Tài liệu Giáo trình: Toán kinh tế pptx

HC VIN CÔNG NGH BU CHÍNH VIN THÔNG TOÁN KINH T (Dùng cho sinh viên h đào to đi hc t xa) Lu hành ni b HÀ NI - 2007 HC VIN CÔNG NGH BU CHÍNH VIN THÔNG TOÁN KINH T Biên son : PGS.TS. NGUYN QUNG TS. NGUYN THNG THÁI LI NÓI U Nhm đáp ng nhu cu ging dy và hc tp môn hc Toán kinh t dành cho sinh viên h đào to đi hc t xa, Hc vin Công ngh Bu chính Vin thông (Hc vin) t chc biên son tp Sách hng dn hc tp (Sách HDHT) môn hc Toán kinh t theo đúng chng trình đào to C nhân ngành Qun tr kinh doanh ca Hc vin. Tp sách đc biên so n trên c s k tha, chn lc b sung tp giáo trình Toán chuyên ngành đã đc Nhà xut bn Bu đin n hành vào tháng 9 nm 2003 và các bài ging Toán kinh t đã đc s dng, ging dy cho chng trình đào to đi hc chính quy ngành Qun tr Kinh doanh ti Hc vin. Ni dung tp sách đc cu trúc gm 7 chng: Chng 1. Các kin thc m đ u v phng pháp ti u Chng 2. Mô hình ti u tuyn tính Chng 3. Mt s mô hình ti u tuyn tính khác Chng 4. Các bài toán ti u trên mng. Chng 5. Phng pháp mô hình hoá và mô hình toán kinh t. Chng 6. Lý thuyt Phc v đám đông Chng 7. Lý thuyt qun lý d tr.  to điu kin thun li cho sinh viên có kh nng t hc, t nghiên cu, các tác gi không đ i sâu vào các vn đ lý lun và k thut toán hc phc tp, mà ch tp trung trình bày, gii thiu nhng kin thc c bn ch yu thit thc và cp nht, làm c s cho vic hc tp nghiên cu phân tích kinh t nói chung và hc tp các môn chuyên ngành Qun tr kinh doanh.  cui mi chng, sau phn khái quát và tóm tt các vn đ c bn, ch yu ca lý thuyt, các tác gi đa ra các bài tp mu và phân tích cách gii đ ngi hc có th t gii đc nhng bài toán liên quan đn lý lun đã hc. Phn bài tp cui mi chng cng s giúp ngi hc t nghiên cu, vn dng các lý lun đã hc vào phân tích, lý gii các ni dung thc tin liên quan. Mc dù các tác gi đã đu t nghiên cu chn lc biên son nghiêm túc đ đáp ng yêu c u ging dy và hc tp ca môn hc, nhng chc tp sách s không tránh khi nhng thiu sót nht đnh. Các tác gi rt mong nhn đc s góp ý ca bn bè đng nghip, bn đc và các bn sinh viên đ ln xut bn sau đc hoàn thin hn. CÁC TÁC GI Chng I: Mt s kin thc m đu 3 CHNG I: MT S KIN THC M U 1.1. I TNG NGHIÊN CU CA MÔN HC 1.1.1. Tng quan v ti u hoá. Trong hot đng thc tin, nht là trong quá trình qun lý, điu khin h thng kinh t - xã hi, chúng ta luôn mong mun đt đc kt qu tt nht theo các tiêu chun nào đó. Tt c nhng mong mun đó thng là li gii ca nhng bài toán ti u nào đó. Mi vn đ khác nhau ca thc t dn đn các bài toán ti u khác nhau.  gii các bài toán đó, m t lot các lý thuyt toán hc ra đi đ đt c s lý lun, đ đa ra các gii pháp tìm li gii, chng minh tính hi t, tính kh thi ca các bài toán thc t v.v. T đó hình thành mt lp các phng pháp toán hc giúp ta tìm ra li gii tt nht cho các bài toán thc t, gi là các phng pháp ti u hóa. Lp các phng pháp ti u hóa bao gm nhiu lý thuyt toán hc