Thiết kế các hoạt động dạy học khái niệm hình học thuộc chủ đề phép biến hình trong mặt phẳng ở lớp 11 theo định hướng phát triển năng lực

KHOA TOÁN Nguyễn Thị Phương Nga THIẾT KẾ CÁC HOẠT ĐỘNG DẠY HỌC KHÁI NIỆM HÌNH HỌC THUỘC CHỦ ĐỀ PHÉP BIẾN HÌNH TRONG MẶT PHẲNG Ở LỚP 11 THEO ĐỊNH HƯỚNG PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC KHÓA LUẬN TỐ

KHOA TOÁN

Nguyễn Thị Phương Nga

THIẾT KẾ CÁC HOẠT ĐỘNG DẠY HỌC KHÁI NIỆM HÌNH HỌC THUỘC CHỦ ĐỀ PHÉP BIẾN HÌNH TRONG MẶT PHẲNG Ở LỚP 11 THEO ĐỊNH HƯỚNG PHÁT

TRIỂN NĂNG LỰC

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

Hà Nội - 2016

KHOA TOÁN

Nguyễn Thị Phương Nga

THIẾT KẾ CÁC HOẠT ĐỘNG DẠY HỌC KHÁI NIỆM HÌNH HỌC THUỘC CHỦ ĐỀ PHÉP BIẾN HÌNH TRONG MẶT PHẲNG LỚP 11 THEO ĐỊNH HƯỚNG PHÁT

TRIỂN NĂNG LỰC

Chuyên nghành: Phương pháp dạy học Toán

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC

TS PHẠM THỊ DIỆU THÙY

Hà Nội - 2016

Trong thời gian nghiên cứu và hoàn thành khóa luận, em đã nhận được

sự giúp đỡ nhiệt tình của các thầy cô trong tổ phương pháp dạy học và các bạn sinh viên trong khoa Qua đây, em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới các

thầy, cô trong tổ phương pháp dạy học và đặc biệt là cô giáo Phạm Thị Diệu Thùy- người đã định hướng, chọn đề tài và tận tình chỉ bảo, giúp đỡ em hoàn

thiện khóa luận tốt nghiệp này

Do thời gian và kiến thức có hạn, khóa luận không tránh khỏi có những hạn chế và thiếu sót nhất định Em kính mong nhận được sự đóng góp ý kiến của quý thầy cô và các bạn sinh viên để khóa luận của em được hoàn thiện hơn

Em xin chân thành cảm ơn!

Hà Nội, tháng 5 năm 2016

Sinh viên

Nguyễn Thị Phương Nga

Tên em là: Nguyễn Thị Phương Nga

Sinh viên lớp: K38D- Sư phạm Toán

Trường ĐHSP Hà Nội 2

Em xin cam đoan khóa luận này là kết quả nghiên cứu của riêng em dưới sự chỉ đạo của giáo viên hướng dẫn Và nó không trùng với kết quả của bất cứ tác giả nào khác

Hà Nội, tháng 5 năm 2016

Sinh viên

Nguyễn Thị Phương Nga

Lời mở đầu 1

Chương 1: Cơ sở lí luận và thực tiễn 3

1.1 Năng lực và năng lực Toán học 3

1.2 Định hướng phát triển năng lực của học sinh trong dạy học toán ở trường phổ thông 5

1.3 Dạy học khái niệm toán học ở trường phổ thông 7

1.3.1 Đại cương về định nghĩa khái niệm 7

1.3.2 Vị trí của khái niệm và yêu cầu dạy học khái niệm 11

1.3.3 Một số hình thức định nghĩa khái niệm thường gặp ở trường phổ thông 12

1.3.4 Các quy tắc định nghĩa khái niệm 14

1.3.5 Những con đường tiếp cận khái niệm 16

1.3.6 Hoạt động củng cố khái niệm 19

1.3.7 Dạy học phân chia khái niệm 23

Chương 2: Ứng dụng thiết kế hoạt động dạy học khái niệm hình học thuộc chủ đề phép biến hình ở lớp 11 theo định hướng phát triển năng lực 25

2.1 Phân tích nội dung của phép biến hình ở trường phổ thông 25

2.2 Ứng dụng thiết kế các hoạt động dạy học các khái niệm phép biến hình theo định hướng phát triển năng lực học sinh 27

2.2.1 Khái niệm về phép biến hình 27

2.2.2 Khái niệm về phép tịnh tiến 30

2.2.3 Khái niệm về phép dời hình 32

2.2.4 Khái niệm về phép đối xứng trục 33

2.2.5 Khái niệm về phép quay 35

2.2.6 Khái niệm về phép đối xứng tâm 36

2.2.7 Khái niệm về hai hình bằng nhau 37

2.2.8 Khái niệm về phép vị tự 40

2.2.9 Khái niệm về hai hình đồng dạng 43

Kết luận chung 46

Tài liệu tham khảo 47

Lời mở đầu

1 Lí do chọn đề tài

Công cuộc đổi mới của đất nước ta, thực hiện công nghiệp hóa, hiện đại hóa gắn liền với phát triển tri thức, tích cực chủ động hội nhập quốc tế sâu rộng đã và đang đặt ra cho ngành giáo dục và đào tạo nhiệm vụ to lớn

và hết sức nặng nề là đào tạo nguồn nhân lực chất lượng cao Để thực hiện được nhiệm vụ đó, sự nghiệp giáo dục cần được đổi mới về cả mục tiêu, nội dung chương trình và phương pháp dạy học Phương pháp dạy học phải phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động, tư duy sáng tạo của người học, bồi dưỡng cho người học năng lực tự học, kĩ năng thực hành, lòng say mê học tập và ý chí vươn lên Do đó, phương pháp dạy học cần xây dựng theo định hướng phát triển năng lực cho học sinh

