TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN KINH TẾ TRONG VẬN TẢI

Mục đích, yêu cầu của học phần: Kiến thức: Trang bị cho sinh viên kinh tế những kiến thức để phân tích xây dựng những mô hình toán học được sử dụng để giải quyết nhiều bài toán thực tế

TRƯỜNG ĐẠI HỌC HÀNG HẢI VIỆT NAM

KHOA: KINH TẾ

BỘ MÔN: KINH TẾ ĐƯỜNG THỦY

TÀI LIỆU HỌC TẬP

TOÁN KINH TẾ TRONG VẬN TẢI

MÃ HỌC PHẦN : 15205

TRÌNH ĐỘ ĐÀO TẠO : ĐẠI HỌC CHÍNH QUY

DÙNG CHO SINH VIÊN NGÀNH : KINH TẾ VẬN TẢI

HẢI PHÒNG, NĂM 2016

Đề cương chi tiết học phần Toán kinh tế trong vận tải Mã HP: 15205

b Đơn vị giảng dạy: Bộ môn Kinh tế đường thủy

c Phân bổ thời gian:

- Tổng số (TS): 45 tiết - Lý thuyết (LT): 25 tiết

- Thực hành (TH): 0 tiết - Bài tập (BT): 19 tiết

- Hướng dẫn BTL/ĐAMH (HD): 0 tiết - Kiểm tra (KT): 01 tiết

d Điều kiện đăng ký học phần:

Đã học các học phần: Toán cao cấp, Kinh tế vi mô, Kinh tế vĩ mô

e Mục đích, yêu cầu của học phần:

Kiến thức:

Trang bị cho sinh viên kinh tế những kiến thức để phân tích xây dựng những mô hình toán học được sử dụng để giải quyết nhiều bài toán thực tế, chẳng hạn như bài toán phân phối luồng hàng và quy hoạch tuyến đường vận chuyển tối ưu, bài toán về lập kế hoạch tác nghiệp xếp dỡ ở cảng, lập kế hoạch phân bổ tàu trên các tuyến tàu chợ, điều tàu thực hiện các chuyến

đi của tàu chuyến, phân công lao động theo các vị trí công tác khác nhau

Kỹ năng:

Nghiên cứu sâu môn học này sẽ giúp sinh viên trở thành các nhà khai thác và quản lý tốt các lĩnh vực trong vận tải biển Ngoài ra sinh viên còn có khả năng xây dựng, lập kế hoạch

và tổ chức sản xuất dựa trên các mô hình toán tối ưu một cách hiệu quả

f Mô tả nội dung học phần:

Học phần này gồm 05 chương, cung cấp những kiến thức cơ bản về ứng dụng của các phương pháp toán vào vận tải biển Thứ nhất, giới thiệu về ý nghĩa và khái niệm của mô hình toán kinh tế trong nghiên cứu và phân tích kinh tế, cấu trúc và phân loại mô hình toán kinh tế, nội dung của phương pháp mô hình trong nghiên cứu và phân tích kinh tế Thứ hai, nghiên cứu bài toán quy hoạch tuyến tính, bài toán vận tải, sơ đồ mạng và lý thuyết phục vụ công cộng Thứ ba, ứng dụng của các bài toán trong ngành kinh tế vận tải biển

g Người biên soạn: Th.s Phạm Thị Bạch Hường, Th.s Lê Văn Thanh – Bộ môn

Kinh tế đường thủy - Khoa Kinh tế

h Nội dung chi tiết học phần:

1.1 Ý nghĩa và khái niệm của mô hình toán kinh tế

1.1.1 Ý nghĩa của phương pháp mô hình

1.1.2 Khái niệm mô hình kinh tế và mô hình toán kinh

tế

TÊN CHƯƠNG MỤC PHÂN PHỐI SỐ TIẾT

1.2.1 Các biến số của mô hình

1.2.2 Mối liên hệ giữa các biến số - Các phương trình

của mô hình

1.3.1 Phân loại mô hình theo đặc điểm cấu trúc và

công cụ toán học sử dụng

1.3.2 Phân loại mô hình theo quy mô, phạm vi, thời

hạn

1.4 Nội dung của phương pháp mô hình trong nghiên

1.4.1.Nội dung cơ bản của phương pháp mô hình

Nội dung tự học: (06 tiết)

Nghiên cứu, phân tích mô hình cân bằng ngân sách, mô

hình đường IS-LM: phân tích sự biến động tức thời của

biến nội sinh trong mô hình với sự thay đổi của 1 biến

2.4 Giải bài toán quy hoạch tuyến tính bằng phương

2.4.1 Phương pháp đồ thị

2.4.2 Phương pháp bảng đơn hình

Nội dung tự học: (16 tiết)

- Mô hình hóa các bài toán cụ thể trong quản lý

trong hệ thống bài tập

- Giải các bài toán quy hoạch tuyến tính trong hệ

thống bài tập

TÊN CHƯƠNG MỤC PHÂN PHỐI SỐ TIẾT

- Quy hoạch đối ngẫu

3.1.1 Bài toán vận tải cổ điển

3.1.2 Các tính chất của bài toán vận tải

3.1.3 Các khái niệm của bài toán vận tải

3.3.1 Bài toán có hàm mục tiêu cực đại

3.3.2 Bài toán vận tải có ô cấm

3.3.3 Bài toán phân công công việc

3.4 Một số bài toán ứng dụng trong ngành vận tải

3.4.1 Các mô hình toán ứng dựng đối với doanh nghiệp

3.4.1.1 Bài toán hạn chế về khả năng thông qua

3.4.1.2 Bài toán hạn chế về số lượng phương tiện

3.4.1.3 Bài toán vận dụng tối đa sức chở của tàu

3.4.1.4 Bài toán phân phối

3.4.2 Các mô hình toán ứng dụng đối với doanh nghiệp

3.4.2.1 Bài toán phân phối thiết bị xếp dỡ vào vị trí làm

việc

3.4.2.2 Bài toán phân phối tàu vào vị trí xếp dỡ

3.4.2.3 Bài toán phân phối hàng hóa từ cầu tàu vào kho

Nội dung tự học: (44 tiết)

