Thiết kế các hoạt động dạy học khái niệm hình học thuộc chủ đề phép biến hình trong mặt phẳng ở lớp 11 theo định hướng phát triển năng lực (Khóa luận tốt nghiệp)

Thiết kế các hoạt động dạy học khái niệm hình học thuộc chủ đề phép biến hình trong mặt phẳng ở lớp 11 theo định hướng phát triển năng lực (Khóa luận tốt nghiệp)Thiết kế các hoạt động dạy học khái niệm hình học thuộc chủ đề phép biến hình trong mặt phẳng ở lớp 11 theo định hướng phát triển năng lực (Khóa luận tốt nghiệp)Thiết kế các hoạt động dạy học khái niệm hình học thuộc chủ đề phép biến hình trong mặt phẳng ở lớp 11 theo định hướng phát triển năng lực (Khóa luận tốt nghiệp)Thiết kế các hoạt động dạy học khái niệm hình học thuộc chủ đề phép biến hình trong mặt phẳng ở lớp 11 theo định hướng phát triển năng lực (Khóa luận tốt nghiệp)Thiết kế các hoạt động dạy học khái niệm hình học thuộc chủ đề phép biến hình trong mặt phẳng ở lớp 11 theo định hướng phát triển năng lực (Khóa luận tốt nghiệp)Thiết kế các hoạt động dạy học khái niệm hình học thuộc chủ đề phép biến hình trong mặt phẳng ở lớp 11 theo định hướng phát triển năng lực (Khóa luận tốt nghiệp)Thiết kế các hoạt động dạy học khái niệm hình học thuộc chủ đề phép biến hình trong mặt phẳng ở lớp 11 theo định hướng phát triển năng lực (Khóa luận tốt nghiệp)Thiết kế các hoạt động dạy học khái niệm hình học thuộc chủ đề phép biến hình trong mặt phẳng ở lớp 11 theo định hướng phát triển năng lực (Khóa luận tốt nghiệp)Thiết kế các hoạt động dạy học khái niệm hình học thuộc chủ đề phép biến hình trong mặt phẳng ở lớp 11 theo định hướng phát triển năng lực (Khóa luận tốt nghiệp)

Trang 1

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

KHOA TOÁN

Nguyễn Thị Phương Nga

THIẾT KẾ CÁC HOẠT ĐỘNG DẠY HỌC KHÁI NIỆM HÌNH HỌC THUỘC CHỦ ĐÈ PHÉP BIẾN HÌNH TRONG

MẶT PHÁNG Ở LỚP 11 THEO ĐỊNH HƯỚNG PHÁT TRIEN NANG LUC

KHOA LUAN TOT NGHIEP DAI HOC

Hà Nội - 2016

Trang 2

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG DẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

KHOA TOÁN

Nguyễn Thị Phương Nga

THIẾT KẾ CÁC HOẠT ĐỘNG DẠY HỌC KHÁI NIỆM HÌNH HỌC THUỘC CHỦ ĐÈ PHÉP BIÊN HÌNH TRONG

MAT PHANG LOP 11 THEO ĐỊNH HƯỚNG PHÁT TRIEN NANG LUC

Chuyên nghành: Phương pháp dạy học Tốn

KHĨA LUẬN TÓT NGHIỆP ĐẠI HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC TS PHẠM THỊ DIỆU THÙY

Hà Nội - 2016

Trang 3

Trong thời gian nghiên cứu và hồn thành khóa luận, em đã nhận được sự giúp đỡ nhiệt tình của các thầy cô trong tổ phương pháp dạy học và các bạn sinh viên trong khoa Qua đây, em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới các thầy, cô trong tô phương pháp dạy học và đặc biệt là cô giáo Phạm Thị Diệu Thùy- người đã định hướng, chọn đề tải và tận tình chỉ bảo, giúp đỡ em hoàn thiện khóa luận tốt nghiệp này

Do thời gian và kiến thức có hạn, khóa luận khơng tránh khỏi có những hạn chế và thiêu sót nhất định Em kính mong nhận được sự đóng góp ý kiến của quý thầy cô và các bạn sinh viên để khóa luận của em được hoàn thiện hơn

Em xin chân thành cảm ơn!

Hà Nội, tháng 5 năm 2016

Sinh viên

Trang 4

Lời cam đoan

Tên em là: Nguyễn Thị Phương Nga Sinh viên lớp: K38D- Sư phạm Toán Trường ĐHSP Hà Nội 2

Em xin cam đoan khóa luận này là kết quả nghiên cứu của riêng em dưới sự chỉ đạo của giáo viên hướng dẫn Và nó khơng trùng với kết quả của bất cứ tác giả nào khác

Hà Nội, tháng 5 năm 2016 Sinh viên

Trang 5

1.1 Năng lực và năng lực Toán học -«ceeeeeeseeeereeiiee 3 1.2 Định hướng phát triển năng lực của học sinh trong dạy học toán ở trường phố thông << sssecssses MÀ 444804004 5 1.3 Dạy học khái niệm toán học ớ trường phố thông se” 1.3.1 Đại cương về định nghĩa khái niệm ue 7 1.3.2 Vi tri của khái niệm và yêu cầu dạy học khái niệm 11 1.3.3 Một số hình thức định nghĩa khái niệm thường gặp ở trường

DI) On -

1.3.4 Các quy tắc định nghĩa khái niệm . -2- +2 1.3.5 Những con đường tiếp cận khái niệm

1.3.6 Hoạt động cúng cố khái niệm

1.3.7 Dạy học phân chia khái niệm

Chương 2: Ứng dụng thiết kế hoạt động dạy học khái niệm hình học

thuộc chú đề phép biến hình ớ lớp 11 theo định hướng phát triển năng ỰC Ăn HH HH HH HH HH HT HH HH ghe 23 2.1 Phân tích nội dung của phép biến hình ở trường phố thông 25 2.2 Ứng dụng thiết kế các hoạt động dạy học các khái niệm phép biến hình theo định hướng phát triển năng lực học sinh s <‹ 27

2.2.1 Khái niệm về phép biến hình 2.2.2 Khái niệm về phép tịnh tiến

2.2.3 Khái niệm về phép dời hình

2.2.4 Khái niệm về phép đối xứng trục " " 2.2.5 Khái niệm về phép quay . -2222+++c2zxecrrerrrsesres

2.2.6 Khái niệm về phép đối xứng tâm -2-©ccscccxee

2.2.7 Khái niệm về hai hình bằng nhau sss was

2.2.8 Khái niệm về phép vị tự -22-22sccccrrerrrtrrrrrrrrrres

2.2.0 Khái niệm về hai hình đồng dạng

Kết luận chung — i

Trang 6

Khóa luận tốt nghiệp Đại học NGUYEN THI PHUONG NGA

Lời mớ đầu

1 Lí do chọn đề tài

Công cuộc đổi mới của đất nước ta, thực hiện công nghiệp hóa, hiện

đại hóa gắn liền với phát triển tri thức, tích cực chủ động hội nhập quốc tế

sâu rộng đã và đang đặt ra cho ngành giáo dục và đảo tạo nhiệm vụ to lớn

và hết sức nặng nề là đào tạo nguồn nhân lực chất lượng cao Đề thực hiện được nhiệm vụ đó, sự nghiệp giáo dục cần được đổi mới về cả mục

tiêu, nội dung chương trình và phương pháp dạy học Phương pháp dạy

học phải phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động, tư duy sáng tạo của

người học, bồi dưỡng cho người học năng lực tự học, kĩ năng thực hành, lòng say mê học tập và ý chí vươn lên Do đó, phương pháp dạy học cần xây dựng theo định hướng phát triển năng lực cho học sinh

Trong đó, phương pháp dạy học mơn tốn giữ một vị trí quan trọng vì tốn học là cơng cụ để học những môn học khác, là công cụ của nhiều ngành khoa học khác nhau và là công cụ để hoạt đông trong thực tế Tuy

nhiên, đối với học sinh đây là môn học có tính trừu tượng cao và là mơn học khó, các khái niệm là nguồn gốc của những khó khăn trở ngại đó Trong việc dạy học Toán, điều quan trọng bậc nhất là hình thành cho học

sinh thông hiểu một hệ thống khái niệm Đó là cơ sở của tồn bộ kiến

thức Tốn học của học sinh, là tiền dé quan trọng đề xây dựng khả năng vận dụng những kiến thức đã học

Phép biến hình là một khái niệm quan trọng trong tốn học và có nhiều ứng dụng trong giải toán Tuy nhiên, phép biến hình lại là một khái niệm khá mới mẻ đối với học sinh và là một phần khó trong chương trình hình học ở lớp 11

Vì những lí do trên, tơi chọn đề tài nghiên cứu là “Thiết kế các hoạt

Trang 7

2.Mục đích nghiên cứu

Định hướng chung phát triển năng lực của học sinh trong dạy học toán ở trường phô thông

Thiết kế hoạt động dạy học khái niệm toán học thuộc chủ đề phép biến hình ở lớp I1 trường THPT theo hướng phát triển năng lực học sinh, góp phần nâng cao chất lượng và hiệu quả của việc dạy học mơn tốn ở phô thông hiện nay

3 Nhiệm vụ nghiên cứu - Nghiên cứu về lí luận:

+ Năng lực và năng lực toán học của học sinh

+ Định hướng phát triển năng lưc của học sinh trong dạy học toán ở trường phổ thông

