Đề thi tuyển sinh lớp 10 môn toán chuyên năm 2015 2016 THPT chuyên lê quý đôn

Kẻ các tiếp tuyến chung của hai đường tròn đó; chúng cắt nhau ở A.. Gọi B và C là các tiếp điểm của hai tiếp tuyến trên với O’; R’; D là tiếp điểm của tiếp tuyến AB với O ; R điểm I và đ

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN BÌNH ĐỊNH NĂM HỌC 2015 - 2016

TRƯỜNG THPT CHUYÊN LÊ QUÝ ĐÔN

Đề chính thức

Môn: TOÁN(CHUYÊN)

Ngày thi: 05/06/2015

Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian phát đề)

Bài 1: (2 điểm)

a) Cho số thực x > 0 thỏa mãn điều kiện: 2

2

1

x

Tính giá trị các biểu thức 3 13

x

x

b) Rút gọn biểu thức A 8 2 10 2 5   8 2 10 2 5

Bài 2: (2 điểm)

a) Tìm các số nguyên x, y, z thỏa mãn: x25y2z22(yz)4xy 1

b) Giải hệ phương trình:

y x

x y













Bài 3: (2 điểm)

a) Chứng minh phân số 21n 4



 là tối giản với mọi n nguyên dương

b) Giải phương trình x2mxn 0 , biết rằng phương trình có hai nghiệm nguyên dương phân biệt và m, n là hai số nguyên tố

Bài 4: (3 điểm)

Cho hai đường tròn (O; R) và (O’; R’) cắt nhau tại I và J (R’ > R) Kẻ các tiếp tuyến chung của hai đường tròn đó; chúng cắt nhau ở A Gọi B và C là các tiếp điểm của hai tiếp tuyến trên với (O’; R’); D là tiếp điểm của tiếp tuyến AB với (O ; R) (điểm I và điểm B ở cùng nửa mặt phẳng bờ là O’A) Đường thẳng AI cắt (O’; R’) tại M (điểm M khác điểm I )

a) Gọi K là giao điểm của đường thẳng IJ với BD Chứng minh KB = KI.KJ2 ; từ đó suy ra

KB = KD

b) AO’ cắt BC tại H Chứng minh 4 điểm I, H, O’, M nằm trên một đường tròn

c) Chứng minh đường thẳng AM là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp Δ IBD

Bài 5: (1 điểm)

Cho a, b, c > 0 Chứng minh rằng

3

a + ab + b b + bc + c c + ac + a 

GV: Võ.M.Trình – THCS Cát Minh – Phù Cát

HƯỚNG DẪN GIẢI

Bài 1: (2 điểm)

a) Từ giả thiết suy ra:

2

 4.14 x + 1 x +2 12 = x +3 13 + x + 1

3 3

1

x

x

5 5

1

x

b) Ta chứng minh được

, với

2

X0; Y0; X Y

8 64 40 8 5 8 64 40 8 5

Bài 2: (2 điểm)

a) BĐT x + 5y + z + 2y2 2 2 2z 4xy  1

Vì x, y, z nguyên nên: x + 5y + z + 2y2 2 2 2z 4xy  2

x2  4xy + 4y + y + 2y + 1 + z2 2 2  2z + 1 0

x 2y2+ y + 1 2+ z 12 0





b) Điều kiện: x 1; y 1

VT(1) < VP(1)

nên (1) chỉ xảy ra khi x = y thế vào hệ ta giải được x = 1, y = 1

Bài 3: (2 điểm)

a) Gọi d(d1) là ước chung lớn nhất của hai số 21n4 và 14n3

   ; 14n 3 ld với k, l là những số nguyên dương

Vì 3l2k và d là các số nguyên dương 3l 2k d 1

Vậy phân số 21n 4



 tối giản b) Gọi x ,x là các nghiệm nguyên dương của phương trình đã cho, giả sử 1 2 x1x2 Theo hệ thức Viet: x + x = m; x x = n 1 2 1 2

Do n là số nguyên tố nên x1 1; x2 n

Từ x + x = m1 2  1 n = m  n; m là hai số tự nhiên liên tiếp  n = 2; m = 3

Khi đó phương trình là x2 3x2 và có hai nghiệm 0 x11; x2  2

Bài 4: (3 điểm)

a) Chứng minh KB = KI.KJ2 ; từ đó suy ra KB = KD

Do AO và AO’ là hai tia phân giác của BAC  A, O, O’ thẳng hàng

Xét:  KBI và Δ KJB

1 1

J B (góc tạo bởi tia tt và dây và góc nt cùng chắn cung BI) ; BKI chung

 Δ KBI ∽ KJB (g.g)  KI KB KB2 KI.KJ

Từ (1) và (2)  KB  KD

b) Chứng minh 4 điểm I, H, O’, M nằm trên một đường tròn

1 2

1 1

1

M

J

K

I

O D

C B

A

b) Chứng minh 4 điểm I, H, O’, M nằm trên một đường tròn

Xét tam giác ABO’ vuông tại B, có: AB2 AH.AO ' (3)

Xét  ABI và  AMB có:

1 1

B  M (góc tạo bởi tia tt và dây và góc nt cùng chắn cung BI); BAI chung

  ABI ∽  AMB (g.g) AB AI 2

  AHI ∽ AMO' ( vì AH AM

AI  AO' ;

 MAO': chung )

H  M  4 điểm I, H, M, O’ cùng thuộc một đường tròn

c) Chứng minh đường thẳng AM là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp Δ IBD

nhưng OI cắt O’I và A, I, M thẳng hàng  OI // O’M

 DOI   BO'M

 BDI BIM

 IM tiếp xúc với đường tròn ngoại tiếp BID

Hay AM là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp BID

Bài 5 (1,0 điểm)

a + ab + b b + bc + c c + ac + c



a ab b b bc c c ac a a ab b b bc c c ac a

Vì thế bất đẳng thức đã cho tương đương với:

1 2

1 1

1

M

J

K

I

O D

C B

A

 

2 a + b + c

3

a + ab + b b + bc + c c + ac + a 

2

3

a + ab + b



3

a + ab + b



3



  (1) đẳng thức xảy ra khi a = b

3



3



Cộng (1), (2), (3) suy ra

3

a + ab + b b + bc + c c + ac + a  Đẳng thức xảy ra khi a = b = c

GV: Võ.M.Trình – THCS Cát Minh – Phù Cát

Website: www.hoc247.vn - Bộ phận tư vấn: 098 1821 807 Trang | 1

Chương trình luyện thi lớp 10 chuyên

Môn: Toán học

Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai

CHƯƠNG TRÌNH LUYỆN THI VÀO LỚP 10 CHUYÊN TRÊN HỌC247

- Chương trình luyện thi được xây dựng dành riêng cho học sinh giỏi, các em yêu thích toán và muốn thi vào lớp 10 các trường chuyên

- Nội dung được xây dựng bám sát với đề thi tuyển sinh lớp 10 các trường chuyên của cả nước trong những năm qua

- Đội ngũ giáo viên giảng dạy gồm các thầy nổi tiếng có nhiều năm kinh nghiệm trong việc ôn luyện học sinh giỏi

- Hệ thống bài giảng được biên soạn công phu, tỉ mỉ, phương pháp luyện thi khoa học, hợp lý mang lại kết quả tốt nhất

- Lớp học qua mạng, tương tác trực tiếp với giáo viên, huấn luyện viên

- Học phí tiết kiệm, lịch học linh hoạt, thoải mái lựa chọn

- Mỗi lớp từ 5 đến 10 em để được hỗ trợ kịp thời nhằm đảm bảo chất lượng khóa học ở mức cao nhất

- Đặc biệt, các em còn hỗ trợ học tập thông qua cộng đồng luyện thi vào lớp 10 chuyên của HỌC247

 https://www.facebook.com/OnThiLop10ChuyenToan/