UBND HUYỆN LƯƠNG TÀI PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO Bài : (2,0 điểm) 1/ Cho x = 10 + ( ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN ĐỢT Năm học 2014 - 2015 Môn thi : Toán - Lớp Thời gian làm : 150 phút (không kể thời gian phát đề) ) Tính P = ( x − 4x + 1) 3−1 2009 6+ − x x+2 x+3 x + 2 + + ÷: ÷ 2/ Cho biểu thức : A = 1− ÷ x− x + ÷ x + x − − x a/ Rút gọn A; b/ So sánh A − Bài : (2,0 điểm) ( ) 1/ Giải phương trình : x2 + 2x + = x3 + 3x2 + 3x + 2/ Một thầy giáo trẻ dạy môn Toán, hỏi tuổi trả lời sau : “Tổng, tích, hiệu, thương tuổi đứa trai cộng lại 216” Hỏi thầy giáo tuổi? Bài : (2,0 điểm) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho ba đường thẳng : (d1): y = −3x + 6; (d2 ):y = x − 1; (d3):y = 2x + Gọi A giao điểm (d1) (d2 ) ; B giao điểm (d2 ) (d3) ; C giao điểm (d3) (d1) 1/ Vẽ (d1) ; (d2 ) ; (d3) Tìm tọa độ A, B, C; 2/ Tính diện tích tam giác ABC Bài : (3,0 điểm) Cho nửa đường tròn tâm O, đường kính AB Kẻ tia Ax vuông góc với AB (tia Ax nửa đường tròn thuộc nửa mặt phẳng bờ AB) Lấy điểm C thuộc nửa đường tròn (C khác A B) Qua O kẻ đường thẳng song song với BC cắt tia Ax M cắt AC F 1/ Chứng minh MC tiếp tuyến nửa đường tròn tâm O; 2/ Biết bán kính đường tròn 5cm, dây AC = 8cm Tính MB; 3/ BM cắt nửa đường tròn D Chứng minh ∆ MDF đồng dạng với ∆ MOB Bài : (1,0 điểm) Cho x, y, z ba số thực dương thỏa mãn x + y + z = x2 y2 z2 + + Tìm giá trị nhỏ biểu thức : A = y+ z z+ x x+ y -HẾT (Đề thi gồm có 01 trang) Thí sinh không sử dụng tài liệu Cán coi thi không giải thích thêm Họ tên thí sinh : ……………………………………; Số báo danh : ……………………… UBND HUYỆN LƯƠNG TÀI PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HƯỚNG DẪN CHẤM Môn thi : Toán - Lớp Bài : (2,0 điểm) Ý/Phần Đáp án Biến đổi : x= 1/ (0,75đ) = 10 + ( ) Vậy x = = 2009 ( ) 2009 = 12009 = 10 + ( ) P = 0,25đ 3−1 6+ − ( A= x + 1− x x+1 x+1 : ( + 1− , ta : ĐKXĐ : x ≥ 0;x ≠ 4;x ≠ Khi đó, ta có : x x+2 x + x + 2 A = 1− + + ÷: ÷ ÷ x − x + x − 3− x ÷ x + x+3 x+1 x x+2 A= − + ÷: x + x + 1÷ x − x − x−2 A= ( 10 + 3)( − 10) 0,25đ Thay x = vào biểu thức P = x3 − 4x + ( 108− 100 = 8= P = 23 − 4.2 + 2/a/ (0,75đ) ) = ( 10 + 3)( − 1) ( + 1) − 3−1 6+ − Điểm : ( ) ( )( )( )( 0,25đ ) −( x − 