Trong đó, phương pháp dạy học môn toán giữ một vị trí quan trọng

vì toán học là công cụ để học những môn học khác, là công cụ của nhiều ngành khoa học khác nhau và là công cụ để hoạt đông trong thực tế Tuy nhiên, đối với học sinh đây là môn học có tính trừu tượng cao và là môn học khó, các khái niệm là nguồn gốc của những khó khăn trở ngại đó Trong việc dạy học Toán, điều quan trọng bậc nhất là hình thành cho học sinh thông hiểu một hệ thống khái niệm Đó là cơ sở của toàn bộ kiến thức Toán học của học sinh, là tiền đề quan trọng để xây dựng khả năng vận dụng những kiến thức đã học

Phép biến hình là một khái niệm quan trọng trong toán học và có nhiều ứng dụng trong giải toán Tuy nhiên, phép biến hình lại là một khái niệm khá mới mẻ đối với học sinh và là một phần khó trong chương trình hình học ở lớp 11

Vì những lí do trên, tôi chọn đề tài nghiên cứu là“Thiết kế các hoạt động dạy học khái niệm hình học thuộc chủ đề phép biến hình trong mặt phẳng ở lớp 11 theo định hướng phát triển năng lực”

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

- Nghiên cứu về lí luận:

+ Năng lực và năng lực toán học của học sinh

+ Định hướng phát triển năng lưc của học sinh trong dạy học toán ở trường phổ thông

+ Dạy học khái niệm toán học và nội dung dạy học khái niệm trong chủ đề phép biến hình ở lớp 11 trường THPT

- Ứng dụng thiết kế hoạt động dạy học khái niệm hình học thuộc chủ đề phép biến hình ở lớp 11 trường THPT

4 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

Các khái niệm Toán học thuộc chủ đề phép biến hình ở lớp 11 trường THPT

5 Phương pháp nghiên cứu

Nghiên cứu lí luận về năng lực, năng lực toán học của học sinh, về phương pháp dạy học khái niệm môn toán

Tổng kết kinh nghiệm tham khảo các giáo án, bài giảng theo phương pháp dạy học theo định hướng phát triển năng lực học sinh

Nghiên cứu nội dung chương trình, sách giáo khoa môn Toán thuộc chủ đề phép biến hình ở lớp 11 trường THPT

Chương 1: Cơ sở lí luận và thực tiễn

1.1 Năng lực và năng lực Toán học

1.1.1 Năng lực

Theo quan điểm của những nhà tâm lý học Năng lực là tổng hợp các đặc điểm, thuộc tính tâm lý của cá nhân phù hợp với yêu cầu, đặc trưng của một hoạt động, nhất định nhằm đảm bảo cho hoạt động đó đạt hiệu quả cao

Các năng lực hình thành trên cơ sở của các tư chất tự nhiên của cá nhân mới đóng vai trò quan trọng, năng lực của con người không phải hoàn toàn do tự nhiên mà có, phần lớn do công tác, do tập luyện mà có

Tâm lý học chia năng lực thành các dạng khác nhau như năng lực chung và năng lực chuyên môn

+ Năng lực chung là năng lực cần thiết cho nhiều ngành hoạt động khác nhau như năng lực phán xét tư duy lao động, năng lực khái quát hoá, năng lực luyện tập, năng lực tưởng tưởng

+ Năng lực chuyên môn là năng lực đặc trưng trong lĩnh vực nhất định của xã hội như năng lực tổ chức, năng lực âm nhạc, năng lực kinh doanh, hội hoạ, năng lực toán học

Năng lực chung và năng lực chuyên môn có quan hệ qua lại hữu cơ với nhau, năng lực chung là cơ sở của năng lực chuyên môn, nếu chúng càng phát triển thì càng dễ thành đạt được năng lực chuyên môn Ngược lại sự phát triển của năng lực chuyên môn trong những điều kiện nhất định lại có ảnh hưởng đối với sự phát triển của năng lực chung Trong thực tế mọi hoạt động có kết quả và hiệu quả cao thì mỗi người đều phải có năng lực chung phát triển ở trình độ cần thiết và có một vài năng lực chuyên môn tương ứng với lĩnh vực công việc của mình

Năng lực còn được hiểu theo một cách khác, năng lực là tính chất tâm sinh lý của con người chi phối quá trình tiếp thu kiến thức, kỹ năng và kỹ xảo tối thiểu là cái mà người đó có thể dùng khi hoạt động

Trong điều kiện bên ngoài như nhau những người khác nhau có thể tiếp thu các kiến thức kỹ năng và kỹ xảo đó với nhịp độ khác nhau có người tiếp thu nhanh, có người phải mất nhiều thời gian và sức lực mới tiếp thu được, người này có thể đạt được trình độ điêu luyện cao còn người khác chỉ đạt được trình trung bình nhất định tuy đã hết sức cố gắng Thực tế cuộc sống có một số hình thức hoạt động như nghệ thuật, khoa học, thể thao Những hình thức mà chỉ những người có một số năng lực nhất đinh mới có thể đạt kết quả

Để nắm được cơ bản các dấu hiệu khi nghiên cứu bản chất của năng lực ta cần phải xem xét trên một số khía cạnh sau:

- Năng lực là sự khác biệt tâm lý của cá nhân người này khác người kia, nếu một sự việc thể hiện rõ tính chất mà ai cũng như ai thì không thể nói

về năng lực

- Năng lực chỉ là những khác biệt có liên quan đến hiệu quả việc thực hiện một hoạt động nào đó chứ không phải bất kỳ những sự khác nhau cá biệt chung chung nào

