UBND HUYỆN LƯƠNG TÀI PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN ĐỢT I Năm học 2015 – 2016 Môn thi: Toán - Lớp Thời gian làm bài:150 phút (không kể thời gian giao đề) Bài 1: (2 điểm) Cho biểu thức: P = x x+2 + + x − x x + x ( x − 1)( x + x ) a Rút gọn P b Tính P x = + 2 c Tìm giá trị nguyên x để P nhận giá trị nguyên Bài 2: (2 điểm) a.Giải phương trình x − x − x x − x + = b Cho hàm số: y = x − 2m − ; với m tham số Tính theo m tọa độ giao điểm A; B đồ thị hàm số với trục Ox; Oy H hình chiếu O AB Xác định giá trị m để OH = Bài 3: (2 điểm) a Tìm số nguyên x; y thỏa mãn: y + xy − 3x − = b Tìm số tự nhiên n để: A = n2012 + n2002 + số nguyên tố Bài 4: (3 điểm) a, (1 điểm) Cho tam giác ABC Từ trung điểm D cạnh BC, kẻ đường vuông góc với đường phân giác góc A cắt AB AC M N.Chứng minh: BM = CN: b, (2 điểm) Cho tam giác ABC cân A nội tiếp đường tròn tâm O đường kính BC Gọi D trung điểm AB, E trọng tâm tam giác ACD, G giao điểm CD AO Chứng minh: a) EG // AB b) OE ⊥ CD c) SDAC + SBDO = SABC Bài 5: (1 điểm) Cho x > 1; y > , chứng minh: x −1 − 2x x 1 + + ÷ ÷ + ≥ 3 ( x − 1) y y x −1 y -HẾT ( Đề thi gồm có trang) Thí sinh không sử dụng tài liệu Cán coi thi không giải thích thêm Họ tên thí sinh……………………………… ; Số báo danh……………… UBND HUYỆN LƯƠNG TÀI HƯỚNG DẪN CHẤM Môn thi: Toán- Lớp PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO Câu Nội dung cần đạt Ý P= a x x+2 + + x ( x − 1) x ( x + 2) x ( x − 1)( x + 2) = x( x + 2) + 2( x − 1) + x + x x + x + x − + x + = x ( x − 1)( x + 2) x ( x − 1)( x + 2) = x x + 2x + x + x = x ( x − 1)( x + 2) x ( x + 1)( x + 2) ( x + 1) = x ( x − 1)( x + 2) ( x − 1) x = + 2 ⇔ x = + 2 + = ( + 1) = + b c P= ( x + 1) +1+1 2+2 = = = 1+ ( x − 1) +1−1 ĐK: x > 0; x ≠ : P = ( x + 1) = ( x − 1) x −1+ 2 = 1+ x −1 x −1 Học sinh lập luận để tìm x = x = ĐK: x ≥ Nhận thấy: x = nghiệm phương Điểm 0,25 0,25 0.5 0.25 2,0 0.25 0.25 0.25 0.25 trình, chia hai vế cho x ta có: x2 − 2x − x x − x + = ⇔ x − − x − Đặt x + a 4 + = ⇔ (x + ) − ( x + ) −0.25 2=0 x x x x 4 = t > ⇔ t2 = x + + ⇔ x + = t2 − , x x x 0.25 thay vào ta có: t = ⇔ (t − 4) − t − = ⇔ t − t − = ⇔ (t − 3)(t + 2) = ⇔ t = −2 0.25 Đối chiếu ĐK ⇒t =3⇔ x + b x = = ⇔ x − x + = ⇔ ( x − 2)( x − 1) = ⇔ x x = Tìm tọa độ giao điểm A đồ thị hàm số với trục Ox: A 2,0 ( 2m + 1;0 ) Giao điểm B đồ thị hàm số với trục Oy: B ( 0; −2m − 1) 0,5 Ta có: ∆ AOB vuông O có OH đường cao nên: m = 1 1 2= + ⇔2= ⇔ = + 2 2 Hay x A yB (2m + 1) OH OA OB m = −1 2 2 y + xy − 3x − = ⇔ x + xy + y = x + 3x + ⇔ ( x + y ) = ( x + 1)( x + 2) 0,5 0,25 (*) VT (*) số phương; VP (*) tích số nguyên a liên tiếp nên phải có số 0.25 x +1 = x = −1 ⇒ y = ⇔ ⇔ x + = x = −2 ⇒ y = 0,25 Vậy có cặp số nguyên ( x; y ) = (−1;1) ( x; y ) = (−2; 2) 0,25 2.0 Xét n = A = nguyên tố; n = A = nguyên 0.25 tố Xét n > 1: A = n2012 – n2 + n2002 – n + n2 + n + = n2((n3)670 – 1) + n.