Một số dạng toán về đẳng thức và bất đẳng thức tích phân

Một số dạng toán về đẳng thức và bất đẳng thức tích phân Một số dạng toán về đẳng thức và bất đẳng thức tích phân Đề tài nghiên cứu Một số dạng toán về đẳng thức và bất đẳng thức tích phân Đề tài nghiên cứu Một số dạng toán về đẳng thức và bất đẳng thức tích phân

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG

NGUYỄN TUẤN ANH

MỘT SỐ DẠNG TOÁN VỀ ĐẲNG THỨC

VÀ BẤT ĐẲNG THỨC TÍCH PHÂN

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Đà Nẵng – Năm 2013

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG

NGUYỄN TUẤN ANH

MỘT SỐ DẠNG TOÁN VỀ ĐẲNG THỨC

VÀ BẤT ĐẲNG THỨC TÍCH PHÂN

Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp

Mã số: 60.46.40

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Người hướng dẫn khoa học: TS LÊ HẢI TRUNG

Đà Nẵng – Năm 2013

Tôi cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi

Các kết quả nêu trong luận văn là trung thực và chưa từng được ai công bố trên bất kì công trình nào khác

MỞ ĐẦU 1

1 Lý do chọn đề tài 1

2 Mục đích nghiên cứu 1

3 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu 1

4 Phương pháp nghiên cứu 2

5 Ý nghĩa khoa học và thực tiễn của đề tài 2

6 Cấu trúc của luận văn 2

CHƯƠNG 1 MỘT SỐ DẠNG TOÁN CƠ BẢN VỀ TÍCH PHÂN 3

1.1 TÍCH PHÂN VÀ CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI TƯƠNG ĐƯƠNG 3

1.1.1 Nguyên hàm và tích phân bất định 3

1.1.2 Tích phân xác định 3

1.1.3 Tích phân của một số hàm số sơ cấp 6

1.2 MỘT SỐ DẠNG ĐẲNG THỨC TÍCH PHÂN KHÁC 22

1.2.1 Tích phân của hàm chẵn, hàm lẻ 22

1.2.2 Tích phân của hàm tuần hoàn 26

1.2.3 Tích phân của các hàm số đặc biệt khác 27

1.3 CÁC DẠNG TOÁN KHÁC CỦA TÍCH PHÂN 34

1.3.1 Phương trình chứa tích phân 34

1.3.2 Tìm giới hạn tích phân 36

CHƯƠNG 2 BẤT ĐẲNG THỨC TÍCH PHÂN CƠ BẢN 38

2.1 ƯỚC LƯỢNG MỘT SỐ LỚP TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH 38

2.2 BẤT ĐẲNG THỨC TÍCH PHÂN CỔ ĐIỂN 44

2.2.1 Một số bất đẳng thức tích phân cổ điển 44

2.2.2 Các bất đẳng thức tích phân khác 57

2.3 MỘT SỐ MỞ RỘNG CỦA CÁC ĐẠI LƯỢNG TRUNG BÌNH 60

2.3.1 Định lý về đại lương trung bình 60

CHƯƠNG 3 MỘT SỐ ÁP DỤNG CỦA ĐẲNG THỨC VÀ BẤT ĐẲNG

THỨC TÍCH PHÂN 68

3.1 KHẢO SÁT PHƯƠNG TRÌNH 68

3.1.1 Về sự tồn tại nghiệm của phương trình 68

3.1.2 Giải phương trình 70

3.2 KHẢO SÁT BẤT PHƯƠNG TRÌNH 74

3.2.1 Chứng minh bất đẳng thức 74

3.2.2 Tìm cực trị của hàm số 79

3.3 MỘT SỐ DẠNG TOÁN KHÁC 82

3.3.1 Ứng dụng cho một số bài toán tổ hợp 82

3.3.2 Tính diện tích hình phẳng 85

3.3.3 Phương pháp tích phân trong các bài toán tính thể tích 91

KẾT LUẬN 101

DANH MỤC TÀI LIỆU THAM KHẢO 102

QUYẾT ĐỊNH GIAO ĐỀ TÀI LUẬN VĂN THẠC SĨ (bản sao) PHỤ LỤC 104

MỞ ĐẦU

1 Lí do chọn đề tài

Tích phân có vị trí rất đặc biệt trong Toán học, không những như

là một đối tượng nghiên cứu trọng tâm của giải tích mà còn là công cụđắc lực trong Lý thuyết hàm, Lý thuyết phương trình hàm và nhiều lĩnhvực khác: Xác suất, Thống kê, Thiên văn học, Cơ học, Y học, Ngoài ra,trong các kì thi học sinh giỏi Toán quốc gia, Olympic Toán sinh viên toànquốc thì các bài toán liên quan đến tích phân cũng hay được đề cập đến vàđược xem như là những dạng toán khó Đồng thời các bài toán liên quanđến phép tính tích phân cũng nằm trong chương trình quy định của HộiToán học Việt Nam đối với các kì thi Olympic toán sinh viên thường niêngiữa các trường Đại học và Cao đẳng về Toán Cao cấp