- Phát biểu bài toán và lập mô hình các bài toán

trong ngành vận tải biển

TÊN CHƯƠNG MỤC PHÂN PHỐI SỐ TIẾT

- Lập mô hình và giải các bài toán ứng dụng cho

doanh nghiệp vận chuyển trên máy tính

- Lập mô hình và giải các bài toán ứng dụng cho

doanh nghiệp cảng biển trên máy tính

4.3.1 Đối với các các sự kiện

4.3.2 Đối với công việc

Nội dung tự học: (18 tiết)

- Viết tiểu luận: lập biểu đồ bằng phương pháp sơ đồ

mạng phục vụ tàu tới cảng

5.1 Bài toán lý thuyết phục vụ công cộng

Nội dung tự học: (6 tiết)

- Tính toán các đặc tính chủ yếu của mô hình sắp

hàng 1 kênh của tàu tại cầu tàu

- Tính toán các đặc tính chủ yếu của mô hình sắp

hàng nhiều kênh 1 của tàu tại cầu tàu

i Mô tả cách đánh giá học phần:

- Sinh viên phải tham dự học tập trên lớp ≥75% tổng số tiết của học phần

- Thi viết thang điểm 10

- Các điểm thành phần Z, bao gồm:

- Điểm đánh giá học phần: Z = 0.5X + 0.5Y

k Giáo trình:

- Giáo trình mô hình toán kinh tế - Trường ĐH Kinh tế quốc dân, NXB Thống kê 2006

- Giáo trình Ứng dụng các phương pháp toán trong quản lý vận tải biển, PGS.TS Phạm Văn Cương, Trường Đại học Hàng Hải Việt Nam

l Tài liệu tham khảo:

1 Bộ môn Điều khiển học kinh tế trường KTQD, Mô hình toán kinh tế

2 Lý Bách Chấn, Vũ Ngọc Cừ, Các phương pháp toán ứng dụng trong GTVT

3 Tô Cẩm Tú, Một số phương pháp tối ưu hoá trong kinh tế

4 Bùi Thế Tâm, Tối ưu hoá

5 TS Nguyễn Văn Sơn, ThS Lê Thị Nguyên, Tổ chức và Khai thác cảng

6 TS Phạm Văn Cương, Tổ chức và Khai thác đội tàu

7 Trần Túc “Bài tập quy hoạch tuyến tính” Nhà xuất bản khoa học và kỹ thuật Hà Nội

Nội dung: Rà soát theo kế hoạch Nhà trường (từ T4/2014) gồm:

- Chỉnh sửa, làm rõ các Mục e, i theo các mục tiêu đổi mới căn bản

- Mục h: bổ sung Nội dung tự học cuối mỗi chương mục, chuyển

một số nội dung giảng dạy sang phần tự học

MỤC LỤC

1.1 Ý nghĩa và khái niệm của mô hình toán kinh tế trong nghiên cứu, phân tích

1.1.2 Khái niệm mô hình kinh tế và mô hình toán kinh tế 10

1.2.2 Mối liên hệ giữa các biến số - Các phương trình của mô hình 12

1.3.1 Phân loại mô hình theo đặc điểm cấu trúc và công cụ toán học sử dụng 12

1.3.2 Phân loại mô hình theo quy mô, phạm vi, thời hạn 12

3.3.1 Bài toán có hàm mục tiêu cực đại 31

3.4.1 Các mô hình toán ứng dựng đối với doanh nghiệp vận chuyển 37

3.4.2 Các mô hình toán ứng dụng đối với doanh nghiệp xếp dỡ 39

LỜI MỞ ĐẦU

Quản lý kinh tế đồng nghĩa với vấn đề hiệu quả và việc ra quyết định Để quản lý kinh tế thành công, con người phải lựa chọn các phương án, các quyết định tối ưu nhất trong khả năng có thể Vì thế việc nghiên cứu sử dụng các phương pháp toán toán trong quản lý kinh tế

là một đòi hỏi khách quan Nhiều chuyên gia kinh tế rất giỏi phân tích định tính các vấn đề kinh tế, nhưng do khả năng lượng hóa có hạn nên cũng khó có thể thiết kế được chuẩn xác các

tổ chức hoạt động có hiệu quả bảo đảm tính hiện thực của các đề án

Tài liệu môn "Toán kinh kế trong vận tải " không những tăng cường về mặt cơ sở lý luận cho sinh viên ngành kinh tế nói chung và ngành kinh tế vận tải biển nói riêng mà còn nâng cao khả năng vận dụng kiến thức toán kinh tế vào công tác quản lý kinh tế của người học Tài liệu được sử dụng làm tài liệu học tập cho sinh viên thuộc các chuyên ngành đào tạo kinh tế vận tải biển theo hình thức đào tạo tín chỉ

Tài liệu môn " Toán kinh tế trong vận tải " do Ths Phạm Bạch Hường, Th.s Lê Văn Thanh cùng toàn thể giảng viên bộ môn Kinh tế đường thủy biên soạn với 5 chương và 62 trang với các mô hình bài toán áp dụng riêng cho ngành kinh tế vận tải

CHƯƠNG I: GIỚI THIỆU MÔ HÌNH TOÁN KINH TẾ

NGHIÊN CỨU, PHÂN TÍCH KINH TẾ

1.1.1 Ý nghĩa của phương pháp mô hình

Đã từ lâu, khi con người muốn tìm hiểu, khám phá những hiện tượng trong tự nhiên họ

đã biết quan sát, theo dõi và ghi nhận các hiện tượng này Kết quả theo dõi được đúc kết thành kinh nghiệm và được lưu truyền qua các thế hệ và được gọi là phương pháp trực tiếp quan sát Đối với những sự việc phức tạp hơn hoặc khi chúng ta chẳng những muốn tìm hiểu mà cọn muốn lợi dụng chúng phục vụ c ho hoạt động của mình thì phương pháp trực tiếp quan sát

là chưa đủ Trong trường hợp này, khi nghiên cứu các đối tượng các nhà khoa học hoặc là trực tiếp tác động và đối tượng hoặc sử dụng các mô hình tương tự đó là phương pháp thí nghiệm, thử nghiệm có kiểm soát và đó là phương pháp nghiên cứu phổ biến trong khoa học

tự nhiên và kỹ thuật

Tuy nhiên khi nghiên cứu các hiện tượng vấn đề kinh tế - xã hội, các phương pháp trên thường không đem lại kết quả vì:

- Những vấn đề kinh tế là những vấn đề hết sức phức tạp – đặc biệt là những vấn đề kinh tế đương đại – trong đó có những mối liên hệ đan xen, tiền ẩn mà không chỉ bẳng quan sát là có thể giải thích được

- Quy mô, phạm vi liên quan của những vấn đề kinh tế - xã hội nhiều khi rất rộng và đa dạng, vì vậy khi dùng phương pháp thử nghiệm sẽ đòi hỏi chi phí rất lớn về thời gian, tiền bạc và nhiều khi có những sai sót trong quá trình thử nghiệm

- Ngay cả khi có đủ điều kiện tiến hành các thử nghiệm trong nghiên cứu kinh tế thì kết quả thu được cũng kém tin cậy vì các hiện tượng kinh tế - xã hội đều gắn với hoạt động của con người

Vì vậy để khắc phục các nhược điểm của các phương pháp trên trong nghiên cứu các hiện tượng, vấn đề kinh tế chúng ta phải sử dụng phương pháp suy luận gián tiếp, trong đó các đối tượng trong hiện thực có liên quan tới hiện tượng, vấn đề ta quan tâm nghiên cứu sẽ được thay thế bởi hình ảnh của chúng: các mô hình của đối tượng và ta sử dụng mô hình làm công cụ phân tích và suy luận Phương pháp này có tên gọi là phương pháp mô hình

Nội dung của phương pháp mô hình bao gồm:

- Xây dựng, xác định mô hình của đối tượng Quá trình này gọi là mô hình hóa đối tượng

- Dùng mô hình làm công cự suy luận phục vụ yêu cầu nghiên cứu Quá trình này gọi là phân tích mô hình

a Mô hình kinh tế

Theo quan điểm giản đơn: mô hình của 1 đối tượng là sự phản ánh hiện thực khách quan của đối tượng, sự hình dung, tưởng tượng đối tượng đó bằng ý nghĩ của người nghiên cứu và việc trình bày, thể hiện, diễn đạt ý nghĩ đó bằng lời văn, chữ viết, sơ đồ, hình vẽ … hoặc một ngôn ngữ chuyên ngành

Như vậy mỗi mô hình bao gồm nội dung của mô hình và hình thức thể hiện nội dung

Mô hình của các đối tượng trong lĩnh vực hoạt động kinh tế gọi là mô hình kinh tế

b Mô hình toán kinh tế

Mô hình toán kinh tế là mô hình kinh tế được trình bày bằng ngôn ngữ toán học

Đối với các vấn đề phức tạp có nhiều mối liên hệ đan xen thậm chí tiềm ẩn mà chúng ta nghiên cứu, phân tích chẳng những về mặt định tính mà còn về mặt định lượng thì phương pháp suy luận thông thường, phân tích giản đơn không đủ hiệu lực để giải quyết Khi đó chúng ta cần đến phương pháp suy luận toán học Đây chính là điểm mạnh của các mô hình toán kinh tế

Ví dụ:

Giả sử chúng ta muốn nghiên cứu , phân tích quá trình hình thành giá cả của một loại hàng háo A trên thị trường với giả định là các yếu tố khác như điều kiện sản xuât hàng hóa A, thu nhập, sở thích … đã cho trước và không đổi

Khi đó đối tượng liên quan tới vấn đề nghiên cứu của chúng ta là thị trường hàng hóa A

và sự vận hành của nó

Chúng ta cần mô hình hóa đối tượng này bằng lời, bằng hình vẽ và mô hình toán kinh tế

- Mô hình bằng lời: xét thị trường hàng hóa A, nơi đó người bán và người mua gặp nhau

và xuất hiên mức giá ban đầu Với mức giá đó, lượng hàng hóa người bán muốn bán gọi là mức cung và lượng hàng hóa người mua muốn mua gọi là mức cầu Nếu cung lớn hơn cầu do người bán muốn bán nhiều hàng hóa hơn nên phải giảm giá và hình thành mức giá mới thấp hơn mức giá ban đầu Nếu người mua muốn mua nhiều hàng hóa hơn thì cầu lớn hơn cung và xuất hiện mức giá mới cao hơn mức giá ban đầu

Quá trình đó cứ tiếp diễn cho tới khi hình thành mức giá cân bằng tại điểm cung bằng cầu

- Mô hình bằng hình vẽ:

Vẽ đường cung S và đường cầu D trên cùng 1 hệ trục tọa độ Khi đó quá trình hình thành giá cả cân bằng được thể hiện qua sơ đồ minh họa

Nếu ở thời điểm ban đầu xem xét thị trường, giá hàng hóa là p1 và giả sử S1 = S(p1) >

D1=D(p1) khi đó dưới tác động của quy luật cung – cầu, giá p sẽ phải hạ xuống mức giá p2

ở mức giá p2 do S2 = S(p2) < D2=D(p2) nên giá sẽ tăng lên mức giá p3

Quá trình đó cứ thế tiếp diễn c ho đến khi p , tại mức giá này có cân bằng cung cầu p

- Mô hình toán kinh tế:

Giả sử gọi S và D là đường cung và đường cầu tương ứng Như vậy ứng với từng mức giá p ta có: S = S(p), do người bán sẵn sàng bán với mức giá cao hơn nên S là hàng tăng theo

Khi đó cân bằng thị trường sẽ có nếu S = D

Như vậy với mô hình diễn đạt bằng lời hay bằng hình vẽ ta không thể biết chắc rằng liệu quá trình hình thành giá trên thị trường có kết thúc hay không, tức là liệu có cân bằng thị trường hay không Đối với mô hình toán kinh tế về cân bằng thị trường, ta sẽ có câu trả lời thông qua việc giải phương trình S = D và phân tích đặc điểm của nghiệm

Ngoài ra khi muốn đề cập tới tác động của thuế (T), thu nhập (M) ta có thể mở rộng

mô hình và đưa các yếu tố này tham gia vào các mối liên hệ với các yếu tố sẵn có trong mô hình phù hợp với các quy luật trong lý thuyết