khác nhau, tiêu biu là: Qui hoch toán h c, lý thuyt trò chi, lý thuyt đ th v.v. Trong qui hoch toán hc, tiêu biu là Qui hoch tuyn tính, Qui hoch phi tuyn, Qui hoch đng, Quy hoch tham s, Qui hoch nguyên v.v. Trong lý thuyt trò chi, tiêu biu là Lý thuyt la chn quyt đnh, Bài toán trò chi chin lc, bài toán trò chi vi phân v.v. Trong Lý thuyt đ th có các bài toán ti u trên mng, bài toán PERT, Các bài toán đng đi v.v. Các lp phng pháp toán hc thuc Lý thuyt ti u có th biu din b i s đ sau: Lý thuyt ti u Các phng pháp ti u Mô hình ti u Quy hoch toán hc Lý thuyt đ th Lý thuyt trò chi Mô hình toán kinh t Mô hình phc v đám đông Mô hình qun lý d tr . . . 1 2 3 Quy hoch toán hc Quy hoch tuyn tính Quy hoch phi tuyn Quy hoch đng Quy hoch tham s . 1 Chng I: Mt s kin thc m đu 4 1.1.2. Bài toán ti u tng quát. Bài toán quy hoch toán hc tng quát đc phát biu nh sau: Cc đi hóa (cc tiu hóa) hàm f (x) → max (min) (1.1) Vi các điu kin: g i (x) ≤ (=, ≥ ) b i (i = m,1 ) (1.2) x ∈ X. ⊂ IR n . (1.3) Hàm f (x) cho  (1 -1) gi là hàm mc tiêu. Các hàm g i (x) (i = m,1 ) gi là hàm ràng buc. Tp hp D = {x ∈ X | g i (x) ≤ (=, ≥) b i , i = m,1 } (1.4) Gi là min ràng buc chp nhn đc. - Mi mt bt đng thc, đng thc trong (1.2) gi là mt ràng buc ca bài toán (1.1) - (1.2) - (1.3) - im x = (x 1 , x 2 , ., x n ) ∈ D gi là mt phng án ca bài toán (1.1) - (1.2) - (1.3) hay là mt gii pháp chp nhn đc. - Mt phng án x* ∈ D làm cc đi (cc tiu) hàm mc tiêu gi là phng án ti u (hay li gii hoc phng án tt nht). Theo đnh ngha trên thì x* ∈ D là phng án ti u khi và ch khi f (x*) ≥ f (x), ∀x ∈ D, (đi vi bài toán max) hay f (x*) ≤ f(x), ∀x ∈ D, (đi vi bài toán min). Giá tr f(x*) gi là giá tr ti u (tt nht) ca hàm mc tiêu, hay là giá tr ti u ca bài toán (1.1) - (1.2) - (1.3). 1.1.3. Phân loi các bài toán ti u. a - Nu hàm mc tiêu f(x) và các ràng buc g i (x) là hàm tuyn tính (bc 1) thì bài toán (1.1) - (1.2) - (1.3) gi là mt Qui hoch tuyn tính . (trng hp riêng là bài toán vn ti). b - Nu biu thc hàm mc tiêu f(x) và các ràng buc g i (x) (i = m,1 ) là hàm ph thuc tham s, thì bài toán (1.1) ÷ (1.3) gi là qui hoch tham s. Lý thuyt trò chi Bài toán la chn quyt đnh Bài toán trò chi chin lc Bài toán trò chi vi phân . 3 Chng I: Mt s kin thc m đu 5 c - Nu bài toán (1.1) ÷ (1.3) đc xét trong quá trình nhiu giai đon hoc trong quá trình thay đi theo thi gian thì gi là Qui hoch đng. d - Nu bài toán (1.1) ÷ (1.3) mà hàm mc tiêu f(x) hoc có ít nht mt trong các hàm g i (x), (i = m,1 ) là phi tuyn thì gi là Qui hoch phi tuyn, trng hp riêng là Qui hoch li hoc Qui hoch lõm. Qui hoch li (lõm) là Qui hoch toán hc mà hàm mc tiêu f(x) là li (lõm) trên tp hp các ràng buc D li (lõm). e - Nu bài toán (1.1) ÷ (1.3) mà min ràng buc D là tp ri rc thì gi là Qui hoch ri rc. g - Nu bài toán(1.1) ÷ (1.3) có các bin x i ∈ IR 1 là