Chuyên đề TÍCH PHÂN ỨNG DỤNG

Chuyên đề: TÍCH PHÂN Luyện thi THPT Quốc gia 2017 Tác giả: PHẠM THANH PHƢƠNG (Đà Nẵng) Biên tập: Lê Bá Bảo (Huế) CHUYÊN ĐỀ: TÍCH PHÂN ỨNG DỤNG Chủ đề 2: I ĐỊNH NGHĨA, TÍNH CHẤT CỦA TÍCH PHÂN ĐỊNH NGHĨA Cho hàm số f liên tục K a , b hai số thực thuộc K Nếu F nguyên hàm f K hiệu số F  b   F  a  gọi tích phân f từ a đến b , ký hiệu b b a a  f  x  dx Nếu a  b  f  x  dx gọi tích phân f đoạn  a; b  b Hiệu số F  b   F  a  ký hiệu F  x  , F nguyên hàm f a b K  a Vì  b f  x  dx  F  x   F  b   F  a  a b f ( x)dx nguyên hàm f nên ta có  f  x  dx  a   f (x)dx  a b Ta gọi a cận dưới, b cận trên, x biến lấy tích phân, f hàm số dấu tích phân, f  x  dx biểu thức dấu tích phân Tích phân phụ thuộc vào cận tích phân biểu thức dấu tích phân, không phụ thuộc vào biến lấy tích phân, tức là: b  a b b a a f  x  dx   f  t  dt   f  u  du  F  b   F  a     3     Ví dụ 1: I    x  dx   x  ln x     18  ln     ln1   16  ln  2x   2 2  1     1 GV: PHẠM THANH PHƢƠNG - ĐÀ NẴNG - 0935.963.257 CLB Giáo viên trẻ TP Huế -1- Chuyên đề: TÍCH PHÂN Ví dụ 2: I    x  1 x Luyện thi THPT Quốc gia 2017  x2 3 x2  2x   1 dx   dx    x    dx    2x  ln x  x x  1 1 9  1      ln      ln1   ln 2  2   y4 2  2 Ví dụ 3: I    y  y   dy    y  ln y  y 1  1 1  27     ln      ln1    ln 4     cos 2t   1  1 Ví dụ 4: I    cos t  sin 2t  dt   sin t   2   0      2  2  0         Ví dụ 5: I    cot s ds     cot s ds   3s  cot s     2  3   3  3    1    0      TÍNH CHẤT Với hàm số f , g liên tục K a, b, c số thực thuộc K , ta có:  a  f  x  dx   a   b c c a b a  f  x  dx   f  x  dx   f  x  dx b b a a  b a a b  f  x  dx   f  x  dx b b b a a a   f  x   g  x  dx   f  x  dx   g  x  dx  k f  x  dx  k. f  x  dx, k   Dùng định nghĩa tích phân, ta chứng minh tính chất sau:  Nếu f  x    a; b  b  f  x  dx  a  Nếu f  x   g  x   a; b  b b a a  f  x  dx   g  x  dx II PHƢƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN PHƢƠNG PHÁP PHÂN TÍCH, ĐƢA VỀ TÍCH PHÂN ĐƠN GIẢN - Phương pháp tính tính phân hàm đa thức, hàm có chứa dấu trị tuyệt đối, số hàm lượng giác đơn giản - Để tính tích phân theo phương pháp này, cần phải nắm định nghĩa tích phân, tính chất tích phân thuộc bảng nguyên hàm để biến đổi hàm dấu tích phân hàm thường gặp Từ đó, học sinh linh hoạt đưa toán toán GV: PHẠM THANH PHƢƠNG - ĐÀ NẴNG - 0935.963.257 CLB Giáo viên trẻ TP Huế -2- Chuyên đề: TÍCH PHÂN Ví dụ 1: Tính I   Gợi ý: Đặt x  x  1 x  x  1  Luyện thi THPT Quốc gia 2017 dx A  x  1  B A B x  , x  1   , x  1 2 x   x  1  x  1  x  1 A  A  x 1 Do    x  Ax  A  B, x  1    2 x  x  x   A  B  B  1     1 1   1 Khi đó: I     d x  ln x    ln     x   x  1  x  1    Ta tìm A, B phương pháp đồng hệ số Ngoài ta phân tích biến đổi x trực tiếp sau:  x 11  x  1  x  1 x  x  1 Tính I   dx x 4 2  1  , cách hiệu x   x  12 Ví dụ 2: x  x  1 x2  x x   x  2x Gợi ý: Với x  0;1 , ta có:    1  2 x 4 x 4 x 4 x 4 x 4  2x  2x Lúc đó: I      dx   dx   dx   dx  2 x  x  x  x    0 0 1     1 1  x     x   dx d x 4   dx    x 4 0  x   x   1 d x 4  1    dx       dx x  x  x    0 1 1 x2 1  x  ln x2   ln   ln  ln x2 Ví dụ 3: Tính I  x  dx 2  x  1, x      x  1, x    , 1  1,   Gợi ý: Ta có: x     2  x , x    1  x , x     1,1  Khi đó: I  1  2 1 1 2 x2  dx   x  dx   x  dx        x2  dx    x dx   x  dx 1  x3  1  2 x3   x3    x   x      x   1    2  1  Ví dụ 4: Tính I   cos xdx  Gợi ý: Dùng công thức lượng giác: cos x  cos x  2   cos x  cos2 x  cos x       GV: PHẠM THANH PHƢƠNG - ĐÀ NẴNG - 0935.963.257 CLB Giáo viên trẻ TP Huế -3- Chuyên đề: TÍCH PHÂN Luyện thi THPT Quốc gia 2017  cos x  cos x  cos x  cos x    1  sin x   3 Khi : I    cos x  cos x   dx    sin x  3x   80 8 0   Ví dụ 5: Tính I   sin x.cos 5x dx Gợi ý: Dùng công thức lượng giác: sin x.cos 5x   16 Ta có: I    sin x  sin x  dx  20  sin 6x  sin 4x    cos x cos x       2  48 Bài tập tƣơng tự: 2x  Bài tập Tính I   dx x  4x  3x  Bài tập Tính I   dx x 9 2  Bài tập Tính