Phan Hòa Đại SỞ GIÁO DỤC – ĐÀO TẠO Đề thi toán vào 10 Lê Quý Đôn -Bình Định KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT NĂM HỌC 2016-2017 BÌNH ĐỊNH Đề thức TRƯỜNG THPT CHUYÊN LÊ QUÝ ĐÔN Môn thi: Toán ( CHUYÊN TOÁN -TIN ) Ngày thi: 07/6/2016 Thời gian làm bài: 150’ Bài 1: (2 đ) a)Cho biểu thức: P=x2 +5y2 -4xy+2x-14y+2016 Tìm x,y để P đạt giá trị nhỏ Tính giá trị nhỏ b) Với n N, xét hai số: an =22n+1+ 2n+1+1 bn =22n+1+ 2n+1+1 CMR: có hai số chia hết cho x y x y 15 Bài 2: (1,5 đ) Giải HPT : 2 x y x y Bài 3: (1,5 đ) Tìm số phương có bốn chữ số biết tăng chữ số đơn vị số tạo thành số phương có bốn chữ số Bài 4: (4 đ) Từ điểm S đường tròn tâm O kẻ tiếp tuyến SA,SC cát tuyến SBD ( B nằm S D) Gọi I giao điểm AC BD CMR: a) AB.DC=AD.BC b) SB IB AB.CB SD ID AD.CD Cho nửa đường tròn tâm O, đường kính AB = 2R Điểm M nằm nửa đường tròn cho MAB 600 Kẻ MH AB H, HE AM E, HF BM F Các đường thẳng EF AB cắt K Tính diện tích tam giác MEF độ dài đoạn thẳng KA,KB theo R Bài 5: (1 đ) : Cho a,b,c >0 a+b+c P 1990 , dấu “=” xảy Vậy Pmin=1990 x=9;y=5 b) Với n N, xét hai số: an =22n+1+ 2n+1+1 bn =22n+1+ 2n+1+1 CMR: có số chia hết cho Ta có: 22n 1 2n ;2n 1 2.2n 16 1(mod 5) 2.16 2(mod 5) 4.16 4(mod 5) 8.16 3(mod 5) 4k 4k 1 4k 2 4k 3 n n n 4 n n n - Nếu n=4k thì: 22n 1 2n n n 24k 2.12 2(mod 5) ; 2n 1 2.2n 2.2 4k 2.1 2(mod 5) a n mod 5 a n b n 1 mod 5 b n Phan Hòa Đại Đề thi toán vào 10 Lê Quý Đôn -Bình Định - Nếu n=4k+1 thì: 22n 1 2 n 2 4k 1 2.22 3(mod 5) ; n 1 2.2 n 2.2 4k 1 2.2 4(mod 5) a n mod 5 a n b n mod 5 b n - Nếu n=4k+2 thì: 22n 1 2 n 2 4k 2.4 2(mod 5) ; n 1 2.2 n 2.2 4k 2 2.4 3(mod 5) a n mod 5 a n b n mod 5 b n - Nếu n=4k+3 thì: 22n 1 2n 24k 3 2.32 3(mod 5) ; n 1 2.2 n 2.2 4k 3 2.3 1(mod 5) a n mod 5 a n b n mod 5 b n Vậy với n N, có hai số an =22n+1+ 2n+1+1 bn =22n+1+ 2n+1+1 chia hết cho x y x y 15 1 Bài 2: (1,5 đ) 2 x y x y -Nếu x= y (2) sai => x y Vì x y , chia (1) cho (2) vế theo vế , ta được: x y2 x y 4x 10xy 4y (*) Xem (*) pt bậc ẩn x, ta có: ' =25y -16y =9y2 => pt (*) có nghiệm: x1,2 y x1 5y 9y2 5y 3y 4 x 2y - Với x= 2y vào (2) ta được: (2y-y)(4y2-y2)=3 3y3=3 y3=1y=1 => x= 2y=2 -Với x= y vào (1) ta được: 2 15 y y y 2 y 2 y 15 y 15 y y x Vậy hệ pt có hai nghiệm (x;y) (2;1) (1;2) Bài 3: (1,5 đ) Gọi số phương có bốn chữ số cần tìm abcd = k2 (ĐK: 1000 k 9999 31 k 100 ) Khi tăng chữ số đơn vị số tạo thành : efgh = abcd +1111= h2 (ĐK : 31 DHI BHI => HI đường phân giác BDH, mà HI HS =>HS đường phân giác BDH => Từ (6) (7) suy SB IB HB (7) SD ID HD SB IB AB.CB SD ID AD.CD Cho nửa đường tròn tâm O, đường kính AB = 2R Điểm M nằm nửa đường tròn cho MAB 600 Kẻ MH AB H, HE AM E, HF BM F Các đường thẳng EF AB cắt K Tính diện tích tam giác MEF độ dài đoạn thẳng KA,KB theo R M F E K 60° A B H a) AMB 900 (góc nt chắn nửa đường tròn) Ta có: MA AB.cos MAB 2R.cos600 R AH MA.cos MAH R.cos600 3 R; MH MA.sin MAH R;EH AH.sin EAH R R 2 2 R MH 1 3 3 ME R S MEF S MEHF ME.HE R R R (d.v.d.t) MA R 2 4 32 3 3 b) Ta có HF=ME= R =>FB=HF.cot B= R cot300= R 4 Dễ thấy tứ giác ABFE nội tiếp => KFB 1800 MAB 1200 , mà B 900 MAB 300 K 300 => 3 R KFB cân F => KF=FB= Phan Hòa Đại Đề thi toán vào 10 Lê Quý Đôn -Bình Định 3 Vẽ FI KB I => KB=2IB= 2.BF.cosB R R KA KB AB R 4 Bài 5: (1 đ) : Với x,y,z >0 theo BĐT Cô-Si ta có: 1 1 x y y z z x x x y y z z 1 1 1 y z x z x y x y z y x z y x z x y z 1 (1) x y z xyz Với a,b,c >0 a+b+c