- Năng lực con người bao giờ cũng có mầm mống bẩm sinh tuỳ thuộc vào sự tổ chức của hệ thống thần kinh trung ương, nhưng nó chỉ được phát triển trong quá trình hoạt động, phát triển của con người, trong xã hội có bao nhiêu hình thức hoạt động của con người thì cũng có bấy nhiêu loại năng lực, có người có năng lực về quản lý kinh tế, có người có năng lực về Toán học, có người có năng lực về kỹ thuật, có người có năng lực về thể thao

- Cần phân biệt năng lực với tri thức, kỹ năng, kỹ xảo: Tri thức là những hiểu biết thu nhân được từ sách vở, từ học hỏi và từ kinh nghiệm cuộc sống của mình Kỹ năng là sự vận dụng bước đầu những kiến thức thu lượm vào thực tế để tiến hành một hoạt động nào đó Kỹ xảo là những kỹ năng được lắp đi lặp lại nhiều lần đến mức thuần thục cho phép con người không phải tập trung nhiều ý thức vào việc mình đang làm Còn năng lực là một tổ hợp phầm chất tương đối ổn đinh, cơ bản của cá nhân, cho phép nó thực hiện

có kết quả một hoạt động Như vậy năng lực chỉ làm cho việc tiếp thu các kiến thức kỹ năng, kỹ xảo trở nên dễ dàng hơn

1.1.2 Năng lực Toán học của học sinh

Theo V.A.Krutetxki thì khái niệm năng lực toán học được hiểu dưới hai bình diện sau:

Năng lực nghiên cứu toán học là năng lực sáng tạo, các năng lực hoạt động toán học tạo ra được các kết quả, thành tựu mới, khách quan và quý giá

Năng lực toán học của học sinh là năng lực học tập giáo trình phổ thông, lĩnh hội nhanh chóng và có kết quả cao các kiến thức, kỹ năng, kỹ xảo tương ứng

- Năng lực toán học của học sinh:

Từ khái niệm về năng lực, ta có thể đi đến khái niệm về năng lực toán học của học sinh: “Năng lực toán học là những đặc điểm tâm lí đáp ứng được yêu cầu hoạt động học toán và tạo điều kiện lĩnh hội các kiến thức, kĩ năng trong lĩnh vực toán học tương đối nhanh chóng, dễ dàng, sâu sắc trong những điều kiện như nhau”

- Cấu trúc về năng lực toán học của học sinh:

+ Năng lực tính toán, giải toán

+ Năng lực tư duy toán học

+ Năng lực giao tiếp toán học

+ Năng lực vận dụng toán học vào thực tiễn

+ Năng lực giải quyết vấn đề

+ Năng lực sáng tạo toán học

1.2 Định hướng phát triển năng lực của học sinh trong dạy học toán ở trường phổ thông

1.2.1 Dạy học theo hướng tiếp cận nội dung và hướng tiếp cận năng lực

Tiếp cận nội dung là cách nêu ra một danh mục đề tài, chủ đề của một

lĩnh vực môn học nào đó Tức là tập trung xác định và trả lời câu hỏi: Chúng

ta muốn người học cần biết cái gì? Cách tiếp cận này người giáo viên chủ

yếu dựa vào yêu cầu nội dung học vấn của một khoa học bộ môn để thiết kế nội dung dạy học Vì vậy nội dung dạy học thường mang tính "hàn lâm", nặng về lý thuyết và ít chú trọng đến vận dụng vào thực tiễn cuộc sống, nhất

là khi người thiết kế ít chú ý đến tiềm năng, các giai đoạn phát triển, nhu cầu, hứng thú và điều kiện của người học

Tiếp cận năng lực là cách tiếp cận nêu rõ kết quả - những khả năng

hoặc kĩ năng mà người học mong muốn đạt được vào cuối mỗi giai đoạn học tập trong nhà trường ở một môn học cụ thể Nói cách khác, cách tiếp cận này

nhằm trả lời câu hỏi: Chúng ta muốn người học biết và có thể làm được

những gì? Theo cách tiếp cận này thì người giáo viên phải thiết kế nội dung dạy học đảm bảo tinh giản, cơ bản, hiện đại, giảm tính hàn lâm, tăng tính thực hành và vận dụng kiến thức và kĩ năng vào thực tiễn cuộc sống Định hướng trên cũng hạn chế được tính hàn lâm, xa rời cuộc sống

1.2.2 Phương pháp dạy học môn toán theo định hướng phát triển năng lực học sinh

Phương pháp dạy học theo định hướng tiếp cận nội dung chủ yếu yêu

cầu học sinh trả lời câu hỏi: Biết cái gì (know-what) Nghĩa là yêu cầu học sinh chỉ cần ghi nhớ tri thức và hiểu tri thức, chưa chú ý tới yêu cầu vận

dụng tri thức đó

Phương pháp dạy học theo định hướng phát triển năng lực luôn đặt ra

câu hỏi: Biết làm gì từ những điều đã biết Nói cách khác, nói đến năng

lực là phải nói đến khả năng thực hiện, là phải biết làm (know-how), chứ

không chỉ biết và hiểu (know-what) Như vậy, tiếp cận năng lực chủ trương

giúp người học không chỉ biết học thuộc, ghi nhớ mà còn phải biết làm thông qua các hoạt động cụ thể, sử dụng những tri thức học được để giải quyết các tình huống do cuộc sống đặt ra Nói cách khác, tiếp cận năng lực là dạy cho

học sinh không chỉ biết và hiểu kiến thức mà phải biết làm gì từ những điều

đã biết về kiến thức đó

Như vậy, việc dạy học toán theo định hướng phát triển năng lực học sinh là phù hợp với quan điểm “dạy học thông qua hoạt động và bằng hoạt động” [1], đồng thời chú ý gắn hoạt động học với thực tiễn đời sống Vì vậy, trong dạy học việc đổi mới phương pháp dạy học theo định hướng phát triển năng lực học sinh được hiểu như sau: Dạy cho học sinh cách suy nghĩ tìm ra

kiến thức mới, tìm ra cách giải quyết vấn đề mới; đồng thời chú trọng vào các hoạt động vận dụng kiến thức đó, cách giải quyết vấn đề đó để giải quyết

nhiều tình huống đặt ra trong thực tiễn và trong đời sống

1.3 Dạy học khái niệm toán học ở trường phổ thông

1.3.1 Đại cương về định nghĩa khái niệm

a Khái niệm

Khái niệm là hình thức của tư duy trừu tượng, phản ánh một lớp các

đối tượng (sự vật, quá trình và hiện tượng) thông qua các đặc trưng, các dấu hiệu cơ bản của các đối tượng đó