thành phn i trong véc t x ∈ X ⊂ IR n , ch nhn các giá tr nguyên, thì gi là Qui hoch nguyên. h - Nu bài toán (1.1) ÷ (1.3) mà các bin x i ∈ IR 1 ch nhn các giá tr O hoc 1, gi là Qui hoch Bul (x i là thành phn i ca véc t x). i - Nu bài toán (1.1) ÷ (1.3) mà trên min D ta xét đng thi nhiu mc tiêu khác nhau, gi là Qui hoch đa mc tiêu v.v. 1.1.4. Ni dung nghiên cu ca môn hc. a. Quy hoch tuyn tính. b. Bài toán vn ti. c. Bài toán ti u trên mng. d. Mô hình kinh t và mô hình toán kinh t. e. Mô hình phc v đám đông. g. Mô hình qun lý d tr. 1.2. C S GII TÍCH LI. 1.2.1. Không gian tuyn tính n chiu (R n ). a. Véc t n chiu. Mt h thng đc sp , gm n s thc, dng x = (x 1 x 2 , ., x n ), gi là mt véc t n chiu. Thí d: x = (4, 0, 5, 10, 15) là mt véc t 5 chiu. Các s x i , i = n,1 , gi là thành phn th i ca véc t x. Hai véc t x =(x 1 , x 2 , ., x n ) và (y 1 , y 2 , ., y n ) gi là bng nhau, nu x i = y i , (i = n,1 ). Khi đó ta vit x ≡ y. Vy x ≡ y ⇔ x i =y i, (i = n,1 ). Cho hai véc t x = (x 1 , x 2 , ., x n ) y = (y 1 , y 2 , ., y n ) và α ∈ R 1 . Ta đnh ngha phép cng hai véc t x và y là véc t x+y, đc xác đnh nh sau: x+y= (x 1 + y 1 , x 2 + y 2 , ., x n + y n ) (1.5) Phép nhân véc t x vi mt s α ∈ R 1 là véc t αx, đc xác đnh nh sau: Chng I: Mt s kin thc m đu 6 αx = (αx 1, αx 2, ., αx n ) (1.6) - Véc t θ = (0, 0, ., 0) gm các thành phn toàn là s 0, gi là véc t không. * Các tính cht ca phép cng véct và nhân véct vi mt s. - Nu x và y là hai véct n chiu thì x+y cng là véc t n chiu. - Vi mi véc t n chiu x và y ta đu có: x+y =y+x. - Vi mi véc t n chiu x, y và z ta đu có: x + (y+z) = (x+y) +z. - Luôn tn ti véct θ n chiu sao cho θ +x = x+ θ =x. - Mi véct n chiu x luôn tn ti véc t n chiu -x sao cho: x+ (-x)=(-x) +x = θ - ∀ k R∈ và vi mi véc t n chiu x thì kx cng là véc t n chiu. - ∀ k R∈ và vi mi véc t n chiu x và y ta có: k (x+y) = kx+ky. - ∀ l, k R∈ và vi mi véc t n chiu x ta luôn có: (k +l ) x = kx +lx. - ∀ l, k R∈ và vi mi véc t n chiu x ta luôn có: k(lx) = (kl) x. - Mi véc t n chiu ta luôn có: 1.x = x. b. Không gian tuyn tính n chiu Rn. Tp hp tt c các véc t n chiu, trong đó xác lp phép toán cng Véc t và nhân véc t vi mt s thc nh (1.5) và (1.6) và tho mãn 10 tính cht nêu trên, gi là mt không gian tuyn tính n chiu. Ký hiu IR n . 1.2.2. Mt s tính cht đi vi véc t trong R n . a. nh ngha. Các véc t x i ∈ R n , i = m,1 , gi là đc lp tuyn tính nu ∑ = m i 1 α i x i = θ ⇔ α i = 0, ∀i = m,1 . - Nu tn ti ít nht mt s α j ≠ 0 , 1 ≤ j ≤ m, sao cho ∑ = m i 1 α i x i = θ , thì ta nói rng các véc t x ∈ R n , i = m,1 , là ph thuc tuyn tính. - Nu tn ti véc t x i ∈ R n , sao cho: x = ∑ = m i 1 α i x i , vi ít nht mt α i ≠ 0, 1≤ i≤ m, thì x gi là t hp tuyn tính ca các véc t x i , (i = m,1 ). - Nu x = ∑ = m i 1 α i x i vi α i ≥ 0, i = m,1 , và ∑ = m i 1 α i = 1 thì x gi là t