+ Dạy học khái niệm toán học và nội dung dạy học khái niệm trong

chủ đề phép biến hình ở lớp 11 trường THPT

- Ung dung thiét ké hoat động dạy học khái niệm hình học thuộc

4 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

Các khái niệm Toán học thuộc chủ đề phép biến hình ở lớp 11

trường THPT

5 Phương pháp nghiên cứu

Nghiên cứu lí luận về năng lực, năng lực toán học của học sinh, về

phương pháp dạy học khái niệm mơn tốn

Tổng kết kinh nghiệm tham khảo các giáo án, bài giảng theo phương pháp dạy học theo định hướng phát triển năng lực học sinh

Nghiên cứu nội dung chương trình, sách giáo khoa mơn Toán thuộc

Trang 8

Chương 1: Cơ sở lí luận và thực tiễn

1.1 Năng lực và năng lực Toán học

1.1.1 Năng lực

Theo quan điểm của những nhà tâm lý học Năng lực là tổng hợp các đặc điểm, thuộc tính tâm lý của cá nhân phủ hợp với yêu cầu, đặc trưng của một hoạt động, nhất định nhằm đảm bảo cho hoạt động đó đạt hiệu quả cao

Các năng lực hình thành trên cơ sở của các tư chất tự nhiên của cá

nhân mới đóng vai trị quan trọng, năng lực của con người khơng phải hồn

tồn do tự nhiên mà có, phần lớn do công tác, do tập luyện mà có

Tâm lý học chia năng lực thành các dạng khác nhau như năng lực chung và năng lực chuyên môn

+ Năng lực chung là năng lực cần thiết cho nhiều ngành hoạt động khác nhau như năng lực phán xét tư duy lao động, năng lực khái quát hoá, năng lực luyện tập, năng lực tưởng tưởng

+ Năng lực chuyên môn là năng lực đặc trưng trong lĩnh vực nhất định

của xã hội như năng lực tô chức, năng lực âm nhạc, năng lực kinh doanh, hội

hoạ, năng lực toán học

Năng lực chung và năng lực chun mơn có quan hệ qua lại hữu cơ với nhau, năng lực chung là cơ sở của năng lực chuyên môn, nếu chúng càng

phát triển thì càng dễ thành đạt được năng lực chuyên môn Ngược lại sự

phát triển của năng lực chuyên môn trong những điều kiện nhất định lại có

ảnh hưởng đối với sự phát triển của năng lực chung Trong thực tế mọi hoạt

động có kết quả và hiệu quả cao thì mỗi người đều phải có năng lực chung phát triển ở trình độ cần thiết và có một vài năng lực chuyên môn tương ứng

với lĩnh vực cơng việc của mình

Năng lực còn được hiểu theo một cách khác, năng lực là tính chất tâm

Trang 9

Trong điều kiện bên ngoài như nhau những người khác nhau có thể tiếp thu các kiến thức kỹ năng và kỹ xảo đó với nhịp độ khác nhau có người tiếp thu nhanh, có người phải mất nhiều thời gian và sức lực mới tiếp thu

được, người này có thể đạt được trình độ điêu luyện cao còn người khác chỉ đạt được trình trung bình nhất định tuy đã hết sức cố gắng Thực tế cuộc sống có một số hình thức hoạt động như nghệ thuật, khoa học, thể thao

Những hình thức mà chỉ những người có một số năng lực nhất đỉnh mới có thé đạt kết qua

Dé nim được cơ bản các dấu hiệu khi nghiên cứu bản chất của năng lực ta cần phải xem xét trên một số khía cạnh sau:

- Năng lực là sự khác biệt tâm lý của cá nhân người này khác người

kia, nếu một sự việc thể hiện rõ tính chất mà ai cũng như ai thì khơng thể nói

về năng lực

- Năng lực chỉ là những khác biệt có liên quan đến hiệu quả việc thực

hiện một hoạt động nào đó chứ không phải bất kỳ những sự khác nhau cá biệt chung chung nào

- Năng lực con người bao giờ cũng có mầm mồng bâm sinh tuỳ thuộc vào sự tô chức của hệ thống thần kinh trung ương, nhưng nó chỉ được phát triển trong quá trình hoạt động, phát triển của con người, trong xã hội có bao nhiêu hình thức hoạt động của con người thì cũng có bấy nhiêu loại năng lực, có người có năng lực về quản lý kinh tế, có người có năng lực về Tốn học, có người có năng lực về kỹ thuật, có người có năng lực về thé thao

Trang 10

có kết quả một hoạt động Như vậy năng lực chỉ làm cho việc tiếp thu các

kiến thức kỹ năng, kỹ xảo trở nên dễ dàng hơn

1.1.2 Năng lực Toán học của học sinh

Theo V.A.Krutetxki thì khái nệm năng lực toán học được hiểu dưới

hai bình diện sau:

Năng lực nghiên cứu toán học là năng lực sáng tạo, các năng lực hoạt

động toán học tạo ra được các kết quả, thành tựu mới, khách quan và quý

giá

Năng lực toán học của học sinh là năng lực học tập giáo trình phơ thơng, lĩnh hội nhanh chóng và có kết quả cao các kiến thức, kỹ năng, kỹ xảo tương ứng

- Năng lực toán học của học sinh:

Từ khái niệm về năng lực, ta có thé đi đến khái niệm về năng lực toán học của học sinh: “Năng lực toán học là những đặc điểm tâm lí đáp ứng được yêu cầu hoạt động học toán vả tạo điều kiện lĩnh hội các kiến thức, kĩ năng trong lĩnh vực toán học tương đối nhanh chóng, dễ dàng, sâu sắc trong những điều kiện như nhau”

- Cấu trúc về năng lực toán học của học sinh:

+ Năng lực tính tốn, giải tốn

+ Năng lực tư duy toán học

+ Năng lực giao tiếp toán học

+ Năng lực vận dụng toán học vảo thực tiễn + Năng lực giải quyết vấn đề

+ Năng lực sáng tạo toán học

1.2 Định hướng phát triển năng lực của học sinh trong dạy học toán ở trường phố thông

1.2.1 Dạy học theo hướng tiếp cận nội dung và hướng tiếp cận năng lực Tiếp cận nội dung là cách nêu ra một danh mục đề tài, chủ đề của một

Trang 11

ta muốn người học cân biết cái gì? Cách tiếp cận này người giáo viên chủ

yếu dựa vào yêu cầu nội dung học vấn của một khoa học bộ môn dé thiết kế

nội dung dạy học Vì vậy nội dung dạy học thường mang tính "han lam", nặng về lý thuyết và ít chú trọng đến vận dụng vào thực tiễn cuộc sống, nhất là khi người thiết kế ít chú ý đến tiềm năng, các giai đoạn phát triển, nhu cầu,

hứng thú và điều kiện của người học

Tiếp cận năng lực là cách tiếp cận nêu rõ kết quả - những khả năng hoặc kĩ năng mà người học mong muốn đạt được vào cuỗi mỗi giai đoạn học

tập trong nhà trường ở một môn học cụ thể Nói cách khác, cách tiếp cận này

nhằm trả lời câu hỏi: Chúng ta muốn người học 2/ết và có thể làm được những gì? Theo cách tiếp cận này thì người giáo viên phải thiết kế nội dung dạy học đảm bảo tinh giản, cơ bản, hiện đại, giảm tính hàn lâm, tăng tinh

thực hành và vận dụng kiến thức và kĩ năng vào thực tiễn cuộc sống Định hướng trên cũng hạn chế được tính hàn lâm, xa rời cuộc sống

1.2.2 Phương pháp dạy học mơn tốn theo định hướng phát triển năng lực học sinh

Phương pháp dạy học theo định hướng tiếp cận nội dung chủ yếu yêu

cầu học sinh trả lời câu hỏi: Biết cái gi (know-what) Nghia là yêu cau hoc

sinh chỉ cần ghi øhớ trí thie va Aiéu tri thức, chưa chú ý tới yêu cầu vận dụng tri thức đó

Phương pháp dạy học theo định hướng phát triển năng lực luôn đặt ra câu hỏi: ðiết làm gì từ những điều đã biết Nói cách khác, nói đến năng

luc la phải nói đến khả năng thực hiện, là phải biết làm (know-how), chứ

không chi biét va hiéw (know-what) Nhu vay, tiếp cận năng lực chủ trương giúp người học không chỉ biết học thuộc, ghi nhớ mà còn phải biết làm thông qua các hoạt động cụ thể, sử dụng những tri thức học được để giải quyết các tình huống do cuộc sơng đặt ra Nói cách khác, tiếp cận năng lực là dạy cho học sinh không chỉ ð¿ế và hiểu kiến thức mà phải biết làm gì từ những điều

Trang 12

Như vậy, việc dạy học toán theo định hướng phát triển năng lực học

sinh là phù hợp với quan điểm `dạy học thông qua hoạt động và bằng hoạt

động” LH đồng thời chú ý gắn hoạt động học với thực tiễn đời sông Vì vậy,

trong dạy học việc đổi mới phương pháp dạy học theo định hướng phát triển năng lực học sinh được hiểu như sau: Dạy cho học sinh cách suy nghĩ tìm ra kiến thức mới, tìm ra cách giải quyết vẫn đề mới; đồng thời chú trọng vào các hoạt động vận dụng kiến thức đó, cách giải quyết vấn đề đó để giải quyết nhiễu tình huống đặt ra trong thực tiễn và trong đời sống

