Đề thi chọn HSG lớp 6 Năm học: 2007-2008
Môn thi: Toán Thời gian làm bài: 150 phút
( Đề này gồm 06 câu, 01 trang)
Câu 1(2 điểm)
Tính tổng:
2450
1 2352
1
20
1 12
1 6
1 2
1
+ +
+ + + +
=
S
Câu 2 (2 điểm)
Tính tích sau:
−
−
−
−
−
−
=
100
1 1 99
1 1
5
1 1 4
1 1 3
1 1 2
1 1
P
Câu 3 (4 điểm)
Cho biểu thức:
M = 1 +3 + 32+ 33 + + 3… 118+ 3119
a) Thu gọn biểu thức M
b) Biểu thức M có chia hết cho 5, cho 13 không? Vì sao?
Câu 4 (3 điểm):
Khi viết liền nhau hai số 22008 và 52008 dới dạng hệ thập phân ta đợc số có bao nhiêu chữ số?
Câu 5 (5 điểm)
a)Tính:
A = 2100- 299- 298- 297 - - 2… 2 - 2 – 1
b) Tìm x biết:
3
1
2x+ =
Câu 6 (4 điểm)
Cho C= 1.2+2.3+3.4+ +99.100…
a) Tính giá trị của biểu thức C?
b) Dùng kết quả của câu a hãy tính giá trị của biểu thức:
D = 22+42+62+ +98… 2
Hết
Mã ký hiệu
Đ01T-08-HSG6
Trang 2Híng DÉn ChÊm §Ò thi chän HSG líp 6
N¨m häc: 2007-2008
M«n thi: To¸n
C©u 1(2 ®iÓm)
TÝnh tæng:
2450
1 2352
1
20
1 12
1
6
1
2
=
S
50 49
1 49 48
1
4 3
1 3
.
2
1
2
.
1
1
+ +
+ + +
=
S
50
1 49
1
4
1 3
1 3
1 2
1
2
1
1
=
S
50
1
1 −
=
S
50
49
=
S
C©u 2 (2 ®iÓm) TÝnh tÝch:
−
−
−
−
−
−
=
100
1 1 99
1 1
5
1 1 4
1 1 3
1 1
2
1
1
P
100
99 99
98
5
4
4
3
.
3
2
.
2
1
=
P
100 99
5
.
4
.
3
.
2
99 98
4
.
3
.
2
.
1
=
P
100
1
=
P
C©u 3 (4 ®iÓm)
Cho biÓu thøc:
M = 1 +3 + 32+ 33 + + 3… 118+ 3119
a) Thu gän biÓu thøc M
b) BiÓu thøc M cã chia hÕt cho 5, cho 13 kh«ng? V× sao?
Gi¶i:
a) (2 ®iÓm)
M = 1 +3 + 32+ + + 3… 118 + 3119
3M = 3.(1 +3 + 32+ + + 3… 118 + 3119 )
= 3 + 32 + + 3… 119 + 3120
3M- M =(3 + 32 + + 3… 119 + 3120 ) - (1 +3 + 32+ + + 3… 118 + 3119 )
2M = 3120 – 1
2
1
3 120 −
=
M
b) (2 ®iÓm)
M = 1 +3 + 32+ + + 3… 118 + 3119
= (1 +3 + 32)+( 33+34+35)+ +(3… 117 +3118+ 3119 )
= (1 +3 + 32)+33(1 +3 + 32)+ +3… 117(1 +3 + 32)
= 13 + 33.13 + + 3… 117 13
= 13( 1+ 33 + + 3… 117)
0,5 ® 1,0 ® 0,25 ® 0,25 ®
1,0 ® 0,5 ® 0,5 ®
0,5 ® 0,25 ® 0,5 ® 0,5 ® 0,25 ®
0,25 ® 0,25 ® 0,25 ®
M· ký hiÖu
HD01T-08-HSG6
Trang 3Vậy M chia hết cho 13.
M = 1 +3 + 32+ + + 3… 118 + 3119
= (1 +3 + 32+33) +(34+35+36+37) + +( 3… 116+3117 +3118+ 3119 )
= (1 +3 + 32+33)+34(1 +3 + 32+33)+ +3… 116(1 +3 + 32+33)
= 40 + 34.40 + +3… 116.40
= 40(1+34+ + 3… 116)
Vậy M 40, mà 40 5 nên M 5
Câu 4 (3 điểm)
Khi viết liền nhau hai số 22008 và 52008 dới dạng hệ thập phân ta đợc
số có bao nhiêu chữ số?
Giả sử số 22008, 52008 khi viết dới dạng thập phân có x, y chữ số (x, y
> 0, x,y∈N)
Ta có 10x < 22008 < 10x+1
10y < 52008 < 10y+1
Do đó 10x+y < 22008.52008 < 10x+1.10y+1
Hay 10x+y < 102008 < 10x+y+2
⇒ x+y < 2008 < x+y+2
⇒ ⇒2006 < x+y < 2008
⇒ x+y= 2007 ( Do x+y ∈N )
Vậy khi viết liền nhau hai số 22008 và 52008 dới dạng hệ thập phân ta
đợc số có 2007 chữ số
0,25 đ
0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ
0,25 đ
0,25 đ 0,25 đ 0,5 đ 0,5 đ 0,5 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ
Câu 5 (4 điểm)
a) (2 điểm)Tính:
A = 2100- 299- 298- 297 - - 2… 2 - 2 – 1
A = 2100 – ( 299 + 298 + + 2 + 1)
Đặt B = 299 + 298 + 297 + + 2… 2 + 2 + 1
Ta có: 2B =2(299 + 298 + 297 + + 2… 2 + 2 + 1)
= 2100 +299 + + 2… 2+ 2
2B - B = (2100 +299 + + 2… 2+ 2) – (299 + 298 + + 2 + 1)…
B = 2100 – 1
Vậy A= 2100 – (2100 – 1) = 1
b) (2 điểm) Tìm x biết:
3
1
2x+ =
Ta có: 2x + 1 = 3 hoặc 2x + 1 = -3
• Xét 2x + 1 = 3 ⇒x= 1
• Xét 2x + 1 = -3 ⇒x= − 2
Vậy x=1 hoặc x=-2
Câu 6 (5 điểm)
Cho C= 1.2+2.3+3.4+ +99.100…
c) Tính giá trị của biểu thức C?
d) Dùng kết quả của câu a hãy tính giá trị của biểu thức:
D = 22+42+62+ +98… 2
Giải:
0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,5 đ 0,25 đ 0,25 đ
0,5 đ 0,5 đ 0,5 đ 0,5 đ
Trang 4a) (2,5 điểm)
C= 1.2+2.3+3.4+ +99.100…
3C = 3.1.2+3.2.3+ + 3.99.100…
=(1.2.3- 0.1.2)+(2.3.4-1.2.3) + + (99.100.101- 98.99.100)…
= 99.100.101
C= (99.100.101) : 3
C= 33.100.101= 36300
b) (2,5 điểm)
C= 1.2+2.3+3.4+ +99.100…
= (1.2 + 2.3) + (3.4 + 4.5) + + (97.98 + 98.99) + 99.100
= (1+3)2 + (3+5)4+ +(97+99)98 + 99.100
= 2.2.2 + 2.4.4 + + 2.98.98 + 9900
= 2(22 + 42+ + 96… 2+ 982) + 9900
Vậy 2(22 + 42+ + 96… 2+ 982) = C - 9900 = 36300 – 9900 = 26400
⇒ 22 + 42+ + 96… 2+ 982= 13200
0,25 đ 0,5 đ 1,0 đ 0,25 đ 0,5 đ
0,5 đ 0,5 đ 0,5 đ 0,25 đ 0,5 đ 0,25 đ
*Lu ý: Học sinh làm cách khác đúng vẫn cho điểm tối đa.