Copy of de 2 thi HSG r

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO §Ò ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN Năm học 2011-2012 Môn: Toán Thời gian làm bài: 150 phút (Không kể thời gian giao đề) Đề thức  a a −3 2( a − 3) a +3 a +8 : − + Câu 1: Rút gọn biểu thức A =    a −2 a −3 a +1 − a  a −1 Câu 2: Tìm tất số tự nhiên n cho 28+211+2n số phương Câu 3: Cho z ≥ y ≥ x > Chứng minh rằng: 1 1 1 1 y  +  + ( x + z ) ≤ ( x + z ) +  x z y x z Câu 4: a) Giải phương trình x − = x − x − b) Cho ba số x, y, z thỏa mãn x + y2 + z2 = x3 + y3 + z3 = Tính tổng x + y + z Câu 5: Cho đường thẳng y = (m-1)x + Tìm m để khoảng cách từ gốc tọa độ đến đường thẳng lớn nhất? Câu 6: Cho (O;R) đường thẳng d cố định không cắt (O) Hạ OH vuông góc với d (H ∈ d) M điểm thay đổi d, từ M kẻ MQ MP tiếp tuyến (O), (P,Q tiếp điểm) Dây cungPQ cắt OH I, cắt OM K a) Chứng minh điểm O, Q, H, M, P thuộc đường tròn b) Chứng minh tích IO.OH không đổi c) Giả sử góc PMQ = 600 Tính tỉ số diện tích hai tam giác MPQ OPQ - Hết Lưu ý: - Học sinh không sử dụng máy tính - Học sinh bảng A làm hết tất câu - Học sinh bảng B làm câu 6c Họ tên thí sinh:……………………………… ; SBD:…… ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM MÔN TOÁN Nội dung đáp án Câu 4đ  A=   ( a a −3 2( a − 3) a +3 a +8 : − − a − a +1 a +1 a −  a − )( ) a a − − 2( a − 3)( a − 3) − ( a + 3)( a + 1) a + : = a −1 ( a − 3)( a + 1) = a a + a − 3a − 24 a + : a −1 ( a − 3)( a + 1) = ( a − 3)(a + 8) ( a + 1)( a − 1) = a −1 (a + 8) ( a − 3)( a + 1) Giả sử 28+211+2n = a2 => 2n = a2 - (28+211) hay 2n = a2 - 482 = (a - 48)(a + 48) lúc ta có: p q = a + 48=> = a - 48 , với p, q ∈ N p + q = n, p > q => 2p - 2q = 96 2q.(2p-q - 1) = 25.3 => q = p - q = => p = => n = 7+5 = 12 thử lại 28+211+212 = 802 Bất đẳng thức cho viết lại dạng: 1đ 3đ y 1 ( x + z ) + ( x + z ) ≤ ( x + z )( x + z ) xz y xz x+z > 0, y > 0, xz > nên nhân hai vế với 3đ a 2đ xyz x+z ta bất đẳng thức tương đương y2 + xz ≤ xy + yz y2 - xy + xz - yz ≤ - (y - x)(z - y) ≤ y - x ≥ z - y ≥ dấu " = " xẩy x = y y = z Điều kiện x ≥ x − = x − x − x − = ( x − 1) − x − + x − = ( x − − 1) hay x − = | x − − | (1) + Khi x − − ≥ hay x ≥ phương trình (1) trở thành x − = x − − x − = -1 (vô nghiệm) + Khi x − − < hay ≤ x < phương trình (1) trở thành b 1đ 10 x − = − x − x − = ⇔ x = (thỏa mãn đk: ≤ x < 2) 10 Vậy phương trình cho có nghiệm x = Từ điều kiện toán ta có nhận xét: |x| ≤ 1, |y| ≤ 1, |z| ≤ nên x3 ≤ x2 , y3 ≤ y2 , z3 ≤ z2 => x3 + y3 + z3 ≤ x2 + y2 + z2 dấu " = " xẩy x3 = x2 x = x = y = y y = y = x =z z = z = Bảng A 0.75 Bảng B 0.75 1.0 1.0 0.75 0.75 1.5 1.5 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.5 0.5 0.75 0.75 0.75 0.75 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 => x + y + z = x2 + y2 + z2 = Gọi A,B hai giao điểm đường thẳng y= (m-1)x +2 (d)với trục Ox trục Oy Ta dễ dàng tìm toạ độ hai điểm 3đ −2 A( ;0) B(0;2) m −1 tam giác AOB vuông O(O gốc toạ độ),gọi OH đường cao OH khoảng cách từ gốc tọa độ đến đường thẳng y = (m-1)x + 1 1 ( m − 1) + = + = + = 2 2 OA OB ta có: OH OH =  −2     m −1 6đ a 3đ b 2đ ( m − 1) 0.5 0.5 1.0 1.0 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.75 0.75 0.75 0.75 0.75 0.5 0.75 0.25 0.25 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 +1 OHMAX ( m − 1) + Min m- 1= m = Vậy khoảng cách từ gốc toạ độ đến đường thẳng(d) lớn m = HS vẽ hình Học sinh ∆ OPM, ∆ OQM tam giác vuông P - Gọi J trung điểm OM O => JQ, JP, JH ba trung tuyến K ba tam giác vuông => JQ = JP = JH = JO = JM J I => năm điểm O, Q, H, M, P Q nằm đường tròn tâm J, d M H bán kính OM/2 Xét ∆ IOK ∆ MOH: có IOK = MOH có OM ⊥ PQ (t/c đường kính dây cung) => IKO = 90 => IKO = MHO = 900 IO OK = => IO.OH = OK.OM MO OH ∆ OPM vuông O => OP2 = OK.OM (hệ thức lượng ∆ vuông) => ∆ IOK ~ ∆ MOH => => IO.OH = OK.OM = OP2 = R2 không đổi 0.5 c 1đ PMQ = 600 => OMQ = OMP = 300 ta có OM ⊥ PQ, áp dụng hệ thức lượng tam giác vuông ta có: MP = OP : tg 300 = R : 1/ = R MO = OP + MP = R + 3R = 2R MK = MP2:MO = 3R2: 2R = 3R/2 OK = OM - MK = 2R - 3R/2 = R/2 PK = PM − KM = R /2 => SOPQ = 1/2OK.PQ = 1/2.R/2.2.(R /2) = R2 /4 SMPQ = 1/2 PQ.KM = 1/2.(2.R /2).3R/2 = 3R2 /4 => SMPQ /SOPQ = 3R2 /4 : R2 /4 = 0.25 0.25 0.25 0.25 ... R : 1/ = R MO = OP + MP = R + 3R = 2R MK = MP2:MO = 3R2 : 2R = 3R /2 OK = OM - MK = 2R - 3R /2 = R /2 PK = PM − KM = R /2 => SOPQ = 1/2OK.PQ = 1 /2. R /2. 2. (R /2) = R2 /4 SMPQ = 1 /2 PQ.KM = 1 /2. (2. R. .. Giả sử 28 +21 1+2n = a2 => 2n = a2 - (28 +21 1) hay 2n = a2 - 4 82 = (a - 48)(a + 48) lúc ta có: p q = a + 48=> = a - 48 , với p, q ∈ N p + q = n, p > q => 2p - 2q = 96 2q.(2p-q - 1) = 25 .3 =>... 0 .25 0 .25 0 .25 0 .25 0 .25 0 .25 0 .25 0.5 0.5 0.75 0.75 0.75 0.75 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0 .25 0 .25 0 .25 0 .25 0 .25 0 .25 0 .25 0 .25 => x + y + z = x2 + y2 + z2 = Gọi A,B hai giao