Luận văn dáng điệu nghiệm của hệ động lực tuyến tính và một vài ứng dụng

Đ I H C QU C GIA HÀ N I TRƯ NG Đ I H C KHOA H C T NHIÊN - - - - - - - - - o0o - - - - - - - - - THÂN THU PHƯƠNG DÁNG ĐI U NGHI M C A H TUY N TÍNH VÀ M T VÀI LU N VĂN TH C SĨ KHOA H C Hà N i - 2015 Đ NG L C NG D NG Đ I H C QU C GIA HÀ N I TRƯ NG Đ I H C KHOA H C T NHIÊN - - - - - - - - - o0o - - - - - - - - - THÂN THU PHƯƠNG DÁNG ĐI U NGHI M C A H Đ NG L C TUY N TÍNH VÀ M T VÀI NG D NG Chuyên ngành: TOÁN GI I TÍCH Mã s : 60460102 LU N VĂN TH C SĨ KHOA H C NGƯ I HƯ NG D N KHOA H C: PGS.TS Đ NG ĐÌNH CHÂU Hà N i - 2015 M cl c N a nhóm liên t c m nh toán t sinh c a n a nhóm liên t m nh 1.1 Khái ni m v n a nhóm liên t c m nh m t s tính ch t sơ c p c a n a nhóm liên t c m nh 41.1.1 Đ nh nghĩa 41.1.2 M t s tính ch t sơ c p c a n a nhóm liên t c m nh 1.2 Khái ni m v toán t sinh c a n a nhóm liên t c m nh tính ch t c a c 71.2.1 Khái ni m v toán t sinh 71.2.2 Các tính ch t c a toán t sinh 81.2.3 M t vài bi u th c liên quan đ n gi i c a toán t sinh 1.3 Các đ nh lý v toán t sinh c a n a nhóm 1.4 M t s d ng đ c bi t c a n a nhóm liên t c m nh 1.4.1 N a nhóm liên t c đ u 1.4.2 N a nhóm tích phân 12 15 21 21 25 Bài toán nhi u c a n a nhóm liên t c m nh 28 2.1 Khái ni m v h toán t ti n hóa m t s tính ch t nghi m c a phương trình vi phân n tính thu n nh t 28 2.2 Phương trình vi phân n tính b nhi u đư ng th ng th c m t s mô hình đơn loài 2.2.1 Mô 38 hình qu n th tăng trư ng theo hàm mũ (Malthus, 1798) 2.2.2 Mô 38 hình qu n th tăng trư ng Logistic (Verhulst, 1838) 39 2.3 Mô hình thú - m i Lotka - Volterra đơn gi n 2.4 Mô 40 hình thú - m i Lotka - Volterra v i loài m i tăng trư ng Logistic 2.5 Nhi u b 43 ch n c a n a nhóm liên t c m nh 2.6 Phương trình ti n 45 hóa v i nhi u Lipschitz 48 2.7 Nhi u n tính c a phương trình ti n hoá h toán t ti n hóa liên t c m nh 2.8 M t s 54 ví d minh h a 56 2.8.1 Gi i thi u toán 2.8.2 Các 56 ví d 58 M Đu Lý thuy t h đ ng l c đư c kh i xư ng b i nhà toán h c Pháp Henri Poincare cách th k Ngày nay, đư c phát tri n m nh m tr thành m t lĩnh v c quan tr ng toán h c Lý thuy t h đ ng l c liên quan t i h u h t ngành khoa h c khác đư c ng d ng r ng rãi đ i s ng h ng ngày Đ có th có m t khái ni m sơ lư c nh t v h đ ng l c ta s b t đ u làm quen v i đ nh nghĩa sau Ký hi u R đư ng th ng th c, M m t không gian Metric, gi s S t p m M Ta thư ng ký hi u φ : R ⋅ S → M b i φ = φ(t, x) (hay φ = φtx ) ánh x φ nhóm ph thu c m t tham s t c là: (a) φt=0 : S → S ánh x đ ng nh t (b) φt.