De luyen thi HSG toan 9

kỳ thi chọn học sinh giỏi toán (đề số 4) năm học : 2008 - 2009 Phòng GD-ĐT Vĩnh Linh Môn : Toán (Thời gian làm bài: 150 phút: Vòng 2) Bài 1: (4 điểm) Cho biểu thức: P  x x   2( x  3)  x  x x  x 1 3 x Rót gän biĨu thøc P Tính giá trị biểu thức P với x 14 Tìm giá trị nhỏ P Bài 2: (3 điểm) Cho đa thức A x5 x3 x Phân tích đa thức A thành nhân tử Chứng minh với x nguyên không chia hết cho A chia hết cho 360 Bài 3: (3 điểm) Tính giá trị biểu thức C 1 1 1 1            2 2 3 2008 20092 Bài 4: (3,5 điểm) Tìm số a, b, c biết: a  2008  b  2009  c   (a  b  c) Cho x, y, z > thâa m·n: 1   1 Chøng minh: ( x  2)( y  2)( z  2) 1 x y z Bµi 5: (5 điểm) R Cho đờng tròn (O; R) đờng tròn ( ( I ; ) tiếp xúc A Trên đờng tròn (O) lấy điểm B cho AB = R Tia MA cắt đờng tròn (I) điểm thứ hai N Qua N kẻ đờng thẳng song song với AB cắt đờng thẳng MB ë P Chøng minh OM//IN Chøng minh ®é dài đoạn NP không phụ thuộc vào vị trí điểm M Xác định vị trí điểm M để S ABPN đạt giá trị lớn Tính giá trị theo R Bài 6: (1,5 điểm) Cho tam giác ABC vuông A D điểm nằm hai điểm B C E F lần lợt hình chiếu D lên AB AC HÃy xác định vị trí D để tứ giác ADEF có diƯn tÝch lín nhÊt HÕt Hớng dẫn chấm: đề số Bài Bài (4điểm) Đáp án hớng dẫn chấm Câu 1: (2,0 điểm) §K: x 0; x 9 P x x 2( x  3)   ( x  1)( x  3) x 1 x 3 x ®iĨm  x x   2( x  3)  ( x  3)( x  1) ( x  3)( x  1)  x x  x  x  24 x ( x  8)  3( x  8) x 8   ( x  3)( x  1) ( x  3)( x  1) x 1 2.0 C©u 2: (1 ®iĨm) Ta cã: 14  (3  5)  x 3  Khi ®ã P 14    22  (22  5)(4  5)  58  3 1 4 11 1.0 11 Câu 3: (1 điểm) Ta có: P Bài x  x  1 9   x  1  x 1  2   x 1 x 1 x 1 x 1 VËy Pmin 4 x = Câu 1: (1,5 điểm): Ta có: A x5 5x3  x x( x  5x  4) x ( x  1)( x  4) 1.0 1,5  x( x  1)( x  1)( x  2)( x  2) C©u 2: (1,5 ®iĨm) Ta cã: 360 = 5.8.9; mµ (5; 8; 9)=1; x nguyên Do A = x( x-1)(x+1)(x-2)(x+2) tích số nguyên liên tiếp Vì x không chia hết phải tồn thừa sè chia hÕt cho 3;  A9 (1) 1,5 §ång thêi cã mét sè chia hÕt cho 5;  A5 (2) Trong thõa sè cña A cã Ýt nhÊt thừa số chăn nên A8 (3) Từ (1); (2) (3) A5.8.9 = 360 Vậy với x nguyên A360 (đpcm) Bài (3điểm) Xét số hạng tổng quát : 1 với k sè nguyªn k (k  1) 2 : d¬ng , ta cã 1   1 1          k (k  1)  k   k 1  2 1    1 12           k k       k  1  k 1   k k    V× :        2    k k       2 1 k     k 1   k    2 1 2   0 k  k ( k  1)      1 1  VËy :        k (k  1)2  k (k  1)  1.0 0,5 0,5 Nªn : 1 1 1 1        k (k  1) k (k  