1.3 Dạy học khái niệm toán học ở trường phỗ thông

1.3.1 Đại cương về định nghĩa khái niệm

a Khải niệm

Khái niệm là hình thức của tư duy trừu tượng, phản ánh một lớp các đối tượng (sự vật, quá trình và hiện tượng) thông qua các đặc trưng, các dấu hiệu cơ bản của các đối tượng đó

Trong trường hợp cần phân biệt rõ hơn khái niệm với các hình thức khác của tư duy cũng phản ánh đối tượng thông qua các đặc trưng cơ bản của nó: Khái niệm là hình thức của tư duy trừu tượng, là kết quả của quá trình khái qt hóa và tách biệt (trong tư tưởng) các đối tượng thuộc về một lớp

nảo đó theo một số dấu hiệu đặc trưng nhất định của các đối tượng này Một khái niệm có thể được xem xét theo hai phương diện: bản thân lớp đối tượng xác định khái niệm được gọi là øgoại điên, cịn tồn bộ các thuộc tính chung của lớp đối tượng nảy được gọi là øội hàm của khái niệm

đó

Vi du:

“Cấp số cộng” là khái niệm phản ánh lớp đối tượng các dãy số như

{1.2.3,4 }; {0.2, 4,6, 8, }; {-3,0, 3,6,9, 12, }

Trang 13

—> Nội hàm của khái niệm “cấp SỐ cộng” là: Mỗi số hạng, kể từ số

hạng thứ hai trở đi đều bằng số hạng đứng ngay trước đó cộng với một số không đồi

Giữa nội hàm và ngoại diên có một mối liên hệ mang tinh guy luật, nội hàm càng được mở rộng thì ngoại diên càng bị thu hep va ngược lại Thật vậy, nếu ta mở rộng nội hàm của khái niệm hình bình hành , chẳng hạn bằng cách bổ sung đặc điểm “có một góc vng” thì ta sẽ được lớp các hình

chữ nhật là một bộ phận thực sự của lớp các hình bình hành

Nếu ngoại diên của khái niệm A là một bộ phận của khái niệm B thì khái niệm A được gọi là một khái niệm chủng của B, còn khái niệm B được gọi là một khái niệm Jogi cha A

Vi du:

Cấp số cộng là khái niệm chủng của khái niệm dãy số Dãy số là khái

niệm loại của khái niệm cấp số cộng

Lăng trụ đứng là khái niệm chủng của khái niệm lăng trụ Lăng trụ là

khái niệm loại của khái niệm lăng trụ đứng b Khái niệm đối tượng và khái niệm quan hệ

Ở trên có nêu khái niệm phản ánh một lớp đối zượng Điều đó có gì sai

hay khơng, trong khi có những tác giả phân biệt khái niệm về một đối tượng, chẳng hạn “hình chóp” với khái niệm về một quan hệ, chẳng hạn “chia hết”) Thật ra, dưới góc độ Tốn học, một quan hệ n ngôi là một tập con của tích

Décac cla n tap hop Quan hé chia hết là một tập con A của tích Décac

NxN:A={(m,n)/(aq:n=mq)} , voi N là tập số tự nhiên, còn m, n, q e J vam#0

Trang 14

+ Đối tượng (3, 12) là một phần tử của A (hay ta cịn nói “số 3 chia

hết 12”), bởi tồn tại số tự nhiên 4 sao cho 12=4x3

+ Đối tượng (3, 25) không phải là một phần tử của A (hay ta cịn nói

“số 3 không chia hết 25”), bởi vì khơng ton tai bất cứ một SỐ tự nhiên q nào

sao cho 25=3xq

Tuy về mặt toán học, khái niệm về một quan hệ cũng là một trường hợp riêng của khái niệm về một đối tượng, nhưng trong dạy học, sự phân

biệt giữa khái niệm về đối tượng với khái niệm về quan hệ lại là cần thiết

dưới góc độ sư phạm, nhất là trong tình hình hiện nay học sinh còn mơ hồ về

khái niệm quan hệ khi họ nói về “phương trình tương đương”, “phương trình hé qua”

c Dinh nghia khai niém

Định nghĩa một khái niệm là một thao tac logic nhằm phân biệt lớp đối tượng xác định khái niệm này với các đối tượng khác, thường ban g cach vạch ra nội hàm của khái niệm đó Các định nghĩa thường có các cấu trúc

sau:

Từ mới (biểu thị khái | (Những) từ chỉ miền đối | Tân từ (diễn tả khác biệt

niệm mới) tượng đã biết (loại) về chủng)

Ví dụ: “Hình vng là một hình chữ nhật có hai cạnh liên tiếp bằng nhau” Trong định nghĩa này, từ mới là hình vng, loại hay miền đối tượng

là hình chữ nhật, còn sự khác biệt về chủng là ba¿ cạnh liên tiếp bằng nhau

Miền đối tượng (loại) và các thuộc tính về chủng tạo thành đặc /rưng của khái niệm Đặc trưng của khái niệm là điều kiện cần và đủ để xác định

khái niệm đó Nói chung, có nhiều cách nêu đặc trưng của cùng một khái niệm, tức có thể định nghĩa một khái niệm theo nhiều cách khác nhau Chẳng

hạn, hình vng ngoài định nghĩa đã nêu trong ví dụ trên, cịn có thể được định nghĩa theo một cách khác ví dụ như “hình vng là hình thoi có một

Trang 15

Khi xét một đối tượng xem có thuộc ngoại diên của một khái niệm nào đó hay khơng, người ta thường quan tâm những thuộc tính của đối tượng đó: những thuộc tính nào nằm trong nội hàm của khái niệm đang xét thì được coi

là thuộc tính bản chất, cịn những thuộc tính nào không thuộc nội hàm của khái niệm đó thì được coi là thuộc tính khơng bản chất đối với khái niệm

đang xét.Giả sử cho tứ giác ABCD (hình vẽ)

Nếu xét xem ABCD có phải là một hình

A B

vuông hay không thì “AB = BC” là một trong

các thuộc tính bản chất, còn nếu xét xem tứ

5 C giác đó có phải là hình bình hành hay khơng

thì thuộc tính đó khơng là bản chất

Trong định nghĩa theo cấu trúc đã nêu ở đầu muc nay, tr chi miền đối

tượng hay loại phải trương tứng với một khái niệm đã biết Một khả năng vi phạm điều kiện này là đưa ra những định nghĩa vịng quanh, ví dụ “phép cộng là phép tìm ứổng của hai hay nhiều số”; “#ổng của hai hay nhiều số là

kết quả thực hiện phép cộng”

d Khai niệm không định nghĩa

Định nghĩa một khái niệm mới thường dựa vào một hay nhiều khái niệm đã biết Ví dụ để định nghĩa hình vng ta cần định nghĩa hình chữ

nhật; để định nghĩa hình chữ nhật, ta cần định nghĩa hình bình hành; để định

nghĩa hình bình hành ta cần định nghĩa a? gidc, Tuy nhién, quá trình trên

không thể kéo dải vô hạn, tức là phải có khái niệm không được định nghĩa,

được thừa nhận làm điểm xuất phát, gọi là những khái niệm nguyên thuỷ, chẳng hạn người ta thừa nhận điểm, đường thắng, mặt phẳng là những khái niệm nguyên thuỷ

Ở trường phô thông, chúng ta thấy có một số khái niệm cũng không

được định nghĩa vì lí do sư phạm, mặc dù chúng có thể định nghĩa trong tốn học

Trang 16

Khóa luận tốt nghiệp Đại học NGUYÊN THỊ PHƯƠNG NGA

Đối với những khái niệm không định nghĩa ở trường phổ thông, cần mơ tả, giải thích thơng qua những ví dụ cụ thể để học sinh hình dung được những khái niệm này, hiểu được chúng một cách trực giác

1.3.2 Vị trí của khái niệm và yêu cầu dạy học khái niệm

a Vi tri cua dạy học khải niệm

Trong việc dạy học toán cũng như dạy học bất cứ một khoa học nảo ở

trường phổ thông, điều quan trọng bậc nhất là hình (hành một cách vững chắc cho học sinh một hệ thống khái niệm Đó là cơ sở của tồn bộ kiến thức Tốn học của học sinh, là tiền đề quan trọng để xây dựng cho họ khả năng vận dụng các kiến thức đã học

Quá trình hình thành các khái niệm có tác dụng lớn đến việc phát triển trí tuệ, đồng thời góp phần giáo dục thế giới quan cho học sinh qua việc nhận thức đúng đắn quá trình phát sinh và phát triển của các khái niệm toán học

b Yêu cầu của dạy học khái niệm

Trong dạy học khái niệm Toán học ở trường phổ thông phải làm cho

học sinh đạt được các yêu cầu sau:

- Nắm vững các đặc điểm đặc trưng cho một khái niệm

- Biết nhận dạng khái niệm, tức là biết phát hiện xem một đối tượng

cho trước có thuộc phạm vi một khái niệm nào đó hay không, đồng thời biết

thẻ hiện khái niệm

- Biết phát biểu rõ ràng, chính xác định nghĩa khái niệm bằng nhiều cách khác nhau

- Biết vận dụng khái niệm trong những tình huồng cụ thê trong hoạt động giải toán và ứng dụng thực tiễn