φs = φt+s, v i m i s, t ∈ R Như bi t h u h t v n đ liên quan t i toán h c tr u tư ng mà có th ng d ng ngành khoa h c t nhiên đ u đ n nghiên c u tính ch t c a m t h đ ng l c ho c t p nghi m c a phương trình vi phân thư ng phương trình đ o hàm riêng Bài toán mà s đ c p đ n b n Lu n văn "Dáng u nghi m c a h phương trình đ ng l c n tính m t s ng d ng" ch y u tìm hi u trình bày l i m t vài v n đ b n c a phương pháp h đ ng l c n tính kh ng d ng c a th c t C th phương pháp n a nhóm b nhi u đ nghiên c u phương trình ti n hóa Tuy nhiên m t lĩnh v c tr u tư ng đa d ng v y khuôn kh c a m t b n lu n văn th c sĩ s dành s quan tâm nhi u cho vi c xây d ng ví d minh h a cho phương pháp n a nhóm m t vài ng d ng c a lý thuy t nhi u m t s mô hình qu n th sinh h c quen thu c B c c lu n văn g m ph n m đ u, hai chương, ph n k t lu n danh m c tài li u tham kh o Chương m t trình bày đ nh nghĩa, tính ch t c a n a nhóm liên t c m nh m t s đ nh lý quan tr ng v toán t sinh c a n a nhóm liên t c m nh Đ hoàn thành n i dung c a chương tham kh o tài liêu [1], [2],[6], [7], [8], [9], [10], [12], [14] Chương hai trình bày v toán nhi u c a n a nhóm, đ nh nghĩa tính ch t c a h toán t ti n hóa liên t c m nh đ t t ng d ng c a toán nhi u mô hình qu n th đa loài Đ hoàn thành n i dung c a chương tham kh o tài liêu [11], [17], [18], [19], [23], [25], [26] B n lu n văn đư c th c hi n dư i s hư ng d n c a PGS TS Đ ng Đình Châu Nhân d p xin bày t lòng bi t ơn sâu s c t i th y, ngư i dành nhi u công s c th i gian đ hư ng d n, ki m tra, giúp đ vi c hoàn thành b n lu n văn Tôi xin g i l i c m ơn đ n lãnh đ o th y cô khoa Toán - Cơ - Tin h c, trư ng Đ i h c Khoa h c T nhiên Hà N i v ki n th c nh ng u t t đ p mang l i cho th i gian h c t p t i trư ng Tôi xin c m ơn t i phòng Sau Đ i h c v nh ng u ki n thu n l i vi c hoàn thành th t c h c t p b o v lu n văn Cám ơn th y b n seminar Phương trình vi phân v nh ng s đ ng viên nh ng ý ki n trao đ i quí báu đ i v i b n thân th i gian qua Cu i mu n t lòng bi t ơn gia đình, ngư i thân ch d a v tinh th n v t ch t cho cu c s ng h c t p M c dù có nhi u c g ng b n lu n văn khó tránh kh i nh ng thi u sót Vì v y, r t mong nh n đư c s góp ý c a quý th y, cô b n Hà N i, tháng 11 năm 2015 Thân Thu Phương Chương N a nhóm liên t c m nh toán t sinh c a n a nhóm liên t c m nh 1.1 Khái ni m v n a nhóm liên t c m nh m t s tính ch t sơ c p c a n a nhóm liên t c m nh 1.1.1 Đ nh nghĩa Đ nh nghĩa 1.1 M t h (T (t))t≥0 toán t n tính b ch n không gian Banach X đư c g i n a nhóm liên t c m nh (ho c C0− n a nhóm ) n u th a mãn u ki n sau: T (t + s) = T (t)T (s) v i m i t, s ≥ T (0) = I tlim0 T (t)x = T (t0)x v i m i x ∈ X, t ≥ →t Ví d 1.1 Xét n a nhóm (T (t))t≥0 không gian C0 = C0(R), xác đ nh b i C0(R) = {f ∈ C(R) : s →±∞ f (s) = 0} lim V i chu n ||f|| = sup |f(s)| Ta có (C0, ||.