Trong trường hợp cần phân biệt rõ hơn khái niệm với các hình thức khác của tư duy cũng phản ánh đối tượng thông qua các đặc trưng cơ bản của

nó: Khái niệm là hình thức của tư duy trừu tượng, là kết quả của quá trình

khái quát hóa và tách biệt (trong tư tưởng) các đối tượng thuộc về một lớp nào đó theo một số dấu hiệu đặc trưng nhất định của các đối tượng này

Một khái niệm có thể được xem xét theo hai phương diện: bản thân

lớp đối tượng xác định khái niệm được gọi là ngoại diên, còn toàn bộ các thuộc tính chung của lớp đối tượng này được gọi là nội hàm của khái niệm

 Nội hàm của khái niệm “cấp số cộng” là: Mỗi số hạng, kể từ số hạng thứ hai trở đi đều bằng số hạng đứng ngay trước đó cộng với một số không đổi

Giữa nội hàm và ngoại diên có một mối liên hệ mang tính quy luật, nội hàm càng được mở rộng thì ngoại diên càng bị thu hẹp và ngược lại

Thật vậy, nếu ta mở rộng nội hàm của khái niệm hình bình hành , chẳng hạn bằng cách bổ sung đặc điểm “có một góc vuông” thì ta sẽ được lớp các hình chữ nhật là một bộ phận thực sự của lớp các hình bình hành

Nếu ngoại diên của khái niệm A là một bộ phận của khái niệm B thì

khái niệm A được gọi là một khái niệm chủng của B, còn khái niệm B được gọi là một khái niệm loại của A

b Khái niệm đối tượng và khái niệm quan hệ

Ở trên có nêu khái niệm phản ánh một lớp đối tượng Điều đó có gì sai

hay không, trong khi có những tác giả phân biệt khái niệm về một đối tượng,

chẳng hạn “hình chóp” với khái niệm về một quan hệ, chẳng hạn “chia hết”?

Thật ra, dưới góc độ Toán học, một quan hệ n ngôi là một tập con của tích Đềcac của n tập hợp Quan hệ chia hết là một tập con A của tích Đềcac

+ Đối tượng (3, 12) là một phần tử của A (hay ta còn nói “số 3 chia hết 12”), bởi tồn tại số tự nhiên 4 sao cho 12 4 3. 

+ Đối tượng (3, 25) không phải là một phần tử của A (hay ta còn nói

“số 3 không chia hết 25”), bởi vì không tồn tại bất cứ một số tự nhiên q nào sao cho 25 3 q

Tuy về mặt toán học, khái niệm về một quan hệ cũng là một trường hợp riêng của khái niệm về một đối tượng, nhưng trong dạy học, sự phân biệt giữa khái niệm về đối tượng với khái niệm về quan hệ lại là cần thiết dưới góc độ sư phạm, nhất là trong tình hình hiện nay học sinh còn mơ hồ về

khái niệm quan hệ khi họ nói về “phương trình tương đương”, “phương trình

hệ quả”

c Định nghĩa khái niệm

Định nghĩa một khái niệm là một thao tác lôgic nhằm phân biệt lớp

đối tượng xác định khái niệm này với các đối tượng khác, thường bằng cách vạch ra nội hàm của khái niệm đó Các định nghĩa thường có các cấu trúc sau:

Từ mới (biểu thị khái

niệm mới)

(Những) từ chỉ miền đối tượng đã biết (loại)

Tân từ (diễn tả khác biệt

về chủng)

Ví dụ: “Hình vuông là một hình chữ nhật có hai cạnh liên tiếp bằng nhau” Trong định nghĩa này, từ mới là hình vuông, loại hay miền đối tượng

là hình chữ nhật, còn sự khác biệt về chủng là hai cạnh liên tiếp bằng nhau

Miền đối tượng (loại) và các thuộc tính về chủng tạo thành đặc trưng

của khái niệm Đặc trưng của khái niệm là điều kiện cần và đủ để xác định khái niệm đó Nói chung, có nhiều cách nêu đặc trưng của cùng một khái niệm, tức có thể định nghĩa một khái niệm theo nhiều cách khác nhau Chẳng hạn, hình vuông ngoài định nghĩa đã nêu trong ví dụ trên, còn có thể được

định nghĩa theo một cách khác ví dụ như “hình vuông là hình thoi có một góc vuông”

Khi xét một đối tượng xem có thuộc ngoại diên của một khái niệm nào

đó hay không, người ta thường quan tâm những thuộc tính của đối tượng đó: những thuộc tính nào nằm trong nội hàm của khái niệm đang xét thì được coi

là thuộc tính bản chất, còn những thuộc tính nào không thuộc nội hàm của khái niệm đó thì được coi là thuộc tính không bản chất đối với khái niệm đang xét.Giả sử cho tứ giác ABCD (hình vẽ)

