Đáp án đề thi tuyển sinh vào lớp 10 Trường THPT Chuyên KHTN-Trường ĐHQG Hà Nội năm 2013,2014

Suy ra: Điều phải chứng minh... Suy ra: Điều phải chứng minh.. * Tự chứng minh 3 số hoặc phân tích thành nhân tử, các trường THPT chuyên tại TP HCM khôn cho HS dùng Côsi.

ĐỀ THI VÀO LỚP 10 TRƯỜNG THPT CHUYÊN KHTN - ĐHQG HÀ NỘI

NĂM HỌC 2013 - 2014 Câu 1:

1 Hướng dẫn: Đặt điều kiện, bình phương hai lần được phương trình bậc 2, nhận 2 nghiệm là 1, 7

4

2 Đặt: t x 1; v y 1 tu x 1 y 1 xy 1 2

  , ta có hệ phương trình:

 

 

2

2

9

2t 2u 9 2

2t 9 2t 6t 9 0

tu 2

4 2

u 3 2u 9 2t 2u 9 2t

3

2t 3 0

2

  









 

   2

1

x



x 1

y 2





  

 hoặc

1 x 2

y 1

 





 



Thử lại, ta thấy phương trình nhận hai nghiệm (x; y) là   1

1; 2 ; ; 1

2

 

Câu 2:

1 Khai triển và rút gọn (a + b)(b + c)(c + a) = 8abc

Ta được: a2

b + b2a + b2c + c2b + c2a + a2c = 6abc

        

   

1

a b a b b c b c b c c a c a c a a b 4

ab ac ab bc ba bc ca cb ca 3

a b b c b c c a c a a b 4

a b b a b c c b c a a c 3

a b b c c a 4

6abc 3

8abc 4

Luôn luôn đúng Suy ra: Điều phải chứng minh

2 Ta có:

abc 10d e 101  101.abcabc 10d d 101100.abc 10d e 101   abcde 101.

Vậy số các số phải tìm chính là số các số tự nhiên có 5 chữ số chia hết cho 101

10000 + 100 = 101 x 100  10100 là số các số tự nhiên có 5 chữ số nhỏ nhất chia hết cho 101

99999 – 9 = 101 x 990  99990 là số các số tự nhiên có 5 chữ số lớn nhất chia hết cho 101

Vậy số các số tự nhiên có 5 chữ số chia hết cho 101 là 99990 10100 1 891

101

số

Câu 3:

1 Tứ giác AFMB nội tiếp AFB AMB

 

BMD BED

  mà ABDC nội tiếp  

1 1

D C

BDM

  ∽BCF (g.g)

Suy ra: Điều phải chứng minh

2 Do  

1 2

A A

  (gt)

Suy ra: D là điểm chính giữa cung BC

  tại trung điểm H của BC

BMD

1 DA

BC CF 2BH CF BH CF

Mà  

1 2

D C

  (chứng minh trên)

BDA

  ∽HCF (c.g.c)  

1 1

F A

 

Mà  

1 2

A A (gt) và  

2 1

A E (cùng chắn mộtc ung DC)

 

1 1

F E  EFHC nội tiếp

Câu 4: Trước hết ta chứng minh với mọi x, y, y ≥ 0, ta có: x3 + y3 + z3 ≥ 3xyz (*)

Tự chứng minh 3 số hoặc phân tích thành nhân tử, các trường THPT chuyên tại TP HCM khôn cho HS dùng Côsi Vai trò của a, b, c như nhau nên giả sử a = b = c = kd thì P đặt GTNN

Khi đó, áp dụng (*), ta có:

3 3 3

3 3

3

3 3

3

3 3

3

a b c

a b 3dab

d

b c 3bdc

d

c a 3dca

d

3d a b c abc bcd cda dab





   





   







Vậy ta tìm k thỏa mãn 3 23 12 4 4k3 3k 6 0

k k

Đặt

2

  , ta có:

3

6 35 6 35 1 k 6 35 6 35

2

Với k xác định như trên, ta được: GTNN của P bằng:

2

k

6 35 6 35



HẾT

1

1

1

2

H

E

M

D

A

C B

O