Lý thuyết và các bài toán về phép tính tích phân đã được đề cập ởhầu hết các giáo trình cơ bản về giải tích Tuy nhiên, các tài liệu hệ thống

về phép tính tích phân như là một chuyên đề chọn lọc cho giáo viên, họcsinh lớp 12 và sinh viên các trường kĩ thuật còn hạn chế và chưa được hệthống theo dạng toán cũng như phương pháp giải, đặc biệt là hệ thống cácdạng toán và ứng dụng của đẳng thức và bất đẳng thức tích phân

Nhằm thực hiện mong muốn đóng góp của bản thân trong việc tìmhiểu các dạng toán đẳng thức và bất đẳng thức trong tích phân và được

sự gợi ý của thầy giáo, TS Lê Hải Trung, tác giả mạnh dạn lựa chọn Một

số dạng toán về đẳng thức và bất đẳng thức tích phân cho đề tài luận vănthạc sĩ của mình

2 Mục đích nghiên cứu

– Hệ thống lý thuyết phép tính tích phân hàm một biến

– Xem xét và nghiên cứu một số dạng toán về đẳng thức và bấtđẳng thức tích phân thông qua các ví dụ cụ thể

3 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

3.1 Đối tượng nghiên cứu

Đối tượng nghiên cứu của đề tài là một số dạng toán về đẳng thức

và bất đẳng thức tích phân.

3.2 Phạm vi nghiên cứu

Lý thuyết phép tính tích phân hàm một biến và một số dạng toán

về đẳng thức và bất đẳng thức tích phân

4 Phương pháp nghiên cứu

Trong quá trình thực hiện luận văn, tác giả có sử dụng kiến thứcliên quan đến các lĩnh vực sau đây: Giải tích hàm một biến, Đại số

5 Ý nghĩa khoa học và thực tiễn của đề tài

Luận văn là một tài liệu tham khảo có giá trị cho giáo viên và họcsinh khối PTTH trong việc học tập, nâng cao kiến thức và bồi dưỡng họcsinh giỏi

6 Cấu trúc của luận văn

Ngoài phần Mở đầu và Kết luận, luận văn được chia thành bachương đề cập đến các vấn đề sau đây:

• Chương 1 – Trình bày các tính chất cơ bản của nguyên hàm và tíchphân hàm một biến thực, một số dạng toán cơ bản về tích phân

• Chương 2 – Trình bày một số bất đẳng thức tích phân cơ bản

• Chương 3 – Trình bày một số ứng dụng của đẳng thức và bất đẳngthức tích phân

• Tài liệu tham khảo – Bao gồm 10 đề mục sách

• Phụ lục – Trình bày bảng các nguyên hàm cơ bản

Các định nghĩa, định lý, ví dụ trong các chương được đánh theoquy tắc: số chương số định nghĩa (hoặc định lý, ví dụ)

Định nghĩa 1.1 Giả sử hàm số y = f (x) xác định trên khoảng Ω ⊂ R,

khi đó hàm số F (x) là một nguyên hàm của hàm số y = f (x) khi và chỉkhi F0(x) = f (x), ∀x ∈ Ω

Định lý 1.1 (Về sự tồn tại nguyên hàm) Mọi hàm liên tục trên [a; b] đều

có nguyên hàm trên (a; b)

Định lý 1.2 Nếu F (x) là nguyên hàm của f (x) thì F (x) + C, C ∈ R

1.1.2 Tích phân xác định

Định nghĩa 1.3 Cho hàm số y = f (x) xác định trên [a; b] Chia đoạn

[a; b] thành n đoạn nhỏ bởi các điểm chia xi(i = 0, , n) :

a = xo < x1 < x2 < x3 < < xn−1 < xn = b

(Mỗi phép chia như thế được gọi là một phép phân hoạch đoạn [a; b], kíhiệu là Q)

Đặt ∆xi = xi− xi−1 và d(Q) = max ∆xi, 1 ≤ i ≤ n Trên mỗiđoạn [xi−1; xi], ta lấy một điểm tùy ý ξi(i = 1, , n) và lập tổng

Khi đó hàm số y = f (x) được gọi là khả tích trên [a;b]

Định lý 1.3 (Điều kiện khả tích) Các hàm liên tục trên [a; b], các hàm

bị chặn có hữu hạn điểm gián đoạn trên[a; b] và các hàm đơn điệu bị chặntrên [a; b] đều khả tích trên [a; b]

Định lý 1.4 (Công thức Newton-Leibnitz) Nếu hàm sốy = f (x) liên tụctrên [a; b] và F (x) là một nguyên hàm của nó trên đoạn đó thì

b

Z

a

f (x)dx = F (b) − F (a)