- Biết phân loại khái niệm và nắm được môi quan hệ của một khái niệm với những khái niệm khác trong một hệ thống khái niệm

Các yêu cầu trên đây có mỗi quan hệ chặt chẽ với nhau Song vì lí do sư phạm, các yêu cầu trên không phải lúc nảo cũng được được đặt ra với mức độ như nhau đôi với mọi khái niệm

Trang 17

Vi du, đối với những khái niệm như “hình bình hành”, “đạo hàm”,

học sinh phải phát biểu được định nghĩa một cách chính xác và vận dụng được các định nghĩa đó trong khi giải bài tập, còn đối với khái niệm “chiêu” của vectơ, chương trình lại khơng địi hỏi học sinh phải nêu định nghĩa tường

minh mà chỉ cần hình dung định nghĩa này một cách trực giác dựa vào kinh

nghiệm sống của bản thân

1.3.3 Một số hình thức định nghĩa khái niệm thường gặp ở trường phố thông

a Định nghĩa theo phương pháp loài - chủng

* Nội dung: Định nghĩa theo phương pháp lồi-chủng là một hình thức định nghĩa nêu lên khái niệm loài và đặc tính của chủng

Khái niệm được định nghĩa = Khái niệm lồi + Đặc tính của chủng - Ví dụ 1: “Hình thoi là hình bình hành có hai cạnh liên tiếp bằng nhau” Trong định nghĩa này :

+ Hình bình hành là khái niệm loài

+ Hai cạnh liên tiếp bằng nhau là đặc tính của chủng

- Ví dụ 2: “Số nguyên tô là số tự nhiên lớn hơn 1 va chỉ có hai ước số là 1 và chính nó” Trong định nghĩa này :

+ Số tự nhiên là khái niệm lồi

+ Chỉ có hai ước số là 1 và chính nó là đặc tính của chủng - Ví dụ 3: Trong mặt phẳng, cho một điểm O cô định và một số k không đổi khác 0, phép biến hình biến mỗi điểm M thành M’ sao cho

OM'=kOM duoc goi la phép vị tự tâm O tỉ số k Kí hiệu V(O,k)

Ở định nghĩa trên, ta thấy:

+ Phép biến hình là khái niệm lồi

+ Số k khơng đổi khác 0, O cỗ định, Ø'=wow là đặc trưng của chủng

Trang 18

* Nội dung: Định nghĩa bằng quy ước là hình thức định nghĩa gán cho đối tượng cần định nghĩa một đối tượng cụ thể nào đó

- Ví dụ: a"=1 (Đối tượng cần định nghĩa là a°.)

a" wal (ne N,a#0) a

Chú ý: Khi dạy học định nghĩa bằng quy ước, giáo viên khơng giải thích tại sao lại quy ước được như vậy mà chỉ đặt van dé quy ước như vậy có hợp lý hay khơng

m

- Ví dụ a" =1 là định nghĩa hợp ly vi 1=“— =a" =a

€

ẹ 0

7”

c Định nghĩa bằng phương pháp tiên đề

* Nội dung: Người ta chọn ra một số đối tượng cơ bản, quan hệ cơ bản và thừa nhận chúng gọi là các tiên đề Từ đó đi định nghĩa các khái niệm

khác, chứng minh các tính chất khác bằng suy luận hợp lôgïc

- Vị dụ 1: Quan hệ tương đương được định nghĩa như sau:

Quan hệ R trên tập A được gọi là quan hệ tương đương nếu nó có

tính chất phản xạ, đối xứng vả bắc cầu

- Vị dụ 2: Ta định nghĩa khái niệm nhóm như sau:

Tập X (x # ©) cùng phép tốn hai ngơi “*” được gọi là nhóm nếu:

XxX=X

'(a,b)=>

* thoả mãn:

ï)_ Phép tốn “*” có tính chất kết hợp;

li) Có phần tử đơn vị eeX sao cho VxeX:x*e=e*x=x;

iii) Tén tại phần tử nghịch đảo Vxe X,3x'eX:x*x '=x '*x=£ d Định nghĩa bằng phương pháp mồ tả

* Nội dung: Định nghĩa bằng phương pháp mơ tả là hình thức định nghĩa chỉ ra những đối tượng trong thực tiễn có hình ảnh gần gũi với đối

tượng cần định nghĩa, quan hệ cần định nghĩa hoặc chỉ ra quy trình tạo ra

chúng (mơ tả theo kiểu kiến thiết)

Trang 19

- Ví dụ 1: Các khái niệm “điểm trong mặt phẳng, đường thắng, mặt phẳng” là các khái niệm không định nghĩa tường minh, chúng được định nghĩa theo phương pháp mơ tả

- Ví dụ 2: Góc lượng giác trong Đại số 10 (định nghĩa theo quy trình tạo ra chúng) Cho hai tia Ou, Ov Nếu tia Om quay chỉ theo chiều đương (hay chỉ theo chiều âm) xuất phát từ tia đầu Ou đến trùng với tia cuối Ov thì ta nói: Tïa Om quét một góc lượng giác tia đầu Ou, tia cudi Ov

1.3.4 Các quy tắc định nghĩa khái niệm a Quy tắc 1: Định nghĩa phải tương xứng

Định nghĩa phải tương xứng nghĩa là phạm vi của khái niệm định nghĩa và khái niệm được định nghĩa phải bằng nhau

Định nghĩa không tương xứng là định nghĩa mà phạm vi của khái niệm quá hẹp hay quá rộng so với khái niệm được định nghĩa

- Ví dụ 1: “Số vơ tỉ là số thập phân vô hạn không tuần hoản” là định

nghĩa đúng, phù hợp, định nghĩa tương xứng

- Ví dụ 2: “Số vơ ti là căn số của những số hữu tỉ trong trường hợp những số này không thể khai căn đúng được” Định nghĩa trên là khơng tương xứng vì khái niệm được định nghĩa có phạm vi hẹp hơn so với phạm vi khái niệm định nghĩa, ví dụ số e và số z là những số vô tỉ nhưng không là kết quả của phép khai căn nảo

- Ví dụ 3: “Số vô tỉ là số thập phân vô hạn” Định nghĩa này là không tương xứng vì khái niệm được định nghĩa có phạm vi rộng hơn khái niệm định nghĩa, chẳng hạn có những số thập phân vô hạn như nhưng

ole

i 39°" chúng không phải số vô tỉ mà là các số hữu tỉ

b Quy tắc 2: Định nghĩa phải xác định (Định nghĩa khơng được vịng quanh)

Định nghĩa phải xác định nghĩa là định nghĩa phải dựa vào khái niệm

đã biết, đã được định nghĩa

Trang 20

- Ví dụ 1: Định nghĩa về số đo góc “Độ là | cia goc vudng, géc

90

vng là góc có số đo 90°” Hai định nghĩa về “góc vng” và về “độ” vi phạm vòng quanh

- Ví dụ 2: “Góc nhị diện là góc tạo bởi hai nhị diện đi qua một đường

thẳng” là định nghĩa khơng đúng vì khái niệm góc khơng xác định Vì thế, ta phải định nghĩa khái niệm góc nhị diện như sau: “Góc nhị diện là phần không gian giới hạn bởi hai nửa mặt phẳng cùng đi qua một đường thắng” c Quy tắc 3: Định nghĩa phải tối thiểu

Định nghĩa phải tối thiểu nghĩa là trong nội dung khái niệm định nghĩa khơng chứa những thuộc tính có thể suy ra từ những thuộc tính cịn lại

- Ví dụ 1: Định nghĩa “hình bình hành là tứ giác phẳng có các cạnh đối song song và bằng nhau” vi phạm quy tắc này vì ở định nghĩa thừa một trong hai điều kiện song song hoặc bằng nhau

- Ví dụ 2: Định nghĩa “số nguyên tô là số tự nhiên lớn hơn 1 và chỉ có hai ước số là 1 và chính nó” thừa điều kiện “lớn hơn một” và “là 1 và chính nó” nhưng vì lí do sư phạm nên người ta đưa vào trong định nghĩa để học

sinh hiểu rõ hai ước đó là hai ước cụ thể nảo

d Quy tac 4: Định nghĩa không dùng lỗi phủ định khái niệm khác nếu chúng không loại trừ nhau (Hai khái niệm loại trừ nhau nếu chúng cùng chung một loài, đồng thời phạm vì của chúng giao với nhau bằng rỗng và hợp với nhau đúng bằng phạm vì của khái niệm loài (tức là khái niệm lồi khơng bao gồm hai khái niệm mâu thuẫn)

- Ví dụ 1: “Hình thoi khơng phải là hình tam giác” là định nghĩa chỉ nêu lên dấu hiệu xem xét một hình khơng phải là hình tam giác, chưa chỉ ra được đặc trưng của hình thoi

- Ví dụ 2: “Số siêu việt là những số thực không đại số” là định nghĩa

đúng vì khái niệm lồi là tập số được phân chia thành hai tập hợp gồm tập

Trang 21

hợp số đại số và tập hợp số siêu việt, hai tập số này là hai tập hợp tách rời nhau nhưng hợp của chúng tạo thành tap sé

1.3.5 Những con đường tiếp cận khái niệm

Con đường tiếp cận một khái niệm được hiểu là quá trình hoạt động và

tư duy dẫn tới một sự hiểu biết về khái niệm đó nhờ định nghĩa tường minh,

nhờ mô tả, nhờ trực giác, ở mức độ nhận biết một đối tượng hoặc một tình

huồng có thuộc về khái niệm đó hay khơng

Trong dạy học người ta phân biệt ba con đường /iếp cận khái niệm:

e_ Con đường quy nạp;

e_ Con đường suy diễn;

¢ Con đường kiến thiết

Sau đây ta sẽ đi vào từng con đường nói trên a Con đường quy nạp

Xuất phát từ một số đối tượng riêng lẻ như vật thật, mơ hình, hình vẽ,

giáo viên dẫn dắt học sinh phân tích, so sánh, trừu tượng hoá và khái qt hố để tìm ra dấu hiệu đặc trưng của một khái niệm thể hiện ở những trường

hợp cụ thể này, từ đó đi đến một định nghĩa tường minh hay một sự hiểu biết

trực giác về khái niệm đó tuỳ theo yêu cầu của chương trình Quy trình tiếp cận một khái niệm theo con đường quy nạp:

1) Giáo viên đưa ra những ví dụ cụ thể để học sinh thấy sự tồn tại hoặc tác dụng của một loạt đối tượng nào đó;

1) Giáo viên dẫn dắt học sinh phân tích, so sánh và nêu bật những đặc điểm chung của các đối tượng đang được xem xét Có thẻ đưa ra đối chiếu một vài đối tượng khơng có đủ các đặc điểm đã nêu;

111) Giáo viên gợi mở để học sinh phát biểu một định nghĩa bằng cách nêu tên và các đặc điêm đặc trưng của khái niệm

Trang 22

- Ví dụ: Để hình thành khái niệm về phép biến hình theo con đường quy nạp, ta có thể làm như sau:

+ Cho điểm O cố định, với điểm M tùy ý hãy dựng điểm M' là điểm đối

xứng với M qua O;

+ Cho một vectơ ø, với điểm M tùy ý hãy dựng điểm M' sao cho

MM ‘=a

Qua hai hoạt động trên, học sinh nhận xét những đặc điểm giống nhau (với mỗi điểm M đều có một quy tắc dé chỉ ra điểm M' xác định duy nhất) và khác nhau (thể hiện ở nội dung của quy tắc ấy) ở hai hoạt động trên Sau đó đi đến định nghĩa phép biến hình là một quy tắc sao cho ứng với mỗi điểm M

ta có thé chỉ ra một điểm MI' hoàn toản xác định

Con đường quy nạp có ưu điểm là thuận lợi cho việc huy động hoạt động tích cực của học sinh, góp phần phát triển năng lực trí tuệ chung và tạo cho họ nâng cao tính độc lập trong việc đưa ra định nghĩa Tuy nhiên, con

đường này đòi hỏi tốn nhiều thời gian nên không phải bao giờ cũng có điều

kiện thực hiện

Con đường quy nạp thường được sử dụng trong điều kiện sau:

- Chưa phát hiện được một khái niệm loại nào làm điểm xuất phát cho

con đường suy diễn

- Đã định hình được một số đối tượng thuộc ngoại diên của khái niệm

cần hình thành, do đó có đủ vật liệu để thực hiện phép quy nạp b Con đường suy diễn

Một số khái niệm được hình thành theo con đường suy diễn, đi ngay

vào định nghĩa khái niệm mới như một trường hợp riêng của một khái niệm

nào đó mà học sinh đã được học

Quy trình thực hiện tiếp cận một khái niệm theo con đường suy diễn

được thực hiện theo các bước sau:

i) Xuất phát từ một khái niệm đã biết, thêm vào nội hàm của khái niệm đó một số đặc điểm mả ta quan tâm

Trang 23

ii) Phat biểu một định nghĩa bằng cách nêu tên khái niệm mới và định

nghĩa nó nhờ một khái niệm tổng quát hơn cùng với những đặc điểm để hạn chế một bộ phận trong khái niệm tổng quát đó

111) Đưa ra một số ví dụ minh hoạ cho khái niệm vừa được định nghĩa Việc định nghĩa hình chữ nhật, hình thoi như trường hợp riêng của hình bình hành, định nghĩa hàm SỐ mũ, hàm sỐ lôgarit và những hàm số

lượng giác như những trường hợp riêng của khái niệm hàm số là những ví dụ về việc tiếp cận khái niệm theo con đường suy diễn

Con đường suy diễn có ưu điểm là tiết kiệm thời gian và thuận lợi cho việc tập luyện cho học sinh tự học những khái niệm toán học thông qua sách vở và tài liệu, hoặc nghe những báo cáo khoa học lĩnh vực Toán học Tuy nhiên, con đường này hạn chế về mặt khuyến khích học sinh phát triển những năng lực trí tuệ chung như phân tích, tổng hợp, so sánh, trừu tượng

hoá và khái quát hoá

Con đường này thường được sử dụng khi phát hiện ra một khái niệm

loại làm điểm xuất phát cho con đường suy diễn

c Con đường kiến thiết

Quy trình tiếp cận một khái niệm theo con đường kiến thiết thường diễn ra như sau:

1) Xây dựng một hay nhiều đối tượng đại diện cho khái niệm cần được

hình thành, hướng vào những yêu cầu tổng quát nhất định xuất phát từ nội bộ Toán học hay từ thực tiễn

ii) Khái quát hoá quá trình xây dựng những đối tượng đại diện, đi tới đặc điểm đặc trưng cho khái niệm cần hình thảnh

iii) Phat biéu định nghĩa đã được gợi ý

Con đường nảy mang cả những yếu tố quy nạp lẫn suy diễn Yếu tố

suy diễn thể hiện ở chỗ xuất phát từ những yêu cầu tổng quát để xây dựng một hay nhiều đối tượng cho khái niệm cần hình thành Yếu tô quy nạp thể

Trang 24

hiện ở chỗ khái qt hố q trình xây dựng những đối tượng đại diện riêng

lẻ đi đến đặc điểm tổng quát đặc trưng cho khái niệm cần định nghĩa

- Ví dụ: Định nghĩa luỹ thừa với số mũ nguyên âm (học sinh đã được quy ước a”=l1 với a # 0)

1) Xây đựng một đối tượng đại diện

Chang hạn ta muốn định nghĩa 3° Để đảm bảo phép nâng lên luỹ thừa mới này cũng có các tính chất cơ bản của các luỹ thừa với số mũ tự

Si # m n m+n x , a4 4 —1+4 0

nhiên, ví dụ g “x4 =a””,tacâncó 3 ˆx3 =3” =3

, 1

Nhưng 3° =1, do đó 3x3” =1 Muốn vậy ta phải định nghĩa 3” =—— 34

ii) Khái quát hoá quá trình xây dựng đối tượng đại diện

Một cách tổng quát, để đảm bảo luỹ thừa với số mũ âm cũng có các

tính chất cơ bản của các luỹ thừa với số mũ tự nhiên, ta cần phải định nghĩa:

—m a = trong đó a là một số thực khác 0 còn m là số tự nhiên a m 1

ili) Phat biéu mét dinh nghia dugc goi y 6 bude (ii) a” = m trong

đó a là một số thực khác 0 còn m lả số tự nhiên

Con đường kiến thiết thuận lợi cho việc khơi dậy hoạt động tự giác,

tích cực của học sinh và rèn luyện cho họ khả năng giải quyết vần đề trong quá trình hình thành khái niệm Tuy nhiên, con đường nảy nói chung dải và tốn nhiều thời gian

Con đường kiến thiết thường được sử dụng trong hoàn cảnh sau: - Chưa định hình được những khái niệm thuộc ngoại diên khái niệm,

do đó con đường quy nạp không thích hợp;

- Chưa phát hiện được một khái niệm loại nào làm điểm xuất phát cho

con đường suy diễn

1.3.6 Hoạt động củng cố khái niệm

Trang 25

Quá trình hình thành khái niệm chưa kết thúc khi phát biểu được định nghĩa khái niệm đó Một khâu rất quan trọng là củng cô khái niệm, khâu này thường được thực hiện bằng các hoạt động sau đây:

> Nhận dạng và thé hiện khái niệm

> Hoạt động ngôn ngữ

> Hoạt động vận dụng khái niệm và hệ thống hoá khái niệm Sau đây, ta sẽ đi sâu vào từng hoạt động

a Nhận dạng và thể hiện khái niệm

Nhận dạng và thể hiện khái niệm là hai dạng hoạt động theo chiều

hướng trái ngược nhau, có tác dụng củng cô khái niệm, tạo tiền đề cho việc

vận dụng khái niệm

- Nhận dạng một khái niệm là xét xem một đối tượng cho trước có phù hợp với định nghĩa của khái niệm đó hay không

- Thể hiện một khái niệm là tạo ra một đối tượng phù hợp với định

nghĩa của khái niệm đó

+ Vị dụ I1: (nhận dạng khái niệm hình chóp đều) Phải chăng mọi hình

chóp có đáy là một đa giác đều luôn là một hình chóp đa giác đều?

+ Vi du 2: (thé hiện một khái niệm hình chóp đều) Cho hình lập

phương ABCD.A’B’C’D’ Các đường thắng AC và BD cat nhau tại O Các

duong thang A’C’ va B’D’ cat nhau tai O’ Hãy vẽ hai hình chóp đều có đáy là hình vuông ABCD

Khi tập dượt cho học sinh nhận dạng và thé hién khai niém cần chú ý:

Thứ nhất, cần sử dụng cả những đối tượng thuộc ngoại diên lẫn những đối tượng không thuộc ngoại diên đối tượng đó (phản ví dụ)

Thứ hai, đối với những đối tượng thuộc ngoại diên khái niệm đang xét

thì cần đưa ra cả những trường hợp đặc biệt của khái niệm đó Việc đưa ra những trường hợp đặc biệt, trong đó một đối tượng mang những thuộc tính

Trang 26

nỗi bật nhưng không phải là thuộc tính ban chất đối với khái niệm đang xét vừa giúp học sinh hiểu biết sâu sắc về đặc trưng của khái niệm, lại vừa rèn luyện cho họ khả năng trừu tượng hoá thê hiện ở chỗ biết phân biệt và tách đặc điểm bản chất với những đặc điểm không bản chất

Thứ ba, đối với những đối tượng không thuộc ngoại diên của khái niệm đang xét, trong trường hợp đặc trưng của khái niệm có cấu trúc hội, các

phản ví dụ thường được xây dựng sao cho chỉ trừ một thành phần trong cấu trúc hội, còn các thuộc tính thành phần khác đều được thoả mãn Sau đây, ta đưa ra một ví dụ như sau:

Theo định nghĩa hàm số, tính chất đặc trưng của khái niệm này có thể

phân tích thành hội của hai điều kiện don p, va p, như sau:

- Điều kiện p,: Với mỗi số thực xeX đều tồn tại số thực tương ứng

yeY (điều kiện tồn tại);

- Điều kiện p;: Với mỗi số thực xeX thì số thực tương ứng yeY là

duy nhất (điều kiện duy nhất)

Trên cơ sở đó ta có thé đưa ra hai phan vi du sau đây:

Phan vi du 1:

oo (vi pham diéu kién mì) x>

Phản ví dụ 2:

| i x SA

„ (vi phạm điêu kiện p,)

nr> ccủan _

Thứ tư, trường hợp đặc trưng của khái niệm có cấu trúc hội của hai điều kiện, cần làm rõ cấu trúc này để học sinh nhận dạng khái niệm đó một cách dễ dàng hơn

Trường hợp tổng quát, khi đặc trưng của khái niệm là hội của n điều

kiện, định nghĩa có cấu trúc như sau:

Trang 27

Bằng cách tương tự, có thể xây dựng thuật toán nhận dạng tương ứng với trường hợp đặc trưng của khái niệm là một tuyển của n điều kiện theo công thức sau:

Vx(A(x)<2* 9B, (x)v B, (x) v v B, (x))

b Hoạt động ngôn ngữ

Cho học sinh thực hiện những hoạt động ngơn ngữ vừa có tác dụng củng cô khái niệm lại vừa góp phần phát triển ngôn ngữ cho học sinh, đây là

nhiệm vụ mà tất cả các bộ môn trong nhà trường đều có trách nhiệm thực hiện:

- Phát biểu lại định nghĩa bằng lời lẽ của mình và biết cách thay đồi

phát biểu, diễn đạt định nghĩa dưới những dạng ngôn ngữ khác nhau;

- Phân tích, nêu bật những ý nghĩa quan trọng chứa đựng trong định nghĩa một cách tường minh hay ấn tàng

Ví dụ: Phát biểu định nghĩa khái nệm “hình vng” theo các cách:

* Hình vng là hình chữ nhật có hai cạnh liên tiếp bằng nhau * Hình vng là hình thoi có hai đường chéo bằng nhau

c Hoạt động vận dụng khải niệm và hệ thống hố khái niệm

Để củng cơ khái niệm, giáo viên có thể thực hiện nhiều hoạt động

khác nữa, trước hết là:

- Đa dạng hóa các tình huống dé vận dụng khái niệm vao thực tiễn,

trong đó nêu được đầy đủ trường hợp cần gặp và nêu bật được trường hợp vận dụng phổ biến nhất và chú ý các trường hợp đặc biệt suy biến

- Hệ thơng hố chủ yếu là biết sắp xếp khái niệm mới vào hệ thống

Trang 28

Rộng hơn nữa, việc vận dụng khái niệm để giải quyết những vấn đề nay sinh trong toán học vả trong đời sông khơng những có tác dụng củng cố khái niệm mà cịn là mục đích sâu xa của việc học tập khái niệm

1.3.7 Dạy học phân chia khái niệm

Khi ta định nghĩa khái niệm, thì nội hàm và ngoại diễn của nó được

xác định Ngoại diên của khái niệm sẽ được sáng tỏ hơn nữa nhờ sự phân chia khái niệm Biết phân chia khái niệm là một biểu hiện của việc nắm vững

các khái niệm Toán học cũng như những khái niệm thuộc bất cứ mơn học nào

Ví dụ như việc phân chia khái niệm số phức thành số thực và số ảo rồi lại phân chia tiếp tục số thực thành số hữu tỉ và số vô tỉ, học sinh thấy được nhiều khía cạnh về ngoại diên của khái niệm số phức, đó là tập số phức có hai tập con là tập số thực và tập số ảo; hai tập con này không có phần tử nào chung và hợp của chúng choán hết tập sô phức; tập hợp số thực đến lượt nó lại có hai tập con là tập số hữu tỉ và tập số vô tỉ; hai tập con này không có phần tử nào chung vả hợp của chúng choán hết tập số thực

Tuy nhiên trên thực tế, có những học sinh hiểu sai khái niệm hoặc giải

toán sai do phân chia khái niệm saI, chẳng hạn họ coi một hàm số là lẻ bởi vì

nó khơng phải là hàm số chăn hoặc kết luận hai đường thắng nào đó trong khơng gian là song song với nhau chỉ vì chúng khơng cắt nhau Để học sinh biết phân chia khái niệm, trước hết chúng ta cần cho họ hiểu đúng thế nào là phân chia khái niệm

Một khái niệm có ngoại dién la A được phân chia thành các khái niệm

có ngoại điên tương ứng A,,A, ,A„ có nghĩa là các điều kiện sau thoả mãn:

i) A #0 voii=1,2, n;

1) A¬A,=Ø VỚI 1);

iii) Ú

Trang 29

Như vậy, su phân chia các ham số thành hàm số chẵn vả hàm số lẻ là

một cách phân chia sai, bởi vì có những hàm số không chẵn mà cũng không lẻ Thật ra, liên quan tới các khái niệm hàm số chăn và hàm số lẻ, có hai cách phân loại hàm số:

Hàm số Ham so

Hàm số Hàm s6 chan Hata số,

không lẻ không chăn

Hàm số lẻ

Tập cho học sinh phân chia một khái niệm nào đó liên quan với nhiều

khái niệm khác nhau trong chương trình cũng có tác dụng tốt trong việc hệ thống hoá khái niệm

Tập luyện cho học sinh phân chia khái niệm tạo tiền đề cần thiết để biện luận trong những bải toán quỹ tích, dựng hình, dé chứng minh phản chứng và giải nhiều bài toán khác dựa trên sự phân chia bài toán

Kết luận:

Định hướng chung về phát triển năng lực học sinh trong dạy học khái niệm hình học ở trường phổ thông :

- Tạo hứng thú học tập khái niệm: Gợi động cơ học tập và vận dụng

khái niém can gan voi thể giới thực, gắn với thực té cuộc sống

- Dạy cho học sinh cách suy nghĩ tìm ra khái niém: Cho hoc sinh được trải nghiệm qua các hoạt động tư duy như phân tích, tổng hợp, so sánh, khái quát hóa trong quá trình hình thành, kiến tạo khái niệm

Trang 30

Chuong 2: Ung dung thiét ké hoat động dạy học

khái niệm hình học thuộc chủ đề phép biên hình ở lớp 11 theo định hướng phát triên năng lực 2.1 Phân tích nội dung của phép biến hình ở trường phố thông

2.1.1 Nội dung chương trình chủ đề phép biến hình ở lớp 8 và lớp 11

Lớp 8:

Phép đối xứng trục:

- Hai điểm được gọi là đối xứng nhau qua đường thắng d nếu d là trung trực của đoạn thắng đó;

- Hai hình được gọi là đối xứng nhau qua đường thắng d nếu mỗi điểm của hình này đối xứng với một điểm thuộc hình kia qua đường thắng d và

ngược lại;

- Duong thang d gọi là trục đối xứng của hình Z2 nếu điểm đối xứng với mỗi điểm thuộc hình 2 qua đường thắng d cũng thuộc hình <2

Phép đối xứng tâm:

- Hai điểm được gọi là đôi xứng nhau qua điểm O nếu O là trung điểm của đoạn thắng nối hai điểm đó;

- Hai hình được gọi là đối xứng nhau qua điểm O nếu mỗi điểm của hình này đối xứng với một điểm thuộc hình kia qua điểm O và ngược lại;

- Điểm O gọi là tâm đối xứng của hình <Z⁄ˆ nếu điểm đối xứng với mỗi điểm thuộc hình <⁄ qua điểm O cũng thuộc hình <2

Nhận xét: Hai phép biến hình giới thiệu ở lớp 8 không được định nghĩa là một phép biến hình Trong đó chỉ nêu quan niệm về hai điểm, hai hình đối xứng nhau qua đường thắng, qua một điểm Từ đó giới thiệu dé học sinh nhận biết hình có trục đối xứng, có tâm đối xứng