I   sin x dx Bài tập Tính I    x dx 0    Bài tập Tính I   cos x  cos x dx PHƢƠNG PHÁP DÙNG VI PHÂN ĐỂ TÍNH TÍCH PHÂN - Một số toán đơn giản không cần phải đưa biến mới, tức không cần đặt t  t( x) , biến lấy tích phân biến x , cận lấy tích phân không đổi Nói cách khác, ta trình bày gọn công thức vi phân d t  x   t /  x  dx Cách làm ngắn gọn, hiệu nhiều toán tích phân - Nếu F  x  nguyên hàm f  x  t  t  x  hàm biến x b b  f  t  x  d t  x   F  t  x  a a Chẳng hạn với t hàm bậc t  t  x    x      b  f  x    dx  a b b f  x    d  x     F  x    a   1 a  Ví dụ 1: Tính I   tan x dx  Gợi ý: I      d cos x     ln cos x   ln  ln sin x tan xdx   dx    cos x cos x 0 GV: PHẠM THANH PHƢƠNG - ĐÀ NẴNG - 0935.963.257 CLB Giáo viên trẻ TP Huế -4- Chuyên đề: TÍCH PHÂN l Luyện thi THPT Quốc gia 2017 dx e 1 Ví dụ 2: Tính I   x     l ex   ex l l l l d ex  dx ex Gợi ý: I   x  dx   dx   x dx   dx   x ex  e 1 e 1 0 e 1 0 l 1 2e  x  ln e x    ln( e  1)  ln  ln 0 1 e   2sin x dx  sin x Ví dụ 3: Tính I      cos2 x d   sin x  1 Gợi ý: I   dx    ln  sin x  ln  sin x  sin x 2 0 Ví dụ 4: Tính I   x  dx 3 1  x    x   27  5 Gợi ý: I    x   d  x      1 21 3 Ví dụ 5: Tính I  ln  1  e  x Gợi ý: I  ln  e x dx x e dx 1  e  x  ln 3  x  1  e  d 1  e   x 1  e  x   ln  2 ln 1 e x   Bài tập tƣơng tự:   Bài tập Tính I   cot x dx Bài tập Tính I    tan x dx cos x  cos x  Bài tập Tính I   dx  sin x Bài tập Tính I  ln e x 4x  dx 2 x  3x  Bài tập Tính I   e x  dx PHƢƠNG PHÁP TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN - Cho hàm số u  x  , v  x  có đạo hàm liên tục K hai số thực a , b thuộc K , ta b b b có:  u( x)v / ( x)dx  u( x)v( x)   v( x)u/ ( x)dx Viết gọn: a a a GV: PHẠM THANH PHƢƠNG - ĐÀ NẴNG - 0935.963.257 b b b u d v   uv    a   vdu a a CLB Giáo viên trẻ TP Huế -5- Chuyên đề: TÍCH PHÂN Luyện thi THPT Quốc gia 2017 - Nếu hàm số f  x  tích hàm: hàm lũy thừa y  x , hàm số mũ y  ax , y  e x , hàm lôgarit y  log a x, y  ln x , hàm lượng giác y  sin x, y  cos x ta sử dụng phương pháp tích phân phần, tức biến đổi f  x  dx dạng u( x)v/ ( x)dx - Việc lựa chọn u dv phải thỏa mãn điều kiện sau: du đơn giản, v dễ tìm, tích phân b b a a  vdu đơn giản tích phân ban đầu  udv Chọn hàm để đặt u theo thứ tự ưu tiên giảm dần sau: hàm lôgarit, hàm lũy thừa, hàm số mũ, hàm lƣợng giác   Ví dụ 1: Tính I   x.ln  x dx   Gợi ý: Đặt u  ln  x2 , dv  x dx , ta có: du  2x x2 , chọn d x v   x2 1 x2 x3 ln  x  Khi đó: I  ln  x  dx   x   dx 0 1 x 2  x2  0    ln  ln  ln  x2 1     ln(1  x2 )        ln   2 2  0 Ví dụ 2: Tính I   x e  x dx Gợi ý: Đặt u  x2 , dv  e  x dx , ta có: du  2xdx , chọn v  e  x  x Khi đó: I  e x  1 1   x.e dx    2K , với K   x.e  x dx 0 e x Tính K: Đặt u  x, dv  e  x dx , ta có: du  dx , chọn v  e  x  Khi đó: K   xe  x  1 1 1    e  x dx    e  x          0 e e e  e Vậy I    e ln x dx x Ví dụ 3: Tính I   dx dx , ta có du  , chọn v   x x 2x ln x dx ln 2  ln Khi đó: I         16 2x 1 2x 4x Gợi ý: Đặt u  ln x , dv  e2  1  Ví dụ 4: Tính I     dx ln x  e  ln x e x   ln x   ln x Gợi ý: I   d x  e x.ln x dx e ln x e2 Đặt u  x   ln x  , dv  1 dx , ta có du   ln x dx , chọn v   ln x x.ln x GV: PHẠM THANH PHƢƠNG - ĐÀ NẴNG - 0935.963.257 CLB Giáo viên trẻ TP Huế -6- Chuyên đề: TÍCH PHÂN Luyện thi THPT Quốc gia 2017 x  ln x  1 e e e2 e2 Khi đó: I    dx   e  e  e  ln x 2 e e    ln x dx ( x  1) Ví dụ 5: Tính I   Gợi ý: Đặt u   ln x , dv  I  dx  x  1 , ta có du  dx , chọn v   Khi đó: x x1 3  ln x dx  ln 3 1   ln x 1 27        dx   ln    ln   x  1 x  x  1  x x 1 x1  16  Bài tập tƣơng tự: Bài tập Tính I   x.ln  x  1 dx   Bài tập Tính I   x  x  e x dx  2 Bài tập Tính I   x.sin x dx Bài tập Tính I   x.e x dx 0 e Bài tập Tính I   ln x dx PHƢƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ DẠNG - Đặt t  t( x) , với x biến ban đầu, t biến Khi đổi biến phải đổi cận - Cho hàm số t  t  x  có đạo hàm liên tục K , hàm số y  g  t  liên tục hàm hợp g