1.2 CẤU TRÚC CỦA MÔ HÌNH TOÁN KINH TẾ

1.2.1 Các biến số của mô hình

- Biến nội sinh (biến được giải thích): là các biến mà về bản chất chúng phản ánh, thể hiện trực tiếp sự kiện, hiện tượng kinh tế và giá trị của chúng phụ thuộc vào giá trị của các biến khác có trong mô hình

- Biến ngoại sinh (biến giải thích): là các biến độc lập với các biến khác trong mô hình, giá trị của chúng được xem là tồn tại bên ngoài mô hình

Xét theo đặc điểm cấu trúc toán học, một mô hình có tất cả các biến là biến nội sinh gọi

là mô hình đóng; mô hình có biến nội sinh và biến ngoại sinh gọi là mô hình mở

- Tham số (thông số): là các biến số mà trong phạm vi nghiên cứu đối tượng chúng thể hiện các đặc trưng tương đối ổn định, ít biến động hoặc có thể giả thiết là như vậy của đối tượng

1.2.2 Mối liên hệ giữa các biến số - Các phương trình của mô hình

Các quan hệ kinh tế nảy sinh trong quá trình hoạt động kinh tế giữa các chủ thể kinh tế, giữa chủ thể với nhà nước, giữa các khu vực tạo ra mối quan hệ giữa các biến số liên quan Các mối quan hệ này là sự phản ánh, thể hiện tác động của các quy luật trong hoạt động kinh

tế Chúng ta có thể dùng các biểu thức, các hệ thức toán học một cách thích hợp từ đơn giản tới phức tạp để thể hiện mối quan hệ giữa các biến trong mô hình Hệ thức thường được sử dụng phổ biến là phương trình

Tùy thuộc và ý nghĩa thực tiễn của mối quan hệ giữa các biến có trong phương trình, chúng ta có thể phân loại các phương trình trong mô hình như sau:

- Phương trình định nghĩa (đồng nhất thức): phương trình thể hiên mối quan hệ định nghĩa giữa các biến số hoặc giữa hai biểu thức ở hai vế của phương trình

- Phương trình hành vi: phương trình mô tả quan hệ giữa các biến do tác động của quy luật hoặc do giả định

- Phương trình điều kiện: phương trình mô tả quan hệ giữa các biến số trong các tình huống có điều kiện mà mô hình đề cập

1.3 PHÂN LOẠI MÔ HÌNH TOÁN KINH TẾ

1.3.1 Phân loại mô hình theo đặc điểm cấu trúc và công cụ toán học sử dụng

- Mô hình tối ưu: mô hình phản ánh sự lựa chọn cách thức hoạt động nhằm tối ưu hóa một hoặc một số chỉ tiêu định trước

- Mô hình cân bằng: là lớp mô hình xác định sự tồn tại của trạng thái cân bằng nếu có và phân tích sự biến động của trạng thái này khi các biến ngoại sinh hay các tham số thay đổi

- Mô hình tất định, mô hình ngẫu nhiên: mô hình với các biến là tất định (phi ngẫu nhiên) gọi là mô hình tất định, nếu có chứa biến ngẫu nhiên gọi là mô hình ngẫu nhiên

- Mô hình toán kinh tế và mô hình kinh tế lượng:

- Mô hình tĩnh (theo thời gian) và mô hình động

1.3.2 Phân loại mô hình theo quy mô, phạm vi, thời hạn

- Mô hình vĩ mô: mô hình mô tả các hiện tượng kinh tế liên quan đến một nền kinh tế, một khu vực kinh tế gồm một số nước

- Mô hình vi mô: mô hình mô tả một thực thể kinh tế nhỏ, hoặc những hiện tượng kinh

tế với các yếu tố ảnh hưởng trọng phạm vi hẹp và ở mức độ chi tiết

Theo thời hạn mà mô hình đề cập ta có mô hình ngắn hạn và mô hình dài hạn

1.4 NỘI DUNG CỦA PHƯƠNG PHÁP MÔ HÌNH TRONG NGHIÊN CỨU VÀ PHÂN TÍCH KINH TẾ

1.4.1 Nội dung cơ bản của phương pháp mô hình

Để áp dụng phương pháp mô hình, trong đó sử dụng mô hình toán kinh tế làm công cụ nghiên cứu, phân tích các vấn đề, các sự kiện kinh tế chúng ta cần thiết tiến hành các bước sau:

- Xác định các yếu tố, sự kiện cần xem xét cùng các mối liên hệ trực tiếp giữa chúng mà

ta có thể cảm nhận bằng trực quan hoặc căn cứ vào cơ sở lý luận đã lựa chọn

- Lượng hóa các yếu tố này, coi chúng là các biến của mô hình

- Xem xét vai trò của các biến số và thiết lập các hệ thức toán học – chủ yếu là các phương trình – mô tả quan hệ giữa các biến

1.4.1.3 Phân tích mô hình

Sử dụng phương pháp phân tích mô hình để phân tích Kết quả phân tích có thể được sử dụng để hiệu chỉnh mô hình cho phù hợp với thực tiễn

1.4.1.4 Giải thích kết quả

Dựa vào kết quả phân tích mô hình ta sẽ đưa ra giải đáp cho vấn đề cần nghiên cứu

Ví dụ: ta đi xem xét mô hình cân bằng vĩ mô – mô hình cân bằng ngân sách và mô hình đường IS-LM phân tích sự biến động(tức thời) của biến nội sinh trong mô hình với sự thay đổi của 1 biến ngoại sinh

.