3) ( x−3 )( x − 2)( x+2 ) ) x−2 ÷ x − ÷÷ 0,25đ x + 2+ x − 9− x + ( )( ) x−2 x−3 )( x−2 ) x−3 0,25đ x−3 = x+1 : x−2 = x−2 x+1 0,25đ Với x ≥ 0;x ≠ 4;x ≠ Ta có : 2/b/ (0,5đ) x + 1> x − x − 4+ x + x + A+ = + = = > x +1 2 x +1 x +1 2 x + > 5 Do A + > ⇒ A > − 2 ( ) ( ) ( ) 0,25đ 0,25đ Bài : (1,0 điểm) Ý/Phần Đáp án ĐKXĐ : x ≥ −2 Khi đó, ta có : ( ) Điểm 0,25đ ( ) ( ) x2 + 2x + = x3 + 3x2 + 3x + ⇔ x2 + 2x + = ( x + 2) x2 + x + Đặt a = x + 2;b = x2 + x + (a;b ≥ 0) Phương trình cho trở thành : a2 + b2 = 5ab ⇔ 2a2 − 5ab + 2b2 = ⇔ 2a2 − ab − 4ab − 2b2 = ( 1/ (1,0đ) ) ( ) ( b = 2a ⇔ a( 2a − b) − 2b( 2a − b) = ⇔ ( 2a − b) ( a − 2b) = ⇔ a = 2b *) Trường hợp : b = 2a ⇔ b2 = 4a2 ⇒ x2 + x + 1= 4( x + 2) ⇔ x2 − 3x − = ) 0,25đ 37 37 ⇔ x− ÷ − = 0⇔ x − ÷ = 2 2 ± 37 ± 37 (thỏa mãn) = ⇔ x= 2 *) Trường hợp : a = 2b ⇔ a2 = 4b2 ⇒ x + = x2 + x + ⇔ 4x2 + 3x + = ⇔ x− ( 0,25đ ) 23 ⇔ 2x + ÷ + = (phương trình vô nghiệm) 16 2/ (1,0đ) 0,25đ Vậy phương trình cho có nghiệm x = 3± 37 Gọi x, y tuổi thầy giáo tuổi thầy giáo (x, y nguyên dương; x > y) 0,25đ Theo đề bài, ta có phương trình : ( x + y) + ( x − y) + xy + xy = 216 ⇔ 2x + xy + xy = 216 (*) 0,25đ x (t ∈ N* ) , phương trình (*) trở thành : Đặt t = y 2ty + ty2 + t = 216 ⇔ t( y + 1) = 216 ⇒ ( y + 1) ước 216 ⇒ ( y + 1) ∈ { 4;9;36} 2 Từ đó, suy cặp nghiệm ( x;y) phù hợp ( 30;5) Vậy tuổi thầy giáo 30 tuổi 0,25đ 0,25đ Bài : (2,0 điểm) Ý/Phần Đáp án 1/ *) Hàm số : y = −3x + (d1) (1,5đ) +)x = ⇒ y = ⇒ M(0;6) +)y = ⇒ x = ⇒ N(2;0) ⇒ Đồ thị hàm số đường thẳng MN *) Hàm số : y = x − (d2) +)x = ⇒ y = −1⇒ P(0;−1) +)y = ⇒ x = ⇒ Q(2;0) ⇒ Đồ thị hàm số đường thẳng PQ *) Hàm số : y = 2x + (d3) +)x = ⇒ y = ⇒ E(0;4) +)y = ⇒ x = −2 ⇒ F(−2;0) ⇒ Đồ thị hàm số đường thẳng EF *) Vẽ : Điểm 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ *) Tìm tọa độ A, B, C: +) Theo cách vẽ dễ thấy A trùng với N Q ⇒ A(2;0) +) Hoành độ giao điểm B nghiệm phương trình : −10 −8 x − 1= 2x + ⇔ x − = 4x + ⇔ −3x = 10 ⇔ x = ⇒ y= 3 −10 −8 ⇒ B ; ÷ 3 +) Hoành độ giao điểm C nghiệm phương trình : 24 24 −3x + = 2x + ⇔ −5x = −2 ⇔ x = ⇒ y = ⇒ C ; ÷ 5 5 0,25đ 0,25đ Ta có : AF = 24 24 48 ⇒ S∆CAF = = (ñvdt) 5 8 16 (ñvdt) +) ∆BAF có chiều cao ứng với AF ⇒ S∆BAF = = 3 48 16 224 + = (ñvdt) Vậy