t( x) xác định K , a b số thuộc K , ta có t( b) b a g t  x  t  x  dx  t(a) g t  dt / b - Các bước thực phép đổi biến số dạng để tính tích phân I   f  x  dx : a + Bước 1: Đặt t  t  x  , suy dt  t /  x  dx Đổi cận: x  a  t  t  a    , x  b  t  t  b    + Bước 2: Biến đổi f  x  dx thành g  t  dt + Bước 3: Khi  dx  ln x  x2  a  C x a cho) Giả sử G  t  nguyên hàm g  t  I  G  t  (đơn giản tích phân    Ví dụ 1: Tính I    tan dx  x  tan x  cos x Gợi ý: Đặt t  tan x  dt   dx Đổi cận: x   t  0, x   t  cos x 1  t     t  1 dt 1 dt   dt   Lúc đó: I   t  3t   t  1 t    t  1 t   GV: PHẠM THANH PHƢƠNG - ĐÀ NẴNG - 0935.963.257 CLB Giáo viên trẻ TP Huế -7- Chuyên đề: TÍCH PHÂN Luyện thi THPT Quốc gia 2017  1  t 1    dt  ln  ln  t 1 t   t2 0 x Ví dụ 2: Tính I   x 1 1 dx Gợi ý: Đặt t  x   x  t   dx  2tdt Đổi cận: x   t  0, x   t  t2  t3  t   2tdt   dt    t  t   dt 1 t 1 t  t  0 0 1 Lúc đó: I    t3 t2  11     2t  ln  t    ln 3 0  Ví dụ 3: Tính I   sin x dx   2 0   Gợi ý: I   sin x.sin x dx    cos x sin xdx Đặt t  cos x  dt   sin xdx Đổi cận: x   t  1, x   Khi đó: I     t  1 dt     t 0  2t t   2t  t dt   t      15    dx sin x  cos x  Ví dụ 4: Tính I   Gợi ý: Đặt t  tan x , ta có dt  2 2dt 1 x dx    tan  dx   t dx  dx  2 2  t2 x cos    2t  t2 , cos x  Ta có: sin x  Đổi cận: x   t  0, x   t  2 1 t 1 t 1 1 1 dt   dt    Khi đó: I   2 t2  1 t 8t   t t  2  Ví dụ 5: Tính I  x Gợi ý: I  x x dx x 1    dx x2  , đặt t  x2  , ta có t  x2   2tdt  2xdx  xdx  tdt Đổi cận: x   t  2, x   t  Khi đó: I    dt  1  t 1 3    d t  ln  ln     t 1 2 t  t  t  1 t  1 2  t  t   t dt  GV: PHẠM THANH PHƢƠNG - ĐÀ NẴNG - 0935.963.257 CLB Giáo viên trẻ TP Huế -8- Chuyên đề: TÍCH PHÂN Luyện thi THPT Quốc gia 2017 Bài tập tƣơng tự: Bài tập Tính I     x  dx Bài tập Tính I   0 e x 1  x   xe x dx  Bài tập Tính I   x  x  1 dx Bài tập Tính I   sin x.cos x dx 10  Bài tập Tính I   x 1 x dx PHƢƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ DẠNG - Đặt x  x  t  , với x biến ban đầu, t biến Khi đổi biến phải đổi cận - Cách áp dụng cho số toán đặc thù mà gặp khó khăn áp dụng phương pháp phân tích, phương pháp đổi biến dạng tích phân phần Sau số gợi ý cho trường hợp cụ thể:     x2 , đặt x  sin t , t    ;  x  cos t , t  0,    2  Nếu f  x  chứa  a   , đặt a2  x2 x  a sin t x  a cos t a2   x    ;  a   , đặt  x    a sin t  x    a cos t  Nếu f  x  chứa x2  , đặt x  1      , t    ;  \0 x  , t  0;   \   sin t cos t  2 2 x2  a2  a   , đặt x   x     Nếu f  x   a sin t  a2 ;  a   , đặt  x    f  x  chứa x 1 x  a cos t a a  x    sin t cos t    x2  , đặt x  tan t , t    ,   2 f  x  chứa x2  a2  a   , đặt x  a tan t x a  x    a2 ;   , đặt  x    a tan t f  x  f x chứa     2  x     a f  x  b Các bước thực phép đổi biến số dạng để tính tích phân I   f  x  dx : a + Bước 1: Đặt x  x  t  , suy dx  x  t  dt / Đổi cận: x  a  t   , x  b  t   + Bước 2: Biến đổi f  x  dx thành g  t  dt GV: PHẠM THANH PHƢƠNG - ĐÀ NẴNG - 0935.963.257 CLB Giáo viên trẻ TP Huế -9- Chuyên đề: TÍCH PHÂN Luyện thi THPT Quốc gia 2017 + Bước 3: Khi  x a dx  ln x  x2  a  C cho) Giả sử G  t  nguyên hàm g  t  I  G  t  Ví dụ 1: Tính I  2  x2  x2 (đơn giản tích phân   dx    Gợi ý: Đặt x  sin t , t    ;  , ta có: dx  cos t dt ,  x2   sin2 t  cos2 t  cos t  2 Đổi cận: x   t  0, x    t     sin t.cos t dt 14 1   Khi đó: I     sin t dt     cos 2t  dt   t  sin 2t    cos t 20 2 0 0 Ví dụ 2: Tính I   x  x dx      Gợi ý: Đặt x  sin t , t    ;  , ta có dx  cos t dt Đổi cận: x   t  , x   t   2 Ta có:  x2   sin2 t  cos2 t  cos t  cos t Khi đó:      sin 4t  2 I   sin t.2 cos t.2 cos t dt   sin 2t dt   1  cos 4t  dt   t          2 6 6 Ví dụ 3: Tính I   Gợi ý: Đặt x  dx x2  1     cos t   , t    ;   dx  dt Đổi cận: x   t  , x  t  sin t sin t  2  cos t dt 2 cos t dt Khi đó: I    sin t   Ta có cách sau: x2   1  cos t sin t sin t sin t   sin t  Ta có:  t  d  tan  2 dt dt t Cách 1: I        ln tan  ln t t 2 t t  t 2  sin