Lớp 11:

Trang 31

- Phép tịnh tiễn và phép dời hình;

- Phép đối xứng trục;

- Phép quay và phép đối xứng tâm; - Hai hình bằng nhau;

- Phép vị tự;

- Phép đồng dạng: - Ôn tập chương

2.1.2 Nhiệm vụ dạy học nội dung phép biến hình lớp 11 Triển khai nội dung:

- Nêu định nghĩa chung về phép biến hình, các ví dụ cụ thể (phép chiếu lên đường thắng d, phép tịnh tiến theo véc tơ u), ảnh của mot hinh 3% qua phép biến hình F;

- Phép tịnh tiến: Định nghĩa, tính chất, ứng dụng - Phép dời hình: Định nghĩa, tính chat;

- Các phép dời hình cụ thể: Phép đối xứng trục, phép quay, phép đối

xứng tâm (Định nghĩa, tính chất, ứng dụng);

- Hai hình bằng nhau: Định nghĩa tổng quát về hai hình phẳng bằng nhau nhờ công cụ phép biến hình;

- Phép vị tự: Định nghĩa, tính chất, ảnh của một đường tròn qua phép

vị tự, tâm vị tự của hai đường tròn, ứng dụng của phép vỊ tự;

- Phép đồng dạng, tinh chất và hai hình phăng đồng dạng

Nhiệm vụ dạy học phép biến hình:

- Học sinh nhận biết được định nghĩa và tính chất chung của các phép dời hình, phép đồng dạng, đặc biệt là các phép biến hình cụ thể như phép tịnh tiến, phép đối xứng trục, phép quay, phép đối xứng tâm, phép vị tự;

- Học sinh có kỹ năng ứng dụng từng phép biến hình cụ thẻ trong việc giải tốn hình học phẳng, nhằm hình thành cho học sinh phương pháp giải tốn hình học phẳng mới bằng công cụ phép biến hình;

- Hình thành khái niệm về hai hình bằng nhau và hai hình đồng dạng

Trang 32

một cách tổng quát bằng cơng cụ biến hình

2.2 Ứng dụng thiết kế các hoạt động dạy học các khái niệm phép biến hình theo định hướng phát triển năng lực học sinh

Thiết kế các hoạt động dạy học khái niệm hình học theo hướng phát

triển năng lực được thực hiện dựa theo các dạng hoạt động của quy trình dạy

học khái niệm và cần lưu ý sau:

- Hoạt động gợi động cơ học tập:

Gợi động cơ học tập khái niệm xuất phát từ thực tế cuộc sống và xuất

phát từ nội bộ mơn tốn giúp học sinh nhận thức được rằng khái niệm mới là cần thiết và có ý nghĩa đối với bản thân họ Từ đó tạo nhu cầu, hứng thú học

tập của học sinh

- Hoạt động tiếp cận khái niệm:

Dạy cho học sinh cách suy nghĩ tìm ra khái niệm bằng các hoạt động tư duy như phân tích, tong hợp, so sánh, khái quát hóa,

- Hoạt động củng cố:

Chú trọng các hoạt động vận dụng khái niệm trong những tình huéng

điển hình khác nhau đề giải quyết được những vấn dé của thực tiễn:

+ Phương pháp chung để chứng tỏ một đối tượng thỏa mãn hoặc không thỏa mãn định nghĩa khái niệm ?

+ Minh họa khái niệm hình học bằng hình ảnh thực tế xung quanh lớp học và trong cuộc sống của học sinh

+ Khai thác triệt để một hoặc hai tình huống cu thé dé hoc sinh duoc

trải nghiệm hoạt động vận dụng khái niệm giải quyết những vấn đề cơ bản,

trọng tâm đặt ra trong thực tiễn va trong cuộc sống

2.2.1 Khái niệm về phép biến hình

£T] Hình thành khái niêm:

- Hoạt động gợi động cơ:

+ Nhắc lại khái niệm về hàm số ở lớp 10 trường THPT:

“Cho một tập hợp hợp khác rỗng Dc 1 Hàm số f xác định trên D là

Trang 33

quy tắc đặt tương ứng mỗi số x thuộc D với một và chỉ một số, kí hiệu là f(x) ; s6 f{x) đó gọi là giá trị của hàm số f tại x Tập D gọi là tập xác định x gọi là biến số hay đối số của hàm số f”

+ Nêu ra một sô ví dụ và phản ví dụ vê hàm sô :

)f:' U )g:' L

x->f(x)=x” X > g(x)=5 iii) h: J L iv)t:J O

x >h(x) =Vx x > t(x) =Vx

v)u:Ì [l Quy tắc là với mỗi xe_Ì cho tương ứng với u(x) là

phép khai căn bậc hai của x

+ Đặt vấn đề bằng cách tương tự trong hình học ta có khái niệm về phép biến hình: Thay từ số ¿hực bằng điển thuộc mặt phẳng; Từ đây ta có định nghĩa về phép biến hình

- Nêu định nghĩa:

“Phép biến hình là một quy tác để với mỗi điểm M thuộc mặt phẳng, xác định được một điểm duy nhất M” thuộc mặt phẳng ấy Điểm M' gọi là ảnh của điểm M qua phép biến hình đó.”

f] Hoạt động củng cô: VN M - ey u +“ ava | v aM Mf 1 \ è ` te d Le M’ Hình2.1 ————T———————— Mw M v Me

- Hoạt động 1: Phép chiếu vuông góc lên đường thang d

Cho đường thắng d Với mỗi điểm M, ta xác định điểm M' là hình chiếu vng góc của M trên d

+ Xác định điểm M' là hình chiếu vng góc của điểm M theo quy tắc

trên ? (Hình 2 I)

Trang 34

tắc phép chiếu vng góc lên đường thắng d ở trên ?

Ủng với mỗi điểm M thì xác định duy nhất điển M' tương ứng qua phép chiếu vng góc lên đường thăng d ở trên

+ Phép phép chiếu vng góc lên đường thẳng d có là một phép biến hình hay khơng ?

Phép chiếu vng góc lên đường thăng d là phép biến hình + Xác định ảnh của điểm M nằm trên đường thẳng d 2

Ảnh của mọi điểm nằm trên đường thẳng d qua phép chiếu vuông gúc trên d là trùng với chính nó (Đường thăng d bắt động qua phép chiếu vng góc trên đ)

- Hoạt động 2: Phép tịnh tiến theo vectơ u

Cho véc tơ u Với mỗi điểm M, ta xác định điểm M' theo qui tắc tương

ứng MM =u

+ Lấy hai điểm M, N và xác định hai điểm M’, N' theo quy tắc tịnh

tiến theo vectơ u trên ? (Hình 2.1)

+ Ứng với mỗi điểm M ta xác định được bao nhiêu điểm M” theo quy Ủng với mỗi điểm M thì xác định duy nhất điểm M' tương ứng sao cho MM =u (Theo quy tắc hình bình hành)

+ Phép tịnh tiến theo vectơ_u trên là một phép biến hình ? Phép tịnh tiến theo vectơ u là phép biến hình

+ Có điểm nào trên mặt phẳng mà ảnh của nó qua phép tịnh tiến theo

vectơ u trùng với chính nó khơng ?

Khơng có điểm nào trên mặt phẳng có ảnh trùng với chính nó (Mọi điểm trên mặt phẳng đều bắt động qua phép tịnh tiễn theo vecto u#0 )

- Hoạt động 3: Phép đồng nhất

Với mỗi điểm M, ta xác định điểm M’ trùng với điểm M

Trang 35

(Hinh 2.1)

+ Ứng với mỗi điểm M ta xác định được bao nhiêu điểm M’ theo quy tắc trên ?

Ủng với mỗi điểm M thì xác định duy nhất điểm M' tương tứng trùng với chính M qua phép đẳng nhất

+ Phép đồng nhất trên là một phép biến hình ?

Phép đơng nhất là phép biến hình

+ Có điểm nào trên mặt phẳng có ảnh là điểm khác chính nó khơng ? Mọi điểm trên mặt phẳng đều có ảnh trùng với chỉnh nó (Mọi điểm trên mặt phẳng đều bắt động qua phép đông nhất)

- Hoạt động 4: Xét quy tắc sau “Cho điểm O cô định, Quy tắc ứng với

mỗi điểm M, ta xác định điểm M” sao cho OM = OM”.”

+ Ứng với mỗi điểm M ta xác định được bao nhiêu điểm M’ theo quy

tắc trên ?

Ứng với mỗi điểm M thì xác định được vơ số điểm M' (Những điểm M' nằm trên đường tron tam O ban kinh OM)

+ Quy tắc trên là một phép biến hình ? Quy tắc trên không là phép biến hình

- Hoạt động 5: Hãy vẽ một đường tròn và một đường thẳng d rồi vẽ ảnh của đường trịn qua phép chiếu (vng góc) lên d

Ảnh của đường trịn qua phép chiếu vng góc lên đường thẳng d là

một đoạn thẳng

- Hoạt động 6: Hãy vẽ một vectơ và AABC rồi lần lượt vẽ ảnh A”, B’, C7 của các đỉnh A, B, C qua phép tịnh tiến theo vectơ u Cho nhận xét gì về

AABC va AA’B’C’ ?