1) k k 1 1.0 áp dung vào 1 1  1  1  C                      2  3  4  2008 2009  1 1 1 1 1 4036080 2008           2009   2 3 4 2008 2009 2009 2009 Bài 4: (3,5 điểm) Câu1: (2,0 ®iĨm) §K: x  2008; b 2009; c 2 C¸ch 1:Ta cã: a  2008  b  2009  c   (a  b  c)  a  2008  b  2009  c  a  b  c   (a  2008)  a  2008  1   (b  2009)  b  2009 1   (c  2)  c   1 0  ( a  2008  1)  ( b  2009  1)  ( c   1) 0 a  2007   b 2010 c 3  a  2009 b  2008 b  2009  c c  a b c  a  2008  b  2009  c   DÊu “=” s¶y khi:  a  2008  a  2007  b  2009  b 2010  c   c 3 C¸ch 2: Ta có a 2008 Câu 2: ( 1,5 điểm) Ta cã: 1 1 1 1 y z   1  (  )  (  )   x y z x y z 2y 2z Mµ y; z > nên: Tơng tự: ( y 2)( z  2) = 2 x yz ( y  2)( z  2) yz ( x  2)( z  2)  y xz 0,5 (1) (2) 0,5 0,5 ( x  2)( y  2)  z xy (3) Tõ (1); (2) vµ (3) ta cã:  ( x  2)( y  2)( z  2)   ( x  2)( y  2)( z  2) 1 (®pcm)  xyz xyz Bài 5: (2điểm) Câu a: (1,5 ®iĨm) M Ta cã: OA = OM = R MOA cân O (1) OMA OAM T¬ng tù: IA = IN = 0,25 R IAN cân I A (2)  IAN INA Mµ (O; R) vµ (I: 0,25 I O R ) tiÕp xóc t¹i A H O, A, I thẳng hàng Nên OAM (đđ) (3) IAN Từ (1); (2) (3) suy ra: OMA (ë vÞ trÝ so le trong) INA Do ®ã OM//IN (®pcm) 0,5 0,25 N 0,25 B P 0,5 Câu 2: (2 điểm) Ta có: OM//ON suy AM OM R   2 AN IN R 0,5 AM 2   AM  AN  AB AM 3 Mµ AB//PN ( gt)     NP  AB  R NP MN 2 0,75 Vậy độ dài PN không đổi Câu 3: (1,5 điểm) Từ A kẻ AH PN kéo dài H 0,25 0,25 1 S ABPN  ( AB  PN ) AH  ( R  ) AH  R AH 2 2R Vì R không đổi nên S ABPN lớn AH lín nhÊt Do AH  AN nªn AH lín nhÊt lkhi AH = AN  H  N  AN  PN  AM  AB t¹i A (do AB//PN) AMB vuông A nên ta có: AM MB  AB (2 R)  R  AM R AM 1 Do  mµ AN  AM  AN  R MN 2 S ABPN đạt giá trị lớn = R R 3R (đơn vị diên tích) Khi M thc cung lín AB vµ AM  AB Bµi (1,5 đ) Ta có AEDF hình chữ nhật nên S AEDF AE AF (1) ABC tam giác vuông A nên ta có: S ABC 0,25 0,5 0,25 0,25 B 0,25 AB AC ( AE  BE ).( A  CF )  2 E ¸p dơng B§T Cuchy ta cã: S ABC  0,25 AE.BE AF CF = AE.BE AF CF D 0,25 (2) A F C Ta l¹i cã: BED DFC  BE DE  DF CF  BE.CF DE DF  AE AF (do AE = DF; AF = DE) (3) Tõ (1); (2) vµ (3) suy ra: S ABC 2 AE AF AE A 2 AE AF 2S AEDF  S AEDF  S ABC Dấu = sảy khi: AE = BE; AF = CF  DB DC ®ã D lµ trung ®iĨm cđa BC 0,25 0,25 0,25 Vậy D trung điểm BC S AEDF đạt giá trị lớn = S ABC Đề Số 11 Đề thi hs giỏi môn toán vòng Năm học: 2008-2009 (Thời gian làm 150)) Bài 1: (5 điểm) 1.Giải phơng trình 6x x  1 x =3+2 x  x2  x  y  0 Cho hÖ phơng trình: 2 x y x  y  0 Gäi (x1; y1) (x2; y2) hai nghiệm hệ phơng trình HÃy tìm giá trị biểu thức M = (x1- x2)2 + (y1-y2)2 Bài 2: (3 điểm) Từ điểm A nằm đờng tròn tâm O kẻ hai tiếp tuyến AB AC (B,C tiếp điểm) Gọi M điểm cung nhỏ BC đờng tròn (O) (M khác B C) Tiếp tuyến M cắt AB AC E, F, đờng thẳng BC cắt OE OF P Q Chứng minh tỷ số PQ không đổi EF M di chuyển cung nhỏ BC Bài 3: (3 điểm) Tìm số x, y, z nguyên dơng thoả mÃn đẳng thức 2(y+z) = x (yz-1) Bài 4: (5 điểm) Cho tam giác ABC có góc nhọn, góc A= 450 đờng cao BE, CF cắt H Gọi M, N, K lần lợt trung điểm BC, AH, EF tâm đờng tròn ngoại tiếp tam giác ABC Chứng minh r»ng: EAH EBC Bèn ®iĨm M, E, N, F nằm đờng tròn Ba điểm H, K, O thẳng hàng Bài 5:(2 điểm) Một ngũ giác có tính chất: Tất tam giác có đỉnh đỉnh liên tiếp ngũ giác ®Ịu cã diƯn tÝch b»ng TÝnh diƯn tÝch cđa ngũ giác Bài 6: (2 điểm) Cho x, y, z  và x + y + z x + y + z Tìm giá trị lớn cđa biĨu thøc: A  x y z  x y z Đáp án đề số Bài 1: (4 điểm) Câu 1: (2 điểm) ĐK < x < x Khử mẫu vế trái ta đợc phơng trình: 3( x x ) = + x x Đặt x  x = t  ®k : < t < Phơng trình viết thành : t2 - t + = KÕt luËn: x = ; x = nghiệm phơng trình ®· cho C©u 2: (2 ®iĨm) x = (y+1) vào phơng trình lại => 5y2 + 5y - = (*) Phơng trình (*) có nghiƯm y1, y2 mµ y2 + y2 = -1 y1y2 = - L¹i cã x1 - x2 = 3(y1- y2) => M = (x1 - x2) + (y1 - y2) = 10 (y1- y2)2 = 10 (y1+y2)2-4y1y2 = 34 Bài 2: (3 điểm) 2 A F M E G I H B P C Q O J K Giả sử EO cắt (O) I J ; FO cắt (O) G K (hình vÏ) s® (MJ - MI) = s® (IJ 2 = s® (GB + CK) = s® (MB + MG + CK) = s® (MB + GC + CK) = s® (MB + 1800) (2) Ta cã: FEP = FQP - 2MI) ; = (1800 - s® MB) (1) Tõ (1) vµ (2) => FEP + FQP = 1800 => PQO = FEO => FEO ~ PQO => PQ OH  EF OM (Víi OH  BC) V× A (O;R) cố định nên OH, OM không đổi => ờng tròn Bài 3: (5 điểm) Câu 1(1 điểm) PQ EF không đổi M di chuyển đ- B F d M O K H N C A E Do BAC 450 nên AEB AFC tam giác vuông cân EA EB (*) ACF 450 HCE vuông cân H HE HC (2*) Tõ (*) vµ (2*) suy HAE CBE Câu 2: (2,5 điểm) Do EN trung tuyến tam giác vuông AEH Nên EN = NH (1)  NAE  AEN   Ta l¹i cã: HAE (1) (vì HAE CBE c/m câu a) EBC Tơng tự tam giác vuông BEC có EM trung tuyến nên: EM = MB MBE cân M   (2)  MEB MBE   Tõ (1) (2) suy NEA MEB Nên AEN  NEH NEH  MEB 900  MEN vu«ng E Nếu gọi I trung điểm MN th× ta cã IM = IN = IE (3*) C/M tơng tự ta có: Trong tam giác vuông HFA có FN lµ trung tuyÕn Suy FN = NA = NH (2)  Tõ (1) vµ (2) suy NE = NF FNE cân N NEF NFE (3) Mặt khác: MEF (vì