PHÒNG GD – ĐT QUỲ CHÂU KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN ……………………………… KHỐI LỚP 9 NĂM HỌC 2010 - 2011 MÔN: TOÁN HỌC Thời gian làm bài 150 ’ ( Không kể thời gian giao đề ) Câu 1: a. Tìm x, y, z biết : x - y + z = x - y + z b. Cho C = xx −+1 và D = 1−− xx với 1≥x So sánh C và D. Câu 2: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A = x 2 + x + 1 + x 2 - x + 1 Câu 3: Cho đường thẳng (d) : y = (m – 2)x - m – 1 Tìm m để đường thẳng đã cho cách gốc tạo độ một khoảng lơn nhất. Câu 4: Từ hai điểm B và C của đường tròn (O) ( BC không là đường kính), kẻ hai tiếp tuyến Bx và Cy với đường tròn, chúng cắt nhau ở A. Gọi M là một điểm bất kỳ trên đương thẳng đi qua các trung điểm P, Q lần lượt của AB và AC. kẻ tiếp tuyến MK của (O). Chứng minh MK = MA. Câu 5: Cho tam giác ABC, đường cao AH. Chứng minh rằng: AH.BC < AB.AC HÕt PHÒNG GD – ĐT QUỲ CHÂU KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN ……………………………… KHỐI LỚP 9 NĂM HỌC 2010 - 2011 HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN TOÁN HỌC CU NI DUNG BI GII IM Cõu 1 4 a. Điều kiện: x, y, z > 0; x - y + z > 0 Ta có: x - y + z = x - y + z => x - y + z + y = x + z => x - y + z + y + 2 y(x - y + z) = x + z + 2 xz => y(x - y + z) = xz => y(x - y + z) = xz => y(x - y) + yz - xz = 0 => y(x - y) - z(x - y) = 0 => (x - y)(y - z) = 0 x = y và z tùy ý y = z và x tùy ý b. Giả sử C < D C < D <=> x + 1 - x < x - x - 1 <=> x + 1 + x - 1 < 2 x <=> x + 1 + 2 (x + 1)(x - 1) + x - 1 < 4x <=> 2 x 2 - 1 < 2x <=> x 2 - 1 < x 2 <=> -1 < 0 ( Bất đẳng thức đúng) Vậy C < D. 0,25 0,25 0,5 0,5 0,5 0,25 0,25 0,5 0,5 0,5 Cõu 2 3,5 A 2 = x 2 + x + 1 + x 2 - x + 1 + 2 (x 2 + x + 1)( x 2 - x + 1) = 2 x 2 + 2 + 2 ( x 2 + 1) - x 2 = 2 x 2 + 2 + 2 x 4 + x 2 + 1 0 + 2 + 2 = 4 (Vì x 2 0 ; x 4 + x 2 + 1 1) <=> A 2 4 <=> A 2 Dấu "=" xảy ra <=> x = 0 Vậy giá trị nhỏ nhất của A là 2 <=> x = 0 0,5 0,5 1,0 0,5 0,5 0,5 Cõu 3 4 Gi s B(x 0 ;y 0 ) l im c nh thuc ng thng y 0 = (m 2)x 0 m 1 ỳng vi mi m mx 0 2x 0 m 1 y 0 = 0 ỳng vi mi m m(x 0 1) 2x 0 1 y 0 = 0 ỳng vi mi m = = <=> = = 3 1 012 01 0 0 00 0 y x yx x Vy ng thng (d) luụn i qua im B(1;-3) Phng trỡnh ng thng OB cú dng y = ax B thuc OB -3 = a.1 a = -3 OB: y = -3x Gi khong cỏnh t O(0;0) n (d) l OH OH < OB (khụng i vỡ im B c nh) Du = xy ra H trựng vi B OB vuụng gúc vi (d) -3(m 2) = -1 m 2 = 1/3 m = 7/3 Vy m = 7/3 thỡ (d) cỏch O(0;0) mt khong ln nht. 0,25 0,25 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 Cõu 4 6,5 KL GT (O;r); B,C thuộc (O;r) Bx, Cy là các tiếp tuyến vơi (O) Bx cắt Cy tại A PA = PB; QC = QB ( P thuộc AB; Q thuộc AC) M thuộc PQ; MK là tiếp tuyến của (O) MK = MA A y x 2 1 I M Q P O B C K 1,0 1,0 1,0 2,0 0,5 1.0 Chứng minh Gọi bán kính đ ờng tròn (O) là r, giao điểm OA và PQ là I. Khi đó ta có AOB = COA ( cạnh huyền - cạnh góc vuông) AB +AC và A 1 = A 2 hay OA là phân giác của BAC. PAQ cân ở A OA PQ. á p dụng định lý Pytago vào các tam giác: MKO có: MK 2 = MO 2 - r (1) MIO có: MO 2 = MI 2 + IO 2 (2) OBP có: r 2 = OP 2 - PB 2 = OP 2 - PA 2 (3) OIP có: OP 2 = IO 2 + IP 2 (4) Từ (1),(2), (3) và (4) có: MK 2 = MI 2 + IO 2 - (IO 2 + IP 2 - PA 2 ) MK 2 = MI 2 + AI 2 Trong AIM có: MI 2 + AI 2 = MA 2 nên MK 2 = MA 2 MK = MA. Cõu 5 2 KL GT AH.BC AB.AC ABC AH BC H A B C 0,25 0.5 0,25 0,5 0,25 0,25 Chứng minh Kẻ đ ờng cao BK BK AB Dấu "=" xảy ra <=> K A (AB là đ ờng xiên, BK là đ ờng vuông góc ) Khi đó ta có: S ABC = 1 2 AH.BC = 1 2 BK.AC 1 2 AB.AC <=> 1 2 AH.BC 1 2 AB.AC hay AH.BC AB.AC. . PHÒNG GD – ĐT QUỲ CHÂU KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN ……………………………… KHỐI LỚP 9 NĂM HỌC 2010 - 2011 MÔN: TOÁN HỌC Thời gian làm bài 150 ’ ( Không. AH. Chứng minh rằng: AH.BC < AB.AC HÕt PHÒNG GD – ĐT QUỲ CHÂU KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN ……………………………… KHỐI LỚP 9 NĂM HỌC 2010 - 2011 HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN TOÁN HỌC CU NI DUNG BI GII