cos tan cos tan 3 2 2    2 GV: PHẠM THANH PHƢƠNG - ĐÀ NẴNG - 0935.963.257 CLB Giáo viên trẻ TP Huế - 10 - Chuyên đề: TÍCH PHÂN Luyện thi THPT Quốc gia 2017 Lựa chọn đáp án D Câu 19 Khi mài kim loại, mảnh kim loại từ mặt đất bay lên theo chiều thẳng  đứng với vận tốc v  15  m / s  Biết gia tốc trọng trường g  9,8 m / s2  bỏ qua lực cản không khí, hỏi sau giây mảnh kim loại di chuyển quãng đường dài bao nhiêu? B 5,  m  A 19,9  m  C 10,1  m  D 15  m  HD giải: Mảnh kim loại chịu tác động trọng lực (ngược chiều với hướng di chuyển) nên gia   tốc mảnh kim loại a   g  9,8 m / s2 Do vận tốc mảnh kim loại thời điểm t giây là: v  t    a dt   9,8 dt  9,8 t  C Theo đề bài, với t  v  15  m / s  nên C  15 Suy ra: v  t   9,8 t  15  m / s  Quãng đường di chuyển mảnh kim loại sau giây: 1 0  s  t    v  t  dt    9,8 t  15  dt  4,9 t  15 t   10,1  m Lựa chọn đáp án C Câu 20 Một lò xo có chiều dài tự nhiên 30 cm , để nén lò xo xuống 20 cm ta cần dùng lực 40  N  Nếu ta tiếp tục nén lò xo nói từ 20 cm xuống 15cm công sinh bao nhiêu? A 2,  J  B 6,  J  C  J  D 0,  J  HD giải: Độ nén lò xo: x  0,3  0,2  0,1  m , F  40  N  Vì F  k.x , với k độ cứng lò xo, suy k  40  400  N / m  Do lực nén 0,1 F  400x Tiếp tục nén lò xo, độ nén: x1  0,3  0,2  0,1 m x2  0,3  0,15  0,15 m Công sinh ta tiếp tục nén lò xo từ 20 cm xuống 15cm : A x2 0,15 x1 0,1  F  x  dx   400 x dx  200x 0,15 0,1  2,  N.m   2,  J  Lựa chọn đáp án A CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM TỰ LUYỆN Câu Tính tích phân I   A I  ln  x  1 x3 dx B I  ln  11 C I  ln  D I  1  ln x   5x dx x x Câu Tính tích phân I   GV: PHẠM THANH PHƢƠNG - ĐÀ NẴNG - 0935.963.257 CLB Giáo viên trẻ TP Huế - 40 - Chuyên đề: TÍCH PHÂN Luyện thi THPT Quốc gia 2017 A I  8  6ln B I  6ln Câu Tính tích phân I   x  A I  D I  6ln   dx x B I  20  x  1 Câu Tính tích phân I   x C I  10ln C I  14 D I  C I   24 35 D I  dx 24  35 A I  B I  Câu Tính tích phân I   A I   ln 1  ln A I   24 35 dx x  x  1 B I  Câu Tính tích phân I   24 35 C I    ln 3 D I   ln  ln 2 3 C I    ln D I  ln dx x  x  1 B I    ln  ln t dt  18 t x Câu Tìm số thực dương x thỏa mãn  e A x  e7 , x  e5 C x  B x  , x  e5 e7 D x  e7 , x  e5 Câu Tính tích phân I   f  x  dx , biết f '  x  A I   120 8281 , x  e7 e B I  120 8281 2x  x  x 1 C I  ln 13 D I  ln 13 e Câu Tích phân  x ln x dx e 1 A 2 Câu 10 Tích phân e2  C e2 B  x e2  D   3x  x dx A 31 B 2 Câu 11 Tích phân  C 33 D 34  x dx A  2 B  1 C  1 GV: PHẠM THANH PHƢƠNG - ĐÀ NẴNG - 0935.963.257 D  2 CLB Giáo viên trẻ TP Huế - 41 - Chuyên đề: TÍCH PHÂN 2x  1  Câu 12 Tích phân A   1 Luyện thi THPT Quốc gia 2017 x2  x  1 dx B C Câu 13 Tích phân x  5x  4 x  dx A B   1 D   2 Câu 14 Cho a  b  c , C b c a a c  f xdx  7,  f xdx  Tính  f x dx b c A c  f x dx  B b c C  D  f x dx  15 b c f  x dx  1 D b b dx x  x  1 Câu 15 Tính tích phân I   A I  ln  3 B I  ln  C I  ln  D I   ln  3 C I  1  ln D I  ln  ln  2 C I  3ln  D I  ln  2 dx x  x  1 Câu 16 Tính tích phân I   A I  ln  2  f xdx  15 B I  ln  2 x2  x  dx x  Câu 17 Tính tích phân I   A I  13ln  B I  3ln  2 Câu 18 Tính tích phân I   A I  ln x  x  1 B I  Câu 19 Tính tích phân I   A I  ln  Câu 20 Tính tích phân I   1  ln 12 12 D I   ln 12 2x  dx x  4x  C I  ln  3 D I  ln  C I  ln D I  dx x  x  1 B I  ln x C I  32 Câu 21 Tính tích phân I  dx B I  ln  A I   ln 4  ln dx  2x GV: PHẠM THANH PHƢƠNG - ĐÀ NẴNG - 0935.963.257 CLB Giáo viên trẻ TP Huế - 42 - Chuyên đề: TÍCH PHÂN Luyện thi THPT Quốc gia 2017 A I   ln B I  ln  Câu 22 Biết f  x liên tục  C I  ln  2 A I  B I  D I  ln 12  x f  x dx  7, tính tích phân I   f   dx   4 C I  14 D I  28  π 3π Câu 23 Cho hàm số f  x có f '  x liên tục  f     ,   4π 7π  f 'x dx  Tính π f 4π A f 4π  π B f 4π  2π C f 4π  5π D f 4π  5π Câu 24 Xét tích phân I   x x  dx đặt t  x  Trong khẳng định sau, khẳng định sai? B I   t t  1dt A dx  2tdt C I   t  t dt D I  3 Câu 25 Xét tích phân I   15   1 dx đặt x  