Nếu xét xem ABCD có phải là một hình vuông hay không thì “AB = BC” là một trong

các thuộc tính bản chất, còn nếu xét xem tứ

giác đó có phải là hình bình hành hay không thì thuộc tính đó không là bản chất

Trong định nghĩa theo cấu trúc đã nêu ở đầu mục này, từ chỉ miền đối tượng hay loại phải tương ứng với một khái niệm đã biết Một khả năng vi phạm điều kiện này là đưa ra những định nghĩa vòng quanh, ví dụ “phép cộng là phép tìm tổng của hai hay nhiều số”; “tổng của hai hay nhiều số là kết quả thực hiện phép cộng”

d Khái niệm không định nghĩa

Định nghĩa một khái niệm mới thường dựa vào một hay nhiều khái

niệm đã biết Ví dụ để định nghĩa hình vuông ta cần định nghĩa hình chữ nhật; để định nghĩa hình chữ nhật, ta cần định nghĩa hình bình hành; để định nghĩa hình bình hành ta cần định nghĩa tứ giác,… Tuy nhiên, quá trình trên

không thể kéo dài vô hạn, tức là phải có khái niệm không được định nghĩa, được thừa nhận làm điểm xuất phát, gọi là những khái niệm nguyên thuỷ, chẳng hạn người ta thừa nhận điểm, đường thẳng, mặt phẳng là những khái niệm nguyên thuỷ

Ở trường phổ thông, chúng ta thấy có một số khái niệm cũng không được định nghĩa vì lí do sư phạm, mặc dù chúng có thể định nghĩa trong toán học

Đối với những khái niệm không định nghĩa ở trường phổ thông, cần

mô tả, giải thích thông qua những ví dụ cụ thể để học sinh hình dung được những khái niệm này, hiểu được chúng một cách trực giác

1.3.2 Vị trí của khái niệm và yêu cầu dạy học khái niệm

a Vị trí của dạy học khái niệm

Trong việc dạy học toán cũng như dạy học bất cứ một khoa học nào ở

trường phổ thông, điều quan trọng bậc nhất là hình thành một cách vững chắc cho học sinh một hệ thống khái niệm Đó là cơ sở của toàn bộ kiến thức

Toán học của học sinh, là tiền đề quan trọng để xây dựng cho họ khả năng vận dụng các kiến thức đã học

Quá trình hình thành các khái niệm có tác dụng lớn đến việc phát triển trí tuệ, đồng thời góp phần giáo dục thế giới quan cho học sinh qua việc nhận thức đúng đắn quá trình phát sinh và phát triển của các khái niệm toán học

b Yêu cầu của dạy học khái niệm

Trong dạy học khái niệm Toán học ở trường phổ thông phải làm cho học sinh đạt được các yêu cầu sau:

- Nắm vững các đặc điểm đặc trưng cho một khái niệm

- Biết nhận dạng khái niệm, tức là biết phát hiện xem một đối tượng cho trước có thuộc phạm vi một khái niệm nào đó hay không, đồng thời biết thể hiện khái niệm

- Biết phát biểu rõ ràng, chính xác định nghĩa khái niệm bằng nhiều cách khác nhau

- Biết vận dụng khái niệm trong những tình huống cụ thể trong hoạt động giải toán và ứng dụng thực tiễn

- Biết phân loại khái niệm và nắm được mối quan hệ của một khái niệm với những khái niệm khác trong một hệ thống khái niệm

Các yêu cầu trên đây có mối quan hệ chặt chẽ với nhau Song vì lí do

sư phạm, các yêu cầu trên không phải lúc nào cũng được được đặt ra với mức độ như nhau đối với mọi khái niệm

Ví dụ, đối với những khái niệm như “hình bình hành”, “đạo hàm”, … học sinh phải phát biểu được định nghĩa một cách chính xác và vận dụng

được các định nghĩa đó trong khi giải bài tập, còn đối với khái niệm “chiều”

của vectơ, chương trình lại không đòi hỏi học sinh phải nêu định nghĩa tường minh mà chỉ cần hình dung định nghĩa này một cách trực giác dựa vào kinh nghiệm sống của bản thân

1.3.3 Một số hình thức định nghĩa khái niệm thường gặp ở trường phổ thông

a Định nghĩa theo phương pháp loài - chủng

* Nội dung: Định nghĩa theo phương pháp loài-chủng là một hình thức

định nghĩa nêu lên khái niệm loài và đặc tính của chủng

Khái niệm được định nghĩa = Khái niệm loài + Đặc tính của chủng

- Ví dụ 1: “Hình thoi là hình bình hành có hai cạnh liên tiếp bằng nhau” Trong định nghĩa này :

+ Hình bình hành là khái niệm loài

+ Hai cạnh liên tiếp bằng nhau là đặc tính của chủng

- Ví dụ 2: “Số nguyên tố là số tự nhiên lớn hơn 1 và chỉ có hai ước số

là 1 và chính nó” Trong định nghĩa này :

+ Số tự nhiên là khái niệm loài

+ Chỉ có hai ước số là 1 và chính nó là đặc tính của chủng

- Ví dụ 3: Trong mặt phẳng, cho một điểm O cố định và một số k không đổi khác 0, phép biến hình biến mỗi điểm M thành M’ sao cho

'

OM kOM được gọi là phép vị tự tâm O tỉ số k Kí hiệu V(O,k)

Ở định nghĩa trên, ta thấy:

+ Phép biến hình là khái niệm loài

+ Số k không đổi khác 0, O cố định, OM' kOM là đặc trưng của chủng

b Định nghĩa bằng quy ước

* Nội dung: Định nghĩa bằng quy ước là hình thức định nghĩa gán cho

đối tượng cần định nghĩa một đối tượng cụ thể nào đó

a n N a a

   

Chú ý: Khi dạy học định nghĩa bằng quy ước, giáo viên không giải thích tại sao lại quy ước được như vậy mà chỉ đặt vấn đề quy ước như vậy có hợp lý hay không

a

a a a



c Định nghĩa bằng phương pháp tiên đề

* Nội dung: Người ta chọn ra một số đối tượng cơ bản, quan hệ cơ bản

và thừa nhận chúng gọi là các tiên đề Từ đó đi định nghĩa các khái niệm khác, chứng minh các tính chất khác bằng suy luận hợp lôgic

- Ví dụ 1: Quan hệ tương đương được định nghĩa như sau:

Quan hệ R trên tập A được gọi là quan hệ tương đương nếu nó có tính chất phản xạ, đối xứng và bắc cầu

- Ví dụ 2: Ta định nghĩa khái niệm nhóm như sau:

Tập X X   cùng phép toán hai ngôi “*” được gọi là nhóm nếu:

ii) Có phần tử đơn vị eX sao cho  x X x e: * e x* x;

iii) Tồn tại phần tử nghịch đảo  x X, x1 X x x: * 1 x1*xe

d Định nghĩa bằng phương pháp mô tả

* Nội dung: Định nghĩa bằng phương pháp mô tả là hình thức định

nghĩa chỉ ra những đối tượng trong thực tiễn có hình ảnh gần gũi với đối tượng cần định nghĩa, quan hệ cần định nghĩa hoặc chỉ ra quy trình tạo ra chúng (mô tả theo kiểu kiến thiết)

- Ví dụ 1: Các khái niệm “điểm trong mặt phẳng, đường thẳng, mặt phẳng” là các khái niệm không định nghĩa tường minh, chúng được định nghĩa theo phương pháp mô tả

- Ví dụ 2: Góc lượng giác trong Đại số 10 (định nghĩa theo quy trình tạo ra chúng) Cho hai tia Ou, Ov Nếu tia Om quay chỉ theo chiều dương (hay chỉ theo chiều âm) xuất phát từ tia đầu Ou đến trùng với tia cuối Ov thì

ta nói: Tia Om quét một góc lượng giác tia đầu Ou, tia cuối Ov

1.3.4 Các quy tắc định nghĩa khái niệm

a Quy tắc 1: Định nghĩa phải tương xứng

Định nghĩa phải tương xứng nghĩa là phạm vi của khái niệm định nghĩa và khái niệm được định nghĩa phải bằng nhau

Định nghĩa không tương xứng là định nghĩa mà phạm vi của khái niệm quá hẹp hay quá rộng so với khái niệm được định nghĩa

- Ví dụ 1: “Số vô tỉ là số thập phân vô hạn không tuần hoàn” là định nghĩa đúng, phù hợp, định nghĩa tương xứng

- Ví dụ 2: “Số vô tỉ là căn số của những số hữu tỉ trong trường hợp những số này không thể khai căn đúng được” Định nghĩa trên là không tương xứng vì khái niệm được định nghĩa có phạm vi hẹp hơn so với phạm

vi khái niệm định nghĩa, ví dụ số e và số π là những số vô tỉ nhưng không là

kết quả của phép khai căn nào

- Ví dụ 3: “Số vô tỉ là số thập phân vô hạn” Định nghĩa này là không tương xứng vì khái niệm được định nghĩa có phạm vi rộng hơn khái niệm

định nghĩa, chẳng hạn có những số thập phân vô hạn như 1 1, ,

3 9 nhưng chúng không phải số vô tỉ mà là các số hữu tỉ

b Quy tắc 2: Định nghĩa phải xác định (Định nghĩa không được vòng quanh)

Định nghĩa phải xác định nghĩa là định nghĩa phải dựa vào khái niệm

đã biết, đã được định nghĩa

- Ví dụ 1: Định nghĩa về số đo góc “Độ là 1

90 của góc vuông, góc vuông là góc có số đo 90o

” Hai định nghĩa về “góc vuông” và về “độ” vi phạm vòng quanh

- Ví dụ 2: “Góc nhị diện là góc tạo bởi hai nhị diện đi qua một đường thẳng” là định nghĩa không đúng vì khái niệm góc không xác định Vì thế, ta phải định nghĩa khái niệm góc nhị diện như sau: “Góc nhị diện là phần không gian giới hạn bởi hai nửa mặt phẳng cùng đi qua một đường thẳng”

c Quy tắc 3: Định nghĩa phải tối thiểu

Định nghĩa phải tối thiểu nghĩa là trong nội dung khái niệm định nghĩa không chứa những thuộc tính có thể suy ra từ những thuộc tính còn lại

- Ví dụ 1: Định nghĩa “hình bình hành là tứ giác phẳng có các cạnh đối song song và bằng nhau” vi phạm quy tắc này vì ở định nghĩa thừa một trong hai điều kiện song song hoặc bằng nhau

- Ví dụ 2: Định nghĩa “số nguyên tố là số tự nhiên lớn hơn 1 và chỉ có hai ước số là 1 và chính nó” thừa điều kiện “lớn hơn một” và “là 1 và chính nó” nhưng vì lí do sư phạm nên người ta đưa vào trong định nghĩa để học sinh hiểu rõ hai ước đó là hai ước cụ thể nào

d Quy tắc 4: Định nghĩa không dùng lối phủ định khái niệm khác nếu chúng không loại trừ nhau (Hai khái niệm loại trừ nhau nếu chúng cùng chung một loài, đồng thời phạm vi của chúng giao với nhau bằng rỗng và hợp với nhau đúng bằng phạm vi của khái niệm loài (tức là khái niệm loài không bao gồm

hai khái niệm mâu thuẫn)

- Ví dụ 1: “Hình thoi không phải là hình tam giác” là định nghĩa chỉ nêu lên dấu hiệu xem xét một hình không phải là hình tam giác, chưa chỉ ra được đặc trưng của hình thoi

- Ví dụ 2: “Số siêu việt là những số thực không đại số” là định nghĩa đúng vì khái niệm loài là tập số được phân chia thành hai tập hợp gồm tập

hợp số đại số và tập hợp số siêu việt, hai tập số này là hai tập hợp tách rời nhau nhưng hợp của chúng tạo thành tập số

1.3.5 Những con đường tiếp cận khái niệm

Con đường tiếp cận một khái niệm được hiểu là quá trình hoạt động và

tư duy dẫn tới một sự hiểu biết về khái niệm đó nhờ định nghĩa tường minh, nhờ mô tả, nhờ trực giác, ở mức độ nhận biết một đối tượng hoặc một tình huống có thuộc về khái niệm đó hay không

Trong dạy học người ta phân biệt ba con đường tiếp cận khái niệm:

 Con đường quy nạp;

 Con đường suy diễn;

 Con đường kiến thiết

Sau đây ta sẽ đi vào từng con đường nói trên

a Con đường quy nạp

Xuất phát từ một số đối tượng riêng lẻ như vật thật, mô hình, hình vẽ, giáo viên dẫn dắt học sinh phân tích, so sánh, trừu tượng hoá và khái quát hoá để tìm ra dấu hiệu đặc trưng của một khái niệm thể hiện ở những trường hợp cụ thể này, từ đó đi đến một định nghĩa tường minh hay một sự hiểu biết trực giác về khái niệm đó tuỳ theo yêu cầu của chương trình

Quy trình tiếp cận một khái niệm theo con đường quy nạp:

i) Giáo viên đưa ra những ví dụ cụ thể để học sinh thấy sự tồn tại hoặc tác dụng của một loạt đối tượng nào đó;

ii) Giáo viên dẫn dắt học sinh phân tích, so sánh và nêu bật những đặc điểm chung của các đối tượng đang được xem xét Có thể đưa ra đối chiếu một vài đối tượng không có đủ các đặc điểm đã nêu;

iii) Giáo viên gợi mở để học sinh phát biểu một định nghĩa bằng cách nêu tên và các đặc điểm đặc trưng của khái niệm

- Ví dụ: Để hình thành khái niệm về phép biến hình theo con đường quy nạp, ta có thể làm như sau:

+ Cho điểm O cố định, với điểm M tùy ý hãy dựng điểm M' là điểm đối xứng với M qua O;

+ Cho một vectơ a , với điểm M tùy ý hãy dựng điểm M' sao cho

'

MM a

Qua hai hoạt động trên, học sinh nhận xét những đặc điểm giống nhau (với mỗi điểm M đều có một quy tắc để chỉ ra điểm M' xác định duy nhất) và khác nhau (thể hiện ở nội dung của quy tắc ấy) ở hai hoạt động trên Sau đó

đi đến định nghĩa phép biến hình là một quy tắc sao cho ứng với mỗi điểm M

ta có thể chỉ ra một điểm M' hoàn toàn xác định

Con đường quy nạp có ưu điểm là thuận lợi cho việc huy động hoạt động tích cực của học sinh, góp phần phát triển năng lực trí tuệ chung và tạo cho họ nâng cao tính độc lập trong việc đưa ra định nghĩa Tuy nhiên, con đường này đòi hỏi tốn nhiều thời gian nên không phải bao giờ cũng có điều kiện thực hiện

Con đường quy nạp thường được sử dụng trong điều kiện sau:

- Chưa phát hiện được một khái niệm loại nào làm điểm xuất phát cho con đường suy diễn

- Đã định hình được một số đối tượng thuộc ngoại diên của khái niệm cần hình thành, do đó có đủ vật liệu để thực hiện phép quy nạp

b Con đường suy diễn

Một số khái niệm được hình thành theo con đường suy diễn, đi ngay vào định nghĩa khái niệm mới như một trường hợp riêng của một khái niệm nào đó mà học sinh đã được học

Quy trình thực hiện tiếp cận một khái niệm theo con đường suy diễn được thực hiện theo các bước sau:

i) Xuất phát từ một khái niệm đã biết, thêm vào nội hàm của khái niệm

đó một số đặc điểm mà ta quan tâm

ii) Phát biểu một định nghĩa bằng cách nêu tên khái niệm mới và định nghĩa nó nhờ một khái niệm tổng quát hơn cùng với những đặc điểm để hạn chế một bộ phận trong khái niệm tổng quát đó

iii) Đưa ra một số ví dụ minh hoạ cho khái niệm vừa được định nghĩa Việc định nghĩa hình chữ nhật, hình thoi như trường hợp riêng của hình bình hành, định nghĩa hàm số mũ, hàm số lôgarit và những hàm số lượng giác như những trường hợp riêng của khái niệm hàm số là những ví dụ

về việc tiếp cận khái niệm theo con đường suy diễn

Con đường suy diễn có ưu điểm là tiết kiệm thời gian và thuận lợi cho việc tập luyện cho học sinh tự học những khái niệm toán học thông qua sách

vở và tài liệu, hoặc nghe những báo cáo khoa học lĩnh vực Toán học Tuy nhiên, con đường này hạn chế về mặt khuyến khích học sinh phát triển những năng lực trí tuệ chung như phân tích, tổng hợp, so sánh, trừu tượng hoá và khái quát hoá

