PHÒNG GD – ĐT THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN Năm học : 2010 – 2011 Môn thi: TOÁN – Lớp Ngày thi: 17/11/2007 Thời gian: 120 phút (không kể thời gian giao đề) §Ò Sè 11ĐỀ THI: Bài 1: (3 điểm) Cho a,b ∈ Z Chứng minh a + 5b chia hết cho 10a + b chia hết cho Bài 2: (4 điểm) Cho a, b, c, x, y, z nhựng số thực khác 0, thỏa mãn điều kiện: a b c x y z + + = + + = x y z a b c a b2 c Tính giá trị biểu thức: + + x y z Bài 3: (4 điểm) Cho số thực a, b, c Chứng minh rằng: a +b +c ≥ 2 a − b) ab + bc + ca + ( 26 ( b − c) + ( c − a) + 2009 Bài 4: (4 điểm) Tìm giá trị nhỏ biểu thức : M = x2 − 8x + x2 − x + + Bài 5: Cho hình vuông ABCD, đường chéo có độ dài Gọi MNEF tứ giác lồi có bốn đỉnh nằm cạnh hình vuông Chứng minh rằng: MN + NE + EF + FM ≥ Dấu “=” xảy nào? Hết PHÒNG GD – ĐT THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN §Ò Sè 11 ĐÁP ÁN Bài 1: (3 điểm) Ta có: 10a + b = 10(a + 5b) – 49b Vì: a + 5b chia hết cho 7, nên: 10(a + 5b) chia hết cho 7; a,b ∈ ¢ 49b chia hết cho 7, với b ∈ ¢ Suy ra: 10a + b chia hết cho 7; a,b ∈ ¢ Vậy: a + 5b 10a + b chia hết cho 7, a,b ∈ ¢ Bài 2: (4 điểm) Cho a, b, c, x, y, z nhựng số thực khác 0, thỏa mãn điều kiện: a b c x y z + + = + + = x y z a b c a b2 c2 Tính giá trị biểu thức: + + x y z x y z xbc + ayc + abz = ⇒ xbc + ayc + abz (vì abc ≠ 0) * + + =0⇔ a b c abc * Mặt khác ta có: a b c a b c + + =1⇒ + + ÷ =1 x y z x y z 2 a b a c b c a b c ⇒ ÷ + ÷ + ÷ + + + ÷= x y z x y x z y z abz + acy + bcx a b2 c2 ⇒ + + + 2 ÷= x y z xyz a b2 c2 + + + 2 ÷= x y z xyz a b2 c2 ⇒ + + =1 x y z ⇒ Bài 3: (4 điểm) Ta có: a2 + b2 + c2 ≥ ab + bc + ca + ( a − b) ( b − c) + ( c − a) + 26 2009 2 ⇔ 2a2 +2b2 + 2c2 – 2ab – 2bc – 2ca ≥ ( a − b ) + ( b − c ) + ( c − a ) 13 2009 2 ⇔ (a2 – 2ab + b2 ) + (b2 – 2bc + c2) + (c2 – 2ac + a2 ) ≥ ( a − b ) + ( b − c ) + ( c − a ) 13 2009 2 ⇔ (a – b )2 + (b – c)2 + (c – a )2 ≥ ( a − b ) + ( b − c ) + ( c − a ) 13 2009 Bất đẳng thức với số thực a, b, c Vậy: a2 + b2 + c2 ≥ ab + bc + ca + ( a − b) 26 ( b − c) + ( c − a ) ; với số thực a, b, c + 2009 Bài 4: (4 điểm) Tìm giá trị nhỏ biểu thức : Ta có: M = x − x + x − x + + = (x2 – 4x + 5) + x2 − x + – = 2[(x – 2)2 + 1] + ( x − 2) + – Vì: 2[(x – 2)2 + 1] ≥ ( x − 2) + ≥ Nên: M ≥ + – hay M ≥ –1 Vậy: Min M = –1 khi: x = Bài 5: Chứng minh: MN + NE + EF + FM ≥ Dấu “=” xảy nào? M A B N H F S K D C E Gọi H, S, K trung điểm MF, ME NE MF (Vì AH trung tuyến thuộc cạnh huyền MF) CK = NE (Vì CK trung tuyến thuộc cạnh huyền NE) Ta có: AH = EF (Vì HS đường trung bình ∆ MEF) SK = MN (Vì KS đường trung bình ∆ NME) Vậy: MN + NE + EF + FM = 2(SK + CK + HS + AH) ≥ 2(CS + AS) ≥ 2AC = HS = Dấu “=” xảy khi: H, S, K ∈ AC Khi đó: Tứ giác MNEF hình chữ nhật (Vì AC = 1) ... S, K trung điểm MF, ME NE MF (Vì AH trung tuyến thuộc cạnh huyền MF) CK = NE (Vì CK trung tuyến thuộc cạnh huyền NE) Ta có: AH = EF (Vì HS đường trung bình ∆ MEF) SK = MN (Vì KS đường trung bình...PHÒNG GD – ĐT THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN §Ò Sè 11 ĐÁP ÁN Bài 1: (3 điểm) Ta có: 10a + b = 10(a + 5b) – 49b Vì: a + 5b chia... nhựng số thực khác 0, thỏa mãn điều kiện: a b c x y z + + = + + = x y z a b c a b2 c2 Tính giá trị biểu thức: + + x y z x y z xbc + ayc + abz = ⇒ xbc + ayc + abz (vì abc ≠ 0) * + + =0⇔ a b c abc