||) m t không gian Banach s∈R ∀t ≥ 0, ta đ nh nghĩa: (Tl(t)f )(s) = f (t + s) ∀f ∈ C0, ∀s ∈ R (Tr(t))f (s) = f (s − t) ∀f ∈ C0, ∀s ∈ R Và Khi (Tr(t))t≥0 (Tl(t))t≥0 n a nhóm liên t c m nh C0, đư c g i tương ng n a nhóm d ch chuy n ph i trái c a C0 Ch ng minh Ta ch ng minh cho trư ng h p n a nhóm d ch chuy n trái, trư ng h p n a nhóm d ch chuy n ph i đư c ch ng minh tương t • Ta ch ng minh (Tl(t)) m t n a nhóm Th t v y: ∀t, h ≥ 0, ∀f ∈ C0, s ∈ R, ta có (Tl(t + h)f )(s) = f (t + h + s) = (Tl(t)f )(h + s) = (Tl(t)Tl(h))f (s) suy Tl(t + h) = Tl(t)Tl(h) • Ta ch ng minh (Tl(t))t≥0 liên t c m nh Th t v y, ta c n ch r ng, ∀f ∈ C0 lim ||Tl(t)f − f || = lim+ sup |f (t + s) − f (s)| = t→0+ t→0 s∈R Vì f ∈ C0 suy f liên t c R t n t i gi i h n s →±∞ f(s) = 0, lim nên f liên t c đ u R Do ∀ > 0, ∃δ > cho: ∀s1, s2 : |s1 − s2| < δ Khi ∀t : ≤ t < δ, |t + s − s| < δ, ∀s ∈ R, ta có |f (t + s) − f (s)| < Suy sup |f (t + s) − f (s)| ≤ suy : |f(s1) − f(s2)| < ∀s ∈ R ∀t : ≤ t < δ s∈R V y theo đ nh nghĩa gi i h n ta có lim sup |f (t + s) − f (s)| = t→0+ s∈R V y (Tl(t))t≥0 n a nhóm liên t c m nh 1.1.2 M t s tính ch t sơ c p c a n a nhóm liên t c m nh B đ 1.1 Gi s X m t không gian Banach F m t hàm t m t t p compact K ⊂ R vào L(X) Khi kh ng đ nh sau tương đương (a) F toán t tôpô liên t c m nh; t c là, ánh x K t → F (t)x ∈ X liên t c ∀x ∈ X (b) F b ch n đ u K, ánh x K t → F (t)x ∈ X liên t c ∀x ∈ D ⊂ X, D trù m t X (c) F liên t c đ i v i tôpô h i t đ u t p compact c a X; t c là, ánh x K ⋅ C (t, x) → F (t)x ∈ X liên t c đ u đ i v i t p compact C X Đ nh lý 1.1 Cho m t n a nhóm (T (t))t≥0 m t không gian Banach X Khi tính ch t sau tương đương (a) (T (t))t≥0 n a nhóm liên t c m nh (b) tlim+ T (t)x = x ∀x ∈ X →0 (c) Có m t s δ > 0, M ≥ m t t p trù m t D ⊂ X th a mãn i ||T (t)|| ≤ M ∀t ∈ [0, δ], ii tlim+ T (t)x = x ∀x ∈ D →0 Ch ng minh +) Ch ng minh (a) ⇒ (c.ii) Vì (T (t))t≥0 n a nhóm liên t c m nh m t không gian Banach, nên ∀x ∈ D (D trù m t X) lim T (t)x = T (0)x = x t→0+ +) Ch ng minh (a) ⇒ (c.i) Gi s ngư c l i, t c t n t i m t dãy (δn)n∈N ⊂ R+ h i t đ n th a mãn ||T (δn)|| → ∞ n → ∞ Theo nguyên lý b ch n đ u, t n t i x ∈ X th a mãn (||T (δn)x||)n∈ không b ch n Đi u mâu thu n v i T (.)x liên t c t i t = N (do (T (t))t≥0 n a nhóm liên t c m nh) +) Ch ng minh (c) ⇒ (b) Đ t K = {tn : n ∈ N} ∪ {0} v i m i dãy b t kì (tn)n∈N ⊂ [0, ∞) h i t đ n Khi K ⊂ [0, ∞) compact, T (.) Kx liên t c ∀x ∈ D | Do áp d ng b đ 1.1 (b) ta đư c T (.) Kx liên t c ∀x ∈ X, t c là: | lim T (tn)x = x n→∞ ∀x ∈ X Vì (tn)n∈N đư c ch n tùy ý nên (b) đư c ch ng minh +) Ch ng minh (b) ⇒ (a) Gi s t0 > x ∈ X Khi lim ||T (t0 + h)x − T (t0)x|| ≤ ||T (t0)||.|| lim+ ||T (h)x − x|| = 0, h→0+ h→ suy (T (t))t≥0 liên t c ph i N u h < ||T (t0 + h)x − T (t0)x|| ≤ ||T (t0 + h)||.||x − T (−h)x|| d n đ n tính liên t c trái, ||T (t)|| b ch n đ u ∀t ∈ [0, t0] V y (T (t))t≥0 n a nhóm liên t c m nh Đ nh lý 1.2 Cho m t n a nhóm liên t c m nh (T (t))t≥0 Khi có m t h ng s w ∈ R M ≥ th a mãn: ||T (t)|| ≤ M ewt ∀t > (1.1) Ch ng minh Ch n M ≥ th a mãn ||T (s)|| ≤ M ∀0 ≤ s ≤ V i t ≥ l y t = s + n, ∀n ∈ N ≤ s < Khi đó: ||T (t)|| = ||T (s + n)|| = ||T (s).T (n)|| ≤ ||T (s)||.||T (n)|| ≤ ||T (s)||.