diện tích ∆ABC : 15 +) ∆CAF có chiều cao ứng với AF 2/ (0,5đ) 0,25đ 0,25đ Bài : (3,0 điểm) Ý/Phần 1/ (0,75đ) Đáp án Điểm 0,25đ Vẽ hình đúng; ghi giả thiết, kết luận ∆ABC có AB đường kính đường tròn ngoại tiếp ⇒ ∆ABC vuông C ⇒ AC ⊥ BC Do MO // BC ⇒ MO ⊥ AC ⇒ F trung điểm AC ⇒ OM đường trung trực AC 0,25đ ⇒ MA = MC 2/ (1,0đ) Xét ∆MAO ∆MCO có : MO chung MA = MC OA = OC ⇒ ∆MAO = ∆MCO (c.c.c) · · ⇒ MCO = MAO = 900 ⇒ MC ⊥ OC ⇒ MC tiếp tuyến nửa đường tròn tâm O AC = 8cm⇒ AF = 4cm +) ∆MAO vuông A có đường cao AF 1 1 400 20 ⇒ = − = 2− 2= ⇒ MA = ⇒ MA = (cm) 2 MA AF AO 400 +) ∆MAB vuông A 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,5đ 20 1300 10 13 ⇒ MB = AB + MA = 10 + ÷ = ⇒ MB = (cm) +) Chứng minh ∆MDA ∆MAB đồng dạng MD MA ⇒ = ⇒ MD.MB = MA MA MB +) Chứng minh MA = MF.MO MD MO = +) Do : MD.MB = MF.MO ⇒ MF MB +) Chứng minh ∆MDF đồng dạng với ∆MOB (c.g.c) 3/ (1,0đ) 2 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ Bài : (1,0 điểm) Ý/Phần Đáp án Vì x, y, z dương Theo bất đẳng thức Côsi, ta có : x2 y+ z x2 y + z + ≥ =x +) y+ z y+ z Dấu “=” xảy ⇔ Điểm (1) x2 y+ z = ⇔ 4x2 = ( y + z) ⇔ 2x = y + z y+ z 2 +) y + z + x ≥ y z + x = y (2) z+ x z+ x y2 z+ x Dấu “=” xảy ⇔ = ⇔ 4y2 = ( z + x) ⇔ 2y = z + x z+ x +) z2 x+ y z2 x + y + ≥ =z x+ y x+ y (3) z2 x+ y = ⇔ 4z2 = ( x + y) ⇔ 2z = x + y Dấu “=” xảy ⇔ x+ y 0,5đ Cộng theo vế bất đẳng thức chiều (1), (2) (3) ta có : x2 y2 z2 y+ z z+ x x+ y + + + + + ≥ x+ y+ z y+ z z+ x x+ y 4 x2 y2 z2 x+ y+ z ⇒ + + ≥ =1 y+ z z+ x x+ y 2x = y + z 2y = z + x Dấu “=” xảy ⇔ 2z = x + y ⇔ x = y = z = x + y + z = x;y;z > Vậy giá trị nhỏ A x = y = z = -HẾT - 0,5đ ... trình (*) trở thành : Đ t t = y 2ty + ty2 + t = 216 ⇔ t( y + 1) = 216 ⇒ ( y + 1) ước 216 ⇒ ( y + 1) ∈ { 4; 9;36} 2 T đó, suy cặp nghiệm ( x;y) phù hợp ( 30;5) Vậy tuổi thầy giáo 30 tuổi 0,25đ... x, y tuổi thầy giáo tuổi thầy giáo (x, y nguyên dương; x > y) 0,25đ Theo đề bài, ta có phương trình : ( x + y) + ( x − y) + xy + xy = 216 ⇔ 2x + xy + xy = 216 (*) 0,25đ x (t ∈ N* ) , phương trình... ghi giả thi t, k t luận ∆ABC có AB đường kính đường tròn ngoại tiếp ⇒ ∆ABC vuông C ⇒ AC ⊥ BC Do MO // BC ⇒ MO ⊥ AC ⇒ F trung điểm AC ⇒ OM đường trung trực AC 0,25đ ⇒ MA = MC 2/ (1,0đ) X t ∆MAO