Anh ctia AABC qua phép tinh tién theo vecto u la AA’B’C’ va hai tam giác này bằng nhau

2.2.2 Khái niệm về phép tịnh tiễn

£T Hình thành khái niêm:

Trang 36

+ Trong bài học trước, chúng ta đã cùng tìm hiểu thế nào là một phép biến hình và tìm hiểu một số ví dụ về phép biến hình như phép chiếu vng góc trên đường thắng, phép tịnh tiến, phép đồng nhất Hôm nay, chúng ta sẽ tìm hiểu cụ thể hơn về phép tịnh tiến

- Nêu định nghĩa phép tịnh tiến:

“Phép tịnh tiến theo vectơ u là một phép biến hình biến điểm M thành

điểm M’ sao cho MM'=u.”

Hinh 2.2 Me

0 Hoat d6ng cing cé: (Hinh 2.2)

- Hoạt động 1: Phép tinh tién được xác định khi nao ?

Phép tịnh tiến được xác định khi biét vecto tinh tién: Độ đài và hướng của vectơ tịnh tiễn

- Hoạt động 2: Phép đồng nhất có phải phép tịnh tiến không ? Phép đồng nhất là phép tịnh tiễn theo véc tơ 0

- Hoạt động 3: Qua phép tịnh tiến theo vectơ uz0 có điểm nào có ảnh

trùng với chính nó khơng ?

Qua phép tịnh tiễn theo vecto u#0, khéng cé diém nao bién thanh chính nó (Mọi điểm trên mặt phẳng đều bắt động qua phép tịnh tiến theo

vecto' u#0)

- Ví dụ 1: Cho đoạn thắng AB và C là trung điểm của AB Xác định

phép tịnh tiến biến A thành C, biến C thành B ? (Hình 2.3)

+B Hình 2.3

Ả# C

Pháp tịnh tiễn theo vectơ AC

- Ví dụ 2: Cho đường thăng t cố định và điểm A cố định thuộc t Một

điểm M chuyên động trên đường thắng t Dựng AAMN cân tại Ncó bán kính đường trịn ngoại tiếp R Tìm tập hợp điểm N? (Hình 2.4)

Trang 37

Hướng dẫn

Hình 2.4

+ Chọn phép biến hình để biến một điểm nảo đó thành điểm N ?

Ta gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp của A Do do suy ra UN

là xác định, nên ta chọn một phép tịnh tiến là T1 J=

+ Từ tập hợp điểm O tìm được suy ra tập hợp điểm N ?

Tập hợp điểm N' là ảnh của đường tròn tâm A, bán kính R qua phép

tịnh tiến T

2.2.3 Khái niệm về phép dời hình

C] Hình thành khái niêm:

Ta đã biết phép tịnh tiến là phép biến hình không làm thay đổi khoảng cách giữa hai điểm bắt kỳ Tiếp tục tìm phép biến hình có tính chất đó ?

Tính chất đó được gọi là tính chất bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm Ta thấy rằng còn nhiều phép biến hình khác cũng có tính chất này Người ta gọi những phép biến hình có tính chất bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm là phép dời hình

- Nêu định nghĩa: Phép dời hình là phép biến hình không làm thay đổi

khoảng cách giữa hai điểm bất kỳ

Œ] Hoạt động củng cố: N' N = a \ 44 ⁄ “we « M ' ⁄ ° N ri NỆ ⁄ M La N a cà z M Hinh 2.55 ——_) Hình 26 °,: Hình 2.7 M’ N M

Trang 38

hình (Hình 2.5)

+ Lay hai điển M, N bắt kỳ, mà MN không song song với d Gọi ảnh của hai điểm M, N lần lượt là M' và N' Hãy so sảnh độ dai hai đoạn thẳng

MN voi M’N’ ?

DỄ thấy MN #M'N'

+ Kết luận phép chiếu vng góc trên đường thăng d là phép đời hình khơng ?

Phép chiếu vng góc trên đường thẳng d không là phép dời hình vì nó làm thay đổi khoảng cách giữa hai điểm

- Hoạt động 2: Phép tịnh tiến theo vectơ u là phép dời hình (Hình 2.6)

+ Lấy hai điểm M, N bắt kỳ Goi ảnh của hai điểm M, N lần lượt là M'

va N’ Hay so sánh độ dài hai đoạn thẳng MN với M'N" ?

Dễ thấy tứ giác MNM'N' là hình bình hành, nên suy ra MN = MÌN

+ Kết luận phép tịnh tiễn theo vecto u la phép đời hình ?

Phép tịnh tiến là phép dời hình vì nó khơng làm thay đổi khoảng cách giữa hai điểm bắt kỳ

- Hoạt động 3: Phép đồng nhất là phép dời hình (#ình 2.7)

+ Lay hai điển M, N bất kỳ, mà MN không song song với d Gọi ảnh

của hai điểm M, N lần lượt là M' và N Hãy so sảnh độ dài hai đoạn thang

MN voi M’N’ ?

Với mỗi điển M, N ta xác định ảnh của chúng là các diém M’, N’

tring voi diém M, N nén suy ra MN = M’N’

+ Kết luận phép đồng nhất là phép dời hình ?

Phép động nhất là phép dời hình vì nó khơng làm thay đổi khoảng

cách giữa hai điểm bắt Rỳ

2.2.4 Khái niệm về phép đối xứng trục £] Hình thành khái niêm:

Ở trường THCS chúng ta đã biết về phép đôi xứng trục: Hai điểm, hai

Trang 39

hình đối xứng nhau qua đường thắng ; hình có trục đối xứng

- Nhắc lại khái niệm về hai điểm đối xứng nhau qua một đường thắng ở lớp 8 trường THCS: “Hai điểm được gọi là đối xứng nhau qua đường thẳng a nếu đường thẳng a là trung trực của đoạn thăng nối hai điểm đó.”

- Nêu định nghĩa: “Phép đối xứng trục qua đường thẳng a lả phép biến

hình biến mỗi điểm M thành điểm M' đối xứng với M qua a.” (Hình 2.8)

M

i, ig a

OF Hoat déng cung cé: Minh 28 an

- Hoạt động 1: Phép đối xứng trục a được xác định khi nào ?

Phép đối xứng trục a được xác định khi biết đường thẳng a là trục đối

xứng của nó

- Hoạt động 2: Phép đối xứng trục a là một phép dời hình 2 (Hình 2.8) + Lấy hai điểm M, N bắt kỳ, mà MN không song song với d Gọi ảnh

của hai điểm M, N lần lượt là M' và N' Hãy so sảnh độ dài hai đoạn thẳng

MN va M’N’ ?

Goi E, F la trung diém ciia MM’ va NN’ Vi M’, N' là ảnh của M, N

qua D, nén ta co E, F thuéc a

+ Chứng mình AFEN = AFEN” Do đỏ ta suy ra g6c FEN = FEN' va ta có góc MEN =MEN' Tir do suy ra MN = M’N’

+ Kết luận về phép dời hình của pháp đối xứng trục a ?

Phép đối xứng trục a là phép dời hình vì nó khơng làm thay đổi khoảng cách giữa hai điểm bắt kỳ

- Hoạt động 3: Qua phép đối xứng trục Ð, thì những điểm nảo, đường nào được biến thành chính nó?

Qua phép đối xứng trục a, những điểm nằm trên trục đối xứng sẽ biến thành chính nó (Trục đối xứng a là đường thăng bắt động)

- Hoạt động 4: Cho ngũ giác đều ABCDE có tâm O (Hình 2.9) Hãy

Trang 40

chi ra một số phép đối xứng trục biến ngũ giác đó thành chính nó ? Phép đối xứng trục sau :

Doa ; Dos ; Docs Don ; Dor

B

Hinh 2.9 E b

- Hoạt động 5: Nếu phép đối xứng trục Ð, biến điểm M thành điểm M?

thì nó biến điểm M' thành điểm nào ? Nếu nó biến hình <2 thành hình c⁄"

thì nó biến <⁄' thành hình nào?

Phép đối xứng trục Ð, biến điểm M' thành điểm M, biến hình c⁄ˆ'

thành hình

2.2.5 Khái niệm về phép quay

E] Hình thành khái niêm: - Hoạt động gợi động cơ:

+ Xét bài tốn sau: Cho hình vng ABCD có tâm là O Hãy nhận xét

về độ dài các đoạn thang OA, OB, OC, OD va các góc giữa hai đường thang

(OA, OB), (OB, OC), (OC, OD), (OD, OA) (Hinh 2.10)

Ar ¬B A 1

⁄⁄9 ——*M i Hình2.10p) “

o“—~ C

Vì tứ giác ABCD là hình vng nên ta có OA = OB = OC = OD va

các góc AOB = BOC = COD = DOA =90”

Ta thấy quy tắc biến điểm A thành điểm B sao cho (OA, OB) = 90° và

OA = OB được gọi là phép quay với tâm quay O với góc quay (0 = 90° - Nêu định nghĩa: Trong mặt phẳng cho một điểm O cô định và góc

lượng giác ọ khơng đồi Phép biến hình biến điểm O thành điểm O, biến mỗi

điểm M khác O thành điểm M' sao cho OM = OM’ va (OM, OM’) = ø được gọi là phép quay tâm O với góc quay ọ Kí hiệu là Q(O, ()

Định dạng
Số trang	51
Dung lượng	11,98 MB