PHÒNG GD & ĐT ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN NĂM HỌC: 2011 - 2012 ĐỀ15 (Đề gồm trang) Môn thi: TOÁN Thời gian: 150 phút (Không kể thời gian giao đề) Câu Cho biểu thức: P = x x+2 + + x − x x + x ( x − 1)( x + x ) a Rút gọn P b Tính P x = + 2 c Tìm giá trị nguyên x để P nhận giá trị nguyên Câu Giải phương trình: a x − 10 x + 27 = − x + x − b x − x − x x − x + = Câu a Tìm số nguyên x; y thỏa mãn: y + xy − 3x − = x −1 − 2x x 1 + + ÷ b Cho x > 1; y > , chứng minh: ÷ + ≥ 3 ( x − 1) y y x −1 y c Tìm số tự nhiên n để: A = n2012 + n2002 + số nguyên tố Câu Cho hình vuông ABCD, có độ dài cạnh a E điểm di chuyển CD ( E khác C, D) Đường thẳng AE cắt đường thẳng BC F, đường thẳng vuông góc với AE A cắt đường thẳng CD K a Chứng minh: 1 + không đổi AE AF b Chứng minh:cosAKE=sinEKF.cosEFK+sinEFK.cosEKF c Lấy điểm M trung điểm đoạn AC Trình bày cách dựng điểm N DM cho khoảng cách từ N đến AC tổng khoảng cách từ N đến DC AD Câu Cho ABCD hình bình hành Đường thẳng d qua A không cắt hình bình hành, ba điểm H, I , K hình chiếu B, C, D đường thẳng d Xác định vị trí đường thẳng d để tổng: BH + CI + DK có giá trị lớn Hết./ HD CHẤM ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN PHÒNG GD & ĐT NĂM HỌC: 2011 – 2012 Môn thi: TOÁN Thời gian: 150 phút( không kể thời gian giao đề) ®Ò sè 15 Câu Ý P= a b c Nội dung cần đạt x x+2 + + x ( x − 1) x ( x + 2) x ( x − 1)( x + 2) = x( x + 2) + 2( x − 1) + x + x x + x + x − + x + = x ( x − 1)( x + 2) x ( x − 1)( x + 2) = x x + 2x + x + x = x ( x − 1)( x + 2) x ( x + 1)( x + 2) ( x + 1) = x ( x − 1)( x + 2) ( x − 1) 0,25 0.5 x = + 2 ⇔ x = + 2 + = ( + 1) = + 0.25 ( x + 1) +1+1 +2 = = = 1+ ( x − 1) + −1 ĐK: x > 0; x ≠ : 0.25 P= P= ( x + 1) = ( x − 1) x −1+ 2 = 1+ x −1 x −1 Học sinh lập luận để tìm x = x = a Điểm 0,25 2,25 0.25 0.25 0.25 ĐK: ≤ x ≤ : 0.25 VT = x − 10 x + 27 = ( x − 5) + ≥ , dấu “=” xẩy ⇔ x = 0.25 VP = − x + x − ≤ (12 + 12 )(( − x ) + ( x − 4) ) ⇔ VP ≤ , dấu “=” xẩy 0.25 ⇔ = 6− x ⇒ 6− x = x− ⇔ x = x−4 0.25 VT = VP ⇔ x = (TMĐK), Vậy nghiệm phương trình: x = ĐK: x ≥ Nhận thấy: x = nghiệm phương trình, chia hai vế cho x ta có: 0.75 4 x2 − x − x x − x + = ⇔ x − − x − + = ⇔ (x + ) − ( x + )−2 = x x x x b Đặt x + 1,75 4 = t > ⇔ t = x + + ⇔ x + = t − , thay vào ta có: x x x t = ⇔ (t − 4) − t − = ⇔ t − t − = ⇔ (t − 3)(t + 2) = ⇔ t = −2 Đối chiếu ĐK t ⇒t =3⇔ x + a x = = ⇔ x − x + = ⇔ ( x − 2)( x − 1) = ⇔ x x = y + xy − 3x − = ⇔ x + xy + y = x + 3x + ⇔ ( x + y )2 = ( x + 1)( x + 2) 2.0 (*) VT (*) số phương; VP (*) tích số nguyên liên 0.5 x +1 = x = −1 ⇒ y = ⇔ x + = x = −2 ⇒ y = tiếp nên phải có số ⇔ Vậy có cặp số nguyên ( x; y ) = (−1;1) ( x; y ) = (−2; 2) x > 1; y > ⇔ x − > 0; y > ⇔ x −1 > 0; > 0; > ( x − 1) y y Áp dụng BĐT Côsi cho số dương: 1 + + ≥ 3 1.1 ⇔ ≥ −2 3 ( x − 1) ( x − 1) ( x − 1) x −1 b (1) 0.75 x −1 x −1 x − 3( x − 1) −2 ÷ +1+1 ≥ 33 ÷ 1.1 ⇔ ÷ ≥ y y y y 1 + + ≥ 3 1.1 ⇔ ≥ − y y y y (2) (3) Từ (1); (2); (3): x −1 1 3( x − 1) + −6+ + ÷+ 3≥ ( x − 1) y y x −1 y y x −1 1 − x + 3x − 2x x ⇔ + + = 3( + ) ÷+ 3≥ ( x − 1) y y x −1 y x −1 y Xét n = A = nguyên tố; n = A = nguyên tố 0.25 Xét n > 1: A = n2012 – n2 + n2002 – n + n2 + n + = n2((n3)670 – 1) + n.((n3)667 – 1) + (n2 + n + 1) Mà (n3)670 – 1) chia hết cho n3 -1, suy (n3)670 – 1) chia hết cho n2 + n c +1 Tương tự: (n3)667 – chia hết cho n2 + n + Vậy A chia hết cho n2 + n + 1>1 nên A hợp số Số tự nhiên ần tìm n = 0.5 B A M M' 0.25 N N' P D K E C Q F H a b Học sinh c/m: ∆ ABF = ∆ ADK (g.c.g) suy AF = AK Trong tam giác vuông: KAE có AD đường cao nên: 1 1 1 + = + = = (không đổi) 2 hay 2 AK AE AD AF AE AD a 1 · · = KE EF cos AKE HS c/m S KEF = KE.EF sin AEK 2 1 Mặt khác: S KEF = EH KF = EH ( KH + HF ) Suy ra: 2 EH KH + EH HF · KE.EF cos ·AKE = EH ( KH + HF ) ⇔ cos AKE = KE.EF : EH KH EH HF · K cos EKF · · · K ⇔ cos ·AKE = + = sin EF + sin EKF cosEF EF EK KE EF Giả sử dựng điểm N thỏa mãn NP + NQ = MN 0.5 0,5 0,25 0,25 0,5 3.0 Lấy N’ đối xứng N; M’ đối xứng M qua AD suy tam giác NN’M cân N ⇒ · ' ⇒ Cách dựng điểm N: MN’ phân giác DMM c - Dựng M’ đối xứng M qua AD 0.25 · ' cắt DM’ N’ - Dựng phân giác DMM d - Dựng điểm N đối xứng N’ qua AD 0.25 0.25 Chú ý: Học sinh không trình bày phân tích mà trình bày cách dựng H cho điểm tối đa 0.25 I A P B K O D 1.0 C Gọi O giao điểm đường chéo hình bình hành, kẻ OP vuông góc d P HS lập luận BH + CI + DK = 4OP 0.25 0.25 Mà OP ≤ AO nên BH + CI + DK ≤ 4AO Vậy Max(BH + CI + DK) = 4AO Đạt P ≡ A hay d vuông góc AC Học sinh làm cách khác với yêu cầu đề chấm điểm tối đa 0.25 ... GIỎI CẤP HUYỆN PHÒNG GD & ĐT NĂM HỌC: 2011 – 2012 Môn thi: TOÁN Thời gian: 150 phút( không kể thời gian giao đề) ®Ò sè 15 Câu Ý P= a b c Nội dung cần đạt x x+2 + + x ( x − 1) x ( x + 2) x ( x −... 6− x ⇒ 6− x = x− ⇔ x = x−4 0.25 VT = VP ⇔ x = (TMĐK), Vậy nghiệm phương trình: x = ĐK: x ≥ Nhận thấy: x = nghiệm phương trình, chia hai vế cho x ta có: 0.75 4 x2 − x − x x − x + = ⇔ x − − x −... Dựng phân giác DMM d - Dựng điểm N đối xứng N’ qua AD 0.25 0.25 Chú ý: Học sinh không trình bày phân tích mà trình bày cách dựng H cho điểm tối đa 0.25 I A P B K O D 1.0 C Gọi O giao điểm đường