ME MF c/m trên) (4) MFE Từ (3) (4) suy NEF  MEF NFE  MFE 900 Do FI trung tuyến tam giác vuông MFN  IN IM FI (4*) Tõ (3*) vµ (4*) suy bốn điểm M, F, N, E nằm đờng tròn (I; MN ) Câu 3: ( 1,5 điểm) Do tam giác AEB tam giác vuông cân nên E nằm đờng trung trực AB OE AB OE // HF (1) (vì vông gãc víi AB) T¬ng tù ta cã: OA = OC (vì O tâm đờng tròn ngoại tiếp tam giác ABC) Nên O nằm đờng trung trực AC (a) Mà tam giác CFA vuông cân F ®ã F n»m trªn ®êng trung trùc cđa AC (b) Tõ (a) vµ (b) suy : FO  AC  FO // BE hay OF // HE (2) Tõ (1) (2) suy tứ giác HFOE hình bình hình Mà KE = KF KO KH H, K, O thẳng hàng (đpcm) Bài 4: (3 ®iĨm)  Víi x = => (y-2) (z-2) = => (x;y;z) lµ (1;3;7) vµ (1;7;3)  Víi x > tõ PT ®· cho => 2(y+z) > 2(yz-1) => yz - y - z - < => (y-1)(z-1) < (*) Gi¶ sư y  z - NÕu y = tõ PT ®· cho  2(1+z) = x(z -1)  (x-2)(y-1) =  nghiÖm : (x;y;z) = (3;1;5); (4;1;3) ; (6;1;2) - NÕu y  => z  y  tõ (*) => y = ; z chØ nhËn giá trị thay vào PT ®· cho  nghiÖm (x;y;z) = (2; ;3) Do vai trò y , z bình đẳng nên ®ỉi vai trß cđa y , z ta cã nghiệm Kết luận phơng trình có 10 nghiệm (x; y; z) lµ (1; 3; 7); (1; 7; 3); (3; 1; 5); (4;1;3); (6;1;2); (2;2;3); (3;5;1); (4;3;1); (6;2;1); (2;3;2) A Bài 5: (2 điểm) Giả sử ngũ giác ABCDE thoả mÃn đk toán Xét BCD ECD SBCD = SECD đáy CD chung, đờng cao hạ từ E B B vµ E xuèng, CD b»ng => EB  CD, T¬ng tù AC// ED, BD AE, CE  AB, DA  BC Gäi I = EC  BC => ABIE hình bình hành I C D => SIBE = SABE = Đặt SICD = x < => SIBC = SBCD - SICD = 1-x = SECD - SICD = SIED L¹i cã S ICD IC S IBC   S IDE IE S IBE hay => x2 - 3x + = => x = VËy SIED = x 1 x  1 x 3 x < => x = 51 Do ®ã SABCDE = SEAB + SEBI + SBCD + SIED = 3+ 51 = 5 2 Bài 6i 6: (2 ®iĨm) c/minh: x  x   22 x  x  1 x 1 x 1 y z x  ;   T¬ng tự 2 y 1 z 1 x 1 x y z A    x 1 y 1 z 1 MaxA  x = 1; y = ; z = 3 §Ị sè 10 §Ị thi hs giỏi môn toán vòng năm học: 2008 - 2009 (Thời gian 150 phút ) Bài 1:(3 điểm) Cho x 2 1   tính giá trị biểu thức sau A ( x  x3  x  x  1) 2009 1 1  x  xy  y 19( x  y )2 Gi¶i hệ phơng trình: 2 x xy  y 7( x  y ) Bµi 2: (2 điểm) Cho tam giác nhọn ABC điểm M tam gi¸c Chøng minh: AM BC  BM AC  CM AB 4.S ABC DÊu b»ng sảy nào? Bài 3: (6 điểm) Tìm số a, b, c biết: a 2008  b  2009  c   (a  b  c) Cho x, y, z > thâa m·n: 1   1 Chøng minh: ( x  2)( y  2)( z 2) x y c Tìm giá trÞ nhá nhÊt: y  x  x   x  x Bài 4: (5 điểm) R Cho đờng tròn (O; R) đờng tròn ( ( I ; ) tiếp xúc A Trên đờng tròn (O) lÊy ®iĨm