ĐÁP ÁN MÔN TOÁN ĐỀ THI VÀO LỚP 1 0 TRƯỜNG THPT CHUYÊN LÊ QUÝ ĐÔN BÌNH ĐỊNH NĂM HỌC 2013 - 2014 Câu 1: 1. Rút gọn b i ểu thức: Điều kiện: x ≥ 0, x ≠ 1. 1 2 1 2 x 2 A: x1 x 1 x 1 x x x x 1 2 2 x 1 x 1 2 1 x 1 1 2 A : : x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x1 2 2 x1 1 x 1 1 x 1 A : . x 1 x 1 x 1 x 1 x1 2. Chứng minh: 1 1 1 1 3 1 2 3 4 5 6 47 48 Đặt: 1 1 1 1 A 1 2 3 4 5 6 47 48 1 1 1 1 B 2 3 4 5 6 7 48 49 Ta có: A > B. Xét tổng: A + B = 1 1 1 1 1 2 3 4 5 6 47 48 + 1 1 1 1 2 3 4 5 6 7 48 49 = 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 3 3 4 4 5 5 6 47 48 48 49 = 2 1 3 2 4 3 5 4 6 5 48 47 49 48 49 1 6 Vì A > B nên A + B < 2A 6 < 2A A > 3. Vậy : 1 1 1 1 3 1 2 3 4 5 6 47 48 Câu 2: Đặt: * 2 2 a 1 b 1 k a,b N a b a b kab ba (1) Vì d là ước nguyên dương của a và b nên a = xd, b = yd (a, d, x, y N * ) Thay vào (1), ta có: x 2 d 2 + y 2 d 2 + (x + y)d = kxyd 2 (x + y)d = kxyd 2 - (x 2 + y 2 )d 2 (x + y)d = (kxy - x 2 - y 2 )d 2 ≥ d 2 (vì (x + y)d nguyên dương nên kxy - x 2 - y 2 nguyên dương) Do đó: a + b ≥ d 2 d a b Câu 3: Ta có: 2 2 2 ab ab a b 2 ab 44 4 a b 2 a b 2 ab ab a b 2 ab 0 a b 0 4 . Bấ t đ ẳ n g t h ức đúng với a, b > 0, a ≠ b. 2 a b 2 ab a b 2 ab a b a b 0 42 . Bấ t đ ẳ n g t h ức đúng với a, b > 0, a ≠ b. Vậy 2 2 ab ab ab 2 4 a b a,b 0; a b Câu 4: 2 2 1 60 0 1 60 0 1 2 3 2 1 60 0 60 0 1 1 2 1 2 F I E N M A C B O 1. Ta có: 0 11 11 B C s AB s AC 60 22 ®® 0 1 1 1 2 B A 60 MB/ /AC M A (đồn g v ị ) Do đó: A C N ∽ MBA (g.g) Suy ra: MB BA MB BC AC CN BC CN Mặt khác: 0 MBC BCN 120 Nên MBC ∽ BCN (c.g.c). 2. Ta có: MBC ∽ BCN 22 MB . Vì 0 2 B MBF 120 , nên 0 2 M MBF 120 . Từ đó trong tam giác BMF, ta có: 00 12 F 180 M BMF 60 Tứ giác AEBC nội t i ếp nên 0 1 E ACB 60 (cùng bù với AEB ). Do đó: 0 11 F E 60 . Suy ra: Tứ giác BMEF nội t i ếp. 3. EF cắ t BC tại I . Ta có: 0 21 F F 60 (đối đỉnh), 0 2 E ABC 60 . Suy ra: 0 22 F E 60 . Do đó tứ giác EFCN nội t i ếp. Mặt khác, MBC ∽ BCN 21 CN , tứ giác EFCN nội t i ếp 31 EN . Suy ra: 32 EC v à EIC chung nên IEC ∽ ICF (g.g). IC 2 = IE.IF (1), Chứng minh tương tự, ta có: IBF ∽ IEB (gg.) IB 2 = IE.IF (2) Từ (1) và (2), suy ra: IB = IC. Vậy khi đườn g t h ẳn g ( ) thay đổi nhưng vân đi qua A, thì EF luôn đi qua điểm c ố định I là trung điểm c ủa BC. Câu 5: Biến đổi phương trình: (1) 3x 2 + 3xy + 3y 2 - x - 8y = 0 3x 2 + (3y - 1)x + (3y 2 - 8y) = 0 (2) Xem (2) là phương trình bậc hai theo ẩn x. Ta có: = (3y - 1) 2 - 12(3y 2 - 8y) = -27y 2 + 90y + 1 = 9y(-3y + 10) + 1. Nhận xét: Nếu y ≥ 4 hoặc y ≤ - 1 (y Z) t h ì < 0: Phương trình (2) vô nghiệm . Do đó: 0 ≤ y ≤ 3 (y Z) . Nếu y = 0 thì = 1, phương trình (2) 3x 2 - x = 0 x 1 = 0 (nhận), x 2 = 1 3 (loại ) . Nếu y = 1 thì = 64, phương trình (2) 3x 2 + 2x - 5= 0 x 1 = 1 (nhận), x 2 = 5 3 (loại ) . Nếu y = 2 thì = 73 không phải l à s ố chính phương nên phương trình (2) không có nghiệm nguyên. Nếu y = 3 thì = 28 không phải l à s ố chính phương nên phương trình (2) không có nghiệm nguyên. Vậy phương trình có hai nghiệm nguyên là (x; y) = (0; 0), (1; 1). HẾ T . ĐÁP ÁN MÔN TOÁN ĐỀ THI VÀO LỚP 1 0 TRƯỜNG THPT CHUYÊN LÊ QUÝ ĐÔN BÌNH ĐỊNH NĂM HỌC 2013 - 2014 Câu 1: 1. Rút gọn b i ểu thức: Điều kiện:. (1) Vì d là ước nguyên dương của a và b nên a = xd, b = yd (a, d, x, y N * ) Thay vào (1), ta có: x 2 d 2 + y 2 d 2 + (x + y)d = kxyd 2 (x + y)d = kxyd 2 - (x 2 + y 2 )d 2 . IB = IC. Vậy khi đườn g t h ẳn g ( ) thay đổi nhưng vân đi qua A, thì EF luôn đi qua điểm c ố định I là trung điểm c ủa BC. Câu 5: Biến đổi phương trình: (1) 3x 2 + 3xy + 3y 2 - x -