((n3)667 – 1) + (n2 + n + 1) b Mà (n3)670 – 1) chia hết cho n3 -1, suy (n3)670 – 1) chia hết cho n2 +n+1 0,25 667 Tương tự: (n ) – chia hết cho n + n + Vậy A chia hết cho n2 + n + 1>1 nên A hợp số Số tự nhiên cần tìm n = 0.25 0,25 Chứng minh: BM = CN Gọi K giao điểm MN đường phân giác góc A Từ B kẻ đường thẳng song song với MN cắt AC P ∆ AMN tam giác cân A (AK vừa đường cao vừa đường phân giác) ⇒ AM = AN (1) BP//MN nên BP ⊥ AK.Tương tự ∆ ABP cân A ⇒ AB = AP (2) BM = AM – AB ; PN = AN – AP (3) Từ (1),(2),(3) suy BM = PN (4) Trong ∆ BCP, D trung điểm BC, DN// BP ⇒ N trung điểm CP hay NP = NC (5) Từ (4),(5) ⇒ BM = CN 0,25 3.0 0,25 0,25 0,25 a) Chứng minh EG //AB: Kẻ đường trung tuyến CM, DN ∆ ADC chúng cắt E Hai trung tuyến AO CD cắt G, nên G trọng tâm ∆ ABC CE CG ⇒ EG // DM hay EG // AB = = CM CD b) Chứng minh OE ⊥ CD : OD ⊥ AB (Đường kính qua trung điểm D dây AB) Mà EG // AB nên EG ⊥ OD (1) ∆ ABC cân A ⇒ OG ⊥ BC, mà BC // DN nên OG ⊥ DN (2) Từ (1) (2) suy G trực tâm ∆ ODE, OE ⊥ DG hay OE ⊥ CD Xét ∆ MCD, ta có: 0,25 0,25 0,25 0,5 SABC: 1 1 1 = OC × OA = × BC × OA = OA.BC 2 2 OA.BC = =4 OA.BC c) Chứng minh: SDAC + SBDO = S ODC ` S ABC , S ODC SABC Vậy SABC = SODC hay SODC = 0,25 Ta có SDAC + SBDO = SABC – SODC = SABC – x > 1; y > ⇔ x − > 0; y > ⇔ 0,25 SABC = SABC 4 x −1 > 0; > 0; > ( x − 1) y y 0,25 0,25 Áp dụng BĐT Côsi cho số dương: 1 + + ≥ 3 1.1 ⇔ ≥ −2 3 ( x − 1) ( x − 1) ( x − 1) x −1 (1) x −1 x −1 x − 3( x − 1) −2 ÷ +1+1 ≥ 33 ÷ 1.1 ⇔ ÷ ≥ y y y y 1 + + ≥ 3 1.1 ⇔ ≥ − y y y y (2) (3) 1.0 0,5 Từ (1); (2); (3): x −1 1 3( x − 1) + −6+ + ÷+ 3≥ ( x − 1) y y x −1 y y x −1 1 − x + 3x − 2x x ⇔ + + = 3( + ) ÷+ 3≥ ( x − 1) y y x −1 y x −1 y 0,25 Học sinh làm cách khác với yêu cầu đề chấm điểm tối đa ... − ( x + ) −0. 25 2=0 x x x x 4 = t > ⇔ t2 = x + + ⇔ x + = t2 − , x x x 0. 25 thay vào ta có: t = ⇔ (t − 4) − t − = ⇔ t − t − = ⇔ (t − 3) (t + 2) = ⇔ t = −2 0. 25 Đối chiếu ĐK t =3⇔ x + b x... lập luận để t m x = x = ĐK: x ≥ Nhận thấy: x = nghiệm phương Điểm 0, 25 0, 25 0 .5 0. 25 2,0 0. 25 0. 25 0. 25 0. 25 trình, chia hai vế cho x ta có: x2 − 2x − x x − x + = ⇔ x − − x − Đ t x + a 4 + =... (3) T (1),(2),(3) suy BM = PN (4) Trong ∆ BCP, D trung điểm BC, DN// BP ⇒ N trung điểm CP hay NP = NC (5) T (4), (5) ⇒ BM = CN 0, 25 3.0 0, 25 0, 25 0, 25 a) Chứng minh EG //AB: Kẻ đường trung tuyến