Tổ chức dạy học khái niệm hình học không gian ở lớp 11 theo định hướng phát triển năng lực sử dụng ngôn ngữ toán học và năng lực vận dụng toán học

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2 KHOA TOÁN THÂN THỊ YẾN TỔ CHỨC DẠY HỌC KHÁI NIỆM HÌNH HỌC KHÔNG GIAN Ở LỚP 11 THEO ĐỊNH HƯỚNG PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC SỬ DỤNG NGÔN NGỮ TOÁN HỌC VÀ NĂNG LỰC

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

KHOA TOÁN

THÂN THỊ YẾN

TỔ CHỨC DẠY HỌC KHÁI NIỆM HÌNH HỌC KHÔNG GIAN Ở LỚP 11 THEO ĐỊNH HƯỚNG PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC SỬ DỤNG NGÔN NGỮ TOÁN HỌC VÀ NĂNG LỰC VẬN DỤNG TOÁN HỌC

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

Chuyên ngành: Phương pháp dạy học Toán

Hà Nội - 2017

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

KHOA TOÁN

THÂN THỊ YẾN

TỔ CHỨC DẠY HỌC KHÁI NIỆM HÌNH HỌC KHÔNG GIAN Ở LỚP 11 THEO ĐỊNH HƯỚNG PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC SỬ DỤNG NGÔN NGỮ TOÁN HỌC VÀ NĂNG LỰC VẬN DỤNG TOÁN HỌC KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

Chuyên ngành: Phương pháp dạy học Toán

Người hướng dẫn khoa học:

ThS NGUYỄN VĂN HÀ

Hà Nội - 2017

LỜI CẢM ƠN

Trong thời gian nghiên cứu và hoàn thành khóa luận, em đã nhận được

sự giúp đỡ nhiệt tình của các thầy cô trong tổ phương pháp dạy học và các bạn sinh viên trong khoa Qua đây, em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới các

thầy, cô trong tổ phương pháp dạy học và đặc biệt là thầy giáo Nguyễn Văn Hà-người đã định hướng, chọn đề tài và tận tình chỉ bảo, giúp đỡ em hoàn

thiện khóa luận tốt nghiệp này

Do thời gian và kiến thức có hạn, khóa luận không tránh khỏi có những hạn chế và thiếu sót nhất định Em kính mong nhận được sự đóng góp ý kiến của quý thầy cô và các bạn sinh viên để khóa luận của em được hoàn thiện hơn

Em xin chân thành cảm ơn!

Hà Nội, tháng 5 năm 2017

Sinh viên

Thân Thị Yến

LỜI CAM ĐOAN

Tên em là: Thân Thị Yến

Sinh viên lớp: K39A-Sư phạm Toán

Trường: ĐHSP Hà Nội 2

Em xin cam đoan khóa luận này là kết quả nghiên cứu của riêng em dưới sự chỉ đạo của giáo viên hướng dẫn Và nó không trùng với kết quả của bất cứ tác giả nào khác

Hà Nội, tháng 5 năm 2017

Sinh viên

Thân Thị Yến

MỤC LỤC

LỜI MỞ ĐẦU 1

Chương 1: CƠ SỞ LÍ LUẬN VÀ THỰC TIỄN 3

1.1 Năng lực và năng lực Toán học 3

1.1.1 Năng lực 3

1.1.2 Năng lực Toán học của học sinh 5

1.2 Năng lực sử dụng ngôn ngữ Toán học và vận dụng Toán học 6

1.2.1 Năng lực sử dụng ngôn ngữ Toán học của học sinh 6

1.2.2 Năng lực vận dụng Toán học 6

1.2.3 Phát triển năng lực sử dụng ngôn ngữ Toán học và vận dụng Toán học trong dạy học khái niệm hình học 8

1.3 Dạy học khái niệm toán học ở trường phổ thông 9

1.3.1 Đại cương về định nghĩa khái niệm 9

1.3.2 Vị trí khái niệm và yêu cầu dạy học khái niệm 12

1.3.3 Một số hình thức định nghĩa khái niệm ở phổ thông 13

1.3.4 Các quy tắc định nghĩa khái niệm 14

1.3.5 Những con đường tiếp cận khái niệm 15

1.3.6 Hoạt động củng cố khái niệm 18

1.3.6 Dạy học phân chia khái niệm 20

Tiểu kết chương 1: 21

Chương 2: THIẾT KẾ HOẠT ĐỘNG DẠY HỌC KHÁI NIỆM HÌNH HỌC KHÔNG GIAN THEO HƯỚNG PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC SỬ DỤNG NGÔN NGỮ TOÁN HỌC VÀ NĂNG LỰC VÂN DỤNG 22

TOÁN HỌC 22

2.1 Phân tích nội dung quan hệ vuông góc trong không gian ở trường phổ thông 22

2.1.1 Nội dung chương trình của quan hệ vuông góc lớp 11 22

2.1.2 Nhiệm vụ dạy học nội dung quan hệ vuông góc lớp 11 22

2.2 Ứng dụng thiết kế hoạt động dạy học khái niệm hình học không gian ở trường THPT 23

