TÀI LIỆU học tập TOÁN 12 cập NHẬT đầy đủ các DẠNG TOÁN của các năm gần đây

GV: LÊ QUANG XE TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12 (Cập nhật đầy đủ dạng toán năm gần đây) y x O TÀI LIỆU LƯU HÀNH NỘI BỘ Muåc luåc Phần I ĐẠI SỐ Chương ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ Bài SỰ ĐỒNG BIẾN NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ 1 A LÝ THUYẾT CẦN NHỚ B CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP Dạng Tìm khoảng đơn điệu hàm số cho trước Dạng Xét tính đơn điệu dựa vào bảng biến thiên, đồ thị hàm số Dạng Tìm m để hàm số y = ax3 + bx2 + cx + d đơn điệu R 10 ax + b Dạng Tìm m để hàm y = đơn điệu khoảng xác định 12 cx + d Dạng Biện luận đơn điệu hàm đa thức khoảng, đoạn cho trước 14 Dạng Biện luận đơn điệu hàm phân thức khoảng, đoạn cho trước 17 Dạng Một số toán liên quan đến hàm hợp 18 Dạng Ứng dụng tính đơn điệu hàm số 21 C BÀI TẬP RÈN LUYỆN 25 D BÀI TẬP TỰ LUYỆN 34 Bài CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ 45 A LÝ THUYẾT CẦN NHỚ 45 B CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP 45 Dạng Ứng dụng đạo hàm (quy tắc 1) để tìm cực trị cực hàm số 45 Dạng Xác định cực trị biết bảng biến thiên đồ thị 48 Dạng Dạng Dạng Dạng Ứng dụng đạo hàm (quy tắc 2) để tìm cực trị cực hàm số 51 Tìm m để hàm số đạt cực trị điểm x0 cho trước 51 Biện luận cực trị hàm bậc ba y = ax3 + bx2 + cx + d 52 Biện luận cực trị hàm trùng phương y = ax4 + bx2 + c 55 C BÀI TẬP RÈN LUYỆN 57 D BÀI TẬP TỰ LUYỆN 67 Bài GIÁ TRỊ LỚN NHẤT - NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ 78 A LÝ THUYẾT CẦN NHỚ 78 B CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP 79 Dạng Tìm max – hàm số đoạn [a; b] cho cho trước 79 Dạng Tìm max – khoảng (a; b) cho trước 83 Dạng Một số toán ứng dụng thực tế 86 C BÀI TẬP RÈN LUYỆN 93 D BÀI TẬP TỰ LUYỆN 105 Trang ii Mục lục Bài ĐƯỜNG TIỆM CẬN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ 112 A LÝ THUYẾT CẦN NHỚ 112 B CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP 113 Dạng Tiệm cận đứng tiệm cận ngang đồ thị hàm số y = f (x) 113 Dạng Xác định TCN TCĐ biết bảng biến thiên hàm số y = f (x) 117 Dạng Một số toán biện luận theo tham số m 119 C BÀI TẬP RÈN LUYỆN 123 D BÀI TẬP TỰ LUYỆN 134 Bài ĐỒ THỊ CÁC HÀM SỐ THƯỜNG GẶP 143 A LÝ THUYẾT CẦN NHỚ 143 B C CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP 144 Dạng Nhận dạng đồ thị hàm bậc ba y = ax3 + bx2 + cx + d 144 Dạng Nhận dạng đồ thị hàm bậc bốn trùng phương y = ax4 + bx2 + c 148 ax + b Dạng Nhận dạng đồ thị hàm biến y = 151 cx + d BÀI TẬP RÈN LUYỆN LUYỆN 155 D BÀI TẬP TỰ LUYỆN 167 Bài ỨNG DỤNG ĐỒ THỊ ĐỂ BIỆN LUẬN NGHIỆM PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH 176 A LÝ THUYẾT CẦN NHỚ 176 B CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP 177 Dạng Giải, biện luận nghiệm phương trình phương pháp đồ thị 177 Dạng Giải, biện luận nghiệm bất phương trình phương pháp đồ thị 182 Dạng Một số toán liên quan đến hàm hợp 184 C BÀI TẬP TỰ LUYỆN 191 D BÀI TẬP TỰ LUYỆN 207 Bài SỰ TƯƠNG GIAO CỦA HAI ĐỒ THỊ 