (2,0 điểm) Giải phương trình a) x − 3x + + x + = x − + x + x − b) x + x + = ( x + 5) x + Bài 3: (2,0 điểm) a) Chứng minh a, b, c ba số thỏa mãn a + b + c = 2015 1 1 + + = ba số a, b, c phải có số 2015 a b c 2015 ( )( ) 2 b) Cho x y thỏa mãn x + x + 2015 y + y + 2015 = 2015 Tính x + y Bài 4: (3,0 điểm) Cho tam giác ABC cân A nội tiếp đường tròn tâm O đường kính BC Gọi D trung điểm AB, E trọng tâm tam giác ACD, G giao điểm CD AO Chứng minh: b) OE ⊥ CD a) EG // AB c) SDAC + SBDO = SABC Bài 5: (1,0 điểm) Cho tam giác ABC có góc nhọn(AB < AC) Từ trung điểm D cạnh BC, kẻ đường vng góc với đường phân giác góc A cắt AB AC M N Chứng minh: BM = CN HẾT -(Đề thi gồm có 01 trang) Thí sinh khơng sử dụng tài liệu Cán coi thi khơng giải thích thêm Họ tên thí sinh: ; Số báo danh UBND HUYỆN LƯƠNG TÀI PHỊNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HƯỚNG DẪN CHẤM Mơn thi: Tốn - Lớp Bài 1: (2 điểm) Ý/Phần a) 0,75 điểm Đáp án x −1 x −1 P= x− − ÷ , ĐKXĐ: x > 0, x ≠ ÷: x x x+ x ÷ 0,25 x − x − : x − 1− x + x − 1 x − − = = ÷: x x x +1 x x x x +1 0,25 ( 0,5 điểm c) ( ( ) ) = ( x + 1) ( ) x − 1) x ∈ ĐKXĐ, x = − = ( − 1) ⇒ Với x = 2+ x +1 Nên P = ( ) − 1+ ĐK: x ≥ ( ⇔ ) ) x +1 ( ( x +1 = x − − ) Kết luận ) 0,25 0,25 ( 0,25 x−4 x−4 x−4 ⇔ ( ) x − + x − = (*) 0,25 x − ≥ 0, ∀ x ≥ x − ≥ ∀ x > 0; Nên để (*) xảy x = 3−1 x−4 ⇔ x + x + = x −3− Do 0,25 3 3+1 = −1 = x = x −3− x ⇔ ( 3−1 P x = x − − 0,75 điểm ( ) x− x x−1 x −1 x × = : = x x +1 x x x b) Điểm ) x − = x − = ⇒ x = (TM ĐKXĐ) 0,25 Bài 2: (2 điểm) Ý/Phần a) Đáp án a, x − 3x + + Điểm x + = x − + x + x − (1) x − 3x + ≥ ⇔x≥2 ĐK: x + ≥ x + x − ≥ 0,25 (1) ⇔ + = + x −1 = a ≥ Đặt: x − = b ≥ điểm x + = c ≥ ⇔ a.b + c = b + a.c (1) ⇔ a(b - c) - (b - c) = 0,25 a = ⇔ (a - 1)(b - c) = ⇔ b = c 0,25 Với a = ⇒ x − = ⇔ x - = ⇔ x = (thoả mãn Với b = c ⇒ vơ nghiệm x − = x + ⇒ x - = x + ⇒ 0x = đk) 0,25 Vậy phương trình (1) có nghiệm x = b) x + x + = ( x + 5) x + 0,25 Đặt x + = y (với y ≥ ) điểm Khi đó, ta có: y + x = ( x + 5) y ⇔ ( y − 5)( y − x ) = ⇔ y = Từ tìm nghiệm phương trình là: x = ±4 y = x 0,5 0,25 Bài 3: (2 điểm) Ý/Phần a) Đáp án Điểm 1 1 1 1 + + = ⇔ ( + )+( − )=0 a b c a+b+c a b c a +b+c a+b a+b + =0 ab c(a + b + c) 1 ⇔(a + b )( + ) =0 ab c( a +b + c ) ⇔ ⇔(a + b )(ab + ac +bc + c ) = ⇔(a + b )(b + c)(c + a ) = a +b = ⇔ b + c = c + a = +) Nếu a + b = suy c = 2015 +) Nếu b + c = suy a = 2015 +) Nếu a + c = suy b = 2015 Chứng tỏ số a, b, c phải có số b) ( x+ )( ) x2 + 2015 y + y2 + 2015 = 2015 (hai nhân tử v.trái phải khác 0) Nên điểm ( x+ ) x2 + 2015 = 2015 y + y + 2015 Tương tự y + y2 + 2015 = = y2 + 2015 − y 0,5 x2 + 2015 − x Cộng vế theo vế, ta có x + y + y2 + 2015 + x2 + 2015 = ⇒ 2(x + y) = nên x + y = y2 + 2015 + x2 + 2015 − x − y 0,5 Bài 4: (3 điểm) Ý/Phần Đáp án Điểm a) điểm 0,25 Vẽ hình xác Chứng minh EG //AB: Kẻ đường trung tuyến CM, DN ∆ ADC chúng cắt E Hai trung tuyến AO CD cắt G, nên G trọng tâm ∆ ABC Xét ∆ MCD, ta có: CE CG = = ⇒ EG // DM hay EG // AB CM CD Chứng minh OE ⊥ CD : OD ⊥ AB (Đường kính qua trung điểm D dây AB) Mà EG // AB nên EG ⊥ OD (1) điểm ∆ ABC cân A ⇒ OG ⊥ BC, mà BC // DN nên OG ⊥ DN (2) Từ (1) (2) suy G trực tâm ∆ ODE, OE ⊥ DG hay OE ⊥ CD 0,25 0,5 b) c) 0,5 Chứng minh: SDAC + SBDO = S ODC điểm SABC: 1 1 1 = OC × OA = × BC × OA = OA.BC 22 OA.BC = =4 OA.BC 0,5 S ABC S ODC Vậy SABC = SODC hay SODC = 0,5 SABC Ta có SDAC + SBDO = SABC – SODC = SABC – SABC = SABC 4 0,5 Bài 5: (1 điểm) Ý/Phần Đáp án Vẽ hình xác Chứng minh: BM = CN điểm Gọi K giao điểm MN đường phân giác góc A Từ B kẻ đường thẳng song song với MN cắt AC P ∆ AMN tam giác cân A (AK vừa đường cao vừa đường phân giác) ⇒ AM = AN (1) BP//MN nên BP ⊥ AK.Tương tự ∆ ABP cân A ⇒ AB = AP (2) BM = AM – AB ; PN = AN – AP (3) Từ (1),(2),(3) suy BM = PN (4) Trong ∆ BCP, D trung điểm BC, DN// BP ⇒ N trung điểm CP hay NP = NC (5) Từ (4),(5) ⇒ BM = CN Lưu ý: Các cách giải khác cho điểm tối đa Điểm 0,25 0,5 0,25 ... ( x+ ) x2 + 20 15 = 20 15 y + y + 20 15 Tng t y + y2 + 20 15 = = y2 + 20 15 y 0,5 x2 + 20 15 x Cng v theo v, ta cú x + y + y2 + 20 15 + x2 + 20 15 = 2( x + y) = nờn x + y = y2 + 20 15 + x2 + 20 15 x... Nu a + b = thỡ suy c = 20 15 +) Nu b + c = thỡ suy a = 20 15 +) Nu a + c = thỡ suy b = 20 15 Chng t s a, b, c phi cú mt s bng b) ( x+ )( ) x2 + 20 15 y + y2 + 20 15 = 20 15 (hai nhaõn t ỷ v.traựi phaỷi... í/Phn ỏp ỏn im a) im 0 ,25 V hỡnh chớnh xỏc Chng minh EG //AB: K cỏc ng trung tuyn CM, DN ca ADC chỳng ct E Hai trung tuyn AO v CD ct ti G, nờn G l trng t m ABC X t MCD, ta cú: CE CG = = EG