2.2.1 Góc giữa hai đường thẳng trong không gian 25

2.2.2 Hai đường thẳng vuông góc 27

2.2.3 Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng 29

2.2.4 Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng 34

2.2.5 Góc giữa hai mặt phẳng 37

2.2.6 Hai mặt phẳng vuông góc 39

2.2.7 Khoảng cách 41

Tiểu kết chương 2: 45

KẾT LUẬN 46

TÀI LIỆU THAM KHẢO 49

LỜI MỞ ĐẦU

1 Lí do chọn đề tài

Trong công cuộc công nghiệp hóa, hiện đại hóa đất nước với mục tiêu đến năm 2020 đưa nước ta trở thành một nước công nghiệp theo hướng hiện đại đặt ra cho giáo dục, đào tạo nước ta những yêu cầu, thách thức mới Một trong những điểm nổi bật của việc đổi mới chương trình giáo dục phổ thông sau năm 2015 là xây dựng và phát triển chương trình theo định hướng phát triển năng lực cho học sinh Điều này đòi hỏi phải có định hướng phát triển, có tầm nhìn chiến lược, ổn định lâu dài cùng những phương pháp, hình thức, tổ chức, quản lí giáo dục và đào tạo cho phù hợp Muốn làm tốt nhiệm vụ đó thì sự nghiệp giáo dục cần được đổi mới, đặc biệt là về tư duy giáo dục và phương pháp dạy học, trong đó phương pháp dạy học môn toán là một yếu tố quan trọng, bởi vì Toán học có liên quan chặt chẽ với thực tế và liên quan đến mọi ngành khoa học khác có ứng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực khác nhau của khoa học, công nghệ, sản xuất và được coi là chìa khóa của sự phát triển

Bên cạnh đó, thực tiễn Toán học cho thấy hình học không gian nói chung và khái niệm quan hệ vuông góc trong hình học không gian nói riêng là một khái niệm mới đối với học sinh phổ thông Nó đòi hỏi sự tưởng tượng ra hình thật , nhận biết đúng quan hệ thật từ hình vẽ biểu diễn của hình không gian Đây là một điều khó khăn với học sinh, rất nhiều học sinh còn bộc lộ yếu kém, hạn chế năng lực Do vậy việc rèn luyện và phát triển năng lực cho học sinh nói chung và học sinh phổ thông nói riêng là vấn đề cấp bách

Vì những lí do trên, tôi chọn đề tài nghiên cứu là“Tổ chức dạy học khái niệm hình học không gian ở lớp 11 theo định hướng phát triển năng lực sử dụng ngôn ngữ Toán học và năng lực vận dụng Toán học” 2.Mục đích nghiên cứu

Nhằm định hướng phát triển năng lực của học sinh đối với việc học tập khái niệm của chủ đề phép biến hình trong mặt phẳng

Thiết kế hoạt động dạy học khái niệm toán học thuộc chủ đề quan hệ vuông góc trong không gian ở lớp 11 trường THPT theo hướng phát triển năng lực học sinh góp phần nâng cao chất lượng và hiệu quả của việc dạy học môn toán ở phổ thông

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

- Nghiên cứu về lí luận:

+ Năng lực và năng lực toán học của học sinh

+ Dạy học toán theo hướng tiếp cận năng lưc học sinh

+ Dạy học khái niệm toán học và nội dung dạy học khái niệm thuộc chủ đề quan hệ vuông góc trong không gian ở lớp 11 trường THPT

- Thiết kế hoạt động dạy học khái niệm toán học thuộc chủ đề quan

hệ vuông góc trong không gian ở lớp 11 trường THPT

4 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

Các khái niệm Toán học thuộc chủ đề quan hệ vuông góc trong không gian ở lớp 11 trường THPT

5 Phương pháp nghiên cứu

Nghiên cứu lí luận về năng lực, năng lực toán học của học sinh, về phương pháp dạy học khái niệm môn toán

Tổng kết kinh nghiệm tham khảo các giáo án, bài giảng theo phương pháp dạy học theo định hướng phát triển năng lực học sinh

Nghiên cứu nội dung chương trình, sách giáo khoa môn Toán thuộc chủ đề quan hệ vuông góc trong không gian ở lớp 11 trường THPT

6 Cấu trúc đề tài

Ngoài phần mở đầu, kết luận, mục lục và tài liệu tham khảo luận văn gồm hai chương:

Chương 1: Cơ sở lí luận và thực tiễn

Chương 2: Thiết kế hoạt động dạy học khái niệm hình học không gian theo hướng phát triển năng lực sử dụng ngôn ngữ Toán học và năng lực vận dụng Toán học

Chương 1: CƠ SỞ LÍ LUẬN VÀ THỰC TIỄN 1.1 Năng lực và năng lực Toán học

1.1.1 Năng lực

Theo quan điểm của những nhà tâm lý học Năng lực là tổng hợp các đặc điểm, thuộc tính tâm lý của cá nhân phù hợp với yêu cầu, đặc trưng của một hoạt động, nhất định nhằm đảm bảo cho hoạt động đó đạt hiệu quả cao