225 A LÝ THUYẾT CẦN NHỚ 225 B CÁC VÍ DỤ MINH HOẠ 225 Dạng Biện luận giao điểm đường thẳng đồ thị hàm số bậc ba 225 Dạng Biện luận giao điểm đường thẳng đồ thị hàm số trùng phương 230 ax + b Dạng Biện luận giao đường thẳng đồ thị hàm số y = 234 cx + d BÀI TẬP TỰ LUYỆN 239 C Bài TIẾP TUYẾN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ 252 A LÝ THUYẾT CẦN NHỚ 252 B CÁC VÍ DỤ MINH HOẠ 252 Dạng Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số y = f (x) điểm (x0 ; y0 ) cho trước 252 Dạng Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số y = f (x) biết hệ số góc tiếp tuyến k0 256 TRƯỜNG THPT NGUYỄN TẤT THÀNH Trang iii Mục lục Dạng Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số y = f (x), biết tiếp tuyến qua điểm A(x A ; y A ) 259 Dạng Bài tập tổng hợp 262 C BÀI TẬP RÈN LUYỆN 265 D BÀI TẬP TỰ LUYỆN 276 Ƅ LÊ QUANG XE - ĐT: 0967.003.131 PHẦN I ĐẠI SỐ ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM KHẢO SÁTChûúng VÀỨNG VẼ ĐỒ THỊ HÀM DỤNG ĐẠOSỐ HÀM KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ §1 SỰ ĐỒNG BIẾN NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ A LÝ THUYẾT CẦN NHỚ Định nghĩa tính đơn điệu hàm số Định nghĩa 1.1 Cho hàm số y = f (x) xác định (a; b) Khi y Hàm số đồng biến (a; b) f (x2 ) ∀ x1 , x2 ∈ (a; b) : x1 < x2 ⇒ f (x1 ) < f (x2 ) — Trên khoảng (a; b), đồ thị "đường lên" xét từ trái sang phải f (x1 ) O x1 x2 x x1 x2 x y f (x1 ) Hàm số nghịch biến (a; b) f (x2 ) ∀ x1 , x2 ∈ (a; b) : x1 < x2 ⇒ f (x1 ) > f (x2 ) — Trên khoảng (a; b), đồ thị "đường xuống" xét từ trái sang phải O Các tính chất thường dùng cho hàm đơn điệu Tính chất 1.1 Cho hàm số y = f (x) đồng biến khoảng (a; b) Xét m, n ∈ (a; b) ① Nếu f (m) = f (n) m = n ② Nếu f (m) > f (n) m > n ③ Nếu f (m) < f (n) m < n ④ Với k ∈ R, phương trình f (x) = k có khơng q nghiệm thực (a; b) Cho hàm số y = f (x) nghịch biến khoảng (a; b) Xét m, n ∈ (a; b) ① Nếu f (m) = f (n) m = n ② Nếu f (m) > f (n) m < n ③ Nếu f (m) < f (n) m > n ④ Với k ∈ R, phương trình f (x) = k có khơng q nghiệm thực (a; b) Ƅ LÊ QUANG XE - ĐT: 0967.003.131 Trang Chương ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ Liên hệ đạo hàm tính đơn điệu Định nghĩa 1.2 Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm khoảng (a; b) ① Nếu y ≥ 0, ∀ x ∈ (a; b) y = f (x) đồng biến (a; b) ② Nếu y ≤ 0, ∀ x ∈ (a; b) y = f (x) nghịch biến (a; b) Dấu xảy điểm "rời nhau" B CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP Dạng Tìm khoảng đơn điệu hàm số cho trước a) Tìm tập xác định D hàm số b) Tính y , giải phương trình y = tìm nghiệm xi (nếu có) c) Lập bảng xét dấu y miền D Từ dấu y , ta suy chiều biến thiên hàm số ○ Khoảng y mang dấu −: Hàm nghịch biến ○ Khoảng y mang dấu +: Hàm đồng biến Ví dụ Cho hàm số y = − x3 + 3x2 + Khẳng định sau đúng? A Hàm số đồng biến khoảng (0; 2) B Hàm số đồng biến khoảng (−∞; 0) C Hàm số đồng biến khoảng (2; +∞) D Hàm số nghịch biến khoảng (0; 2) đ Ta có y = −3x2 + 6x, y = ⇔ ɓ Lời giải x=0 x = Bảng biến thiên x −∞ − y +∞ +∞ + − y −∞ Từ bẳng biến thiên ta hàm số đồng biến