CHƯƠNG 2: QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH 2.1 ĐẶT VẤN ĐỀ

Quy hoạch toán học là một ngành khoa học mới, là cơ sở lý luận cho việc giải các bài toán – bài toán tìm cực trị của hàm mục tiêu F=f(x1, x2, …., xn), khi các biến số x1, x2,….,xn

của hàm mục tiêu này bị ràng buộc bởi các phương trình hay bất phương trình Quy hoạch toán học nghiên cứu các phương pháp tìm ra những tham số điều khiển của hệ thống sản xuất

để đạt được những tiêu chuẩn tối ưu đặt ra cho toàn bộ hệ thống sản xuất đó Tập hợp các giá trị của tham số điều khiển này tạo nên phương án tối ưu Quy hoạch toán học là lĩnh vực toán học nghiên cứu lý thuyết và các phương pháp số để giải các bài toán cực trị nhiều thứ nguyên,

có ràng buộc, tức là bài toán tìm cực trị của hàm số nhiều biến số với các ràng buộc trên miền biến thiên của các biến số này Tùy theo kiều hàm mục tiêu, kiểu các các ràng buộc mà quy hoạch toán học chia thành: Quy hoạch tuyến tính, quy hoạch phân số tuyến tính, quy hoạch động, quy hoạch khối, quy hoạch tham số, quy hoạch ngẫu nhiên, quy hoạch phi tuyến, quy hoạch rời rạc…

Quy hoạch tuyến tính (QHTT) là lĩnh vực toán học nghiên cứu lý thuyết và các phương pháp số để giải các bài toán tìm cực trị của hàm số tuyến tính nhiều biến số với các ràng buộc tuyến tính, tức là các đẳng thức hay bất đẳng thức tuyến tính liên hệ các biến số này với nhau Một số lớn các vấn đề lập kế hoạch quý trình kinh tế, kỹ thuật có thể đưa về dạng QHTT Trong kinh tế, bài toán QHTT này sinh là do có rất nhiều phương án hoạt động có thể đối với một đối tượng kinh tế nào đó Cụ thể là, có rất nhiều khả năng sử dụng các nguyên liệu, vật liệu khác nhau, các quá trình công nghệ, các cách bố trí phương tiện khác nhau để thu được cùng 1 lượng sản phẩm, khiến cho chúng ta phải lựu chọn một phương án tốt nhất theo một tiêu chuẩn tối ưu nào đó

Khi xây dựng các kế hoạch sản xuất do bị hạn chế về nguồn lực nên người lập kế hoạch buộc phải giải quyết các vấn đề có tính chất phân phối

Khi lập kế hoạch đòi hỏi người lập kế hoạch phải cân nhắc sao cho với một năng lực nhất định phải thực hiện nhiệm vụ một cách hiệu quả nhất Khi cụ thể khả năng hiệu quả thành mục tiêu thì có thể sử dụng một công cụ toán học để giải quyết, đó chính là quy hoạch tuyến tính

2.2 TRÌNH TỰ LẬP KẾ HOẠCH SẢN XUẤT BẰNG PHƯƠNG PHÁP TOÁN QUY HOẠCH

Bước 1:

- Phân tích thực tế sản xuất, mô hình hoá vấn đề: Vấn đề cần giải quyết là lựa chọn các tham số quản lý (điều khiển), rồi các biến số, trên cơ sở đó xây dựng hàm mục tiêu, rồi xây dựng các ràng buộc bằng các biểu thức toán học

- Ý nghĩa: bước 1 sẽ quyết định sự thành công hay thất bại trong việc lập kế hoạch sản xuất 1 cách tốt nhất

Bước 2: Thu thập dữ liệu về: Hệ thống các thông tin về kinh tế kỹ thuật, hệ thống các

thông tin về nhiệm vụ được giao Chuyển dần và lắp ráp vào mô hình đầu

Bước 3: Tiến hành giải bài toán ( phương pháp đúng và gần đúng) Nói chung, thuật toán

để giải bài toán tối ưu như mô hình sau:

cụ thể, vì vậy cần phải gia công thêm mới có phương án thực tiễn

Lập phương án ban đầu

Có

STOP

Kiểm tra dấu hiệu tối ưu và xem có tồn tại hay không

Ví dụ: Lập kế hoạch sản xuất

Có một doanh nghiệp sản xuất 3 loại sản phẩm S1, S2, S3 từ 4 loại nguyên liệu N1, N2,

N3, N4 với trữ lượng trong kho tương ứng là 25, 30, 20, 40 đơn vị nguyên liệu

Định mức nguyên liệu và doanh thu khi bán một sản phẩm cho ở bảng sau

Hãy lập kế hoạch sản xuất cho doanh nghiệp trong điều kiện nguồn lực hiện có sao cho hiệu quả nhất

28 x

20 x

17 )

,

406

710

205

8

4

307

6

259

8

7

§

3 2

1

3 2 1

3 2 1

3 1

3 2 1

x x

x

x x x

x x x

x x

x x x

K

(hạn chế N1) (hạn chế N2) (hạn chế N3) (hạn chế N4)

 Mô hình bài toán trên chính là quy hoạch tuyến tính

2.3 Các dạng bài toán quy hoạch tuyến tính

Bài toán quy hoạch tuyến tính là 1 trong những bài toán cơ bản nhất của vận trù học,

nó được ứng dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực như tổ chức lao động, lập kế hoạch sản xuất, điều động, đầu tứ vốn …

a Bài toán quy hoạch tuyến tính dạng chính tắc

Hệ ràng buộc:

)2(,1(0

1

m i

b x

0 j n

Phương án của bài toán là hệ thống các giá trị bằng số của xj thỏa mãn (2) & (3) Phương án tối ưu của bài toán là phương án thoả mãn (1), (2) & (3)

b Bài toán quy hoạch tuyến tính dạng chuẩn tắc

Là bài toán dạng chính tắc mà ở mỗi phương trình của hệ ràng buộc (2) đều tồn tại 1 ẩn với hệ số = 1 không có trong phương trình khác

Z  j j  (1’) Điều kiện ràng buộc

.

) , 1 (

.

) , 1 (

.

