Copy of DE 4 THI HSG t9 r

§Ò PHÒNG GD – ĐT THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN Năm học : 2011 – 2012 Môn thi: TOÁN – Lớp Ngày thi: 29/10/2011 Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề) ĐỀ THI: Bài 1: (3 điểm) Chứng minh với số tự nhiên n, Ta có: A = 7.52n + 12.6n chia hết cho 19 Bài 2: (4 điểm) Rút gọn biểu thức sau: B = (4 + 15)( 10 − 6)( − 15 ) Bài 3: (4 điểm) a 2b + =1 1+ a 1+ b Chứng minh: ab ≤ Cho a, b > thỏa: Bài 4: (4 điểm) Tìm giá trị nhỏ biểu thức: M = −2 x + x + 31 − ( − x + x + 21) ( − x + x + 10 ) Với −2 ≤ x ≤ Bài 5: (5 điểm) Cho tam giác OAB vuông cân O, với OA = OB = 2a Vẽ đường tròn tâm O, bán kính a Tìm điểm M thuộc đường tròn (O) cho MA + 2MB đạt giá trị nhỏ Hết ®Ò PHÒNG GD – ĐT THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN Năm học : 2011 – 2012 Môn thi: TOÁN Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề) ĐÁP ÁN THAM KHẢO: Bài 1: (3 điểm) Ta có: A = 7.52n + 12.6n = 7.25n – 7.6n + 19.12n = 7.( 25n – 6n ) + 19.12n = 7.( 25 – )f(n) + 19.12n = 7.19f(n) + 19.12n = 19.[7.f(n) + 12n] M19 , với số tự nhiên n Vậy: với số tự nhiên n, ta có: A = 7.52n + 12.6n chia hết cho 19 Bài 2: (4 điểm) Rút gọn biểu thức sau: B = (4 + 15)( 10 − 6)( − 15 ) = (4 + 15) ( − 15 )( 10 − 6) = ( + 15 ).( + 15 − 15 ) 2.( − 3) = ( + 15 ) 42 − ( 15) 2.( − 3) = + 15.( − 3) = ( + 3) ( − 3) = ( 5) − ( 3) = − = Bài 3: (4 điểm) Ta có: a 2b a (1 + b) + 2b(1 + a ) + =1⇔ =1 1+ a 1+ b (1 + a)(1 + b) ⇔ a + ab + 2b + 2ab = + a + b + ab ⇔ 2ab + b = Vì: a, b > nên: 2ab b số dương Áp dụng bất đẳng thức cô si cho hai số dương 2ab b ta có: 2ab + b ≥ 2ab.b ⇔ (2ab + b) ≥ 4.2ab ⇔ ≥ 8ab ⇔ ab ≤ Bài 4: (4 điểm) Tìm giá trị nhỏ biểu thức: M = −2 x + x + 31 − ( − x + x + 21) ( − x + x + 10 ) = −2 x + x + 31 − ( − x ) ( x + 3) ( x + ) ( − x ) = −2 x + x + 31 − [( − x ) ( x + ) ].[( − x ) ( x + 3)] = −2 x + x + 31 − ( − x + x + 14 ) ( − x + x + 15 ) = ( − x + x + 14 ) − ( − x + x + 14 ) ( − x + x + 15 ) + ( − x + x + 15 ) + = ( ( − x + x + 14 ) − −2 ≤ x ≤ Vậy: Min A = 2, Với ( −x Dấu “=” xảy khi: ( − x + x + 15) + x + 14 ) = ( −x ) +2≥2 + x + 15 ) ⇒ x = (TMĐK) Bài 5: (5 điểm) Cho tam giác OAB vuông cân O, với OA = OB = 2a Vẽ đường tròn tâm O, bán kính a Tìm điểm M thuộc đường tròn (O) cho MA + 2MB đạt giá trị B M O E A K nhỏ Gọi E giao điểm OA với (O), K trung điểm OE M điểm thuộc đường tròn (O) Xét ∆ OKM ∆ OMA có: Góc MOK chung OK OM = = OM OA KM = ⇒ AM = KM Nên: ∆ OKM : ∆ OMA ⇒ AM Vậy: MA + 2MB = 2KM + 2MB = 2(KM + MB) ≥ 2KB Vì: KB không đổi , nên: MA + 2MB đạt giá trị nhỏ 2KB Hay: KM + MB = KB ⇒ Ba điểm K, M, B thẳng hàng Vậy: MA + 2MB đạt giá trị nhỏ M giao điểm BK với (O) ... 12.6n chia hết cho 19 Bài 2: (4 điểm) R t gọn biểu thức sau: B = (4 + 15)( 10 − 6)( − 15 ) = (4 + 15) ( − 15 )( 10 − 6) = ( + 15 ).( + 15 − 15 ) 2.( − 3) = ( + 15 ) 42 − ( 15) 2.( − 3) = + 15.(... đẳng thức cô si cho hai số dương 2ab b ta có: 2ab + b ≥ 2ab.b ⇔ (2ab + b) ≥ 4. 2ab ⇔ ≥ 8ab ⇔ ab ≤ Bài 4: (4 điểm) Tìm giá trị nhỏ biểu thức: M = −2 x + x + 31 − ( − x + x + 21) ( − x + x + 10 ) =... x + 3)] = −2 x + x + 31 − ( − x + x + 14 ) ( − x + x + 15 ) = ( − x + x + 14 ) − ( − x + x + 14 ) ( − x + x + 15 ) + ( − x + x + 15 ) + = ( ( − x + x + 14 ) − −2 ≤ x ≤ Vậy: Min A = 2, Với ( −x