Chứng minh Theo Định lý 1.2, tồn tại C ∈ R sao choF (x) = φ(x) + C,trong đó φ(x) =

Định lý 1.6 (Quy tắc đổi biến số)

Cho y = f (x) liên tục trên [a; b] và hàm x = ϕ(t) khả vi, liên tụctrên [α; β] và min

Chứng minh Nếu F (x) là một nguyên hàm của f (x) thì F [ϕ(t)] là mộtnguyên hàm của f [ϕ(t)]ϕ0(t) Áp dụng công thức Newton - Leibnitz, ta có

với P∗(x), Q(x) là các đa thức với hệ số thực.

Nếu degP∗(x) ≥ degQ(x) thì thực hiện phép chia đa thức ta được

P∗(x)Q(x) = R(x) +

P (x)Q(x),

với P (x), Q(x), R(x) là các đa thức với hệ số thực vàdegP (x) < degQ(x).Khi đó

β

Z

α

P∗(x)Q(x)dx =

Do đó, ta chủ yếu quan tâm đến các phân thức thức sự (các phânthức mà bậc tử thức nhỏ thua bậc mẫu thức) và việc tính tích phân củacác phân thức thực sự quy về tính tích phân của các phân thức cơ bảndạng:

i) A

A(x − a)k, k ≥ 2;iii) M x + N

x2 + px + q; iv)

M x + N(x2 + px + q)k, k ≥ 2.Mỗi phân thức thực sự dạng P (x)

Q(x) đều có thể phân tích được thành

tổng các phân thức cơ bản dạng

P (x)

Q(x) =

Am(x − a)m +

Am−1(x − a)m−1 + +

E1x + F1

x2 + rx + s,

trong đó Ai, Bi, Ci, Di, Ei, Fi là các số thực và x2 + px + q, x2+ rx + s lànhững tam thức bậc hai không có nghiệm thực.

A(x − 2)2 +

1 0

Suy ra

3x3 + 8x2 + 15x + 14 = (A + B)x4 + (4A + C)x3 + (8A − 2B + D)x2

+(8A − 4B − 2C − 2D + E)x + 4A − 4C − 2E.

Từ đó, ta tính được A = 1, B = −1, C = −1, D = −2, E = −3.Khi đó

1

Z

0

dx(x2 + 2x + 2)2

1 0

Đặt t = tan y ⇒ dt = dy

cos2y.

Đổi cận t = 1 ⇒ y = π

4, t = 2 ⇒ y = arctan 2.

1(tan2y + 1)2.

1cos2ydy =

arctan 2

Z

π 4

1



1cos2y

2 1cos2ydy

=

arctan 2

Z

π 4

arctan 2

π 4

= 12



arctan 2 − π

4 − 110

thì ta biến đổi về dạng

I = m

2a

Z 2ax + b(ax2 + bx + c)rdx +

1a



n − mb2a

 Z dx(x2 + α2)r.

Để tính tích phân dạng R dx

(x2 + α2)r, ngoài cách đặt x = α tan t,

ta có thể sử dụng phương pháp tích phân từng phần

Chú ý 1.3 Để tính tích phân hàm phân thức hữu tỉ thì ta làm như sau:

• Phân tích hàm phân thức hữu tỉ thành tổng của các phân thức đơngiản

• Lấy tích phân sau khi đã phân tích

Tuy nhiên, trong một số trường hợp, ta còn có thể sử dụng phươngpháp đổi biến hoặc phương pháp tích phân từng phần để tính tích phânnhanh hơn nhiều.

b Tích phân hàm số chứa căn thức

với m, n, , r, s là các số nguyên dương

Giả sử k là bội số chung nhỏ nhất của các số n, , s Khi đó, ta có

Z

k

√ a

R tk, tm1, , tr1
dt =

k

√ b

Z

k

√ a

+

√32

!2

3 arctan2t + 1√

3

#

6 +

√

3 arctan5

√3



ln

(x + 2) +

q

(x + 2)2 + 1

... thống số kiến thức bản

về nguyên hàm tích phân bất định, hệ thống số đẳng thứctích phân ứng dụng việc tính tích phân số hàm số sơcấp Ngồi ra, tác giả đưa số dạng toán để luyện tập tính tíchphân...

1.2 MỘT SỐ DẠNG ĐẲNG THỨC TÍCH PHÂN KHÁC

1.2.1 Tích phân hàm chẵn, hàm lẻ

Trước hết, ta nhắc lại định nghĩa hàm số chẵn hàm số lẻ

Định nghĩa 1.4 Xét hàm số f (x)... tích phân tìm giới hạn tích phân

Ta nhắc lại ý nghĩa hình học tích phân:

Nếu hàm số