||T (1)||n ≤ M n+1 = M en ln M ≤ M ewt v i w = ln M t ≥ Ví d 1.2 Theo đinh lý (1.2) ta có ω < +∞ có th ω0 = −∞ Ch ng h n: Trong không gian L1 , ta xét n a nhóm t nh ti n trái xác đ nh b i: [0;1] T (t)f (s) = f (t + s) n u s + t ≤ n us+t>1 Ta có: T (t) = 0, ∀t > V i m i t th a mãn ≤ t ≤ 1, ||T (t)|| ≤ ||T (t)f|| = || 01 T (t)f(s)ds|| ≤ ||f|| −ω Suy ||T (t)|| ≤ V i ω < c đ nh, ch n M cho M ≤ e Khi đó: ω ω ||T (t)|| < ≤ M.e ≤ M.e t, ∀t ≥ V y ω0 = −∞ 1.2 Khái ni m v toán t sinh c a n a nhóm liên t c m nh tính ch t c a 1.2.1 Khái ni m v toán t sinh Đ xây d ng khái ni m toán t sinh c a n a nhóm liên t c m nh, trư c h t ta ch ng minh b đ sau: (2.45) (2.46) ta có − wh(t) = [h 1(T (t + h − t0)u0 − T (t − t0)u0) + AT (t − t0)u0] t +1 + T (t − s)(ω1(s, h) + ω2(s, h))ds t t0 h T (t − s) ∂∂s f (s, u(s + h)) − ∂∂s f (s, u(s)) ds t0 t0+h +1 t0 h (2.47) T (t + h − s)f (s, u(s))ds − T (t − t0)f (t0, u(t0)) t + t0 T (t − s)B(s)wh(s)ds Chúng ta có th ch r ng chu n c a m i m t b n s h ng đ u tiên c a v ph i c a (2.47) d n đ n h → T ta có t ||wh(t)|| ≤ ε(h) + M t0 ||wh(s)||ds (2.48) M = max{||T (t − s)||||B(s)|| : t0 ≤ s ≤ T } ε(h) → h h → B ng cách s d ng b t đ ng th c Gronwall t (2.48) ta suy ||wh(t)|| ≤ ε(h)e(T−t0)M ||wh(t)|| → h → Đi u kéo theo u(t) kh vi đo n [t0, T ] đ o hàm c a w(t) Do w ∈ C([t0, T ] : X) nên u kh vi liên t c [t0, T ] Cu i ta s ch r ng u nghi m c n c a 2.34, ta ý r ng t tính kh vi liên t c c a u gi thi t v tính kh vi c a f kéo theo hàm s → f (s, u(s)) kh vi liên t c [t0, T ] Chúng ta c n nh c l i m t k t qu đư c trình bày b đ 4.2.5 (tr 107, [21]): n u hàm s → f(s) kh vi liên t c đo n [t0, T ] v(t) = T (t − t0)u0 + tt0 T (t − s)f(s)ds có nghi m c n nh t t ta suy r ng t v(t) = T (t − t0)u0 + T (t − s)f (s, u(s))ds (2.49) t0 nghi m c n c a toán v i giá tr ban đ u  (t) dv dt + Av(t) = f (t, u(t)) v  (t0) = u0 Tuy nhiên, theo đ nh nghĩa, u nghi m đ t t c a phương trình (2.50) t tính nh t c a nghi m đ t t c a (2.50) ta ch r ng u = v [t0, T ] Như v y, u m t nghi m c n c a toán v i giá tr ban đ u (2.34) Đ nh lý đư c ch ng minh 53 (2.50) 2.7 Nhi u n tính c a phương trình ti n hoá h toán t ti n hóa liên t c m nh Trư c h t ta nh c l i r ng khái ni m v h toán t ti n hóa liên t c m nh đư c đ nh nghĩa sau: Đ nh nghĩa 2.4 M t h hai tham s c a toán t n tính b ch n U(t, s), ≤ s ≤ t ≤ T, X đư c g i m t h ti n hóa liên t c m nh n u th a mãn hai u ki n sau: (i) U(s, s) = I, U(t, r)U(r, s) = U(t, s) v i ≤ s ≤ r ≤ t ≤ T (ii) Ánh x (t, s) → U(t, s) liên t c m nh v i ≤ s ≤ t ≤ T Gi s (T (t))t≥0 n a nhóm liên t c m nh sinh b i (A, D(A)) B(.) ∈ C(J, Λs(X)) v i J = [0, T ], ta xét h toán t đ nh b i : ti n hoá U(t, s) : X → X xác t u(t) = T (t − s)x + T (t − ξ)B(ξ)u(ξ)dξ (2.51) s x ∈ X, (t, s) ∈ ∆J b t kỳ Đ nh lý sau cho ta u ki n đ đ phương trình (2.51) xác đ nh m t h toán t ti n hóa liên t c m