B cho AB = R Tia MA cắt đờng tròn (I) điểm thứ hai N Qua N kẻ đờng thẳng song song với AB cắt ®êng th¼ng MB ë P Chøng minh OM//IN Chứng minh độ dài đoạn NP không phụ thuộc vào vị trí điểm M Xác định vị trí điểm M để S ABPN đạt giá trị lớn Tính giá trị theo R Bài 5: (3 điểm) Cho c¸c sè thùc x, y, z thâa m·n: x  y  x y  y z  3x y z Tìm giá trị nhỏ xyz Tìm số nguyên dơng x, y, z thõa mÃn phơng trình: x x yz z Bài 6: (1 điểm) Cho hình vuông ABCD có cạnh Trên cạnh BC lấy điểm M, cạnh CD lấy điểm N cho chu vi tam gi¸c MCN b»ng TÝnh góc MAN Bài 1: (3 điểm) Môic ý 1,5 điểm Câu 1: (1,5 điểm): Hớng dẫn chấm 10 x Ta cã:  = 2 1  1 1 2009 A ( x  x  x  x  1) (4  2   2  1) 2009 Câu 2: (1,5 điểm): 2 2  x  xy  y 19( x  y ) 6( x  y )  xy 0   2  x  xy  y 7( x  y ) ( x  y) 7( x y ) xy đặt: u x y; v xy hệ trở thành 6u  v 0   Gi¶i hƯ ta đợc nghiệm (u; v) (0; 0) (1; 6) Do hệ ban đầu có u  7u  v 0 Ta cã:  nghiÖm: (x; y) lµ (0; 0) vµ (3; 2); (-2; -3) Bµi 2:(2 điểm) Kéo dài AM cắt BC I Kẻ BE  AM ; CF  AM Ta cã BI AM BE AM 2SBAM A CI AM CF AM 2S CAM  ( BI  CI ) AM 2( S BAM  S CAM ) Hay AM BC 2(S BAM  SCAM ) (1) M T¬ng tù ta chứng minh đợc: E CM AB 2( S CAM  S CBM ) (2) BM AC 2( S CBM  S BAM ) (3) I B Céng vế với vế (1); (2) (3) ta đợc: C AM BC  CM AB  BM AC 4( S BAM  S CAM  S BMC ) F  AM BC  CM AB  BM AC 4 S ABC DÊu “=” s¶y khi: AM  BC ; BM  AC; CM  AB hay M trực tâm tam giác ABC Bài 3: (6 điểm) Câu1: (2,0 điểm) ĐK: x 2008; b 2009; c 2 C¸ch 1:Ta cã: a  2008  b  2009  c   (a  b  c)  a  2008  b  2009  c  a  b  c   (a  2008)  a  2008  1   (b  2009)  b  2009  1   (c  2)  c   1 0  ( a  2008  1)  ( b  2009  1)  ( c   1) 0 a  2007   b 2010 c 3  a  2009 b  2008 b  2009  c c   a  2008  b  2009  c  a  b  c DÊu “=” s¶y khi: a  2008  a  2007 C¸ch 2: Ta cã a  2008  11 b  2009  b 2010 c   c 3 Câu 2: ( điểm) Ta có: 1 1 1 1 y z   1  (  )  (  )   x y c x y z 2y 2z Mà y; z > nên: Tơng tự: ( y  2)( z  2) = 2 x yz ( y  2)( z  2) yz ( x  2)( z  2)  y xz (1) (2) ( x  2)( y  2)  z xy (3) Tõ (1); (2) vµ (3) ta cã:  ( x  2)( y  2)( z  2)   ( x  2)( y  2)( z  2) 1 (®pcm)    xyz xyz   C©u 3: (2 ®iÓm) ta cã: a  b  c  d  (a  c )2  (b  d )2 (1)  a  b  c  d  (a  b )(c  d 2) a  b  c  d  2ac  2bd  (a  b )(c  d 2) ac  bd (2) * Nếu: ac + bd < (2) đợc chứng minh * Nếu: ac + bd (2) tơng ®¬ng víi (a  b )(c  d ) a c  b d  2abcd  a c  b2 d  a d  b c a c  b d  2abcd (®pcm)  (ad  bc) 0 Ta cã: y  x  x   x  x   ( x  1)  x  (2  x)2  x ¸p dơng BĐT ta đợc: M y ( x   x)  (2 x)   x 3  ymin 3 x = Bài 4: (5 điểm) Câu a: (1,5 ®iĨm) A I O H Ta cã: OA = OM = R MOA cân O (1)   OMA OAM N R T¬ng tù: IA = IN = IAN cân I (2)  IAN INA R Mµ (O; R) vµ (I: ) tiếp xúc A B P O, A, I thẳng hàng Nên OAM (đđ) (3) IAN   Tõ (1); (2) vµ (3) suy ra: OMA (ë vÞ trÝ so le trong) INA Do ®ã OM//IN (®pcm) C©u 2: (2 ®iĨm) 12 Ta cã: OM//ON suy AM OM R   2 AN IN R AM 2   AM  AN  AB AM 3 Mµ AB//PN ( gt)     NP  AB  R NP MN 2  VËy độ dài PN không đổi Câu 3: (1,5 điểm) Từ A kẻ AH PN kéo dài H 1 S ABPN  ( AB  PN ) AH  ( R  ) AH  R AH 2 2R Vì R không đổi nên S ABPN lín nhÊt vµ chØ AH lín nhÊt Do AH  AN nªn AH lín nhÊt lkhi AH = AN  H  N  AN  PN  AM  AB t¹i A (do AB//PN) ®ã AMB vu«ng ë A nen ta cã: AM MB  AB (2 R)  R  AM R AM 1 Do  mµ AN  AM  AN  R MN 2 S ABPN đạt giá trÞ lín nhÊt = R R 5 3R (đơn vị diên tích) Khi M thuộc cung lín AB vµ AM  AB Bµi 5: (3 ®iĨm) C©u 1: (1,5 ®iĨm) Ta cã: x  y  x y  y z  3x y z 9  ( x  xyz  y z )  2( y  xyz  x z )  3( x y z  xyz  1) 12  ( x  yz )  2( y  xz )  3( xyz  1)2 12  3( xyz  1) 12  ( xyz  1) 4    xyz  2    xyz 3  x  yz 0  Mµ xyz = -1   y  xz 0  ( x; y; z ) (1,  1,1);(1,1,  1);( 1,1,1);( 1,  1, 1) xyz Vậy giá trị nhỏ xyz = -1 Câu 2: (1 điểm) Ta cã: x  x yz  z  0 x ( x  yz ) z  (1) XÐt trêng hỵp:  x 1  1  y  * NÕu z = th× (1)  x ( x  y )     x 1   y 2 * NÕu z = th× (1)  x ( x  y ) 0  x 2 y nªn cã nghiƯm: x 2k ; y 2k (víi k  Z  ) * NÕu z > th× (1) ta cã: z- > vµ z  2x nªn z  x  z x   x   x  yz  x  x y 0 M A B K (v« lý) VËy bé ba số nguyên dơng (x; y; z) thõa mÃn đề bµi lµ: (1; 2; 1) vµ (2k; 2k2; 2) víi k số nghuên dơng Bài 6:(1 điểm) N 13 D C Trên tia đối tia BC lấy điểm K cho BK = DN Khi ®ã MK = MB + BK = MB + DN = – CM +1 – CN = – ( CM + CN ) = MN (v× CM +CN + MN = )   Vµ ADN ABK  AN  AK  DAN BAK Tõ ®ã suy ra: AMN AMK (CCC)           MAN MAK  2MAN NAK NAB  BAK NAB  DAN 900  MAN 450 14 ... 2008 20 09  1 1 1 1 1 4036080 2008           20 09   2 3 4 2008 20 09 20 09 20 09 Bài 4: (3,5 điểm) Câu1: (2,0 ®iĨm) §K: x  2008; b 20 09; c 2 C¸ch 1:Ta cã: a  2008  b  20 09  c... ĐK: x 2008; b 20 09; c 2 C¸ch 1:Ta cã: a  2008  b  20 09  c   (a  b  c)  a  2008  b  20 09  c  a  b  c   (a  2008)  a  2008  1   (b  20 09)  b  20 09  1   (c... a  2007   b 2010 c 3  a  20 09 b  2008 b  20 09  c c  a b c  a  2008  b  20 09  c   DÊu “=” s¶y khi:  a  2008  a  2007  b  20 09  b 2010  c   c 3 C¸ch 2: Ta có