1 1 1

m i

b x

a

m i

b x

a

m i

b x

a

n j

i j

ij

n j

i j

ij

n j

i j



Thì đặt

1

min

j j j

e Đưa bài toán quy hoạch tuyến tính về dạng chuẩn tắc

- Trước hết đưa bài toán đã cho về dạng chính tắc

- Nếu nó chưa có dạng chuẩn tắc thì trong phương trình ràng buộc nào chưa có ẩn riêng biệt ta thêm 1 ẩn mới với hệ số = 1, và thêm vào hàm mục tiêu ẩn đó với hệ số M là 1 số dương lớn bao nhiêu cũng được Ẩn đó gọi là ẩn giả

2.4 GIẢI BÀI TOÁN QUI HOẠCH TUYẾN TÍNH

2.4.1 PHƯƠNG PHÁP ĐỒ THỊ (chỉ dùng trong trường hợp bài toán có 2 biến)

Ví dụ: DN sản xuất đồ gỗ sản xuất 2 loại bàn: bàn tròn x1 và bàn chữ nhật x2

Mỗi bàn tròn cần 2,5h lắp ghép, 3h để đánh bóng, 1h để vào thùng

Mỗi bàn chữ nhật cần 1h lắp ghép, 3h để đánh bóng, 1h để vào thùng

Một tuần do hạn chế về nhân lực, xưởng chỉ bố trí 20h để lắp ghép, 30h để đánh bóng, 16h để vào thùng

Lợi nhuận cho mỗi bàn tròn là 30.000đ và bàn chữ nhật là 40.000đ

Tìm phương án sản xuất tối ưu để mang về cho nhà sản xuất lợi nhuận cao nhất

Giải:

Gọi x1, x2 là số lương bàn tròn và bàn chữ nhật cần sản xuất

Có hàm mục tiêu:

max )

x 40 x

30 ( 1000 )

x

16 x

2 x

30 x

3 x

3

20 x

x 5

2 1

2 1

2

1 (hạn chế về thời gian lắp ghép)

(hạn chế về thời gian đánh bóng) (hạn chế về thời gian vào thùng)

Nghiệm bài toán là đa giác ABCDO vì f(x)  max

Giải phương trình 2 và 3  B (4;6)

 f(max) = 1000  (30  4 + 6  40) = 360.000 (đ)

2.4.2 PHƯƠNG PHÁP BẢNG ĐƠN HÌNH

a Nội dung của phương pháp bảng đơn hình để giải bài toán QHTT dạng chuẩn

+ Định lý: nếu bài toán QHTT có phương án tối ưu thì phương án này phải nằm trong tập hợp các phương án cơ bản không âm của hệ

+ Nội dung: Định lý trên mới chỉ cho biết được phạm vi tồn tại của phương án tối ưu, chứ chưa chỉ ra cách tìm Xuất phát từ phương án cơ bản không âm nào đó, tìm cách thay thế

nó bởi 1 phương án không âm tốt hơn, tức là hàm mục tiêu thực sự giảm đối với bài toán min

và tăng thực sự với bài toán max để cuối cùng nhận được 1 phương án tối ưu

+ Tiêu chuẩn tối ưu: Điều kiện cần và đủ để bài toán min có phương án cơ bản x là tối

ưu khi j  0 với j

+ Điều kiện để phương án mới tốt hơn phương án cũ

Nếu phương án cơ bản x có ít nhất 1 giá trị  j > 0 xảy ra 2 trường hợp sau:

- aij 0  i , j  hàm mục tiêu không giới nội ( ( x )   )  bài toán vô nghiệm

-  1 aij 0  có thể tìm được 1 phương án mới tốt hơn phương án cũ

b Thuật toán bảng đơn hình

m

i i

C x

f

1 1

- Nếu

2 íc - b sang chuyÓn 0

a 1

nghiÖm

« v n

¸ to bµi s

; 0 a 0 1

s

;

s ,

+ Xác định ẩn đưa ra khỏi phương án cơ bản

Gọi xk là ẩn đưa ra khỏi hệ thống ẩn cơ sở thì ( a 0 )

a

b min

s , i

j k j k s

, k

k k

a

a ' a

&

a

b '

s , k

j , k ij ij s , i s , k

k i

a

a a ' a

&

a a

b b '

Sau đó quay lại bước 1

Ví dụ: Giải bài toán QHTT sau:

min x

4 x x 2 )

10 x

2 x

12 x

4 x x 3

8 x x x 2 x K

§

j

3 1

3 2

1

4 3 2 1

min x

4 x x 2 )

10 x x 2 x

12 x x 4 x x 3

8 x x x 2 x K

§

j

6 3 1

5 3 2

1

4 3 2 1

Vậy nghiệm của bài toán X = (0; 4; 0; 0)

Vd: Giải bài toán:

164

34

183

44

3 2 1

3 2 1

j x

x x x

x x x DK

164

34

183

44

5 3 2 1

4 3 2 1

j x

x x x x

x x x x DK

Nghiệm của bài toán X=(5/2;2;0) và min f(x) = -8

Chú ý ẩn giả khi đã ra khỏi bảng đơn hình thì không còn cơ hội quay lại bảng đơn hình khi đó cột ẩn giả ta có thể gạch đi

Ví dụ: Giải bài toán QHTT sau:

minx

xx)

10x4xx2

8xxx2

16x2xxx4K

§

j

4 3 1

4 3 1

4 3 2 1

2.4.3 QUY HOẠCH ĐỐI NGẪU

Trong phương pháp QHTT, tất cả các bài toán cực đại (cực tiểu) đều có thể liên kết với một bài toán cực tiểu (cực đại) tương ứng  đó là bài toán đỗi ngẫu tương ứng của bài toán ban đầu

a Bài toán đối ngẫu của bài toán chính tắc

) m , 1 i ( b x a

K

§

min x

C )

x

(

j

i n

1

j

j ij

n

1

j

j j

Bài toán đối ngẫu

) n , 1 j ( Cj y a K

§

max y

b ) y ( g

i

m

1 i i ij

m

1 i i i

Nhận xét:

+ Hàm mục tiêu của bài toán gốc  min thì bài toán đối ngẫu  max

+ Ứng với mỗi ràng buộc của bài toán gốc là 1 ẩn số của bài toán đối ngẫu

+ Hệ số hàm mục tiêu của bài toán đối ngẫu là các hệ số tự do trong ràng buộc của bài toán gốc

+ Bài toán đối ngẫu có số ràng buộc bằng số ẩn số trong bài toán gốc

Ví dụ: Tìm bài toán đối ngẫu của bài toán sau:

4xxx

2

5xxx

K

§

minx

xx

3 2 1

3 2 1

4yy

3yy

1yyK

§

maxy

y)y(g

i

2 1 2 1 2 1

2 1

c Bài toán đối ngẫu của bài toán tổng quát

)(

max(min)

)(min(max)

.)