nh (U(t, s))t≥s≥0 Đ nh lý 2.8 Gi s (T (t))t≥0 n a nhóm liên t c m nh B(.) ∈ C(J, Λs(X)) Khi h toán t ti n hóa xác đ nh b i (2.51) m t h toán t ti n hóa n tính liên t c m nh không gian Banach X Ch ng minh Trư c h t ta s ch ng minh r ng phương trình ti n hóa (2.51) luôn có nghi m nh t U(t) nghi m b ch n Do T (t)t≥0 n a nhóm liên t c m nh nên t n t i M0 ≥ ω > cho: ||T (t − s)|| ≤ M0.e ω (t−s) Do sup 0≤s≤t≤T T (t − s) ≤ M0.e ω (t−s ) = M1 < +∞ Theo gi thi t B(.) ∈ C(J, Λs(X) nên v i m i t ∈ [0, T ] ta có: B(t)x ≤ K < +∞, v i m i x ∈ X Nh m nh đ A2 (xem tài li u [17], trang 512) ta suy ra: sup B(t) ≤ M1 < +∞ J 54 T suy ra: sup T (t − s)B(t) ≤ M1.M2 = M3 < +∞ J Áp d ng đ nh lý 2.5 ta suy nghi m c a (2.51) t n t i nh t tương ng v i (t, s) ∈ ∆J b t kỳ V i m i (t, s) ∈ ∆J ta xét ánh x U (t, s) : x → u(t) T tính ch t nh t nghi m bi u th c (2.51) ta suy U(t, s) : X → X m t ánh x n tính đ ng th i ta d dàng ki m tra đư c r ng v i m i (t, s) ∈ ∆J ta có: U (t, τ ) = U (t, s).U (s, τ ) U (t, t) = I, M t khác t (2.51) ta có t M1.M2.||U (τ, s)||.dτ U (t, s) ≤ M1 + s S d ng b đ Gronwall- Belmal ta có U (t) ≤ M1.eM1.M2.(t−s) ≤ M1.eM3.T < +∞ T k t qu nh n đư c ta suy U(t, s) ∈ Λ(X) v i m i (t, s) ∈ ∆J Bây gi Λ(X) ta xét phương trình t U (t, s)x = T (t − s)x + T (t − τ )B(τ )U (t, τ )dτ s Lý lu n tương t đ i v i phương trình (2.51) ta suy phương trình toán t (2.52) có nghi m nh t, n a ta có t M3 U (t, τ ) dτ U (t, s) ≤ M1 + s S d ng b đ Gronwall- Belmal ta có: t U (t, s) ≤ M1.e M3 s dτ ≤ M1.eM3.T < +∞ Hay sup (t,s)∈∆J U (t, s) = M4 < +∞ 55 (2.52) Xét phương trình t+h U (t + h, t)x = I + T (t − τ )B(τ )U (t, τ )dτ t Ta có U (t + h, t) − I ≤ M1M2M4 |h| Như v y ta có lim U (t + h, t) − I = 0, h→0 vi h>0 vi l>0 Tương t ta ch ng minh đư c lim ||U (s, s − l) − I|| = 0, l →0 S d ng đánh giá (a), (b), (c) ch ng minh c a đ nh lý 2.3 ta suy v i m i x ∈ X (t, s) ∈ ∆J cho v i h > th a mãn u ki n s ≤ s+h ≤ t ≤ t+h ta có: lim h→ l →0 U (t + h, s + l)x − U (t, s)x = B ng lý lu n tương t v i ≤ s − l ≤ s ≤ t − h ≤ t ≤ ta có: lim ||U (t − h, s − l)x − U (t, s)x|| = h→0 T ta có th suy tính liên t c m nh c a U(t, s) : X → X Đ nh lý đư c ch ng minh Do J ⊂ R+ t p đóng b t kỳ nên ta có th suy h qu sau: H qu 2.5 Gi s (T (t))t≥0 n a nhóm liên t c m nh X B(.) ∈ C(R+, Λs(X)) Khi h toán t ti n hóa xác đ nh b i (2.51) m t h toán t ti n hóa n tính liên t c m nh không gian Banach X 2.8 2.8.1 M t s ví d minh h a Gi i thi u toán Các ví d ph n nh m m c đích đ ch kh áp d ng phương pháp n a nhóm mô hình ng d ng có liên quan t i phương trình đ o hàm riêng phương trình vi phân hàm, đ có th tìm th y nh ng ng d ng th c s c a phương pháp vào toán th c t có th tham kh o tài li u [2], [3], [4], [9], [10], [13], [14], [16], [18], [21], [24] Trư c h t xin tóm t t lư c đ c a phương pháp n a nhóm vào phương trình 56 đ o hàm riêng sau