3tan t Trong khẳng định sau, khẳng định x 9 sai? A dx  π 3 dt cos2 t C  x  B I   cos t D I  Câu 26 Xét tích phân I   x 1 3x  t dt π dx Nếu đặt t  3x  khẳng định khẳng định sau sai? B I   A dx  t dt 2 C I   t  1  2t  2t  t  2t dt 3 dt D I  46 Câu 27 Trong khẳng định sau, khẳng định đúng? π A π cos x cos x  2x  dx   x  dx π π   π x B π cos x x cos x d x   2x   2x  dx π π  GV: PHẠM THANH PHƢƠNG - ĐÀ NẴNG - 0935.963.257  CLB Giáo viên trẻ TP Huế - 43 - Chuyên đề: TÍCH PHÂN π C π Luyện thi THPT Quốc gia 2017 π x cos x cos x  2x  dx   2x  dx π π   Câu 28 Đặt I   D cos x x cos x d x   2x   2x  dx π π  π  2  π π x  sin t , t   ;  Trong khẳng định sau, khẳng định  2   x2 dx đúng? B I   A dx  2 cos t dt π C I   dt Câu 29 Tính tích phân I   4x dx  x  1 A I  13 π B I  D I  π C I  cos tdt  cos t D I  3 Câu 30 Tính tích phân I   x  x  dx A I  B I  2 D I  C I  3 4x  dx x  x  1 Câu 31 Tính tích phân I   A I  11  ln B I  Câu 32 Tính tích phân I   1 A I  ln 11  ln Câu 33 Tính tích phân I   11  ln D I   11  ln dx x  2x B I  ln 2 C I  C I  ln D I  ln dx x3  x 1 B I  ln C I  ln D I  ln  ln 2 3 Câu 34 Cho hàm số f  x   3x  x  x  g  x   x  x  3x  Tính tích phân A I  ln I   f  x   g  x  dx A I  B I   Câu 35 Tính tích phân I   A I    ln C I    ln C I   12 D I  12 2x  dx x  3x  B I    ln D I   ln GV: PHẠM THANH PHƢƠNG - ĐÀ NẴNG - 0935.963.257 CLB Giáo viên trẻ TP Huế - 44 - Chuyên đề: TÍCH PHÂN Luyện thi THPT Quốc gia 2017 t Câu 36 Đặt f  t     sin x  cos x  dx,  t    Nghiệm phương trình f  t    π  kπ, k   π D t   kπ, k   π  kπ, k   π C t   kπ, k   B t  A t  ln10 Câu 37 Biết tích phân  ln ex a a dx  ; a, b hai số nguyên dương phân số x b b e 2 tối giản Khẳng định sau sai? A 2a  7b B a b   π C a2  b2  85 D a  b  Câu 38 Tính tích phân I   1  cos x sin xdx , n   * n π A I  2n  B I  2n C I  π Câu 39 Giá trị sau n thỏa mãn 2n   cos x sin n1 xdx  A n  B n  Câu 40 Biết x D I  2n  ? C n  D n  5 a a dx  ln , a, b hai số nguyên dương phân số tối giản b b 1 Hãy tính ab A ab  B ab  D ab  144 C ab  12  1  a a     2x  x  dx  ln b a, b hai số nguyên dương b phân số Câu 41 Cho tối giản Trong khẳng định sau, khẳng định sai? A a  b  B a b   10 D a2  b2  754 C a  b  32 a Câu 42 Tính I   x sin x dx a  0 theo a A I a cos a  sin a C I   B I  a cos a  sin a a cos a D I  a2 cos a C I  Câu 43 Tính tích phân I   x  x3  1 dx A I   B I  ln Câu 44 Tính tích phân I   D I  e2 x  e x  1 dx GV: PHẠM THANH PHƢƠNG - ĐÀ NẴNG - 0935.963.257 CLB Giáo viên trẻ TP Huế - 45 - Chuyên đề: TÍCH PHÂN A I  519 20 Luyện thi THPT Quốc gia 2017 B I  Câu 45 Tính tích phân I   A I  ln x x5  1 Câu 46 Tính tích phân I   Câu 47 Tính tích phân I  A I  ln e2 D I  ln 10 D I  3 C I   D I  C I    ln D I   ln C I  D I   C I  ln 2 1 B I   ln A I  1 C I  ln  ln x dx x  ln x  2ln x  1 Câu 48 Tính tích phân I   Câu 49 Tính tích phân I  x B I   e A I  ln 519 dx dx e x ln D I  x B I  142 dx 1  ln x  C I  1 B I  ln  e A I  617 20 x dx 0 x2  B I  π Câu 50 Trong tích phân sau, tích phân có giá trị tích phân  cos n xdx , với n nguyên dương? π A  sin xdx n eb sin n xdx π C  sinn xdx D  π sinn xdx dx b  a  0 theo a b x ln x Câu 51 Tính tích phân I   ea A I  ln ab  B π B I  ln a  b 12 Câu 52 Tính tích phân I   dx x 2x  b C I  ln a D I  ln b  a kết I  a ln  b ln Giá trị biểu thức a  3ab  b 2 A B 1 a Câu 53 Tính tích phân I   A I  a C 19 D 29 e x  ex dx theo a e x  e x B I  ln e a  e a C I  ln GV: PHẠM THANH PHƢƠNG - ĐÀ NẴNG - 0935.963.257 e a  e a D I  ln e a  ea  CLB Giáo viên trẻ TP Huế - 46 - Chuyên đề: TÍCH PHÂN Luyện thi THPT Quốc gia 2017 Câu 54 Để tính tích phân I   x2  dx , học sinh làm sau: Bước 1: I   x2  dx   x2  dx Bước 2: I   3 x  9dx   x  9dx  x3   x3   10  98 Bước 3: I    x   x  18    18            3 Hỏi lời giải hay sai, sai sai từ bước nào? A Lời giải B Sai từ bước C Sai từ bước D Sai từ bước Câu 55 Cho f  x hàm số liên tục đoạn 0;1 Trong khẳng định sau, khẳng định