khoảng (0; 2) Chọn đáp án A Ví dụ Cho hàm số y = x3 + 3x2 − Mệnh đề đúng? A Hàm số nghịch biến khoảng (1; 5) TRƯỜNG THPT NGUYỄN TẤT THÀNH Trang SỰ ĐỒNG BIẾN NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ B Hàm số đồng biến khoảng (−∞; 1) (2; +∞) C Hàm số nghịch biến khoảng (−∞; −2) (0; +∞) D Hàm số đồng biến khoảng (−∞; −2) (0; +∞) ɓ Lời giải ñ x = −2 x = x y −∞ Ta có y = 3x2 + 6x, y = ⇔ Bảng biến thiên y + −2 − 0 +∞ + +∞ −∞ −2 Vậy hàm số đồng biến khoảng (∞; −2) (0; +∞) Chọn đáp án D Ví dụ Hàm số Å y = − x ã+ 2x − 2x − Å nghịchãbiến khoảng sau đây? 1 A −∞; − B − ; +∞ C (−∞; 1) D (−∞; +∞) 2 ɓ Lời giải Tập xác định hàm số D = R x=−  y = −4x + 6x − 2, y = ⇔ x=1 Bảng xét dấu f (x) x −∞ f (x) − + +∞ − − Å ã Từ bảng xét dấu f (x) suy hàm số nghịch biến khoảng − ; +∞ Chọn đáp án B Ví dụ Hàm số y = x4 + 8x3 + nghịch biến khoảng đây? A (0; +∞) B (−∞; −6) C (−6; 0) ɓ Lời giải Ƅ LÊ QUANG XE - ĐT: 0967.003.131 D (−∞; +∞) Trang Chương ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ Ta có y =đ4x3 + 24x2 = 4x2 (x + 6) x=0 y =0⇔ x = −6 Bảng biến thiên x −∞ −6 − y +∞ + + +∞ +∞ y y(−6) Nhìn bảng biến thiên ta thấy hàm số nghịch biến khoảng (−∞; −6) Chọn đáp án B Ví dụ Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm f (x) = x2 + 1, ∀ x ∈ R Mệnh đề đúng? A Hàm số nghịch biến khoảng (−∞; 0) B Hàm số nghịch biến khoảng (1; +∞) C Hàm số nghịch biến khoảng (−1; 1) D Hàm số đồng biến khoảng (−∞; +∞) ɓ Lời giải Ta có f (x) > 0, ∀ x ∈ R nên hàm số đồng biến khoảng (−∞; +∞) Chọn đáp án D Ví dụ x+3 Khẳng định sau đúng? x−3 A Hàm số đồng biến khoảng (−∞; 3) (3; +∞) B Hàm số nghịch biến khoảng (−∞; 3) (3; +∞) Cho hàm số y = C Hàm số nghịch biến R \ {3} D Hàm số đồng biến R \ {3} ɓ Lời giải −6 > ∀ x ∈ (−∞; 3) ∪ (3; +∞) (x − 3)2 Do đó, hàm số nghịch biến khoảng (−∞; 3) (3; +∞) Hàm số cho có tập xác định (−∞; 3) ∪ (3; +∞), y = Chọn đáp án B TRƯỜNG THPT NGUYỄN TẤT THÀNH Trang 274 Chương ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ Tiếp tuyến ∆ đồ thị (C) M có phương trình : y = y (0) · (x − 0) − ⇔ y = −3x − Đường tiệm cận đứng đồ thị (C) d1 : x = ⇒ ∆ ∩ d1 = A(1; −4) Đường tiệm cận ngang đồ thị (C) d2 : y = ⇒ ∆ ∩ d2 = B(−1; 2) Ta có I(1; 2) ⇒ I A = IB = Do I AB vuông I, suy S I AB = I A · IB = Chọn đáp án A Câu 27 Đồ thị hàm số y = x4 − 2x2 có tiếp tuyến song song với trục Ox A B C D ɓ Lời giải đ Ta có y = 4x3 − 4x, y = ⇔ x=0 x = ±1 ○ Với x = ⇒ y = 0, phương trình tiếp tuyến y = ( trường hợp loại trùng trục Ox) ○ Với x = ⇒ y = −1, phương trình tiếp tuyến y = −1 ○ Với x = −1 ⇒ y = −1, phương trình tiếp tuyến y = −1 Vậy có tiếp tuyến y = −1 thỏa mãn yêu cầu toán Chọn đáp án C Câu 28 Cho hàm số y = x3 − 3x2 có đồ thị (C) điểm A(0; a) Gọi S tập hợp tất giá trị thực a để có hai tiếp tuyến (C) qua A Tích giá trị phần tử S A B −1 C D ɓ Lời giải Gọi M(x0 ; y0 ) điểm thuộc đồ thị (C) Khi tiếp tuyến (C) M có phương trình ∆ : y = (3x02 − 6x0 )(x − x0 ) + (x03 − 3x02 ) Để có hai đường tiếp tuyến ∆ qua A phương trình ẩn x0 sau có hai nghiệm phân biệt a = (3x02 − 6x0 )(0 − x0 ) + (x03 − 3x02 ) ⇔ a = −3x03 + 6x02 + x03 − 3x02 ⇔ a = −2x03 + 3x02 (1) Để (1) có hai nghiệm a giá trị cực tiểu cực đại hàm số f (x) = −2x3 + 3x2 Như a = a = Nên S = Chọn đáp án C Câu 29 x − x có đồ thị (C) Có điểm A thuộc (C) cho tiếp tuyến (C) A cắt (C) hai điểm phân biệt M(x1 ; y1 ), N(x2 ; y2 ) (M, N khác A) thỏa mãn y1 − y2 = 6(x1 − x2 )? A B C D Cho hàm số y = ɓ Lời giải TRƯỜNG THPT NGUYỄN TẤT THÀNH Trang 275 TIẾP TUYẾN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ Tập xác định D = R Nhận xét hàm số trùng phương có hệ số a > x=0 √  Ta có y = x3 − 7x nên suy hàm số có điểm cực trị x = − √ x = Phương trình tiếp tuyến A(x0 ; y0 ) (là đường thẳng qua hai điểm M, N) có hệ số góc: y − y2 = k= x1 − x2 Do để tiếp tuyến A(x0 ; y0 ) có hệ số góc √k = > cắt (C) hai điểm phân biệt √ 21 M(x1 ; y1 ), N(x2 ; y2 ) − < x0 < x0 = − (hoành độ điểm uốn)  x0 = −2  Ta có phương trình: y (x0 ) = ⇔ x03 − 7x0 − = ⇔ x0 = −1 x0 = (loại) Vậy có điểm A thỏa yêu cầu Chọn đáp án A  Câu 30 Cho hàm số f (x) = x3 + 6x2 + 9x + có đồ thị (C) Tồn hai tiếp tuyến (C) phân biệt có hệ số góc k, đồng thời đường thẳng qua tiếp điểm hai tiếp tuyến cắt trục Ox, Oy tương ứng A B cho OA = 2017 · OB Hỏi có giá trị k thoả mãn yêu cầu toán? A B C D ɓ Lời giải Gọi M1 x1 ; f (x1 ) ; M2 x2 ; f (x2 ) hai tiếp điểm mà tiếp tuyến có hệ số góc Ta có y = 3x2 + 12x + Khi k = 3x12 + 12x1 + = 3x22 + 12x2 + ⇔ (x1 − x2 ) (x1 + x2 + 4) = ⇔ x1 + x2 = −4 (1) OA f (x2 ) − f (x1 ) =± = Hệ số góc đường thẳng M1 M2 k = ± OB 2017 x2 − x1  2016 =P x x =  2017 = (x1 + x2 )2 − x1 x2 + 6(x1 + x2 ) ⇔  (2) ⇔± 2018 2017 x1 x2 = =P 2017   x1 + x2 = −4 = S Với có S2 > 4P nên tồn hai cặp x1 , x2 ⇒ tồn giá trị k  x1 x2 = 2016 = P 2017   x1 + x2 = −4 = S Với có S2 > 4P nên tồn hai cặp x1 , x2 ⇒ tồn giá trị k  x1 x2 = 2018 = P 2017 Vậy có giá trị k thoả mãn yêu cầu toán Chọn đáp án C —-HẾT—- Ƅ LÊ QUANG XE - ĐT: 0967.003.131 Trang 276 Chương ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ D BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số y = x4 − 8x2 + điểm M có hoành độ −1 A y = 12x + 14 B y = 12x − 14 C y = 12x + 10 D y = −20x − 22 ɓ Lời giải Gọi M(x0 ; y0 ) tiếp điểm đồ thị tiếp tuyến cần tìm Ta có x0 = −1 ⇒ y0 = 2; hệ số góc k = y (−1) = 12 Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm y = 12(x + 1) + = 12x + 14 Chọn đáp án A Bài Cho hàm số y = x3 + x2 − 2x + có đồ thị (C) Phương trình tiếp tuyến (C) điểm Å ã M 1; 2 A y = 3x − B y = x− C y = −3x + D y = −x + 3 ɓ Lời giải Ta có y = x2 + 2x − ⇒ f (1) = Vậy phương trình tiếp tuyến y = 1(x − 1) + ⇔ y = x− 3 Chọn đáp án B Bài Hệ số góc tiếp tuyến đồ thị hàm số y = A B 2x + điểm có hồnh độ x = −1 x+2 C D ɓ Lời giải Hệ số góc tiếp tuyến đồ thị điểm có hồnh độ x = −1 y (−1) = (x + 2)2 Chọn đáp án D Ta có y = Bài Phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số y = A y = 3x + 13 B y = −3x − x−1 điểm có hồnh độ −3 x+2 C y = 3x + D y = −3x + 13 ɓ Lời giải Tập xác định D = R \ {−2} Đạo hàm y = (x + 2)2 Ta có x0 = −3 ⇒ y0 = 4, y (−3) = Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm y = 3(x + 3) + hay y = 3x + 13 Chọn đáp án A TRƯỜNG THPT NGUYỄN TẤT THÀNH Trang 277 TIẾP TUYẾN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ Bài 2x có đồ thị (C) Viết phương trình tiếp tuyến (C), biết tiếp tuyến x+2 tạo với hai trục tọa độ tam giác có diện tích ? 