Toán Cao Cấp C1 – Đại Số Tuyến Tính Đưa toán cao cấp toán đơn giản cấp – học Kiến thức cần nắm Các Phép Toán Ma Trận: a Phép Cộng (trừ): Như cộng vector a=(2 ;3) b=(5 ;4 ) => a+b =(2+5 ;3+4) = (7 ;7) b Phép Nhân : A cấp 2x3 nhân với B cấp 3x5 thỉ ma trận C cấp 2x5 Cách nhân qua bước sau : i Nhân dòng với cột ghi vào vị trí dòng cột ma trận C ii Nhân dòng với cột ghi vào vị trí dòng cột ma trận C (cho đến hết số cột ma trận B) iii Nhân dòng với cột ghi vào vị trí dòng cột ma trận C ( Làm tương tự dòng 1) Chú Ý : AxB khác BxA c Ma Trận Bậc thang Rút Gọn : + Phần tử trụ =1 + Các phần tử cột với phần tử trụ khác phần tử trụ phải = d Tìm Hạng Matran : đưa Matran ma trận bậc thang Hạng ma trận = số dòng khác ma trận bậc thang Hạng Matran : Cho Matran A vuong cấp n: r(A) = n detA khác Hạng Matran: Cho A cấp mxn, k = min{m,n} r(A) = k A có định thức cấp K khác e Chuyển Vị : ( A + B )T = AT + BT (x.A)T = x AT f Độc lập tuyến tính, phụ thuộc tuyến tính : a Phụ thuộc tuyến tính : phụ thuộc vào qua hàm số hay biểu thức (VD : y=2x , x thuộc N, y phụ thuộc vào x ngược lại) i Theo định nghĩa thầy : phụ thuộc tuyến tính hàm số y=2x có nghiệm x y khác cho y – 2x =0 VD : y=2 x=1 ; y=4, x=2, Có Vô Số Nghiệm Nên Phụ Thuộc Tuyến Tính ii Cách giải : Cho ma trận A, B xét xem có phụ thuộc tuyến tính hay không Ta đưa Toán xA + yB = 0, tìm x, y Nếu phương trình có nghiệm khác Phụ thuộc tuyến tính Nếu nghiệm x = y = Độc Lập Tuyến Tính b Vậy : Độc Lập tuyến tính hàm số mà x, y không phụ thuộc vào VD : x2 + y2 = Hàm số = x = y = nghiệm i Cách giải toán giống Phụ thuộc tuyến tính ii Chú Ý : Hệ vector khác hệ độc lập tuyến tính + Mọi hệ khác Rỗng hệ ĐLTT ĐLTT c Tính chất Phụ Thuộc Tuyến Tính : i Có chứa Vector VD : a = (2 ;3) b =(0;0) => 2x + y0 = 3x + y0 = có vô số nghiệm x = 0, y = hay x = 0, y = ii Hai vector tỉ lệ với VD : a= (2 ;3), b= (4 ;6) => 2x + 4y = 3x + 6y = phụ thuộc tuyến tính (có vô số nghiệm) iii Hệ có số vector lớn số tọa độ vector : VD : a=(2 ;3) b=(3 ;1) c = (4 ;5) Có Vector lớn số tọa độ (x ,y) (trong R2 ) vector iv Hệ chứa hệ PTTT hệ PTTT d Độc Lập Tuyến Tính tối đại (ĐLTT Max): Là độc lập Tuyến Tính có tính Tối Đại i Độc lập tuyến tính ii Tối đại : (giống với định nghĩa dung dịch bão hòa : Nếu dung dịch bão hòa, ta thêm dung môi vào dung dịch không bão hòa) Vậy ta thêm vào hàm số x2 + y2 + z = thi phương trình có vô số nghiệm z = - (x2 + y2), z phụ thuộc vào x, y = > Phụ Thuộc tuyến tính Không Độc Lập Tuyến tính nữa, nên ta gọi hàm số chưa thêm tối đại iii Cách giải : Có hệ A gồm nhiều vector A1, A2, Tìm vector Độc Lập tuyến tính VD: A1 Khác 0, nên ĐLTT (xem Chú Ý ĐLTT) Thêm vào vector A1 vector A2 khác thành hệ B (chứa vector : A1, A2.), B độc lập tuyến tính thì, tiếp tục thêm vào vector khác thành hệ C, Nếu C phụ thuộc tuyến tính B ĐLTT Max ( A1 B, B C) ĐL : Một hệ A có nhiều hệ ĐLTT max, hệ có số Vector TC : Nếu hệ ĐLTT hệ ĐLTT Max hệ TC : Hệ Vector Không ĐLTT Max chứa toàn vector KHÔNG, hệ Rỗng TC : Mọi hệ Vector có hệ ĐLTT Max TC : r(A) = K => Mọi hệ ĐLTT có K vector ĐLTT Max Hạng hệ Vector : Số lượng vector hệ ĐLTT Max hệ, hạng hệ r(A) = Ai = R(A) =< n (n số vector hệ A) R(A) = n A hệ ĐLTT Hạng hệ Vector = Hạng Ma trân liên kết Biện luận hạng ma trận theo m cách dùng detA Có trường hợp: + detA = : Thế m vào Matran A để tìm r(A) + detA Khác 0: => r(A) = n (n cấp ma trận Vuông A) + Hoặc detA cấp K Khác r(A) = k với K = min(n,m) A có cấp nxm VD: A ma trận vuông cấp 3, có det Cấp A khác r(A) = ... tìm r(A) + detA Khác 0: => r(A) = n (n cấp ma trận Vuông A) + Hoặc detA cấp K Khác r(A) = k với K = min(n,m) A có cấp nxm VD: A ma trận vuông cấp 3, có det Cấp A khác r(A) =