đúng? A C π  f sin xdx   π f sin x dx π π  f sin xdx  3 f sin x dx Câu 56 Tìm số thực n biết B D π π  f sin xdx  2 0 π  f sin xdx  4 0 π f sin x dx f sin x dx n  3x  5dx  16 16 ; n  2 16 C n   ; n  2; n  1 16 ;n 3 16 D n   ; n  A n   B n  ln Câu 57 Tính tích phân I  e x e x  dx   A I  82 B I  C I  24 D I  44 e Câu 58 Tính tích phân I   1 A I  ln Câu 59 Tính tích phân I  A I  ln B I  ln ln 0 A I  0 C I  ln D I  2ln C I  ln D I  ln dx e  2e x  x B I  ln Câu 60 Tính tích phân I  dx x   ln x  x3 dx x2   B I  C I  GV: PHẠM THANH PHƢƠNG - ĐÀ NẴNG - 0935.963.257 D I  CLB Giáo viên trẻ TP Huế - 47 - Chuyên đề: TÍCH PHÂN Luyện thi THPT Quốc gia 2017  Câu 61 Tính tích phân I    sin x dx sin x B I  A I   2 C I  D I  5  Câu 62 Tính tích phân I   sin x cos x dx A I    B I   64 192  C I   64  48 D I   1 64  cos3 x dx  sin x Câu 63 Tính tích phân I   A I  Câu 64 Cho  3π B I  f  x dx  Khi tích phân B 14  A 11 D I   C I  9π  3π  f  x  3cos x dx   D 14  C 23 9π t Câu 65 Đặt f t   sin x dx, t   Nghiệm phương trình f t  A t  kπ, k   C t   B t  π  kπ, k   π  kπ, k   D t  k 2π, k   Câu 66 Cho hàm số f  x liên tục  thỏa mãn  f xdx  Khi tích phân  f 2xdx A B C D 16 x    Câu 67 Nếu I     e  dx  K  2e giá trị K 2   A 11 B C 25 D 10 Câu 68 Cho f ( x) hàm số liên tục  a; b  Đẳng thức sau sai? b A b B  kdx  k  b  a  ; k    b f  x  dx   f  x  dx   f  x  dx; c  a; b  D a C a f  x  dx    f  x  dx  a a b Câu 69 Giả sử c b a c   2x  dx  ln A , giá trị  b  a a f  x  dx   f  x  dx b A A B C 81 GV: PHẠM THANH PHƢƠNG - ĐÀ NẴNG - 0935.963.257 D CLB Giáo viên trẻ TP Huế - 48 - Chuyên đề: TÍCH PHÂN Luyện thi THPT Quốc gia 2017 x Câu 70 Giá trị tích phân  x  dx A B Câu 71 Giả sử  f  x  dx  2; A  C f  x  dx  3;  g  x  dx  Khẳng định sau sai? 4 B   f  x   g  x dx  C 31 f  x  dx   g  x dx  D   f  x   g  x dx  4 0 D  f  x  dx   g  x dx Câu 72 Trong khẳng định sau, khẳng định sai? A Nếu f ( x)  0, x  a; b b  f ( x)dx  a B Nếu f  x    f  x  , x    a; a C b b b a a a a  f  x  dx  a   f  x  g  x  dx   f  x  dx  g  x  dx , với f  x  , g  x  liên tục  a; b x2 D Nếu  f  x  dx  F  x   C  f  ax  b  dx  a  F  ax  b   F  ax1  b  , a  x1 Câu 73 Đẳng thức sau đúng? A  x dx  B 3 3 C  x 3  x dx  D 3  x 3   dx    x dx  Câu 74 Nếu hàm số y  f  x  xác định, liên tục không đổi dấu  a; b  đẳng thức sau đúng? b A a  f  x  dx   f  x  dx b f  x  dx    f  x  dx a C b B b a  a b b a  a f  x  dx    f  x  dx D  f  x  dx  a b a  f  x  dx b dx x Câu 75 Tích phân I   31 31 B  5 Câu 76 Đẳng thức sau đúng? A C A   D  24   24 sin x dx  B  cos x dx   GV: PHẠM THANH PHƢƠNG - ĐÀ NẴNG - 0935.963.257 CLB Giáo viên trẻ TP Huế - 49 - Chuyên đề: TÍCH PHÂN Luyện thi THPT Quốc gia 2017  C    sin x dx   cos D  x dx  Câu 77 Nếu hàm số f  x  g  x  xác định, liên tục không đổi dấu  a; b  đẳng thức sau đúng? a  a    f x g x d x  f x d x a       b     b g  x  dx     b A a b B f  x  g  x  dx  a  f  x  dx b a  g  x  dx b b C  f  x   g  x  dx  a D a  b b a a b a f  x  dx   g  x  dx b  f  x   g  x  dx    f  x   g  x  dx Câu 78 Tích phân I   dx x3 2 A B  C D Câu 79 Đẳng thức sau đúng?     2 2 0 0 A  sin xdx   cos xdx B  sin xdx   tan xdx     2 2 0 0 C  sin xdx    cos xdx D  sin xdx    tan xdx  Câu 80 Tích phân I   cos xe sin x dx  m m thỏa mãn phương trình A ln x   Câu 81 Giả sử B ln  x  1  f  x  dx  5,  C ln  x  1  f  x  dx  Khi  f  x  dx B 3 A D ln  x  1  D 13 C 13 b Câu 82 Tập hợp giá trị số thực b cho   2x   dx  A 5 Câu 83 Nếu  C 4 B 5; 1 f  x  dx  a , A a  b  f  x  dx  b B b  a D 4; 1  f  x  dx C a  b GV: PHẠM THANH PHƢƠNG - ĐÀ NẴNG - 0935.963.257 D a  4b CLB Giáo viên trẻ TP Huế - 50 - Chuyên đề: TÍCH PHÂN Câu 84 Cho Luyện thi THPT Quốc gia 2017 a a 0  f  x  dx  f  x  hàm số chẵn Khi  f  x  dx A C 5 B dx  Câu 85 Cho tích phân I  x x 9 đặt x  D 10 Trong khẳng định sau, khẳng định cos t sai? A dx  3sin t dt cos2 t B I  sin tdt cos t tan t D  36  C I    dx x x2   sin t dt tan