(

1

1

batky y b

x

a

y b y

g x

c x

f

i suyra n

j

i j

ij

i i suyra

n

j

j j

ij ra

suy j

j m

i

i ij

va j i

m

i ij ra

suy j

j i

m

i ij va

m

i

j i

ij ra

suy j

i

va i

ra suy i

n

j

j ij

i

va i

ra suy n

j

i j ij

c y a x

c y a c

y a x

c y a c

y a x

y y

b x

a

y y

b x

a

1

1 1

1 1

1

1

0

.

0

.

0

0 0

.

0 0

12 x x 3

4 x x 2 x

6 x x x 2 x K

§

j

3 1

4 3 2

4 3 2 1

g(y) = 6y1 + 4y2 + 12y3  min

; kú bÊt y

; 0 y

0 y y

4 y y 2 y

1 y

y 2

2 y 3 y K

§

3 2

1

2 1

3 2 1

2 1

2 1

Ví dụ: Tìm bài toán đối ngẫu của bài toán sau:

;

x

0 x x

4 x 2 x x x

2

10 x 4 x x

K

§

2 1

4 2

4 3

2 1

3 2

; 0 y

; 0 y

3 3 y y 2

1 y y 4

6 y

y y

2 y 2 y K

§

3 2

1 2

2 1

3 2 1

2 1

Ý nghĩa của đối ngẫu

+ Về mặt toán học trong một số trường hợp nghiên cứu bài toán đối ngẫu đơn giản hơn

vì ít ẩn hơn

+ Bài toán QHTT là bài toán lập kế hoạch sản xuất còn bài toán đối ngẫu là bài toán thị trường

Ví dụ: Giả sử một nền sản xuất cần đáp ứng m loại nhu cầu (lợi ích) thể hiện bằng m mặt hàng

khác nhau Có n công nghệ sản xuất ra các mặt hàng đó Mỗi đơn vị cường độ công nghệ j sẽ tạo ra aij

đơn vị mặt hàng i, đồng thời chịu một chi phí là Cj

 Bài toán lập kế hoạch

Gọi xj là số đơn vị cường độ công nghệ j được sử dụng thì chi phí sẽ là

( x ) C x min

n

1 j

) i cÇu nhu n

· m

¶ tho ( ) m , 1 i ( b x a K

§

j

i n

1 j

j ij

 Bài toán thị trường

Gọi yi là "giá" của lợi ích thứ i, vậy tổng lợi ích sẽ là

g ( y ) b y max

m

1 i

)n,1j(CyaK

§

i

j m

1 i i ij

Ta thấy 2 bài toán trên là 1 cặp đối ngẫu Bài toán 1 là bài toán sản xuất thoả mãn nhu cầu với chi phí là ít nhất Bài toán 2 là bài toán hình thành giá thị trường sao cho tổng lợi ích lớn nhất với điều kiện hạn chế về chi phí

BÀI TẬP CHƯƠNG I:

Bài 1: Giải bài toán QHTT sau:

Giải bài toán QHTT sau:

Một hãng sản xuất công cụ xếp dỡ phải quyết định sản xuất 3000 sản phẩm các loại, định mức chi phí và lãi khi sản xuất 1 sản phẩm cho ở bảng Khả năng của hãng chỉ có thể: chi phí lao động là 1900 triệu đồng, vốn là 1500 triệu đồng, ngoài ra để đảm bảo nhu cầu của

hợp đồng đã ký thì ít nhất phải sản xuất 600 sản phẩm loại A Hãy ra quyết định sản xuất sao cho hiệu quả?

Sản phẩm Chi phí sản xuất cho 1 sản phẩm Lãi khi sản xuất 1 sản

phẩm Vốn ( 103 đ) Lao động ( 103 đ)

Bài 4:

CHƯƠNG 3: BÀI TOÁN VẬN TẢI

Lưu thông hàng hóa là một nhu cầu tất yếu của nền kinh tế Có nhiều nhân tố ảnh hưởng tới việc lưu thông hàng hóa trong đó chi phí vận chuyển là một nhân tố trực tiếp quan trọng Căn cứ vào nhu cầu của những nới phát hàng, nhận hàng và với cước phí đã đựơc xác định từ trước ta cần lập kế họach vận chuyển như thế nào để giảm chi phí vận chuyển tới mức thấp nhất

Đó cũng là nội dung của bài toán vận tải mà ta đề cập dưới đây

Bài toán vận tải là một dạng đặc biệt của quy hoạch tuyến tính ( nó là 1 dạng đặc biệt của quy hoạch tuyến tính bởi vì ma trận hệ số của bài toán vận tải chỉ nhận 2 giá trị là 0 và 1) Bài toán vận tải được ứng dụng nhiều trong lĩnh vực quản lý, quân sự …

3.1 Bài toán và các khái niệm

3.1.1 Bài toán vận tải

Giả sử cần vận chuyển 1 loại hàng hóa từ m điểm phát Ai với trữ lượng hàng hóa tương ứng là ai ((i1,m) đơn vị hàng hóa đên n điểm thu ( điểm nhận hàng: tiêu thụ hoặc bảo quản) Bj với trữ lượng hàng hóa tương ứng là bj ( j1,n)

Biết chi phí vận chuyển một đơn vị hàng hóa từ điểm phát Ai tới điểm thu Bj là Cij với (i1,m) và (j1,n)

Yêu cầu: hãy lập kế hoạch vận chuyển hàng hóa từ các điểm phát tới các điểm thu sao cho có hiệu quả nhất

Giải bài toán

Nhận xét:

- Từ 1 điểm phát có thể phát tới n điểm thu

- Từ 1 điểm thu có thể từ m điểm phát

- Bài tóan vận tải trên có thể xảy ra 2 trường hợp sau:

i

i b a

1 1

thì ta gọi bài toán trên là bài toán vận tải cân bằng thu - phát (hay còn gọi là bài toán cân bằng cung – cầu)

i

i b a

1 1

thì ta gọi là bài toán không cân bằng thu - phát (hay còn gọi là bài toán không cân bằng cung – cầu)

Giải bài toán vận tải trên với điều kiện  





 n

j j m

i

i b a

1 1

(bài toán vận tải cân bằng cung – cầu)

- Gọi xij là khối lượng hàng hóa cần vận chuyển từ nơi sản xuất Ai tới nơi tiêu thụ Bj với (i1,m) và (j1,n)

