Đề thi tuyển sinh lớp 10 môn toán chuyên năm 2015 2016 THPT chuyên lê quý đôn

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO BÌNH ĐỊNH KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN NĂM HỌC 2015 - 2016 TRƯỜNG THPT CHUYÊN LÊ QUÝ ĐÔN Đề thức Môn: TOÁN(CHUYÊN) Ngày thi: 05/06/2015 Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian phát đề) Bài 1: (2 điểm) a) Cho số thực x > thỏa mãn điều kiện: x  Tính giá trị biểu thức A  x  x x2  14 B  x  x5 b) Rút gọn biểu thức A   10    10  Bài 2: (2 điểm) a) Tìm số nguyên x, y, z thỏa mãn: x  5y  z  2(y  z)  4xy  b) Giải hệ phương trình:        1  2  y x 1  2  x y Bài 3: (2 điểm) a) Chứng minh phân số 21n  tối giản với n nguyên dương 14n  b) Giải phương trình x  mx  n  , biết phương trình có hai nghiệm nguyên dương phân biệt m, n hai số nguyên tố Bài 4: (3 điểm) Cho hai đường tròn (O; R) (O’; R’) cắt I J (R’ > R) Kẻ tiếp tuyến chung hai đường tròn đó; chúng cắt A Gọi B C tiếp điểm hai tiếp tuyến với (O’; R’); D tiếp điểm tiếp tuyến AB với (O ; R) (điểm I điểm B nửa mặt phẳng bờ O’A) Đường thẳng AI cắt (O’; R’) M (điểm M khác điểm I ) a) Gọi K giao điểm đường thẳng IJ với BD Chứng minh KB2 = KI.KJ ; từ suy KB = KD b) AO’ cắt BC H Chứng minh điểm I, H, O’, M nằm đường tròn c) Chứng minh đường thẳng AM tiếp tuyến đường tròn ngoại tiếp Δ IBD Bài 5: (1 điểm) Cho a, b, c > Chứng minh a3 a + ab + b + b3 b + bc + c + c3 c + ac + a  a+b+c GV: Võ.M.Trình – THCS Cát Minh – Phù Cát HƯỚNG DẪN GIẢI Bài 1: (2 điểm) 1  a) Từ giả thiết suy ra:  x +   16  x +  (do x > 0) x x  1      1   4.14   x +  x +  =  x +  +  x +   A  x +  52 x  x x  x   x   1      1   14.52   x   x     x     x    B  x   724 x x  x  x   x   b) Ta chứng minh X + X2  Y X ± Y= ± X  X2  Y , với X  0; Y  0; X  Y    64  40  8  64  40    A   40    40      2      64  40  8  64  40        2     24  8 2   12   2  10    10  Bài 2: (2 điểm) a) BĐT  x + 5y + z + 2y  2z  4xy  1 Vì x, y, z nguyên nên: x + 5y + z + 2y  2z  4xy  2  x  4xy + 4y + y + 2y + + z  2z +  2   x  2y  +  y + 1 +  z  1  x  2y=0 x =       y + 1=0   y=   z  1=0  z =1   1 b) Điều kiện: x  ; y  2 Từ hệ suy 1 1  2   2 y x x y Nếu x  y  1   x y 2 1  2 y x Nếu x  y  1   x y 2 1  2 y x (1) VT(1) > VP(1) VT(1) < VP(1) nên (1) xảy x = y vào hệ ta giải x = 1, y = Bài 3: (2 điểm) a) Gọi d(d  1) ước chung lớn hai số  21n   14n  3  21n   kd ; 14n   ld với k, l số nguyên dương  7n    k  l  d  21n   3(k  l)d   (21n  4)  (21n  3)  kd  3(k  l)d  (3l  2k)d Vì  3l  2k  d số nguyên dương  3l  2k  d  Vậy phân số 21n  tối giản 14n  b) Gọi x1,x nghiệm nguyên dương phương trình cho, giả sử  x1  x  Theo hệ thức Viet: x1 + x = m; x1.x = n Do n số nguyên tố nên x1  1; x  n Từ x1 + x = m   n = m  n; m hai số tự nhiên liên tiếp  n = 2; m = Khi phương trình x  3x   có hai nghiệm x1  1; x  Bài 4: (3 điểm) a) Chứng minh KB2 = KI.KJ ; từ suy KB = KD   A, O, O’ thẳng hàng Do AO AO’ hai tia phân giác BAC Xét:  KBI Δ KJB  chung  (góc tạo tia tt dây góc nt chắn cung BI) ; BKI Có: J1  B  Δ KBI ∽  KJB (g.g)  KI KB   KB2  KI.KJ (1) KB KJ Tương tự:  KDI ∽  KJD  KI KD   KD  KI.KJ (2) KD KJ Từ (1) (2)  KB  KD B K D I A O H O' J C b) Chứng minh điểm I, H, O’, M nằm đường tròn M b) Chứng minh điểm I, H, O’, M nằm đường tròn B K D M I A O O' H J C Xét tam giác ABO’ vuông B, có: AB  AH.AO ' (3) Xét  ABI  AMB có: M  (góc tạo tia tt dây góc nt chắn cung BI); BAI  chung B 1   ABI ∽  AMB (g.g)  AB AI   AB2  AM.AI (4) AM AB Từ (3),(4)  AI.AM  AH.AO'    AHI ∽  AMO' ( AH AM  AI AO' AH AM   ; MAO' : chung ) AI AO'   M   điểm I, H, M, O’ thuộc đường tròn H c) Chứng minh đường thẳng AM tiếp tuyến đường tròn ngoại tiếp Δ IBD Do: OD // O’B (cùng  AB)  AO OD R OI OI     AO' O'B R' O'M O'I OI cắt O’I A, I, M thẳng hàng  OI // O’M    DOI BO'M   DOI   sđ DI  BIM   BO'M   sđ BM  mà BDI 2 2   BIM   IM tiếp xúc với đường tròn ngoại tiếp BID  BDI Hay AM tiếp tuyến đường tròn ngoại tiếp BID Bài (1,0 điểm) Ta có:  a  b3 a + ab + b a3 + b3  c3 b + bc + c b3 + c3  a c2 + ac + c c3 b3 = a  b +  b  c +  c  a  = c3 a3      a2  ab  b2 b2  bc  c2 c2  ac  a2 a2  ab  b2 b2  bc  c2 c2  ac  a2 Vì bất đẳng thức cho tương đương với: a + b3 a + ab + b + b3 + c3 b + bc + c + c3 + a c + ac + a  a + b + c a  ab + b a  ab + b 2 Vì    a  b   (đúng)   a  b   a  b a + ab + b a + ab + b hay a  b3 a  ab  b   a  b  (1) đẳng thức xảy a = b b3  c3 c3  a Tương tự   b  c  (2)   c  a  (3) 2 3 b  bc  c c  ac  a Cộng (1), (2), (3) suy a3 a + ab + b + b3 b + bc + c + c3 c + ac + a Đẳng thức xảy a = b = c GV: Võ.M.Trình – THCS Cát Minh – Phù Cát  a+b+c Chương trình luyện thi lớp 10 chuyên Môn: Toán học Vững vàng tảng, Khai sáng tương lai CHƯƠNG TRÌNH LUYỆN THI VÀO LỚP 10 CHUYÊN TRÊN HỌC247 - Chương trình luyện thi xây dựng dành riêng cho học sinh giỏi, em yêu thích toán muốn thi vào lớp 10 trường chuyên - Nội dung xây dựng bám sát với đề thi tuyển sinh lớp 10 trường chuyên nước năm qua - Đội ngũ giáo viên giảng dạy gồm thầy tiếng có nhiều năm kinh nghiệm việc ôn luyện học sinh giỏi - Hệ thống giảng biên soạn công phu, tỉ mỉ, phương pháp luyện thi khoa học, hợp lý mang lại kết tốt - Lớp học qua mạng, tương tác trực tiếp với giáo viên, huấn luyện viên - Học phí tiết kiệm, lịch học linh hoạt, thoải mái lựa chọn - Mỗi lớp từ đến 10 em để hỗ trợ kịp thời nhằm đảm bảo chất lượng khóa học mức cao - Đặc biệt, em hỗ trợ học tập thông qua cộng đồng luyện thi vào lớp 10 chuyên HỌC247  https://www.facebook.com/OnThiLop10ChuyenToan/ Website: www.hoc247.vn - Bộ phận tư vấn: 098 1821 807 Trang | ... yêu thích toán muốn thi vào lớp 10 trường chuyên - Nội dung xây dựng bám sát với đề thi tuyển sinh lớp 10 trường chuyên nước năm qua - Đội ngũ giáo viên giảng dạy gồm thầy tiếng có nhiều năm kinh... trình luyện thi lớp 10 chuyên Môn: Toán học Vững vàng tảng, Khai sáng tương lai CHƯƠNG TRÌNH LUYỆN THI VÀO LỚP 10 CHUYÊN TRÊN HỌC247 - Chương trình luyện thi xây dựng dành riêng cho học sinh giỏi,... thoải mái lựa chọn - Mỗi lớp từ đến 10 em để hỗ trợ kịp thời nhằm đảm bảo chất lượng khóa học mức cao - Đặc biệt, em hỗ trợ học tập thông qua cộng đồng luyện thi vào lớp 10 chuyên HỌC247  https://www.facebook.com/OnThiLop10ChuyenToan/