t Câu 86 Cho tích phân I   x x  dx đặt u  x2  Trong khẳng định sau, khẳng định sai? D I  u C I   u du B I  A du  2x dx  Câu 87 Cho I   sin m x cos xdx  A Khi m 64 B C D Câu 88 Tìm khẳng định khẳng định sau:   A B     sin x  d x  0   0 sin  x   dx    3     0 sin  x   dx  0 cos  x   dx   C  sin  x   dx  4        sin  x   dx   sin  x   dx 4 4   3   D     sin x  d x  0   0 sin  x   dx Câu 89 Giá trị  xe 1 x dx A  e B e  C e  D  e t Câu 90 Giải phương trình ẩn t sau  cos x dx   t    A t  k  , k   B t   GV: PHẠM THANH PHƢƠNG - ĐÀ NẴNG - 0935.963.257  k 2 , k   CLB Giáo viên trẻ TP Huế - 51 - Chuyên đề: TÍCH PHÂN Luyện thi THPT Quốc gia 2017  D t  k , k   k 2 , k   Câu 91 Dựa vào ý nghĩa hình học tích phân, tìm khẳng định sai khẳng định C t  sau: 1 0 A  ln   x  dx   x 1 dx e 1  4 0 B  sin xdx   sin xdx  1 x  C  e  x dx     dx  x   0  Câu 92 Tính tích phân I   a 1 D  e x dx   e x dx dx a  ax , với a số thực dương   A I  a B I  2  2 a C I  2  2 D I    Câu 93 Tính tích phân I     cos x  sin xdx n A I  2n B I  n1 C I  Câu 94 Tích phân có kết n1 D I  2n   ?  A dx 1  x2  B dx 0  x2 dx 1 x C  D dx  1 x  Câu 95 Cho I   tx  e x dx ,  t    Tất giá trị t để I   e A t  4e B t  4e  C t  2e D t  2e  Câu 96 Một vật chuyển động chậm dần với vận tốc v  t   160  10t  m / s  Quãng đường vật di chuyển tính từ thời điểm t   s  đến thời điểm vật dừng lại A 1280  m  B 640  m  C 3840  m  D 2560  m  Câu 97 Một vật di chuyển với vận tốc 10 m / s bắt đầu tăng tốc chuyển động nhanh dần giây sau đạt vận tốc 16 m / s Tính quãng đường vật di chuyển tính từ lúc vật bắt đầu tăng tốc đến đạt vận tốc 24 m / s A 119  m  B 21  m  C 168  m  D 94,5  m  Câu 98 Một túi nước có trọng lượng 10  N  nâng từ mặt đất lên không trung với tốc độ cố định Nước túi bị rỉ với tốc độ rỉ nước không đổi Khi nâng đến độ cao 20 mét túi không nước Bỏ qua trọng lượng túi, tính công sinh nâng túi nước nói từ độ cao mét đến độ cao 10 mét GV: PHẠM THANH PHƢƠNG - ĐÀ NẴNG - 0935.963.257 CLB Giáo viên trẻ TP Huế - 52 - Chuyên đề: TÍCH PHÂN A 18, 75  J  Luyện thi THPT Quốc gia 2017 B 75  J  C 31, 25  J  D 25  J  Câu 99 Phóng vật từ mặt đất lên cao theo chiều thẳng đứng với vận tốc v  49  m / s  Biết gia tốc trọng trường g  9,8  m / s  bỏ qua lực cản không khí, tính độ cao vật nói vật dừng lại không trung A 245  m  B 122,5  m  C 102,9  m  D 147  m  Câu 100 Một lò xo có chiều dài tự nhiên 10cm , để nén lò xo xuống 8cm ta cần dùng lực 20  N  Tính công sinh nén lò xo nói từ chiều dài tự nhiên xuống cm A 0,  J  B 10  J  C 0, 05  J  D 0, 45  J  …………… HẾT…………… GV: PHẠM THANH PHƢƠNG - ĐÀ NẴNG - 0935.963.257 CLB Giáo viên trẻ TP Huế - 53 - Chuyên đề: TÍCH PHÂN Luyện thi THPT Quốc gia 2017 ĐÁP ÁN CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM TỰ LUYỆN Câu 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 Đáp án Câu Đáp án Câu Đáp án Câu Đáp án Câu Đáp án Câu Đáp án Câu Đáp án Câu Đáp án Câu Đáp án Câu Đáp án Trong phần câu hỏi trắc nghiệm tự luyện, tác giả có sử dụng số câu hỏi Thầy Lê Bá Bảo, Cô Nguyễn Thu Hà (CLB Giáo viên trẻ TP Huế) sách trắc nghiệm 2007 Dù biên soạn kỹ, song chắn không tránh khỏi sai sót Mong bạn đọc phản hồi để tác giả hoàn thiện nội dung Xin cảm ơn! Xin tặng Thầy Cô em học sinh chuyên đề này! Tác giả: PHẠM THANH PHƢƠNG_THPT KHAI TRÍ_ĐÀ NẴNG Địa chỉ: (đƣờng Nam Cao) HÒA KHÁNH – ĐÀ NẴNG Facebook: baalphadanang Page: CLB GIÁO VIÊN TRẺ TP HUẾ GV: PHẠM THANH PHƢƠNG - ĐÀ NẴNG - 0935.963.257 CLB Giáo viên trẻ TP Huế - 54 - [...]...   1 1 K , với K là tích phân đơn giản 2  Biến đổi I thành tổng I  I1  I 2 , thực hiện phép đổi biến đối với I 1 hay I 2 ta được I1  I 2 hay I1  I 2  K , với K là tích phân đơn giản - Học sinh cần đặc biệt chú ý đến tính chẵn, lẻ của hàm f  x  Ta xét 3 loại tích phân sau: GV: PHẠM THANH PHƢƠNG - ĐÀ NẴNG - 0935.963.257 CLB Giáo viên trẻ TP Huế - 11 - Chuyên đề: TÍCH PHÂN Luyện thi THPT Quốc... 1 2 0 1    Bài tập 3 Tính tích phân I   1 e x  1 dx 1 GV: PHẠM THANH PHƢƠNG - ĐÀ NẴNG - 0935.963.257 CLB Giáo viên trẻ TP Huế - 26 - Chuyên đề: TÍCH PHÂN Luyện thi THPT Quốc gia 2017 HD giải: Ta có: e x  1  0  x  0 Bảng xét dấu: 1 x 0 e 1    1   e x Khi 1  0 đó: 0  1    I    e x  1 dx   e x  1 dx   e x  x 1 0 1 Bài tập 4 Tính tích phân I   0 0 x x  0  1e ... Tính tích phân I   tan 3 x dx 0  4    4    4 HD giải: I   tan 3 x  tan x  tan x dx   tan x tan 2 x  1 dx   tan xdx 0  0  0   sin x tan 2 x 1 2 1  ln 2   tan x d  tan x    dx   4  ln cos x 4   ln cos x 2 2 2 2 0 0 0 0 4 4  2 1 dx 1  sin x 0 Bài tập 7 Tính tích phân I   GV: PHẠM THANH PHƢƠNG - ĐÀ NẴNG - 0935.963.257 CLB Giáo viên trẻ TP Huế - 27 - Chuyên đề: TÍCH PHÂN... trẻ TP Huế - 31 - Chuyên đề: TÍCH PHÂN Luyện thi THPT Quốc gia 2017 Bài tập 20 Tính tích phân I  3   x.ln x  x 2  1 x2  1 0     x dx HD giải: Đặt u  ln x  x 2  1 , dv  x2  1  dx x 1 , ta có : du  1 x 2  1 dx  dx , chọn 2 2 x x 1 x 1 v  x2  1 3 Khi đó: I   x 2  1.ln x  x 2  1     0  dx  2 ln  3  32  3 0 2 BÀI TẬP TỰ LUẬN TỰ LUYỆN Tính các tích phân sau:  1)... khác 0 với hệ số thực có duy nhất 1 cách phân tích thành tích các nhị thức bậc nhất và tam thức bậc hai với biệt thức   0 Bài toán 5 và Bài toán 6 đã xét     Q( x)   ax  b   cx  d  và Q( x)  mx2  nx  p qx2  rx  s Cách làm tương tự đối với đa i k i GV: PHẠM THANH PHƢƠNG - ĐÀ NẴNG - 0935.963.257 k CLB Giáo viên trẻ TP Huế - 16 - Chuyên đề: TÍCH PHÂN Luyện thi THPT Quốc gia 2017  ... nx  p _  _  qx  rx  s  _  _ là hàm dưới dấu tích phân Đồng nhất thức hoặc dùng phương pháp hệ số bất định để tìm các số Ai , Bi , Ci , Di ở tử các phân thức * Lưu ý: - Ở đây ta không xét tích phân của hàm hữu tỉ f  x   P( x) với P( x)  Q/ ( x) , vì nó đơn Q( x) giản, chỉ cần đặt t  Q( x)  dt  P( x) dx hoặc dùng vi phân - Nếu phân thức hữu tỉ chia P( x) cho Q( x) ta được P( x ) có... - Chuyên đề: TÍCH PHÂN Luyện thi THPT Quốc gia 2017 Lựa chọn đáp án D n Câu 3 Tích phân I   1  1 2 A 5 1 dx  1 bằng x2 B 5 2 D 1 C 2 2 x2  1 1 2 2 2 1 x 1 x 1 HD giải: I   1  2 dx   dx    2 dx   2 dx 2 x x x x 1 1 1 1 2 2 2 2 1 2  1   1   1  1 2     1  2  dx    1  2  dx    x   1   x    1 x x 1 x  x    1 1 2 2 1 Lựa chọn đáp án D 1 Câu 4 Tích. .. Chuyên đề: TÍCH PHÂN Luyện thi THPT Quốc gia 2017 / x 2 a x nên I   Vì  x 2  a   x  a  ln x  x2  a  C , a  0   2 2 x2  a (1) Nếu không chứng minh công thức (1) bằng đạo hàm, có thể biến đổi như sau:  x x a 2 dx   2x 2 x a 2    d x2  a dx    2 x a 2 / 1 nên  Vì ln x  x 2  a     x2  a 1  x a 2 x2  a  C dx  ln x  x2  a  C , a  0 (2) Nếu không chứng... Huế - 11 - Chuyên đề: TÍCH PHÂN Luyện thi THPT Quốc gia 2017 a , với a  0 , f  x  là hàm lẻ trên đoạn   a; a  , tức là  f  x  dx I * Loại 1: Tích phân a f  x    f  x  , x    a; a  Cách giải: Cách 1: (Phân tích thành 2 tích phân) I  0 a  f  x  dx   f  x  dx  I a 1  I2 0 0 a a Với I 1 : đặt t  x  I1    f  t  dt    f  t  dt    f  x  dx   I 2 ... 2  2 2 , đặt x  1 3     tan t , t    ;  2 2  2 2  Bài toán 7: (Một số kỹ thuật khác dùng trong tích phân hàm hữu tỉ) * Thứ nhất, kỹ thuật giảm chênh lệch giữa bậc tử và bậc mẫu: GV: PHẠM THANH PHƢƠNG - ĐÀ NẴNG - 0935.963.257 CLB Giáo viên trẻ TP Huế - 17 - Chuyên đề: TÍCH PHÂN 2 Ví dụ 1: I   1 I 2 1 2 1 x 2 Luyện thi THPT Quốc gia 2017 dx (Nhiều tài liệu gọi đây là kỹ thuật “Nhảy ... - 30 - Chuyên đề: TÍCH PHÂN Luyện thi THPT Quốc gia 2017 (Chú ý cách chọn v   dv cho tích phân  vdu đơn giản Ta nói C  hệ số điều chỉnh tích phân phần)    Bài tập 18 Tính tích phân I... dx PHƢƠNG PHÁP DÙNG VI PHÂN ĐỂ TÍNH TÍCH PHÂN - Một số toán đơn giản không cần phải đưa biến mới, tức không cần đặt t  t( x) , biến lấy tích phân biến x , cận lấy tích phân không đổi Nói cách... sử dụng phương pháp tích phân phần, tức biến đổi f  x  dx dạng u( x)v/ ( x)dx - Việc lựa chọn u dv phải thỏa mãn điều kiện sau: du đơn giản, v dễ tìm, tích phân b b a a  vdu đơn giản tích phân