hp li ca các véc t x i , i = m,1 . - Trong không gian véc t R n , h n Véc t đc lp tuyn tính lp thành c s ca IR n . Gi s C 1 , C 2 , ., C n là mt c s ca R n , khi đó ∀x ∈ R n đu có th biu din tuyn tính mt cách duy nht qua các Véc t c s. C i , (i = n,1 ). Chng I: Mt s kin thc m đu 7 b. Cho hai véc t bt k x, y∈ R n , x = (x 1 , x 2 , . x n ) và y = (y 1 , y 2 , , y n ) , ta gi tích vô hng ca hai véc t x và y là mt s thc, ký hiu là <x, y>, đc xác đnh nh sau: <x, y> = ∑ = m i 1 x i y i . -  dài ca Véc t x ∈ R n là s thc, ký hiu x , đc xác đnh nh sau n 2 i i1 xx,x x = =< >= ∑ - Chú ý: Tích vô hng hai véc t có các tính cht sau: b 1 , < x, y > = < y, x >. (Tính giao hoán) ∀ x, y ∈ R n . b 2 , < x 1 +x 2 , y > = < x 1 , y > + < x 2 , y >, ∀ x 1 , x 2 , y ∈ R n . (Tính phân phi đi vi phép cng). b 3 , < >yx, λ = λ < x, y > , ∀λ ∈ R 1 , ∀ x, y ∈ R n . b 4 > < x, x > ≥ 0 ∀x ∈ R n , du bng xy ra khi x = θ . Vi mi ∀x, y ∈ R n , ta đnh ngha khong cách gia hai véc t x, y, ký hiu ρ (x, y) là s thc, đc xác đnh nh sau: yxyx −=),( ρ 2 1 )(, ii n i yxyxyx −Σ=>−−<= = . Chú ý: Khong cách gia hai véc t x, y ∈ R n , chính là đ dài ca véc t hiu x+ (-1)y: = x - y. (Hiu ca hai Véc t). 1.2.3. Không gian clít. Mt không gian tuyn tính n chiu, trong đó xác đnh phép toán tích vô hng, do đó xác đnh mt khong cách gia hai véc t, gi là không gian clít, ký hiu IR n . 1.2.4. Tp Compact. a. Các đnh ngha. Dãy {x k } ⊂ |R n , gi là hi t đn đim x o ∈ IR n khi k→∞, nu k lim →∞ ρ(x k , x o ) = 0. Khi đó ta nói {x k } có gii hn là x o khi k →∞, và vit: ∞→k lim x k = x o . - Mt tp hp S = {x∈IR n: ρ(x, a) ≤ r, a∈ IR n , r ∈ IR 1 }, gi là mt hình cu tâm a, bán kính r trong IR n . - Hình cu S nói trên, to thành mt lân cn ca đim a, gi là r -lân cn ca a. - Cho tp hp A ⊂ IR n , đim x∈ A đc gi là đim trong ca A nu ∃ ε - lân cn ca x nm trn trong A. - im x ∈ A ⊂ IR n , đc gi là đim biên ca A, nu mi lân cn ca x đu có cha các đim thuc A và các đim không thuc A. - Cho tp hp A ⊂ IR n , ta nói tp hp A là gii ni nu ∃ hình cu cha trn nó, ngha là ∃ s thc r đ ln và đim a∈ IR n sao cho ∀x∈ A ta đu có ρ(x, a) < r. Chng I: Mt s kin thc m đu 8 * Nhn xét. T đnh ngha ca dãy hi t và tp gii ni, ta suy ra, mt dãy {x k } ⊂ IR n , hi t bao gi cng gii ni. - Mt tp hp G ⊂ IR n đc gi là m, nu∀x∈ G, tn ti mt hình cu tâm x cha trn trong G. - Mt tp hp F ⊂ IR n đc gi là đóng, nu nh mi dãy hi t {x k }⊂ F ⊂ IR n , đu hi t đn mt đim x o ∈ F. * Nhn xét. Mt tp hp cha mi đim biên ca nó là mt tp hp đóng. b. Tp Compact. - Tp hp C ⊂ IR n đc gi là tp hp Compct nu t mi dãy vô hn {x k }⊂ C, đu có th trích ra mt dãy con {x k n} hi t đn mt phn t thuc C. - Mt tp C là Compact khi và ch khi C đóng và gii ni. - Tp Compact M ca tp đóng C cng đóng trong C. - Tp con M đóng ⊂ C Compact cng là tp Compact. - Hàm f(x) liên tc trên tp