Các năng lực hình thành trên cơ sở của các tư chất tự nhiên của cá nhân mới đóng vai trò quan trọng, năng lực của con người không phải hoàn toàn do

tự nhiên mà có, phần lớn do công tác, do tập luyện mà có

Tâm lý học chia năng lực thành các dạng khác nhau như năng lực chung và năng lực chuyên môn

+ Năng lực chung là năng lực cần thiết cho nhiều ngành hoạt động khác nhau như năng lực phán xét tư duy lao động, năng lực khái quát hoá, năng lực luyện tập, năng lực tưởng tưởng

+ Năng lực chuyên môn là năng lực đặc trưng trong lĩnh vực nhất định của xã hội như năng lực tổ chức, năng lực âm nhạc, năng lực kinh doanh, hội hoạ, năng lực toán học

Năng lực chung và năng lực chuyên môn có quan hệ qua lại hữu cơ với nhau, năng lực chung là cơ sở của năng lực chuyên môn, nếu chúng càng phát triển thì càng dễ thành đạt được năng lực chuyên môn Ngược lại sự phát triển của năng lực chuyên môn trong những điều kiện nhất định lại có ảnh hưởng đối với sự phát triển của năng lực chung Trong thực tế mọi hoạt động có kết quả và hiệu quả cao thì mỗi người đều phải có năng lực chung phát triển ở trình độ cần thiết và có một vài năng lực chuyên môn tương ứng với lĩnh vực công việc của mình

Năng lực còn được hiểu theo một cách khác, năng lực là tính chất tâm sinh lý của con người chi phối quá trình tiếp thu kiến thức, kỹ năng và kỹ xảo tối thiểu là cái mà người đó có thể dùng khi hoạt động

Trong điều kiện bên ngoài như nhau những người khác nhau có thể tiếp thu các kiến thức kỹ năng và kỹ xảo đó với nhịp độ khác nhau có người tiếp thu nhanh, có người phải mất nhiều thời gian và sức lực mới tiếp thu được, người này có thể đạt được trình độ điêu luyện cao còn người khác chỉ đạt được trình trung bình nhất định tuy đã hết sức cố gắng Thực tế cuộc sống có một số hình thức hoạt động như nghệ thuật, khoa học, thể thao Những hình thức mà chỉ những người có một số năng lực nhất định mới có thể đạt kết quả

Để nắm được cơ bản các dấu hiệu khi nghiên cứu bản chất của năng lực

ta cần phải xem xét trên một số khía cạnh sau:

- Năng lực là sự khác biệt tâm lý của cá nhân người này khác người kia, nếu một sự việc thể hiện rõ tính chất mà ai cũng như ai thì không thể nói về năng lực

- Năng lực chỉ là những khác biệt có liên quan đến hiệu quả việc thực hiện một hoạt động nào đó chứ không phải bất kỳ những sự khác nhau cá biệt chung chung nào

- Năng lực con người bao giờ cũng có mầm mống bẩm sinh tuỳ thuộc vào sự tổ chức của hệ thống thần kinh trung ương, nhưng nó chỉ được phát triển trong quá trình hoạt động, phát triển của con người, trong xã hội có bao nhiêu hình thức hoạt động của con người thì cũng có bấy nhiêu loại năng lực,

có người có năng lực về quản lý kinh tế, có người có năng lực về Toán học,

có người có năng lực về kỹ thuật, có người có năng lực về thể thao

- Cần phân biệt năng lực với tri thức, kỹ năng, kỹ xảo: Tri thức là những hiểu biết thu nhân được từ sách vở, từ học hỏi và từ kinh nghiệm cuộc sống của mình Kỹ năng là sự vận dụng bước đầu những kiến thức thu lượm

vào thực tế để tiến hành một hoạt động nào đó Kỹ xảo là những kỹ năng được lắp đi lặp lại nhiều lần đến mức thuần thục cho phép con người không phải tập trung nhiều ý thức vào việc mình đang làm Còn năng lực là một tổ hợp phầm chất tương đối ổn đinh, cơ bản của cá nhân, cho phép nó thực hiện

có kết quả một hoạt động Như vậy năng lực chỉ làm cho việc tiếp thu các kiến thức kỹ năng, kỹ xảo trở nên dễ dàng hơn

1.1.2 Năng lực Toán học của học sinh

Theo V.A.Krutetxki thì khái niệm năng lực toán học được hiểu dưới hai bình diện sau:

Năng lực nghiên cứu toán học là năng lực sáng tạo, các năng lực hoạt động toán học tạo ra được các kết quả, thành tựu mới, khách quan và quý giá

Năng lực toán học của học sinh là năng lực học tập giáo trình phổ thông, lĩnh hội nhanh chóng và có kết quả cao các kiến thức, kỹ năng, kỹ xảo tương ứng

- Năng lực toán học của học sinh:

Từ khái niệm về năng lực ta có thể đi đến khái niệm về năng lực toán học của học sinh: “Năng lực toán học là những đặc điểm tâm lí đáp ứng được yêu cầu hoạt động học toán và tạo điều kiện lĩnh hội các kiến thức, kĩ năng trong lĩnh vực toán học tương đối nhanh chóng, dễ dàng, sâu sắc trong những điều kiện như nhau”

- Cấu trúc về năng lực toán học của học sinh:

+ Năng lực tính toán, giải toán

+ Năng lực tư duy toán học

+ Năng lực giao tiếp toán học

+ Năng lực vận dụng toán học vào thực tiễn

+ Năng lực giải quyết vấn đề

+ Năng lực sáng tạo toán học

1.2 Năng lực sử dụng ngôn ngữ Toán học và vận dụng Toán học

1.2.1 Năng lực sử dụng ngôn ngữ Toán học của học sinh

-Tư duy là một qúa trình tâm lý phản ánh những thuộc tính bản chất, những mối liên hệ và quan hệ bên trong có tính quy luật của sự vật hiện tượng trong hiện thực khách quan mà trước đó ta chưa biết

- Ngôn ngữ là một hệ thống phức tạp con người sử dụng để liênlạc hay giao tiếpvới nhau cũng như chỉ chính năng lực của con người có khả năng sử dụng một hệ thống như vậy

- Mối quan hệ giữa tư duy và ngôn ngữ:

Ngôn ngữ cố định lại kết quả của tư duy, là phương tiện biểu đạt kết quả tư duy, do đó có thể khách quan hóa kết quả tư duy cho người khác và cho bản thân chủ thể tư duy

Nhờ có ngôn ngữ mà con người sử dụng các kết quả nhận thức (quy tắc, khái niệm, công thức, quy luật…) và kinh nghiệm của bản thân vào quá trình tư duy (phân tích, tổng hợp, so sánh, khái quát…) để nhận thức được cái bên trong, bản chất của sự vật hiện tượng

Ngược lại, nếu không có tư duy thì ngôn ngữ chỉ là những chuỗi âm thanh vô nghĩa Tuy nhiên, ngôn ngữ không phải là tư duy mà chỉ là phương tiện của tư duy

Như vậy, trong quá trình dạy học toán việc phát triển năng lực sử dụng ngôn ngữ Toán học gắn liền với phát triển tư duy Toán học

1.2.2 Năng lực vận dụng Toán học

Hiện nay, các nhà giáo dục và các nhà sư phạm đều thống nhất về việc đánh giá theo cấp độ nhận thức tri thức từ thấp tới cao của học sinh trong học tập như sau:

- Nhận biết:

Nhớ lại, tái hiện được nội dung tri thức, liệt kệ, thuật lại, nhận dạng tri thức

Yêu cầu của nhận biết là nhớ lại, tái hiện lại được khái niệm và nhận dạng được khái niệm Đây là cấp độ thấp nhất của kết quả học tập trong lĩnh vực nhận thức

ở mức độ nhận thức này

Như vậy, năng lực vận dụng là cấp độ tư duy cao nhất trong lĩnh vực nhận thức các tri thức của học sinh trong học tập

1.2.3 Phát triển năng lực sử dụng ngôn ngữ Toán học và vận dụng Toán học trong dạy học khái niệm hình học

a) Định hướng phát triển năng lực học sinh trong dạy học

Phương pháp dạy học theo định hướng phát triển năng lực chủ trương giúp người học không chỉ biết học thuộc, ghi nhớ mà còn phải biết làm thông qua các hoạt động cụ thể, sử dụng những tri thức học được để giải quyết các tình huống do cuộc sống đặt ra

Do đó, định hướng phát triển năng lực học sinh trong dạy học kiến thức

mới là “Tăng cường cho học sinh được trải nghiệm qua các hoạt động tư duy

trong quá trình hình thành, kiến tạo tri thức; đồng thời chú trọng các hoạt động vận dụng tri thức để giải quyết được vấn đề đặt ra trong các tình huống của thực tiễn” [3]

b) Phát triển năng lực sử dụng ngôn ngữ Toán học

Phát triển ngôn ngữ trong dạy học toán bao gồm phát triển đồng thời cả ngôn ngữ nói và ngôn ngữ viết

- Ngôn ngữ Toán học: (Ngôn ngữ viết)

+ Diễn tả nội dung kiến thức Toán học, tình huống Toán học chủ yếu bằng kí hiệu Toán học là tên gọi gán cho từng đối tượng cụ thể trong tình huống đó;

+ Nội dung kiến thức sẽ được lưu lại một cách ngắn gọn, xúc tích, thuận tiện cho việc ghi chép, lưu giữ chúng dưới dạng văn bản, nhưng khó khăn hơn trong việc lưu giữ trong trí não so với ngôn ngữ thông thường

+ Ngôn ngữ Toán học giúp học sinh nhanh chóng nhận rõ nhiệm vụ Toán học của vấn đề cần giải quyết và cấu trúc chứng minh Toán học

- Ngôn ngữ thông thường: (Ngôn ngữ nói)

+ Diễn tả nội dung kiến thức Toán học, tình huống Toán học chỉ bằng ngôn ngữ nói thông thường, không chứa các kí hiệu Toán học là tên gọi gán cho từng đối tượng cụ thể trong tình huống đó;

+ Nội dung kiến thức sẽ mang tính khái quát cao vì trong đó không lệ thuộc vào các kí hiệu là tên gọi gán cho các đối tượng cụ thể