18 Cho hàm số y = x+ C y = x+ A y= ;y = x+ 9 31 ;y = x+ 9 x+ D y = x+ B y= ;y = x+ ;y = x+ ɓ Lời giải Ta có: y = (x + 2)2 Gọi M x0 ; y0 (x0 = −2) tiếp điểm tiếp tuyến cần tìm với đồ thị (C) Khi 2x02 2x0 4x phương trình tiếp tuyến y = + − x = + (d) ) (x 2 x + + 2) + 2) + 2) (x (x (x 0 0 å Ç å Ç x 2x02 ; B − 0;0 (d) cắt hai trục tọa độ A 0; 2 (x0 + 2)  x0 = x0 1 2  nên = ⇔ 3x0 = (x0 + 2) ⇔ Vì tam giác OAB có diện tích 18 (x0 + 2)2 x0 = − Do phương trình tiếp tuyến: y = x + ; y = x + 9 Chọn đáp án A Bài Cho đồ thị (C) hàm số y = x3 − 3x + Số tiếp tuyến với đồ thị (C) mà tiếp tuyến vng góc với đường thẳng d : y = − x + A B C D ɓ Lời giải y = 3x2 − Tiếp tuyến vng góc với đường thẳng d : y = − x + có hệ số góc k = 3 √ Hoành độ tiếp điểm nghiệm phương trình y = k ⇔ 3x2 − = ⇔ x = ± Vậy có tiếp tuyến thỏa mãn Chọn đáp án B Bài Cho hàm số y = x−1 x+2 (C) với trục Ox 1 A y = x− 3 có đồ thị (C) Tìm phương trình tiếp tuyến (C) giao điểm B y = 3x − C y = 3x ɓ Lời giải Phương trình hồnh độ giao điểm (C) trục hoành ⇒ giao điểm M(1; 0) Ƅ LÊ QUANG XE - ĐT: 0967.003.131 D y = x − x−1 =0⇒x=1 x+2 Trang 278 Chương ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ Ta có y = ⇒ y (1) = (x + 2) Vậy phương trình tiếp tuyến điểm M(1; 0) là: y = 1 x− 3 Chọn đáp án A Bài Tìm m để tiếp tuyến đồ thị hàm số y = x3 − mx2 + (2m − 3)x − có hệ số góc dương A m = B m > C m = D m ∈ ∅ ɓ Lời giải Hệ số góc tiếp tuyến đồ thị hàm số y = x3 − mx2 + (2m − 3)x − tiếp điểm M(x0 ; y0 ) y (x0 ) = 3x02 − 2mx0 + 2m − ® 3>0 Hệ số góc ln dương ⇔ y (x0 ) > 0, ∀ x0 ∈ R ⇔ ⇔ (m − 3)2 < ⇔ m ∈ ∅ ∆ 0 3m + 8m − 16 > ⇔ ⇔ m>  + 2(4 − 3m) + − 6m = m=2   m = Kết hợp với m nguyên thuộc khoảng (2; 5) nên m nguyên thuộc khoảng (2; 5) Vậy S = {3; 4} Tổng tất phần tử nguyên S Chọn đáp án A Bài 18 Cho hàm số y = x4 − 4x2 + có đồ thị (C) Có điểm trục tung từ vẽ tiếp tuyến đến đồ thị (C) A B C D ɓ Lời giải Tập xác định D = R Đạo hàm y = 4x3 − 8x Gọi điểm nằm trục tung có dạng M(0; m) Phương trình tiếp tuyến (C) có dạng ∆ : y (x0 )(x − x0 ) + y0 ; với (x0 ; y0 ) tiếp điểm Khi ∆ : y = (4x03 − 8x0 )(x − x0 ) + x04 − 4x02 + Mà ∆ qua M nên (4x03 − 8x0 )(− x0 ) + x04 − 4x02 + = m ⇔ −3x04 + 4x02 + − m = ( ) Từ M kẻ tiếp tuyến tới (C) nghĩa phương trình ( ) có nghiệm phân biệt Từ −3t2 + 4t + − m = có nghiệm t1 = t2 > 0, suy m = Chọn đáp án D Ƅ LÊ QUANG XE - ĐT: 0967.003.131 Trang 282 Chương ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ Bài 19 Cho hàm số y = x3 + 3x2 (C) Tiếp tuyến d đồ thị hàm số (C) cắt (C) điểm A, B phân biệt cách trục tung Tính độ dài AB √ √ √ A 82 B 2 C 15 D ɓ Lời giải 3x2 Ta có y = + 6x Tiếp tuyến d cắt (C) hai điểm phân biệt A, B suy A B tiếp điểm, không tổng quát ta giả sử A tiếp điểm Phương trình tiếp tuyến điểm A(x0 ; y0 ) có dạng y = (3x02 + 6x0 )(x − x0 ) + x03 + 3x02 Phương trình hồnh độ giao điểm d (C) x3 + 3x2 = (3x02 + 6x0 )(x − x0 ) + x03 + 3x02 ⇔ (x − x0 )2 (x + 2x0 − 3) = ñ x = x0 ⇔ x = − 2x0 Hai điểm A √ B cách trục √ tung suy x0 + − 2x0 = ⇔ x0 = Do A(3; 54), B(−3; 0), 2 AB = + 54 = 82 Chọn đáp án A Bài 20 Cho hàm số y = f (x) = ax3 + bx2 + cx + d (a, b, c, d số a = 0) có đồ thị (C) Biết (C) cắt trục hoành điểm phân biệt M, N, P tiếp tuyến (C) M, N có hệ số góc −6 Gọi k hệ số góc tiếp tuyến (C) P Chọn mệnh đề đúng? A k ∈ [4; 7) B k ∈ [−5; −2) C k ∈ [1; 4) D k ∈ [−2; 1) ɓ Lời giải Gọi x1 , x2 , x3 hoành độ M, N, P Khi đó, x1 , x2 , x3 nghiệm phương trình ax3 + bx2 + cx + d = Suy ra, f (x) = a(x − x1 )(x − x2 )(x − x3 ) Do đó, f (x) = a(x − x1 )(x − x2 ) + a(x − x2 )(x − x3 ) + a(x − x3 )(x − x1 ) Hệ số góc tiếp tuyến (C) M, N, P    f (x1 ) = a(x1 − x2 )(x1 − x3 ) = −6 f (x2 ) = a(x2 − x3 )(x2 − x1 ) =   f (x3 ) = a(x3 − x1 )(x3 − x2 ) = k 1 x − x2 + x1 − x3 + x2 − x1 + + = = f (x1 ) f (x2 ) f (x3 ) a(x1 − x2 )(x2 − x3 )(x3 − x1 ) 1 Hay + + = ⇔ k = −3 −6 k Vậy k ∈ [−5; −2) Chọn đáp án B Ta có Bài 21 Cho hàm số y = x−1 , gọi d tiếp tuyến với đồ thị hàm số điểm có hồnh độ x+2 TRƯỜNG THPT NGUYỄN TẤT THÀNH Trang 283 TIẾP TUYẾN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ m − Biết đường thẳng d cắt tiệm cận đứng đồ thị hàm số điểm A(x1 ; y1 ) cắt tiệm cận ngang đồ thị hàm số điểm B(x2 ; y2 ) Gọi S tập hợp số m cho x2 + y1 = −5 Tính tổng bình phương phần tử S A B C 10 D ɓ Lời giải 3 Ta có y = Với x = m − y = − Phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số m (x + 2) 3 điểm có hồnh độ x = m − d : y = (x − m + 2) + − m m Tiệm cận ngang tiệm cận đứng đồ thị hàm số y = x = −2 Tọa độ A nghiệm hệ   y = − y = (x − m + 2) + − m ⇔ m ⇒ y1 = − m2   m x = −2 x = −2 Tọa độ điểm B nghiệm hệ  ® y = (x − m + 2) + − y=1 m ⇔ m2 ⇒ x2 = 3m −  x = 2m − y=1 ñ m1 = Vậy x2 + y1 = 2m − − = −5 ⇔ 2m2 + 4m − = ⇔ ⇒ m21 + m22 = 10 m m2 = −3 Chọn đáp án C Bài 22 −2x − có đồ thị hàm số (C) Xét điểm M x0 ; y0 thuộc đồ thị (C) có x+3 x0 > −3 Tiếp tuyến ∆ (C) điểm M cắt đường tiệm cận đứng, tiệm cận ngang (C) E F Tính 2x0 − y0 độ dài EF đạt giá trị nhỏ A 2x0 − y0 = B 2x0 − y0 = C 2x0 − y0 = −3 D 2x0 − y0 = −2 Cho hàm số y = ɓ Lời giải Tập xác định:D = R \ {−3} −4 −4 −2x0 − ⇒ phương trình tiếp tuyến M ∆ : y = Ta có y = (x − x0 ) + 2 x0 + (x + 3) (x0 + 3) Các đường thẳng y = −2 x = −3 đường tiệm cận ngang tiệm cận đứng Å Theo giả thiết, ã −2x0 + E, F giao điểm ∆ với đường tiện cận đứng tiệm cận ngang Do đó, E −3; x0 + F (2x0 + 3; −2)   64 64 2 ⇒ EF = (x0 + 3) + ≥ ·4 (x0 + 3)2 · = 32 ⇒ 2 + 3) (x0 + 3) (x ñ √ x0 = −1 64 ⇒ EF = ⇔ (x0 + 3) = ⇔ x0 = −5 (x0 + 3) Vì x0 > −3 nên ta có M (−1; 0) ⇒ 2x0 − y0 = −2 Chọn đáp án D Ƅ LÊ QUANG XE - ĐT: 0967.003.131 Chương ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ Trang 284 Bài 23 x−1 d1 , d2 hai tiếp tuyến (C) song song với Khoảng cách 2x lớn d1 d2 √ √ A B C D 2 Cho đồ thị (C) : y = ɓ Lời giải x−1 , y = với x = 2x 2x d1 ; d2 hai tiếp tuyến (C) song song với ñ có hồnh độ tiếp điểm x1 , x2 (x1 = x1 = x2 1 ⇒ x1 = − x2 x2 ), nên ta có y (x1 ) = y (x2 ) ⇔ = ⇒ x = − x2 2x1Å 2x2 ã x −1 1 x −1 Phương trình tiếp tuyến d1 M x1 ; :y = ⇔ (x − x1 ) + (x − x1 ) − y + 2x1 2x1 2x1 2x12 x1 − = 2x1 x =  Khi d(d1 ;d2 ) = d(N;d1 ) =   1 +1 4x1 + x1 4x14   4 Áp dụng BĐT Cơ-si ta có   ≥ 4x12 = ⇒ d(d1 ;d2 ) =   ≤ = 2 x1 1 4x12 + 4x12 + x1 x1 Do (C) : y = Chọn đáp án C Bài 24 x+1 (C) điểm có tung độ dương, đồng thời x+2 (T) cắt hai đường tiệm cận (C) A B cho độ dài AB nhỏ Khi (T) tạo với hai trục tọa độ tam giác có diện tích bao nhiêu? 25 A B C D 2 Gọi (T) tiếp tuyến đồ thị hàm số y = ɓ Lời giải Đồ thị hàm số có đường tiệm cận ngang y = đường tiệm cận đứng x = −2 Gọi A giao điểm (T) đường tiệm cận đứng, B giao điểm (T) đường tiệm cận ngang x0 + Phương trình tiếp tuyến có dạng y = (x − x ) + x0Å+ (x0 + 2)2 ã x0 + x0 A(−2; y A ) ∈ (T) ⇒ y A = (−2 − x0 ) + ⇒ A −2; x0 + x0 + (x0 + 2)2 x0 + 1 B(x B ; 1) ∈ (T) ⇒ = (x B − x0 ) + ⇔ x B = 2x0 + ⇒ B(2x0 + 2; 1) x0 + (x0 + 2) √ √ AB2 = 4(x0 + 2)2 + ≥ 16 = 8, AB = 2 | x0 + 2| = ⇔ x0 = −1(loại), x0 = (x0 + 2)2 −3 Phương trình (T) : y = x + suy (T) tạo với trục tọa độ tam giác có diện tích 25 Chọn đáp án C TRƯỜNG THPT NGUYỄN TẤT THÀNH Trang 285 TIẾP TUYẾN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ Bài 25 Đồ thị (C) hàm số y = x3 − 3x có hai điểm cực trị A, B; tiếp tuyến (C) M(a; b) cắt (C) điểm thứ hai N (N khác M) tam giác N AB có diện tích 60 Tính | a + b| A B C D 56 ɓ Lời giải ñ x = −1 Suy tọa độ hai điểm cực trị đồ thị hàm số A(−1; 2), B(1; −2) x=1 Phương trình tiếp tuyến (C) M y = (3a2 − 3)(x − a) + a3 − 3a Phương trình hồnh độ giao điểm (C) tiếp tuyến y = 3x2 − = ⇔ ñ 3 (3a − 3)(x − a) + a − 3a = x − 3x ⇔ (x − a) (x + 2a) = ⇔ x=a x = −2a Do x N = −2a ⇒ y N = −8a3 + 6a ⇒ N(−2a; −8a3 + 6a) # » # » Suy AB = (2; −4) AN = (1 − 2a; −8a3 + 6a − 2) ñ a=2 Vậy ta có 60 = S ABN = 2(−8a3 + 6a − 2) − (−4)(1 − 2a) = |2a − 8a3 | ⇒ a = −2 Nếu a = b = Suy | a + b| = Nếu a = −2 b = −2 Suy | a + b| = Chọn đáp án C Bài 26 Cho hàm số y = x(x2 − 3) có đồ thị (C) Có điểm M thuộc đồ thị (C) thỏa mãn tiếp tuyến M (C) cắt (C) trục hoành hai điểm phân biệt A (khác M) B cho M trung điểm đoạn thẳng AB A B C D ɓ Lời giải x(x2 x3 3x2 Ta có y = − 3) = − 3x ⇒ y = − Vì diểm M điểm A thuộc (C) nên ta gọi tọa độ hai điểm M(x M ; x3M − 3x M ) A(x A ; x3A − 3x A ) Điểm B nằm trục hồnh nên ta gọi điểm B có tọa độ B(x B ; 0) Phương trình tiếp tuyến (C) điểm M d : y = 3(x2M − 1)(x − x M ) + x3M − 3x M Nếu x M = ±1 M có hai tiếp tuyến với (C) y = y = −2 (không thỏa mãn đề bài) − x3M + 3x M 2x2M = Vì B ∈ d nên = 3(x2M − 1)(x B − x M ) + x3M − 3x M ⇒ x B = x M + 3(x2M − 1) 3(x2M − 1) Vì A ∈ d nên x3A − 3x A = 3(x2M − 1)(x A − x M ) + x3M − 3x M ⇔ x3A − 3x A = 3(x2M − 1)x A − 2x3M ⇔ x3A − 3x A = 3x2M x A − 3x A − 2x3M x A = −2  xM 3 ⇔ x A − 3x M x A + 2x M = ⇒  x A =1 xM Ƅ LÊ QUANG XE - ĐT: 0967.003.131 Trang 286 Chương ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ Xét trường hợp x A = −2x M Vì M trung điểm AB nên ta có x A + x B = 2x M ⇒ x B = 4x M ⇔ 2x2M = 4x M 3(x2M − 1) ⇒ 2x2M = 12x M (x2M − 1) ⇔ 2x M (−6x2M + x M + 6) = Nếu x M = ⇒ x A = 0, suy điểm A trùng điểm M nên trường hợp bị loại Phương trình −6x2M + x M + = có hai nghiệm phân biệt nên tồn hai điểm M thỏa mãn yêu cầu toán Xét trường hợp x A = x M , suy điểm A trùng điểm M nên trường hợp bị loại Vậy có hai điểm M thỏa mãn yêu cầu toán Chọn đáp án C Bài 27 2x , có đồ thị (C) điểm M(x0 ; y0 ) ∈ (C) (với x0 = 0) Biết khoảng x+2 cách từ I(−2; 2) đến tiếp tuyến (C) M lớn nhất, mệnh đề sau đúng? A 2x0 + y0 = B 2x0 + y0 = −4 C 2x0 + y0 = D 2x0 + y0 = −2 Cho hàm số y = ɓ Lời giải ã Ta có: y = f (x) = Å 2x0 x0 + Phương trình tiếp tuyến (C) M Do M(x0 ; y0 ) ∈ (C) ⇒ M x0 ; 2x ⇒ f (x) = x+2 (x + 2)2 (∆) : y = f (x0 ) · (x − x0 ) + y0 4x0 2x0 =0 ·x−y− + ⇔ (∆) : 2 x0 + (x0 + 2) (x0 + 2) 2x02 ⇔ (∆) : ·x−y+ =0 (x0 + 2)2 (x0 + 2)2 Ta có 2x02 · ( − 2) − − (x0 + 2)2 (x0 + 2)2  Å d(I, (∆)) = ã2 + (−1)2 (x0 + 2)2 −8(x0 + 2) | x0 + 2| (x0 + 2) = =   16 + (x0 + 2)4 16 + (x0 + 2)4 (x0 + 2)2 (x0 + 2)4 8| x0 + 2| = 16 + (x0 + 2)4 Đặt | x0 + 2| = t, t ≥ Khi d(I, (∆)) = √ 8· g (t) = Xét √ 8t 16 + t4 16 + t4 −√ = g(t) Ta có 2t3 16 + t4 16 + t4 · 8t 128 − 8t4 = √ 16 + t4 128 − 8t4 g (t) = ⇔ √ = ⇔ 128 − 8t4 = ⇒ t = (do t ≥ 0) 16 + t4 TRƯỜNG THPT NGUYỄN TẤT THÀNH Trang 287 TIẾP TUYẾN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ ñ ñ x0 + = x0 = (loại) Suy | x0 + 2| = ⇔ ⇔ x0 + = −2 x0 = −4 (nhận) · (−4) = Với x0 = −4 ⇒ y0 = −4 + Do 2x0 + y0 = −4 Chọn đáp án B Bài 28 −x + có đồ thị (C) đường thẳng (d) : y = x + m Với giá trị m 2x − đường thẳng (d) cắt đồ thị (C) hai điểm phân biệt A B Gọi k1 , k2 hệ số góc tiếp tuyến với (C) A B Giá trị nhỏ T = k2020 + k2020 1 A B C D Cho hàm số y = ɓ Lời giải Phương trình hồnh độ giao điểm (C) (d) Å ã −x + 1 = x + m ⇔ 2x + 2mx − m − = 0, x = 2x −   x1 + x2 = − m (2) Gọi x1 , x2 nghiệm phương trình (1), ta có  x1 x2 = − m +    k = − (2x1 − 1)2 Ta   k = − (2x2 − 1)2 Ta thấy = ≥ = = (1) k2020 + k2020 1 + 4040 (2x1 − 1) (2x2 − 1)4040   1 · 4040 (2x1 − 1) (2x2 − 1)4040 [(2x1 − 1)(2x2 − 1)]2020 [4x1 x2 − 2(x1 + x2 ) + 1]2020 (2) = Vậy giá trị nhỏ T Chọn đáp án B Bài 29 Cho hàm số y = x3 − 3x2 + 6x − Trong tiếp tuyến đồ thị Tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ A B C −1 D ɓ Lời giải Ƅ LÊ QUANG XE - ĐT: 0967.003.131 Chương ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ Trang 288 Ta có y = 3x2 − 6x + nên y = y (1) = Chọn đáp án D ——HẾT—— TRƯỜNG THPT NGUYỄN TẤT THÀNH ... ĐƯỜNG TIỆM CẬN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ 112 A LÝ THUYẾT CẦN NHỚ 112 B CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG... 144 Dạng Nhận dạng đồ thị hàm bậc ba y = ax3 + bx2 + cx + d 144 Dạng Nhận dạng đồ thị hàm bậc bốn trùng phương y = ax4 + bx2 + c 148 ax + b Dạng. .. b) y = f (x) nghịch biến (a; b) Dấu xảy điểm "rời nhau" B CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP Dạng Tìm khoảng đơn điệu hàm số cho trước a) Tìm tập xác định D hàm số b) Tính y , giải phương trình y = tìm