Compact C s đt giá tr ln nht, nh nht trên C. 1.2.5. ng thng, đon thng, siêu phng. a. nh ngha đng thng và đon thng trong IR n . - Cho hai đim a, b ∈ |R n . Ta gi đng thng qua a, b là tp hp các đim x ∈ IR n có dng: x = λa + (1 - λ)b, λ ∈ IR 1 - Nu 0 ≤ 1≤ λ thì ta có đon thng ni hai đim a, b, ký hiu [a, b]. Chú ý - Trong không gian hai chiu IR 2 , phng trình bc nht ax + by = c, xác đnh mt đng thng, mt bt phng trình ax+by ≤ c hoc ax+by ≥ c, xác đnh na mt phng trong IR n . - Trong không gian ba chiu IR 3 , mt phng trình bc nht ax+by+cz=d xác đnh mt mt phng, mt bt phng trình bc nht ax+by+cz ≤ d hoc ax + by + cz ≥ d xác đnh mt na không gian. Ta m rng kt qu trên cho không gian IR n . b. Siêu phng trong IR n . - Siêu phng trong không gian IR n là tp hp tt c các đim x = <x 1 x 2 , x n > ∈ IR n , tho mãn phng trình bc nht: a 1 x 1 + a 2 x 2 + . + a n x n = α. - Mt bt phng trình bc nht dng n i 1= Σ a i x i ≤ α hoc n i 1= Σ a i x i ≥ α xác đnh mt na không gian đóng trong IR n . 1.2.6. Tp hp li . a. nh ngha. Tp hp x ⊂ IR n đc gi là tp hp li nu cùng vi vic cha hai đim x, y, nó cha c đon thng ni hai đim y. iu này có ngha là X = {z ∈ |R n : z = λa + <1- λ > b, a, b∈ IR n , λ ∈ [0, 1]} [...]... theo bài toán t ra, là xi và t ng s s n ph m lo i j s n xu t i 1 m là bij xi i 1 Theo m c tiêu c a bài toán th c t t ra thì bài toán có th mô hình toán h c nh sau: m IR sao cho: Tìm véc t x = (x1, x2 , , xn) m f(x) = xi min i 1 v i i u ki n: m n i 1 j 1 m n i 1 j 1 aij bij xi A cij bij xi C m Bj, j = 1, n bij xi i 1 0, i = 1, m xi ây là m t d ng c a bài toán Qui ho ch tuy n tính 2.2 MÔ HÌNH BÀI TOÁN QUY... toán h c bài toán th c t nh sau: Tìm véc t x= (x1, x2, , xn+m) m n i 1 j 1 cij xij F(x) = v i các i u ki n: 14 IRnxm ,sao cho: min n i m thu Bj, v i Ch ng II: Quy ho ch tuy n tính n xij = ai, i = 1, m j 1 m xij = bi, j = 1, n i 1 0, i = 1, m , j = 1, n xij Ngoài ra bài toán ph i tho mãn i u ki n: m n bj = j 1 ai (cân b ng thu và phát) i 1 ây là m t d ng c a bài toán Quy ho ch tuy n tính 2.1.3 Bài toán. .. (hay ng hàng hoá) là l n nh t v i s nguyên li u hi n có t ng giá tr s n l Bài toán th c ti n trên, có th mô hình toán h c nh sau: IRn , làm c c Tìm x = (x1, x2, , xn) i hàm m c tiêu: n cj xj f(x) = max j 1 v i các i u ki n: n aij xj bi, i = 1, m , j 1 xj 0, j = 1, n Bài toán trên là m t bài toán Qui ho ch tuy n tính 2.1.2 Bài toán v n t i Có m kho hàng cùng ch a m t lo i hàng hoá, Ai , i = 1, m (Ai i... TÍNH 2.2.1 Bài toán quy ho ch tuy n tính t ng quát Tìm x = (x1, x2 xi, xn) IRn n Sao cho: f(x) = j 1 Cj xj max (min) (2.1) Th a mãn i u ki n: n j 1 aij xj ( , = xj 0 16 ) bi ( i= 1, m ) (2.2) (j = 1, n ) (2.3) c Ch ng II: Quy ho ch tuy n tính xây d ng c s lý lu n gi i bài toán, ch c n xét m t trong hai d ng bài toán, ch ng h n bài toán tìm giá tr l n nh