Xét phương trình vi phân d ng (2.53) ∂v = A(D)v, ∂t v m t hàm vector v = (v1, , vm) ph thu c vào t x, α A(D) = A D , α |α|≤r α α α α = (α1, α2, , αn) m t đa ch s , |α| = α1 + α2 + • • • + αn, D = D D n, i∂ (k = 1, 2, , n), x = (x , , x ) m t m không gian R k n D k = ∂x h s A m t ma tr n h ng c p m ⋅ m S r đư c g i c p c a h α Bài toán tìm nghi m c a phương trình (2.53), v = v(t, x), th a mãn u ki n v(0, x) = φ(x), n n (2.54) đư c g i toán Cauchy, hàm vector φ(x) đư c cho toàn b không gian Rn N u ta s d ng bi n đ i Fourier theo bi n x v i c hai v c a (2.53), bi u di n nh c a hàm v(t, s) b i ∼(t, p), s nh n đư c h phương trình vi v phân thư ng ∼ dv = A(p)∼, v dt (2.55) A(p) m t ma tr n v i ph n t đa th c c a p = (p1, , pn) Đ i v i h phương trình (2.55) xét toán Cauchy tìm nghi m v i u ki n ∼ ∼ v(0, p) = φ(p), (2.56) ∼ φ(p) bi n đ i Fourier c a φ Trong m t s trư ng h p có th gi i toán v i giá tr ban đ u (2.53), (2.54) b ng phương pháp n a nhóm Thông thư ng đ m r ng ph m vi áp d ng cho mô hình th c t v i phương trình đ o hàm riêng (2.53) có th xét phương trình đ o hàm riêng n tính có nhi u d ng (2.57) ∂v = A(D)v + g(t, v) ∂t Nh áp d ng phương pháp n a nhóm (chính xác phương pháp h toán t ti n hóa) có th đưa vi c nghiên c u nghi m c a phương trình (2.57) v toán nghiên c u tính ch t nghi m c a phương trình vi phân d ng (2.34) đư c xét m c 2.6, 2.7 Sau ta s xét m t s ví d đ minh h a, ví d có th tham kh o tài li u [17], [18], [19], [22] 57 2.8.2 Các ví d Ví d 2.2 Xét toán Cauchy  (x, t) ∂u(x, t)  ∂u ∂t + ∂x = 0, u  (x, 0) = f(x) t ≥ 0, x ∈ R+, (2.58) không gian X = L2(R+) Chúng ta s ch r ng phương trình (2.58) có th vi t dư i d ng tr u tư ng t ≥ 0, u(0) = f, u (t) = Au(t), d A = − v i mi n xác đ nh dx D(A) = {u ∈ L2(R+)|u ∈ L2(R+)} Trư c h t ta s ch ng minh r ng (A, D(A)) toán t sinh c a n a nhóm liên t c m nh b ng cách ch ng minh r ng th a mãn u ki n c a đ nh lý 1.8 Đ tìm gi i th c c a toán t A, gi i phương trình (λI − A)g = λg + g = f, g ∈ D(A), (2.59) gi thi t r ng f ∈ X Khi λ > nghi m x g(x) = R(λ, A)f (x) = Ta có e − ) λ(x−s f (s)ds, x ∈ R+ x ||R(λ, A)f || ≤ e − λ(x−s ) ||f ||ds, ∀f ∈ X Suy x ||R(λ, A)|| ≤ e − −λx ) λ(x−s ds = (1 − e ) 0, ta có: t ||R(λ, A)f || ≤ e − ) λ(t−s ||f ||ds, ∀f ∈ C[0, 1] Suy ra: t ||R(λ, A)|| ≤ − − e λ(t−s)ds = e λ(t−s) λ t −λ = (1 − e t) < λ λ Do v y, ta có: ||x|| = ||R(λ, A)(λI − A)x|| ≤ ||R(λ, A)||||(λI − A)x|| ≤ ||(λI − A)x|| λ hay ||(λI − A)x|| ≥ λ||x||, ∀λ > nên A tán x L y X0 = D(A) = {f ∈ C[0, 1] : f(0) = 0}, l y h n ch c a A c a A X0 | cho A f = −f , | D(A ) = {f ∈ C1[0, 1] : f (0) = f (0) = 0} | S d ng k t qu c a đ nh lý 1.8 ta suy toán t toán t sinh c a n a nhóm liên t c m nh X0 Bây gi không gian Banach X0 ta xét n a nhóm (Tl(t))t≥0 đư c đ nh nghĩa b i Tl(t)f (s) = f  (s − t) v i t≤s  v i t > s Tương t ví d 2.2 có th ch đư c r ng (Tl(t))t≥0 n a nhóm liên t c m nh sinh b i (A , D(A )) không gian X0 u(x, t) = | | 60 (Tl(t)f )(x) ta có th ki m tra th y r ng u(x, t) nghi m đ t t c a toán         ∂u(x, t) + ∂u(x, t) = 0, ∂t u(0, t) = ∂x t ≥ 0, x ∈ [0, 1] u  (x, 0) = f(x) Ti p theo ta xét phương trình vi phân dy = A y + B (t)y, α | dt y(0) = f (y) t ≥ y∈X (2.62) (A , D(A )) toán t sinh c a n a nhóm liên t c m nh (Tl(t))t≥0 B (t) = | | α α(t).I, I : X → X toán t đ ng nh t T gi thi t c a α(t) ta suy B ∈ Cu(R+, Λs(X)) (tr 30 - 31, [18]) Cùng v i phương trình vi phân α (2.62) ta xét h toán t ti n hóa U(t, s) : X → X đư c xác đ nh b i phương trình Volterra t y(t) = Tl(t − s)x + s Tl(t − ξ)B (ξ)y(ξ)dξ α T h qu 2.5 ta có th ch r ng U(t, s)t≥s≥0 m t h toán t ti n hóa liên t c m nh nghi m đ t t nh t c a phương trình (2.62) có d ng y(t) = U (t, 0)f (x) Đây nghi m c a phương trình đ o hàm riêng (2.61) (2.63) 61 K t lu n Lu n văn trình bày m t cách chi ti t v toán nhi u c a n a nhóm N i dung c a lu n văn bao g m: Tìm hi u trình bày l i n i dung c a lý thuy t n a nhóm liên t c m nh toán t sinh c a không gian Banach Trình bày l i m t s đ nh lý v nhi u c a n a nhóm tính ch t liên quan đ n h toán t ti n hóa liên t c m nh Trình bày ví d ng d ng cho phương trình đ o hàm riêng m t vài mô hình qu n th sinh h c Đóng góp c a lu n văn trình bày m t cách chi ti t ch ng minh m t s đ nh lý v phương pháp nhi u c a n a nhóm liên t c m nh xây d ng vi d minh h a 62 Tài li u tham kh o [1] Ph m Kỳ Anh, Tr n Đ c Long, Giáo trình hàm th c gi i tích hàm, NXB ĐHQG Hà N i (2001) [2] C.T.Anh and P.T.Trang, Pullback attractors for 3D Navier -Stokes-Voigt equations in some unbounded domains, Proc.Roy.Soc.Edinburgh Sect A 143 (2013) (in press) [3] Cung The Anh, Pham Thi Trang, On the 3D Kelvin - Voigt - Brinkman Forchheimer equations in some unbounded domains, Nonlinear Analysis 89 (2013) 36 - 54 [4] A.V.Balakrishnan, Semigroups of Operators: Theory and Applications, Birlkhauser, (2000) [5] C.Chicone; Y.Latushkin (1999), Evolution semigroup in dynamicical systems differential equations, Amer Math Soc 1999 [6] Dang Dinh Chau, Nguyen Manh Cuong, Asymptotic Equivalence of Abstract Evolution Equations, International Journal of Evolution Equations Vol 6, No 3, - 2013 [7] Dang Dinh Chau, K.T.Linh, On the asymptotic equivalence of solutions of the linear evolution equations in Banach spaces, International Journal of Evolution Equations Vol 1, No 2, April 2005 [8] Ju L.Daleckii and M.G.Krein, Stability of Solutions of Differential Equations in Banach Space, American Mathematical Society Providence, Rhode Island, (1974) [9] W.Fitzgibbon, Stability for Abstract Nonlinear Volterra Equations Involving Finite Delay, J Math Anal Appl., to appear [10] W.Fitzgibbon, Semilinear Functional Differential Equations in Banach Space, Journal of differential