- Kế hoạch vận chuyển hiệu quả nhất khi chi phí vận chuyển hàng hóa là nhỏ nhất Khi

đó bài toán có dạng sau:

i

x C x

f

1 1

min

)

(

ĐK x a i(i 1,m)

n

i j

n j b

- Cột 1 ghi tên và lượng hàng ở các điểm phát ( Ai và ai ); hàng 1 ghi tên và lượng hàng

ở các điểm thu ( Bj và bj ) (m x n) ô còn lại thì trong mỗi ô góc dưới bên phải ghi cước phí Cij, góc trên bên trái ghi lượng hàng xij

3.1.3 Các tính chất của bài toán vận tải

- Tính chất 1: Bài toán vận tải cân bằng cung cầu bao giờ cũng có phương án tối ưu

- Tính chất 2: ma trận hệ số của bài tóan có hạng ( m + n – 1 ) vì vậy bài toán vận tải bao gồm ( m + - 1) ẩn cơ sở

3.1.4 Các khai niệm của bài toán vận tải

- Dây: là một tập hợp các ô sao cho 2 ô kế tiếp nhau thì trên cùng 1 hàng hay trên cùng

1 cột, 3 ô thuộc tập hợp thì không cùng 1 dòng hay 1 cột

- Chu trình ( vòng): là 1 dây khép kín Như vậy một hàng hoặc 1 cột mà chu trình đi qua thì chỉ đi qua 2 ô Do đó số ô ít nhất của 1 chu trình là 4 ô

3.2 GIẢI BÀI TOÁN VẬN TẢI

3.2.1 Giải bài toán vận tải bằng phương pháp thế vị

Giải bài toán vận tải bằng phương pháp thế vị gồm các bước sau:

 Bước 1: xác định phương án cơ bản ban đầu: gồm 3 phương pháp

c Phương pháp Fogel

Nội dung:

- Trên mỗi dòng và mỗi cột chọn ô có chi phí nhỏ nhất và nhỏ thứ nhì

- Lấy hiệu của chúng ghi vào cạnh bảng

- Tìm số lớn nhất trong các hiệu đó phân bổ vào hàng (cột) đó 1 lượng hàng lớn nhất có thể được và cứ thế làm cho tới hết

Sau khi đã phân bổ hàng hóa vào các ô trong bảng vận tải xong, khi đó xảy ra 2 trường hợp sau:

- Trường hợp 1: Nếu số ô được phân bổ hàng hóa nhỏ hơn ( m + n – 1) ô thì ta phải thêm vào 1 số ô sao cho đủ ( m + n – 1) ô ( số ô thêm vào ko được tạo với ô đã phân

∆ij = Ui + Vj – Cij ( cho những ô chưa phân bổ hàng hóa)

- Khi đó xảy ra 2 trường hợp sau:

+ Với mọi ∆ij ≤ 0 → Phương án tối ưu

+ Nếu tồn tại 1 ∆ks ≥ 0 → chuyển sang bước 4

 Bước 4: điều chỉnh phương án:

- Xác định ô điều chỉnh: là ô có ∆ij dương lớn nhất

- Xác định lượng hàng điều chỉnh q:

Xác định chu trình của ô điều chỉnh với những ô đã được phân bổ hàng hóa Đánh dấu (+), (-) xen kẽ nhau bắt đầu từ ô điều chỉnh, lúc đó lượng hàng điều chỉnh q sẽ bằng lượng hàng hóa nhỏ nhất của các đỉnh đánh dấu (-)

x

dÊu dØnh víi q x

dÊu dØnh víi q x x

ij ij ij ij

¸

«

«

)(

)('

Sau đó quay về bước 2





 n

j j m

i

i b a

1 1

i

a

1 1

Khi đó toán có dạng:

min

)

i

x C x

i

ij a i m x

i

a

1 1

( cung lớn hơn cầu) ta thêm điểm thu giả Bn+1

i

a

1 1

với chi phí Ci,n+1 = 0

- Cung nhỏ hơn cầu  





 n

j j m

i

i b a

1 1

Khi đó bài toán có dạng:

i

x C x

i

ij a i m x

i

i b a

1 1

(cung nhỏ hơn cầu) ta thêm điểm phát giả Am+1 với

j

j a b

1 1

với các chi phí Cm+1,j = 0

Sau đó giải bài toán theo phương pháp thế vị của bài toán vận tải cân bằng cung - cầu

3.3 CÁC TRƯỜNG HỢP KHÁC CỦA BÀI TOÁN VẬN TẢI

3.3.1.BÀI TOÁN CÓ HÀM MỤC TIÊU CỰC ĐẠI

1 Bài toán có hàm mục tiêu cực đại

Trong bài toán vận tải có Cij là lợi nhuận

Hàm mục tiêu của bài tóan có dạng:

i

x L x

i

ij a i m x

xij  0 (  ij )

Phương pháp giải: Có 2 cách giải:

- Cách 1: Chúng ta đưa về dạng bài toán vận tải có hàm mục tiêu đạt giá trị nhỏ nhất (min) bằng cách đổi dấu hàm mục tiêu ( nhân hàm mục tiêu với -1 ) sau đó dùng phương pháp thế vị giải bình thường

- Cách 2: Để nguyên hàm mục tiêu cực đại mà chỉ đổi chiêu các tiêu chuẩn xác định tối

ưu của phương pháp thế vị để giải

 Chú ý khi giải bài toán vận tải hàm mục tiêu để giải:

- Khi tìm phương án cơ bản ban đầu chúng ta ưu tiên phân phối có ô Cij lớn nhất

- Dấu hiệu tối ưu: ∆ij

- Phương pháp Fogel thì xét hiệu Cij = lớn nhất – lớn thứ nhì

Ví dụ: 1 xí nghiệp cơ khí có 12 công nhân được chia thành 3 nhóm theo trình độ tay

nghề A1, A2, A3 Xí nghiệp có 12 máy sản xuất ra 1 chi tiết cơ khí, máy gồm 3 loại B1, B2, B3 Đặc điểm sản xuất là mỗi công nhân đứng trên 1 máy, ta có bảng năng suất và số công nhân như sau: