Toán Cao Cấp C1

Độc lập tuyến tính, phụ thuộc tuyến tính : a.. Phụ thuộc tuyến tính là : cái này phụ thuộc vào cái kia qua một hàm số hay biểu thức.. Cách giải : Cho 2 ma trận A, B xét xem có phụ thuộc

Toán Cao Cấp C1 – Đại Số Tuyến Tính.

Đưa toán cao cấp về các bài toán đơn giản cấp 2 – 3 đã học

Kiến thức cần nắm

1 Các Phép Toán Ma Trận:

a Phép Cộng (trừ): Như cộng 2 vector a=(2 ;3) và b=(5 ;4 ) => a+b =(2+5 ;3+4) = (7 ;7)

b Phép Nhân : A cấp 2x3 nhân với B cấp 3x5 thỉ được ma trận C cấp 2x5 Cách nhân qua các bước sau :

i Nhân dòng 1 với cột 1 ghi vào vị trí dòng 1 cột 1 của ma trận C

ii Nhân dòng 1 với cột 2 ghi vào vị trí dòng 1 cột 2 của ma trận C (cho đến hết

số cột của ma trận B) iii Nhân dòng 2 với cột 1 ghi vào vị trí dòng 2 cột 1 của ma trận C ( Làm tương

tự như dòng 1)

Chú Ý : AxB khác BxA

c Ma Trận Bậc thang Rút Gọn : + Phần tử trụ =1

+ Các phần tử cùng cột với phần tử trụ và khác phần tử trụ phải

= 0

d Tìm Hạng Matran : là đưa Matran về ma trận bậc thang Hạng của ma trận = số dòng khác 0 của

ma trận bậc thang

Hạng Matran : Cho Matran A vuong cấp n: r(A) = n  detA khác 0

Hạng Matran: Cho A cấp mxn, k = min{m,n} r(A) = k  A có định thức con cấp K khác 0

e Chuyển Vị : ( A + B )T = AT + BT

(x.A)T = x AT

f

2 Độc lập tuyến tính, phụ thuộc tuyến tính :

a Phụ thuộc tuyến tính là : cái này phụ thuộc vào cái kia qua một hàm số hay biểu thức (VD : y=2x , x thuộc N, thì y phụ thuộc vào x và ngược lại)

i. Theo định nghĩa của thầy : phụ thuộc tuyến tính là hàm số y=2x có nghiệm x và

y khác 0 sao cho y – 2x =0 VD : y=2 và x=1 ; y=4, x=2, Có Vô Số Nghiệm Nên Phụ Thuộc Tuyến Tính.

ii. Cách giải : Cho 2 ma trận A, B xét xem có phụ thuộc tuyến tính hay không

Ta đưa về bài Toán xA + yB = 0, rồi tìm x, y Nếu phương trình có nghiệm khác 0 thì là Phụ thuộc tuyến tính Nếu ra nghiệm x = y = 0 là Độc Lập Tuyến Tính

b Vậy : Độc Lập tuyến tính là một hàm số mà x, y không phụ thuộc vào nhau VD :

x 2 + y 2 = 0 Hàm số này = 0 khi x = y = 0 là nghiệm duy nhất

i Cách giải bài toán giống như Phụ thuộc tuyến tính.

ii Chú Ý : Hệ 1 vector khác 0 luôn là hệ độc lập tuyến tính.

+ Mọi hệ con khác Rỗng của hệ ĐLTT luôn ĐLTT

c Tính chất Phụ Thuộc Tuyến Tính :

i. Có chứa Vector 0 VD : a = (2 ;3) b =(0;0) => 2x + y0 = 0 và 3x + y0 = 0 có vô

số nghiệm x = 0, y = 1 hay x = 0, y = 2

ii. Hai vector bằng nhau hoặc tỉ lệ với nhau VD : a= (2 ;3), b= (4 ;6) => 2x + 4y =

0 và 3x + 6y = 0 là phụ thuộc tuyến tính (có vô số nghiệm)

iii. Hệ có số vector lớn hơn số tọa độ trong vector : VD : a=(2 ;3) b=(3 ;1) c = (4 ;5) Có 3 Vector lớn hơn số 2 tọa độ (x ,y) (trong R2 ) trong mỗi vector

iv. Hệ chứa 1 hệ con PTTT là hệ PTTT

i. Độc lập tuyến tính như trên

ii. Tối đại : (giống với định nghĩa dung dịch bão hòa : Nếu dung dịch đã bão hòa,

ta thêm dung môi vào thì dung dịch không còn bão hòa) Vậy nếu ta thêm vào hàm số x2 + y2 + z = 0 thi phương trình có vô số nghiệm z = - (x2 + y2), và z phụ thuộc vào x, y = > Phụ Thuộc tuyến tính Không còn Độc Lập Tuyến tính nữa, nên ta gọi hàm số chưa thêm là tối đại

iii Cách giải : Có hệ A gồm nhiều vector A1, A2,

1 Tìm các vector Độc Lập tuyến tính VD: A1 Khác 0, nên ĐLTT (xem

Chú Ý ĐLTT)

2 Thêm vào các vector A1 ấy 1 vector A2 khác thành hệ B (chứa 2 vector :

A1, A2.), nếu B còn độc lập tuyến tính thì, tiếp tục thêm vào vector khác

nữa thành hệ C, Nếu C phụ thuộc tuyến tính thì B là ĐLTT Max ( A1

con B, B con C)

3 ĐL : Một hệ A có thể có nhiều hệ con ĐLTT max, các hệ con này có

số Vector bằng nhau

TC : Nếu hệ đã ĐLTT thì hệ con ĐLTT Max chính là hệ đó.

TC : Hệ Vector Không là ĐLTT Max  nó chứa toàn các vector KHÔNG, hoặc là hệ Rỗng.

TC : Mọi hệ Vector đều có hệ con ĐLTT Max

TC : r(A) = K => Mọi hệ con ĐLTT có K vector luôn là ĐLTT Max.

3 Hạng của hệ Vector :

Số lượng vector của 1 hệ con ĐLTT Max trong hệ, là hạng của hệ đó

r(A) = 0 khi Ai = 0

R(A) =< n (n là số vector trong hệ A)

R(A) = n khi A là hệ ĐLTT

Hạng của hệ Vector = Hạng Ma trân liên kết của nó

Biện luận hạng ma trận theo m bằng cách dùng detA Có 2 trường hợp:

+ detA = 0 : Thế m vào Matran A để tìm r(A)

+ detA Khác 0: => r(A) = n (n là cấp của ma trận Vuông A)

+ Hoặc detA cấp K Khác 0 thì r(A) = k với K = min(n,m) khi A có cấp nxm VD: như

A ma trận vuông cấp 3, có det Cấp 2 trong A khác 0 thì r(A) = 2