+ Ngôn ngữ thông thường giúp học sinh dễ dàng ghi nhớ trong trí não, nhanh chóng tái hiện và sử dụng kiến thức để giải quyết các tình huống đặt ra trong thực tiễn

Phát triển năng lực sử dụng ngôn ngữ Toán học là hình thành cho học sinh kĩ năng thực hiện chuyển đổi các kiến thức Toán học, các tình huống

Toán học từ ngôn ngữ Toán học sang ngôn ngữ thông thường và ngược lại c) Phát triển năng lực vận dụng Toán học

để phát triển năng lực vận dụng Toán học đòi hỏi tổ chức cho học sinh được trải nghiệm qua các hoạt động củng cố trong dạy học:

- Liên hệ, sử dụng các kiến thức vừa học vào thực tế đời sống xung quanh học sinh

- Tăng cường áp dụng các kiến thức vừa học (Các quy tắc, phương pháp, khái niệm, …) để giải quyết vấn đề trong học tập hoặc trong cuộc sống

1.3 Dạy học khái niệm toán học ở trường phổ thông

1.3.1 Đại cương về định nghĩa khái niệm

a) Khái niệm

Khái niệm là một hình thức tư duy phản ánh tư tưởng chung, đặc trưng bản chất của lớp đối tượng hoặc quan hệ giữa các đối tượng

Như vậy có hai loại khái niệm:

- Khái niệm về lớp đối tượng: Chẳng hạn như khái niệm: “Hình chóp”,

“Hình chóp đều”,…

+ Hình chóp: “Trong mặt phẳng (P) cho đa giác A1A2A3…An và điểm S không thuộc mặt phẳng (P) Hình tạo bởi n miền tam giác SA1A2A3…An gọi

là hình chóp SA1A2A3…An”

+ Hình chóp đều: Một hình chóp được gọi là hình chóp đều nếu đáy của

nó là một đa giác đều và các cạnh bên bằng nhau

- Khái niệm về quan hệ đối tượng: Chẳng hạn như khái niệm: “Phương trình tương đương”,…

+ Phương trình tương đương: Hai phương trình cùng ẩn được gọi là tương đương nếu chúng có cùng tập nghiệm

• Nội hàm và ngoại diên của khái niệm

Ngoại diên của khái niệm: Tập hợp các đối tượng hoặc lớp đối tượng phản ánh trong định nghĩa khái niệm

Nội hàm của khái niệm: Tập hợp các thuộc tính chung của lớp đối tượng tương đương hoặc quan hệ đối tượng

Ví dụ 1: Xét khái niệm “Hình vuông là hình chữ nhật có hai cạnh kề bằng nhau”

Ta thấy rằng ngoại diên của khái niệm trên là tập hợp tất cả các hình vuông, nội hàm của khái niệm trên là “hai cạnh kề bằng nhau”

Giữa nội hàm và ngoại diên có mối quan hệ mang tính quy luật, nội hàm càng được mở rộng thì ngoại diên càng bị thu hẹp và ngược lại Thật vậy nếu ta mở rộng nội hàm của khái niệm hình bình hành, chẳng hạn bổ sung thêm đặc điểm “có một góc vuông” thì ta sẽ được lớp các hình chữ nhật là một bộ phận thực sự của lớp các hình bình hành

• Định nghĩa khái niệm

Định nghĩa một khái niệm là một thao tác logic nhằm phân biệt lớp đối tượng xác định khái niệm này với các đối tượng khác, thường bằng cách vạch

ra nội hàm của khái niệm đó

Các định nghĩa thường có cấu trúc sau:

Từ mới (biểu thị khái

niệm mới)

(Những) từ chỉ miền đối

tượng đã biết (loại)

Tân từ (diễn tả khác biệt

về chúng)

Ví dụ: “Hình vuông là hình chữ nhật có hai cạnh liên tiếp bằng nhau” Trong định nghĩa trên, từ mới là “hình vuông”, loại hay miền đối tượng

là “hình chữ nhật”, sự khác biệt về chúng là “hai cạnh liên tiếp bằng nhau”

Miền đối tượng (loại) và các thuộc tính về chúng tạo thành đặc trưng của khái niệm Đặc trưng của khái niệm là điều kiện cần và đủ để xác định khái niệm đó Nói chung, có nhiều cách nêu đặc trưng của cùng một khái niệm, tức là có thể định nghĩa cùng một khái niệm theo nhiều cách khác nhau Chẳng hạn, hình vuông ngoài định nghĩa nêu trong ví dụ trên, còn có thể định nghĩa theo một cách khác như “Hình vuông là hình thoi có một góc vuông”

Khi xét một đối tượng xem có thuộc một ngoại diên của một khái niệm nào đó hay không, người ta thường quan tâm những thuộc tính của đối tượng đó: Những thuộc tính nào nằm trong nội hàm của khái niệm đang xét thì được coi là thuộc tính bản chất, còn những thuộc tính nào không thuộc nội hàm của khái niệm đó thì được gọi là thuộc tính không bản chất đối với khái niệm đang xét