Con đường này thường được sử dụng khi phát hiện ra một khái niệm loại làm điểm xuất phát cho con đường suy diễn

c Con đường kiến thiết

Quy trình tiếp cận một khái niệm theo con đường kiến thiết thường diễn ra như sau:

i) Xây dựng một hay nhiều đối tượng đại diện cho khái niệm cần được hình thành, hướng vào những yêu cầu tổng quát nhất định xuất phát từ nội bộ Toán học hay từ thực tiễn

ii) Khái quát hoá quá trình xây dựng những đối tượng đại diện , đi tới đặc điểm đặc trưng cho khái niệm cần hình thành

iii) Phát biểu định nghĩa đã được gợi ý

Con đường này mang cả những yếu tố quy nạp lẫn suy diễn Yếu tố suy diễn thể hiện ở chỗ xuất phát từ những yêu cầu tổng quát để xây dựng một hay nhiều đối tượng cho khái niệm cần hình thành Yếu tố quy nạp thể

hiện ở chỗ khái quát hoá quá trình xây dựng những đối tượng đại diện riêng

lẻ đi đến đặc điểm tổng quát đặc trưng cho khái niệm cần định nghĩa

- Ví dụ: Định nghĩa luỹ thừa với số mũ nguyên âm (học sinh đã được quy ước a0=1 với a ≠ 0)

i) Xây đựng một đối tượng đại diện

Chẳng hạn ta muốn định nghĩa 4

3 Để đảm bảo phép nâng lên luỹ thừa mới này cũng có các tính chất cơ bản của các luỹ thừa với số mũ tự nhiên, ví dụ am  an  am n , ta cần có 34  34 3 4 4  3 0

Nhưng 0

3 1 , do đó 34 34 1 Muốn vậy ta phải định nghĩa 4

4

13

3

ii) Khái quát hoá quá trình xây dựng đối tượng đại diện

Một cách tổng quát, để đảm bảo luỹ thừa với số mũ âm cũng có các tính chất cơ bản của các luỹ thừa với số mũ tự nhiên, ta cần phải định nghĩa:

Con đường kiến thiết thường được sử dụng trong hoàn cảnh sau:

- Chưa định hình được những khái niệm thuộc ngoại diên khái niệm,

do đó con đường quy nạp không thích hợp;

- Chưa phát hiện được một khái niệm loại nào làm điểm xuất phát cho con đường suy diễn

1.3.6 Hoạt động củng cố khái niệm

Quá trình hình thành khái niệm chưa kết thúc khi phát biểu được định nghĩa khái niệm đó Một khâu rất quan trọng là củng cố khái niệm, khâu này thường được thực hiện bằng các hoạt động sau đây:

 Nhận dạng và thể hiện khái niệm

 Hoạt động ngôn ngữ

 Hoạt động vận dụng khái niệm và hệ thống hoá khái niệm

Sau đây, ta sẽ đi sâu vào từng hoạt động

a Nhận dạng và thể hiện khái niệm

Nhận dạng và thể hiện khái niệm là hai dạng hoạt động theo chiều hướng trái ngược nhau, có tác dụng củng cố khái niệm, tạo tiền đề cho việc vận dụng khái niệm

- Nhận dạng một khái niệm là xét xem một đối tượng cho trước có phù hợp với định nghĩa của khái niệm đó hay không

- Thể hiện một khái niệm là tạo ra một đối tượng phù hợp với định nghĩa của khái niệm đó

+ Ví dụ 1: (nhận dạng khái niệm hình chóp đều) Phải chăng mọi hình chóp có đáy là một đa giác đều luôn là một hình chóp đa giác đều?

+ Ví dụ 2: (thể hiện một khái niệm hình chóp đều) Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ Các đường thẳng AC và BD cắt nhau tại O Các đường thẳng A’C’ và B’D’ cắt nhau tại O’ Hãy vẽ hai hình chóp đều có đáy

là hình vuông ABCD

Khi tập dượt cho học sinh nhận dạng và thể hiện khái niệm cần chú ý:

Thứ nhất, cần sử dụng cả những đối tượng thuộc ngoại diên lẫn những

đối tượng không thuộc ngoại diên đối tượng đó (phản ví dụ)

Thứ hai, đối với những đối tượng thuộc ngoại diên khái niệm đang xét

thì cần đưa ra cả những trường hợp đặc biệt của khái niệm đó Việc đưa ra những trường hợp đặc biệt, trong đó một đối tượng mang những thuộc tính

nổi bật nhưng không phải là thuộc tính bản chất đối với khái niệm đang xét vừa giúp học sinh hiểu biết sâu sắc về đặc trưng của khái niệm, lại vừa rèn luyện cho họ khả năng trừu tượng hoá thể hiện ở chỗ biết phân biệt và tách đặc điểm bản chất với những đặc điểm không bản chất

Thứ ba, đối với những đối tượng không thuộc ngoại diên của khái

niệm đang xét, trong trường hợp đặc trưng của khái niệm có cấu trúc hội, các phản ví dụ thường được xây dựng sao cho chỉ trừ một thành phần trong cấu trúc hội, còn các thuộc tính thành phần khác đều được thoả mãn Sau đây, ta đưa ra một ví dụ như sau:

Theo định nghĩa hàm số, tính chất đặc trưng của khái niệm này có thể phân tích thành hội của hai điều kiện đơn p và 1 p2 như sau:

- Điều kiện p : Với mỗi số thực x1 X đều tồn tại số thực tương ứng

y Y (điều kiện tồn tại);

- Điều kiện p : Với mỗi số thực x2 X thì số thực tương ứng y Y là duy nhất (điều kiện duy nhất)

Trên cơ sở đó ta có thể đưa ra hai phản ví dụ sau đây:

mét ­íc cña n (vi phạm điều kiện p2)

Thứ tư, trường hợp đặc trưng của khái niệm có cấu trúc hội của hai

điều kiện, cần làm rõ cấu trúc này để học sinh nhận dạng khái niệm đó một cách dễ dàng hơn

Trường hợp tổng quát, khi đặc trưng của khái niệm là hội của n điều kiện, định nghĩa có cấu trúc như sau: