Copy of de thi HSG toan 8 20132013

UBND HUYỆN GIỒNG RIỀNG PHÒNG GIÁO DỤC-ĐÀO TẠO - KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI VÒNG HUYỆN NĂM HỌC 2012 – 2013 Khóa ngày 04/11/2012 ĐỀ THI MÔN TOÁN LỚP Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian phát đề) Bài 1: (4 điểm) x +1 y + z + = = 3x + 2y + z = 989 111 222 333 2012 ( a − b ) = a 2012 + b 2012 a c b/ Cho tỉ lệ thức = (b, d ≠ 0) Chứng minh rằng: 2012 c 2012 + d 2012 b d ( c−d) a/ Tìm x, y, z biết Bài 2: (4 điểm) a/ Chứng minh biểu thức S = 30 + 31 + 32 + 33 + 34 + 35 + ……+ 394 + 395 chia hết cho 40 b/ Tìm giá trị nguyên n để giá trị biểu thức A = 3n3 + 10n2 – chia hết cho giá trị biểu thức B = 3n + Bài 3: (4 điểm) a/ Chứng minh đẳng thức : (a + b + c) = a3 + b3 + c3 + 3(a + b)( b + c)(c + a) b/ Cho a2 + b2 + c2 = ab + bc + ac Chứng minh rằng: a3 + b3 + c3 = 3abc Bài 4: (4 điểm) Cho tam giác ABC vuông A Kẻ đường trung tuyến AM (với M ∈ BC) Gọi D điểm đối xứng với A qua M, E điểm đối xứng với A qua BC a/ Chứng minh BCDE hình thang cân b/ Qua A kẻ đường thẳng d không cắt cạnh BC B’, C’ hình chiếu B C đường thẳng d Chứng minh rằng: BB’ + CC’ ≤ BC Bài 5: (4 điểm) Cho hình vuông ABCD có độ dài đường chéo Trên cạnh AB, BC, CD, DA lấy điểm M, N, P, Q Chứng minh chu vi tứ giác MNPQ không nhỏ - HẾT - Bài Bài 1: (4 đ) HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN TOÁN (THI CHỌN HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2012 – 2013) -Đáp án x +1 y + z + = = 3x + 2y + z = 989 111 222 333 x + y + z + 3( x + 1) 2( y + 2) z + 3x + y + z + = = ⇒ = = ⇒ = = Từ 111 222 333 333 444 333 333 444 333 x + y + z + 3x + + y + + z + 3 x + y + z + 10 989 + 10 ⇒ = = = = = = 333 444 333 333 + 444 + 333 1110 1110 10 111.9 ⇒ x +1 = ⇒ x = 98 10 10 222.9 ⇒ y+2= ⇒ y = 197 10 333.9 ⇒ z+3= ⇒ z = 296 10 10 a c b/ Đặt = = k ⇒ a = bk ; c = dk b d a/ ( a − b ) = ( bk − b ) 2012 2012 (c−d) ( dk − d ) 2012 2012 b ( k − 1)  b 2012 = = 2012 (1) 2012 d  d ( k − 1)  ( a − b) Từ (1) (2) suy 2012 (c−d) 2012 = 0,5 đ 0,5 đ 0,5 đ 0,5 đ 0,5 đ 0,5 đ a 2012 + b 2012 c 2012 + d 2012 0,5 đ a/ Từ đến 95 có: (95 – 0) + = 96 phần tử, có 24 số liên tiếp S = (30 + 31 + 32 + 33) + (34 + 35 + 36 + 37) + ……+ (392 + 393 + 394 + 395) S= 40 + 34.40 + ……+ 392.40 Các hạng tử chia hết cho 40 nên S chia hết cho 40 b/ Thực phép chia A cho B thương n2 + 3n – 1, dư – Để A chia hết cho B 3n + ∈ Ư(4) = { ± 1; ± 2; ± 4} 3n + -1 -2 -4 −2 −5 n -1 Kết luận Loại Nhận Vậy n = ; n = -1; n = Bài 3: (4 đ) 0,5 đ 2012 2012 2012 + 1) b 2012 a 2012 + b 2012 (bk ) 2012 + b 2012 b ( k = = = (2) c 2012 + d 2012 (dk )2012 + d 2012 d 2012 ( k 2012 + 1) d 2012 Bài 2: (4 đ) Điểm Nhận 3 Loại Loại Nhận a/ Chứng minh đẳng thức : (a + b + c)3 = a3 + b3 + c3 + 3(a + b)( b + c)(c + a) Vế trái: (a + b + c)3 = (a + b)3 + c3 + 3c(a + b)(a + b + c) = a3 + b3 + 3ab(a + b) + c3 + 3c(a + b)(a + b + c) = a3 + b3 + c3 + 3(a + b)[ab + c(a + b + c)] = a3 + b3 + c3 + 3(a + b)[ab + ca + cb + c2] = a3 + b3 + c3 + 3(a + b)[a(b + c) + c(b + c)] = a3 + b3 + c3 + 3(a + b)(b + c)(a + c) = vế phải ⇒ đpcm b/ Cho a2 + b2 + c2 = ab + bc + ac Chứng minh rằng: a3 + b3 + c3 = 3abc 0,5 đ 0,5 đ 0,5 đ 0,5 đ 0,5 đ 0,5 đ 0,5 đ 0,5 đ 2đ 2đ Bài 4: (4 đ) Phân tích thành nhân tử: a3 + b3 + c3 - 3abc = = (a + b)3 – 3ab(a + b) + c3 – 3abc = (a + b + c)3 – 3c(a + b)(a + b + c) – 3ab(a + b + c) = (a + b + c)[(a + b + c)2 – 3c(a + b) – 3ab] = (a + b + c)(a2 + b2 + c2 + 2ab + 2bc + 2ac – 3ac – 3bc – 3ab) = (a + b + c)(a2 + b2 + c2 – ac – bc – ab) Theo đề cho a2 + b2 + c2 = ab + bc + ac ⇒ a2 + b2 + c2 – ac – bc – ab = ⇒ a3 + b3 + c3 - 3abc = hay a3 + b3 + c3 = 3abc B' Hình vẽ: A 0,5 đ M' C' x d // B C M x // D E Bài 5: (4 đ) a/ Chứng minh HM đường trung bình ∆ ADE ⇒ HM // ED hay BCDE hình thang (1) + Chứng minh BD = AC (do ABDC hình bình hành) + Chứng minh CE = AC (do A E đối xứng qua BC) ⇒ BD = CE (2) Từ (1) (2) suy BCDE hình thang cân b/ Kẻ thêm MM’ ⊥ d ⇒ MM’ đường trung bình hình thang BCC’B’ ⇒ BB’ + CC’ = 2MM’ mà MM’ ≤ AM hay 2MM’ ≤ 2AM = BC suy ra: BB’ + CC’= 2MM’ ≤ BC Hình vẽ: Q A 0,5 đ 0,5 đ 0,5 đ 0,5 đ 0,5 đ 0,5 đ 0,5 đ 0,5 đ D K M F I B P E N C Kẻ ME ⊥ BD ; QF ⊥ BD ; NI ⊥ BD ; PK ⊥ BD Ta có: MN ≥ ME + NI NP ≥ IK PQ ≥ QF + PK QM ≥ EF Gọi p chu vi tứ giác MNPQ, thì: p = MN + NP + PQ + MQ ⇒ p ≥ ME + NI + IK + QF + PK + EF = (ME + EF + FQ) + (NI + IK + PK) Mà tam giác EBM, FDQ, IBN, KDF vuông cân ⇒ p ≥ (BE + EF + FD) + (BI + IK + DK) = 2BD = 0,5 đ 0,5 đ 0,5 đ 0,5 đ 0,5 đ 0,5 đ 0,5 đ ... đường trung bình ∆ ADE ⇒ HM // ED hay BCDE hình thang (1) + Chứng minh BD = AC (do ABDC hình bình hành) + Chứng minh CE = AC (do A E đối xứng qua BC) ⇒ BD = CE (2) Từ (1) (2) suy BCDE hình thang cân... 444 333 x + y + z + 3x + + y + + z + 3 x + y + z + 10 989 + 10 ⇒ = = = = = = 333 444 333 333 + 444 + 333 1110 1110 10 111.9 ⇒ x +1 = ⇒ x = 98 10 10 222.9 ⇒ y+2= ⇒ y = 197 10...Bài Bài 1: (4 đ) HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN TOÁN (THI CHỌN HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2012 – 2013) -Đáp án x +1 y + z + = = 3x + 2y + z = 989 111 222 333 x + y + z + 3( x + 1) 2( y + 2) z