• Khái niệm không định nghĩa

Định nghĩa khái niệm mới thường dựa vào một hay nhiều khái niệm đã biết Ví dụ về định nghĩa khái niệm hình vuông ta cần định nghĩa hình chữ nhật, để định nghĩa hình chữ nhật ta cần định nghĩa hình bình hành, để định nghĩa hình bình hành ta cần định nghĩa tứ giác,… Tuy nhiên, quá trình này không thể kéo dài vô hạn, tức là phải có khái niệm được thừa nhận làm điểm xuất phát, gọi là những hái niệm nguyên thủy trong Toán học

Ở trường phổ thông, chúng ta thấy có một số khái niệm cũng không được định nghĩa vì lí do sư phạm, mặc dù chúng có thể được định nghĩa trong Toán học

Đối với những khái niệm không định nghĩa ở trường phổ thông, cần mô

tả giải thích thông qua những ví dụ cụ thể để học sinh hình dung được những khái niệm này, hiểu được chúng một cách trực giác

1.3.2 Vị trí khái niệm và yêu cầu dạy học khái niệm

a) Vị trí dạy học khái niệm

Trong vệc dạy học toán, cũng như việc dạy học bất cứ một khoa học nào ở trường phổ thông, điều quan trọng bậc nhất là hình thành một cach vững chắc cho học sinh một hệ thống khái niệ Việc hình thành một hệ thống khái niệm Toán học là nền tảng của toàn bộ kiến thức Toán, là tiền đề hình thành khả năng vận dụng hiệu quả các kiến thức đã học, có tác dụng lớn đến việc phát triển trí tuệ, đồng thời góp phần giáo dục thế giới quan cho học sinh qua việc nhận thức đúng đắn quá trình phát sinh và phát triển của các khái niệm Toán học

b) Yêu cầu của dạy học khái niệm

Nắm vững các đặc trưng cho một khái niệm

Biết nhận dạng khái niệm, tức là biết phát hiện xem một đối tượng cho trước có thuộc phạm vi một khái niệm nào đó hay không, đồng thời biết thể hiện khái niệm

Biết phát biểu rõ ràng, chính xác định nghĩa của một khái niệm

Biết vận dụng khái niệm trong những tình huống cụ thể trong hoạt động giải toán và ứng dụng vào thực tiễn

Biết phân loại khái niệm và nắm được mối quan hệ của một khái niệm với những khái niệm khác trong một hệ thống khái niệm

1.3.3 Một số hình thức định nghĩa khái niệm ở phổ thông

a) Định nghĩa theo phương pháp loại- chủng

- Nội dung: Định nghĩa theo phương pháp loại - chủng là một hình thức định nghĩa nêu lên khái niệm loại và đặc tính của chúng (Vạch rõ nội dung của khái niệm, nêu rõ dấu hiệu đặc trưng của đối tượng được phản ánh vào trong khái niệm)

- Cấu trúc: Khái niệm được định nghĩa = Khái niệm loại + Dấu hiệu đặc trưng của chúng

- Ví dụ: Hình vuông là hình chữ nhật có hai cạnh kề bằng nhau

Trong đó: Hình vuông: Là khái niệm được định nghĩa

Hình chữ nhật: Là khái niệm loại

Hai cạnh kề bằng nhau: Dấu hiệu đặc trưng của chúng

b) Định nghĩa bằng quy ước

- Nội dung: Định nghĩa bằng quy ước là hình thức định nghĩa gán cho đối tượng cần định nghĩa một tên gọi hay một đối tượng nào đó đã biết

- Ví dụ: a0 = 1 (a  0)

c) Định nghĩa bằng phương pháp tiên đề

- Nội dung: Định nghĩa bằng phương pháp tiên đề là hình thức định nghĩa gián tiếp các khái niệm cơ bản thông qua các tiên đề

- Ví dụ: ABC = A’B’C’ nếu: , , , AB= A’B’, AC= A’C’, BC= B’C’

1.3.4 Các quy tắc định nghĩa khái niệm

a) Quy tắc 1: Định nghĩa phải tương xứng

Định nghĩa theo quy tắc này nghĩa là phạm vi của khái niệm định nghĩa

và khái niệm được định nghĩa phải bằng nhau

Định nghĩa không tương xứng là định nghĩa mà phạm vi của khái niệm quá hẹp hay qúa rộng so với khái niệm được định nghĩa

Ví dụ:

- Số vô tỉ là số thập phân vô hạn

Trong đó: Số vô tỉ là khái niệm được định nghĩa

Số thập phân vô hạn là khái niệm định nghĩa

 Phạm vi của khái niệm được định nghĩa nhỏ hơn khái niệm định nghĩa Vậy định nghĩa khái niệm trên không tương xứng

- Đẳng thức là hai biểu thức bằng nhau, nối với nhau bởi dấu “=” Trong đó: Đẳng thức là khái niệm được định nghĩa

Hai biểu thức bằng nhau được nối với nhau bởi dấu “=”

 Phạm vi của khái niệm được định nghĩa lớn hơn khái niệm định nghĩa Vậy định nghĩa khái niệm trên không tương xứng

- Phương trình là đẳng thức chứa ít nhất một chữ và không phải hằng

đẳng thức

Trong đó: Phương trình là khái niệm được định nghĩa

Đẳng thức chứa ít nhất một chữ và không phải hằng đẳng

thức là khái niệm định nghĩa

 Phạm vi của khái niệm được định nghĩa vừa rộng, vừa hẹp hơn khái niệm định nghĩa Vậy định nghĩa khái niệm trên không tương xứng

b) Quy tắc 2: Định nghĩa không được vòng quanh

Định nghĩa theo quy tắc này có nghĩa là định nghĩa khái niệm mới phải dựa vào khái niệm đã biết, đã học

Ví dụ: Số vô tỉ là số thực không hữu tỷ

Trong đó: Số vô tỷ là khái niệm được định nghĩa

Số thực là khái niệm định nghĩa chưa biết

Số hữu tỷ là khái niệm định nghĩa đã biết

 Vậy định nghĩa khái niệm trên đã vi phạm quy tắc 2

c) Quy tắc 3: Định nghĩa phải tối thiểu

Định nghĩa theo quy tắc này có nghĩa là trong nội dung khái niệm định nghĩa không chứa những thuộc tính mà có thể suy ra được những thuộc tính còn lại

Ví dụ: Hình bình hành là tứ giác phẳng có các cạnh đối diện song song

và bằng nhau

 Định nghĩa trên đã vi phạm quy tắc 3, vì tính chất tứ giác “có các

cạnh đối diện song song” đã bao gồm tính chất “tứ giác phẳng” và có các

cạnh đối diện “bằng nhau”

d) Quuy tắc 4: Định nghĩa không dung lối phủ định nếu loại không được phân chia thành hai tập hơp triệt để (tức là khái niệm loại không bao gồm khai khái niệm âu thuẫn)

Ngoài ra: Định nghĩa phải có giá trị, nhưng không được đa trị

Định nghĩa đưa ra không được chứa đựng mâu thuẫn hoặc không mâu thuẫn với các định nghĩa khác

1.3.5 Những con đường tiếp cận khái niệm

Con đường tiếp cận khái niệm được hiểu là quá trình hoạt động và tư duy dẫn tới một sự hiểu biết về khái niệm đó nhờ định nghĩa tường minh nhờ

mô tả, nhờ trực giác, ở mức độ nhận biết một đối tượng hoặc một tình huống

có thuộc khái niệm đó hay không

Trong dạy học, người ta phân biệt ba con đường tiếp cận khái niệm:

• Con đường quy nạp

• Con đường suy diễn

• Con đường kiến thiết

a) Tiếp cận khái niệm theo con đường quy nạp

- Nội dung: Xuất phát từ các trường hợp riêng lẻ, mô hình vẽ, vật thật,

… Giáo viên dẫn dắt học sinh phân tích, so sánh, khái quát hóa, … Tìm ra dấu hiệu đặc trưng của khái niệm và thể hiện ra các trường hợp cụ thể đó, từ đó đi đến định nghĩa tường minh hay hiểu biết trực giác của khái niệm

- Ưu- Nhược điểm:

Ưu điểm: Rèn luyện được thao tác tư duy, phân tích, tổng hợp

Phát huy được tính tích cực, chủ động, của học sinh

Nhược điểm: Tốn nhiều thời gian

b) Tiếp cận khái niệm theo con đường suy diễn

+ Bước 1: Xuất phát từ một khái niệm đã biết, thêm vào nội hàm khái niệm đó một số đặc điểm mà ta quan tâm

+ Bước 2: Phát biểu một định nghĩa bằng cách nêu tên khái niệm mới

và định nghĩa nó nhờ một khái niệm tổng quát hóa hơn cùng với những đặc điểm để hạn chế một bộ phận trong khái niệm tổng quát đó

+ Bước 3: Đưa ra một số ví dụ đơn giản để minh họa cho khái niệm vừa được định nghĩa

- Ưu- Nhược điểm

Ưu điểm: Tiết kiệm thời gian và thuận lợi cho việc tập dượt cho học sinh tự học những khái niệm Toán học thông qua sách và tài liệu, hoặc nghe những báo cáo trên lĩnh vực Toán học

Nhược điểm: Hạn chế về mặt khuyến khích học sinh phát triển những năng lực trí tuệ chung như phân tích, tổng hợp, so sánh, trìu tượng hóa và khái quát hóa

- Điều kiện sử dụng:

Khi có thể gọi cho học sinh quan tâm tới một khái niệm làm điểm xuất phát và một đặc điểm có thể bổ sung vào nội hàm của khái niệm đó để định nghĩa một khái niệm khác hẹp hơn

c) Tiếp cận khái niệm theo con đường kiến thiết

- Nội dung: Con đường kiến thiết có yếu tố quy nạp và suy diễn Yếu

tố suy diễn thể hiện ở chỗ xuất phát từ những yêu cầu để xây dựng một hay nhiều đối tượng đại diện cho khái niệm cấu hình thành Yếu tố quy nạp thể hiện ở chỗ khái quát hóa quá trình xây dựng những đối tượng đại diện riêng lẻ

đi đến đặc điểm tổng quát đặc trưng cho khái niệm cần định nghĩa

+ Bước 2: Khái quát hóa quá trình xây dựng những đối tượng đại diện,

đi tới đặc điểm đặc trưng cho khái niệm cần hình thành

+ Bước 3: Phát biểu định nghĩa

- Ưu- Nhược điểm:

Ưu điểm: Thuận lợi cho việc khơi dậy hoạt động tự giác, tích cực của học sinh và rèn luyện khả năng giải quyết vấn đề trong quá trình tiếp cận khái niệm

Nhược điểm: Tốn nhiều thời gian

1.3.6 Hoạt động củng cố khái niệm

Quá trình tiếp cận khái niệm chưa kết thúc khi phát biểu được định nghĩa khái niệm đó Một khâu rất quan trọng là củng cố khái niệm, khâu này thường được thực hiện bằng các hoạt động:

• Hoạt động nhận dạng và thể hiện khái niệm

• Hoạt động ngôn ngữ

• Hoạt động luyện tập, vận dụng

a) Nhận dạng và thể hiện khái niệm

Nhận dạng và thể hiện khái niệm là hai dạng hoạt động theo chiều

hướng trái ngược nhau, có tác dụng củng cố khái niệm, tạo tiền đề cho việc

vận dụng khái niệm Nhận dạng một khái niệm là phát hiện xem một đối tượng cho trước có thỏa mãn định nghĩa đó hay không Thể hiện một khái

niệm là tạo một đối tượng thỏa mãn định nghĩa đó

Khi tập dượt cho học sinh nhận dạng và thể hiện một khái niệm cần lưu ý:

Thứ nhất, cần sử dụng cả những đối tượng ngoại diên lẫn những đối

tượng không thuộc ngoại diên khái niệm đó

Thứ hai, đối với những đối tượng thuộc ngoại diên của khái niệm đang

xét thì cần đưa ra cả những trường hợp đặc biệt, trong đó một đối tượng mang những đặc tính nổi bật nhưng không phải là thuộc tính bản chất đối với khái niệm đang xét vừa giúp học sinh hiểu biết sâu sắc về đặc trưng của khái niệm lại vừa rèn luyện cho các em khả năng trìu tượng hóa thể hiện ở chỗ biết phân biệt và tách đặc điểm bản chất khỏi đặc điểm không bản chất

Thứ ba, đối với những đối tượng không thuộc ngoại diên của đối tượng

đang xét, trong trường hợp đặc trưng của khái niệm có cấu trúc hội, các phản

ví dụ thường được xây dựng sao cho chỉ trừ một thành phần trong cấu trúc hội, còn các thuộc tính thành phần khác đề được thỏa mãn

Thứ tư, trường hợp tính đặc trưng của khái niệm có cấu trúc hội của hai

điều kiện, cần làm rõ cấu trúc này và hướng dẫn học sinh vận dụng thuật giải

c) Khái quát hóa, đặc biệt và hệ thống hóa

Khái quát hóa tức là mở rộng khái niệm

Đặc biệt hóa, ví dụ như xét hình bình hành đặc biệt với một góc vuông

để được hình chữ nhật hoặc có hai cạnh liên tiếp bằng nhau để được một hình thoi

Hệ thống hóa, chủ yếu là biết sắp xếp khái niệm mới vào hệ thống khái niệm đã học, nhận biết mối quan hệ giữa những khái niệm khác nhau trong một hệ thống khái niệm, đặc biệt chú ý quan hệ chủng – loại giữa hai khái niệm

Rộng hơn nữa, việc vận dụng khái niệm để giải quyết những vấn đề nảy sinh trong Toán học và trong đời sống không những có tác dụng củng cố khái niệm mà còn là mục tiêu sâu xa của việc học tập khái niệm

1.3.6 Dạy học phân chia khái niệm

Khi ta định nghĩa một khái niệm, thì nội hàm và ngoại diên của nó được xác định Ngoại diên của khái niệm sẽ còn được sáng tỏ hơn nữa nhờ sự phân chia khái niệm Biết phân chia khái niệm là một trong những biểu hiện của việc nắm vững khái niệm Toán học cũng như những khái niệm thuộc bất kì một môn học nào

Một khái niệm có ngoại diên là A được phân chia thành các khái niệm

có ngoại diên tương ứng A1, A2, , An thỏa mãn điều kiện sau:

i Ai   với i= 1; 2; …; n

ii Ai  Aj với ij

iii = A

Các quy tắc phân chia khái niệm: A Ai, i= 1; 2; …; n

+ Phân chia phải không giao nhau: Ai  Aj với ij

+ Phân chia khái niệm phải thích hợp, phải triệt để: = A

để phát triển năng lực vận dụng Toán học đòi hỏi tổ chức cho học sinh được trải nghiệm qua các hoạt động củng cố trong dạy học:

- Liên hệ, sử dụng các kiến thức vừa học vào thực tế đời sống xung quanh học sinh

- Tăng cường áp dụng các kiến thức vừa học (Các quy tắc, phương pháp, khái niệm, …) để giải quyết vấn đề trong học tập hoặc trong cuộc sốnĐịnh hướng chung về phát triển năng lực học sinh trong dạy học khái niệm hình học ở trường phổ thông

Số vô

tỷ Số hữu tỷ

nguyên

Số hữu tỷ không nguyên

Số hữu tỷ không nguyên

Số thực