equations 29, 1-14 (1978) Tài li u tham kh o [11] J.Goldstein, Abstract evolution equations, Trans Amer Math Soc 141 (1969) [12] B.Z.Guo and W.L.Chan (1994), On the Semigroup for Age Dependent Population Dynamics with Spatial Diffusion, Journal of Mathematical analysis and applications 184, 190 - 199(1994) [13] Dajun Guo, V.Lakshmikantham and Xinzhi Liu, Nonlinear Integral Equations in Abstract Spaces, Mathematics and Its Applications (Kluwer Academic Pubishers Group) (1996) [14] Nguyen Thieu Huy (2012), "Inertial Manifolds for Semi-linear Parabolic Equations in Admissible Spaces," Journal of Mathematical Analysis and Applications, 386, 894 - 909 [15] Nguy n Th Hoàn - Ph m Phu, Cơ s phương trình vi phân lý thuy t n đ nh, NXB Đ i h c Qu c gia Hà n i (2000) [16] Nguyen Thieu Huy (2013), "Admissibly inertial manifolds for a class of semi-linear evolution equations," Journal Differential Equations, 254, 2638 2660 [17] Klaus-Jochen Engel Rainer Nagel, One-Parameter Semigroups for linear evolution Equations, Springer Verlog NewYork(2000) [18] Klaus-Jochen Engel Rainer Nagel, A short course on operator Semigroups , Springer-Verlag NewYork Berlin London Paris Tokyo Hong kong Barcelona Heidelberg Milan Singapore, (2005) [19] S.G.Krein, Linear differential equations in Banach space, American Mathematical society, Providence, Rhode Island 02904, (1971) [20] N.V.Minh and N.T.Huy, Characterizations of Dichotomies of Evolution Equations on the Hahl - Line, J.Math.Anal Appl 261,28-44 (2001) [21] A Pazy, Semigroups of Linear Operators and Applications to Partial Diffirential Equations,Springer-Verlag, Beclin-NewYork (1983), [22] Irina VMelnikova, Alexei Filikov, Abstract Cauchy Problems: Three Approadches, Monographs and Surveys in Pure and Applied Mathematics 120 (2001) [23] G.F.Webb, Theory of No-linear Age-Dependent Population Dynamics,Marcel Dekker, Ann of Math, (1985) 64 Tài li u tham kh o [24] Atsushi Yagi, Abstract Parabolic Evolution Equations and their Applications, Springer Monographs in Mathematics (2000) [25] J.D.Murray Mathematical Biology: I.An Introducation Third Edition, Springer, 2002 [26] J.D.Murray Mathematical Biology: II.An Introducation Third Edition, Springer, 2002 [27] W.A.Coppel Stability and Asymptotic Behavior of differential equations, 1965 65 ... - o0o - - - - - - - - - THÂN THU PHƯƠNG DÁNG ĐI U NGHI M C A H Đ NG L C TUY N TÍNH VÀ M T VÀI NG D NG Chuyên ngành: TOÁN GI I TÍCH Mã s : 60460102 LU N VĂN TH C SĨ KHOA H C NGƯ I HƯ NG D N KHOA... liên t c m nh tính ch t c a c 71.2.1 Khái ni m v toán t sinh 71.2.2 Các tính ch t c a toán t sinh 81.2.3 M t vài bi u th c liên... u tính ch t c a m t h đ ng l c ho c t p nghi m c a phương trình vi phân thư ng phương trình đ o hàm riêng Bài toán mà s đ c p đ n b n Lu n văn "Dáng u nghi m c a h phương trình đ ng l c n tính