PHỊNG GD – ĐT Đề KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN Năm học 2011 – 2012 Mơn: TỐN, LỚP Thời gian làm bài: 150 phút ( khơng kể thời gian phát đề ) Ngày thi: – 10 – 2011 Câu 1: (4,0 điểm) Tính giá trò tổng : 1 1 1 1 B = + + + + + + + + + + + + 2 3 99 1002 Câu2 :( 3,0 điểm) Chứng minh A = (10n + 10n-1 + … + 10 + 1)( 10n+1 + ) + số phương Câu 3:( 3,0 điểm) Cho ba số dương a , b , c thỏa mãn a + b + c = Chứng minh : a2 b2 c2 + + ≥1 1+ b − a 1+ c − b 1+ a − c Câu 4:( 3,0 điểm) Giải phương trình 3x − + − x − = ( x ∈ R ) Câu : (3,0 điểm) Cho tam giác ABC có ba góc nhọn , từ điểm I thuộc miền tam giác vẽ đoạn thẳng IH , IK , IL vng góc với BC, CA, AB Tìm vị trí I cho AL + BH2 + CK2 nhỏ Câu 6: (4,0 điểm) Xét tam giác ABC có độ dài cạnh a , b , c cho thoả mãn hệ thức : 1974 1979 25 + + 15bc + 10ca + 1964ab = 2006abc Tìm giá trị nhỏ biểu thức : M = p−a p−b p−c p nửa chu vi tam giác ABC ĐÁP ÁN Đề Câu Câu 1: (4,0 điểm) Đáp án Điểm Trước hết ta chứng minh 1 a2 + a + 1 1 1+ + = = 1+ = 1+ − a ( a + 1) a ( a + 1) a ( a + 1) a a +1 ( với a > 0) 1,0 Thật : a ( a + 1) + ( a + 1) + a 1 1+ + = a ( a + 1) a ( a + 1) = a ( a + 2a + + 1) + ( a + 1) a ( a + 1) (a = + a + 1) a ( a + 1) 2 ( a + a + 1) = a ( a + 1) 2 a + 2a ( a + 1) + ( a + 1) = a ( a + 1) 2 1 a2 + a + 1 1 = = 1+ = 1+ − ⇒ 1+ + a ( a + 1) a ( a + 1) a ( a + 1) a a +1 ( với a > 0) 1,0 Do 1 1 1 1 + + + + + + + + + + + 2 3 99 1002 1 1 1 1 = 1 + − ÷+ + − ÷+ + − ÷+ + + − ÷ 3 99 100 1 1 1 = 99 + − + − + + − = 99,99 ÷ = 100 − 99 100 100 1 2 n n-1 n+1 +5)+1 Câu Ta có A = (10 + 10 + … + 10 + 1)( 10 2: = ( 10 − 1) (10n + 10n-1 + … + 10 + 1)( 10n+1 + ) + (3,0 n +1 2( n +1) n +1 10 − 10 + + 10 + 4.10n +1 + − = = = ( ) ( ) điểm) 9 n +1 10 + n +1 10 + ) = ( ÷ n+1 Mà 10 + có tổng chữ số n+1 Nên 10 + M3 Vậy A số phương Câu Từ giả thiết suy a , b , c thuộc (0 ; 1) B = 1+ ( ( 1,0 ) ) a2 1− ( b − a ) a2 ( 1+ b − a ) ( 1− b + a ) a2 ⇒ ≥ = = a2 ( 1− b + a ) 1+ b − a 1+ b − a 1+ b − a (3,0 b c2 điểm) Tương tự : ≥ b2 ( − c + b ) ; ≥ c2 ( − a + c ) 1+ c − b 1+ a − c 3: 1,0 0,5 0,5 Cộng vế theo vế bất đẳng thức ta : a2 b2 c2 + + ≥ + a + b3 + c − a 2b − b 2c − c a (1) 1+ b − a 1+ c − b 1+ a − c Áp dụng bất đẳng thức si cho ba số dương nhận : a + a + b3 ≥ 3a 2b; b3 + b3 + c ≥ 3b 2c; c + c3 + a ≥ 3c a (2) 1,0 0,5 a2 b2 c2 + + ≥1 1+ b − a 1+ c − b 1+ a − c Đẳng thức xảy ⇔ a = b = c = t3 + Điều kiện x ≤ Đặt t = 3x − ⇒ t = 3x − ⇔ x = Từ (1) (2) ⇒ Câu 4: (3,0 điểm) Khi phương trình cho trở thành : 2t + − 5t −8 = 8 − 2t ≥ 8 − 2t ≥ ⇔ − 5t ⇔ − 5t = 64 − 32t + 4t = − 2t 3 9 ) ⇔ t = −2 ⇒ x = −2 Câu 1,0 1,0 t ≤ t ≤ ⇔ ⇔ 2 15t + 4t − 32t + 40 = ( t + ) 15t − 26t + 20 = ( 0,5 1,0 0,25 - Vẽ hình 5: (3,0 điểm) Ta có AI2 = AL2 + LI2 ; AI2 = AK2 + KI2 Suy AL2 + LI2 = AK2 + KI2 Tương tự BH2 + HI2 = BL2 + LI2 CK2 + KI2 = CH2 + HI2 Cộng (1) ; (2) (3) ta có : AL2 + BH2 + CK2 = AK2 + BL2 + CH2 1,0 Do AL2 + BH2 + CK2 = [(AL2 + BL2 ) + (BH2 + CH2 ) + (CK2 + AK2 )] ≥ ( AB + BC + AC ) Ta có AL2 + BH2 +CK2 ≥ (AB2 + BC2 + AC2 ) ( khơng đổi ) Dấu “ = “ xảy AL = BL, BH = BL , CK = AK I tâm đường tròn ngoại tiếp ∆ABC Câu 6: (4,0 điểm ) Với x > , y > 1 + ≥ (1) x y x+ y Ta có M = 1974 1979 25 + + = p −a p −b p −c 1 1964 + + + ÷+10 ÷+15 ÷ p −b p −c p −c p −a p −a p −b 4 ≥1964 +10 +15 p −a + p −b p −a + p −c p −b + p −c 1964 ab +15bc +10ca 2006 abc 1964 10 15 =4 + + = = 8024 ÷= b a abc abc c Đẳng thức xảy p −a = p −b = p −c 1989 117 ⇔a=b=c= = 1964 ab + 15 bc + 10 ca = 2006 abc 2006 118 117 Vậy MinM = 8024 ⇔ a = b = c = 118 1,0 0,75 0,25 1,0 0,75 0,5 1,0 0,5 ... Đ t t = 3x − ⇒ t = 3x − ⇔ x = T (1) (2) ⇒ Câu 4: (3,0 điểm) Khi phương trình cho trở thành : 2t + − 5t −8 = 8 − 2t ≥ 8 − 2t ≥ ⇔ − 5t ⇔ − 5t = 64 − 3 2t + 4t = − 2t 3 9 ) ⇔ t =... 2 3 99 1002 1 1 1 1 = 1 + − ÷+ + − ÷+ + − ÷+ + + − ÷ 3 99 100 1 1 1 = 99 + − + − + + − = 99 ,99 ÷ = 100 − 99 100 100 1 2 n n-1 n+1 +5)+1 Câu Ta có... 1,0 t ≤ t ≤ ⇔ ⇔ 2 1 5t + 4t − 3 2t + 40 = ( t + ) 1 5t − 2 6t + 20 = ( 0,5 1,0 0,25 - Vẽ hình 5: (3,0 điểm) Ta có AI2 = AL2 + LI2 ; AI2 = AK2 + KI2 Suy AL2 + LI2 = AK2 + KI2 T ơng t BH2