t (f max ) c a hàm m c tiêu, còn bài toán tìm giá... Thay vào m c tiêu, cho k t qu : f(x) = 4x4 + 2x5 + 28 Bài toán t ng ng v i: f(x) = 4x4 + 2x5 + 28 - x4 + 2x5 6 2x4 + 3x5 16 x4 + x5 3 0 ( j = 4, 5) xj ây là bài toán QHTT d ng chu n t c, Nh v y, m t bài toán QHTT c v bài toán d ng chính t c quát, ta gi thi t r ng: max c rút g n h n d ng chu n, b ng ph ng pháp dùng bi n ph , ta luôn a i v i bài toán QHTT d ng chính t c không gi m tính t ng i) H ràng bu... cùng h ó, ta có th nêu các b b Các b ng v i véc t ic a (hay f(x) s gi m ) * * gi i bài toán trên ta tìm x* = ( x1 , x 2 ) V y T ng m c ng véc t pháp tuy n D mà c gi i bài toán trên b ng ph = f (x*) max ng pháp hình h c nh sau: c gi i bài toán gi i bài toán trên ta ti n hành: i - Xác ii – V nh mi n ràng bu c D c a bài toán trong h tr c to th ng m c (*): c1x1 + c2 x2 = v i 0x1x2 nào ó, iii - Xác nh véc... (j k > 0 (< 0), J0) thì bài toán không có l i gi i N u m i k > 0 (< 0), (k J0) u t n t i ít nh t m t Zjk > 0, (j J0) thì chuy n sang ng án c c biên m i X(1) t t h n X(0); f [X(1)] < f [X(0)] ([X(1)] > f[X(0)]) 2.6.2 Thu t toán c a ph ng pháp c n hình Toàn b quá trình tính toán c s p x p theo m t trình t ch t ch vi c tìm l i gi c a bài toán QHTT Trình t ó c g i là thu t toán m b o hi u qu c a Không... T S a- 0 ng trình c l p v i nhau TÍNH CH T C A BÀI TOÁN QUY HO CH TUY N TÍNH nh lý 1 T p D các ph ng án c a bài toán QHTT chính t c (2.10) (2.12) là m t t p l i nh lý 2 N u t p D các ph ng án c a bài toán QHTT chíng t c (2.10) ch n, thì D là m t a di n l i (2.12) không r ng và b * nh lý có th ch ng minh b ng ph ng pháp quy n p theo s bi n c a bài toán ch ng minh D là m t a di n l i, ta ch c n ch ng... Bài toán có d ng: f(x) = 2x1 3 (x'4 x'10) + x5 + 2x6 x1 + x2 2x2 3x1 x'j 3 (x'4 max x'10) + 2x6 3 (x'3 x'9) + x4 x2 + 2 (x'3 =5 + x5 + x7 = 4 x'9) 2x5 x8 0 ( j = 3 ; 4 ; 9 ; 10 ) , xj =3 0 ( j = 1 ; 2 ; 5 ; 6 ; 7 ; 8) là bài toán QHTT chính t c Tuy nhiên, sau khi th c hi n các phép bi n i, s bi n c a bài toán t ng lên, song n u s d ng linh ho t các phép bi n i i s , s bi n có th gi m b t, bài toán. .. chung, thì bài toán vô nghi m ii) Mi n D ph : - N u D - a giác l i, thì có duy nh t 1 i m c c biên là ph ng án t i u; ho c có vô s ng án t i u, khi ó 2 i m c c biên là các ph ng án t i u (theo tính ch t bài toán QHTT) - N u D - khúc l i ( a giác l i không gi i n i), thì bài toán có m t ph ng án c c biên t i u, n u mi n D n m v m t phía c a ng m c (2.4) c t ng m c (2.4) t i 1 i m, ho c bài toán có vô s . đnh, Bài toán trò chi chin lc, bài toán trò chi vi phân v.v. Trong Lý thuyt đ th có các bài toán ti u trên mng, bài toán PERT, Các bài toán đng. hc. a. Quy hoch tuyn tính. b. Bài toán vn ti. c. Bài toán ti u trên mng. d. Mô hình kinh t và mô hình toán kinh t. e. Mô hình phc v đám đông.