PHÒNG GD&ĐT §Ò 12ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN Năm học: 2011-2012 Môn thi: Toán lớp Thời gian làm bài: 120 phút Bài 1: (5 điểm) Rút gọn biểu thức: a) A = 13 + 30 + + b) B = 2+ + 2+ + 2− − 2− Bài 2: (4 điểm) x +3 x +2 x +2 x + + Cho biểu thức: P = ÷: 1 − ÷ x +1 x − 3− x x −5 x +6 a) Rút gọn P b) Tìm giá trị nguyên x để P < c) Với giá trị x biểu thức đạt giá trị nhỏ P y - x = xy Bài 3: (3 điểm) Giải hệ phương trình: 4x + 3y = 5xy Bài 4: (2 điểm) Giải phương trình: x + 8x + 15 = x + + x + − Bài 5: (6 điểm) Cho ∆ABC vuông cân A, trung tuyến AD M điểm đoạn AD Gọi N, P hình chiếu M AB, AC; H hình chiếu N DP Trên nửa mặt phẳng bờ AB có chứa điểm C, kẻ Bx ⊥ BA gọi E giao điểm DP Bx a) Chứng minh điểm A, N, M, H, P nằm đường tròn b) Chứng minh rằng: ∆ EBN vuông cân c) Chứng minh rằng: điểm B, M, H thẳng hàng tứ giác AHDB nội tiếp Họ tên thí sinh: ………………………………………… số báo danh: ……… Cán coi thi không giải thích thêm §Ò 12 HƯỚNG DẪN CHẤM Bài 1: (5 điểm) Rút gọn biểu thức: a) A = 13 + 30 + + 2 điểm = 13 + 30 + (2 + 1) (0,5 điểm) = 13 + 30 + 2 +1 = 13 + 30 ( + 1) (0,5 điểm) = 13 + 30( + 1) = 43 + 30 (0,5 điểm) (5 + 2) = + = b) B = B= B= = 2+ + 2+ 2+ + + +2 2+ + ( +1) + (0,5 điểm) 2− − 2− 3 điểmNhân tử mẫu với 2− (0,5 điểm) − −2 + 2− (0,5 điểm) − ( −1) 2 2+ 2− 2+ 2− + = + + + − +1 3+ 3− B= (0,5 điểm) (2 + 6)(3 − 3) (2 − )(3 + 3) + (3 + 3)(3 − 3) (3 − 3)(3 + 3) B= ta có: (0,5 điểm) 12 − 18 = (1 điểm) Bài 2: (4 điểm) x +3 x +2 x +2 x + + Cho biểu thức: P = ÷: 1 − ÷ x +1 x − 3− x x −5 x +6 a) Rút gọn P Điều kiện: x ≥ 0; x ≠ 4; x ≠ điểm (0,25 điểm) x +3 x +2 x +2 x − + ÷: 1 − ÷ x −3 x −5 x + x +1 x −2 P= ( x + 3)( x − 3) ( x + 2)( x − 2) x +2 − + ÷: ( x − 2)( x − 3) ( x − 2)( x − 3) ( x − 2)( x − 3) P= P= P= x −3 : ( x − 2)( x −3) x +1 điểm) (0,5 điểm) x +1 x −2 (0,25 điểm) b) Tìm giá trị nguyên x để P < P < hay x +1 − x ÷(0,5 x +1 x +1 < Vì x −2 x + > => P < điểm x − < (0,25 điểm) x < ≤ x < Vậy với ≤ x < P < c) Với giá trị x biểu thức P= x +1 => = P x −2 (0,5 điểm) (0,25 điểm) đạt giá trị nhỏ P x −2 = 1− ≤1 x +1 x +1 3 nhỏ lớn (vì >0 x +1 x +1 P lớn x + nhỏ x +1 x + ≥ => GTNN x + = x = 1 Vậy x = đạt giá trị nhỏ =-2 P P Bài 3: (3 điểm) y - x = xy Giải hệ phương trình: 4x + 3y = 5xy * Ta nhận thấy x = 0, y = nghiệm hệ PT * Xét với x ≠ 0; y ≠ 1 x − y =1 Chia vế phương trình hệ cho xy ta được: + =5 y x điểm (0,5 điểm) (0,5 điểm) (0,5 điểm) (0,5 điểm) (0,5 điểm) (0,5 điểm) (0,5 điểm) a − b =1 = a = b ta có hệ phương trình (0,5 điểm) y x 3a + 4b = Giải hệ tính a = b = Tính giá trị a, b cho 0,25 điểm = (0,5 điểm) 7 7 => x = y = giá trị cho 0,25 điểm => (0,5 điểm) 7 Vậy nghiệm hệ phương trình có hai nghiệm (x,y) = (0; 0) ( ; ) (0,5 điểm) Kết luận thiếu nghiệm trừ 0,25 điểm Bài 4: (2 điểm) Giải phương trình: x + 8x + 15 = x + + x + − (1) Điều kiện: x ≥ –3, ta có: (1) ⇔ (x + 3)(x + 5) − x + − x + + = (0,5 điểm) Đặt ⇔ ( x + − 2)( x + − 3) = (0,5 điểm) x+3 =2 x + = x = ⇔ ⇔ ⇔ x + = x = x + = Vậy: phương trình đã cho có hai nghiệm: x1 = 1; x2 = (0,5 điểm) (0,5 điểm) Bài 5: (6 điểm) Cho ∆ABC vuông cân A, trung tuyến AD M điểm đoạn AD Gọi N, P hình chiếu M AB, AC; H hình chiếu N DP Trên nửa mặt phẳng bờ AB có chứa điểm C, kẻ Bx ⊥ BA gọi E giao điểm DP Bx a) Chứng minh điểm A, N, M, H, P nằm đường tròn b) Chứng minh rằng: ∆ EBN vuông cân c) Chứng minh rằng: điểm B, M, H thẳng hàng tứ giác AHDB nội tiếp A N P O I M H B D C E a) Chứng minh điểm A, N, M, H, P nằm đường tròn điểm Chỉ tứ giác ANMP hình vuông (0,5 điểm) => điểm A, N, M, P nằm đường tròn gọi tâm O (0,5 điểm) Chỉ NP đường kính đường tròn qua điểm góc NHP vuông nên H thuộc đường tròn (O) (0,5 điểm) Vậy điểm A, N, M, H, P nằm đường tròn (O) (0,5 điểm) b) Chứng minh rằng: ∆ EBN vuông cân điểm Chỉ tam giác BDE = tam giác CDP (g.c.g) (0, điểm) => BE = CP (0, 25 điểm) Chỉ BN = CP (cùng hiệu hai đoạn thẳng nhau) (0,5 điểm) => BE = BN (0,25 điểm) Lại có góc NBE = vuông (gt) (0,25 điểm) Nên tam giác BNE vuông cân B (0,25 điểm) c) Chứng minh rằng: điểm B, M, H thẳng hàng tứ giác AHDB nội tiếp điểm - Chỉ góc NHM = góc NAM = 450 (cùng chắn cung MN) (1) (0,5 điểm) - Chỉ góc NHB = góc NEB = 45 (2) (0,5 điểm) => góc NHB = góc NHM =>HM trùng với HB hay B, M, H thẳng hàng (0,5 điểm) - Chỉ tứ giác AHDB nội tiếp (0,5 điểm) ... đường tròn gọi tâm O (0,5 điểm) Chỉ NP đường kính đường tròn qua điểm góc NHP vuông nên H thuộc đường tròn (O) (0,5 điểm) Vậy điểm A, N, M, H, P nằm đường tròn (O) (0,5 điểm) b) Chứng minh r ng:... nằm đường tròn b) Chứng minh r ng: ∆ EBN vuông cân c) Chứng minh r ng: điểm B, M, H thẳng hàng tứ giác AHDB nội tiếp A N P O I M H B D C E a) Chứng minh điểm A, N, M, H, P nằm đường tròn điểm Chỉ... phương trình (0,5 điểm) y x 3a + 4b = Giải hệ tính a = b = Tính giá trị a, b cho 0,25 điểm = (0,5 điểm) 7 7 => x = y = giá trị cho 0,25 điểm => (0,5 điểm) 7 Vậy nghiệm hệ phương trình có hai