Chuyên đề tích phân ứng dụng

[…Chuyên đề Trắc nghiệm Toán 12…] Chuyên đề: Chủ đề 1: NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN ỨNG DỤNG NGUYÊN HÀM_CÁC PHƢƠNG PHÁP XÁC ĐỊNH NGUYÊN HÀM I – TỔNG QUAN LÝ THUYẾT: Nguyên hàm a Định nghĩa: Cho hàm số f  x  xác định K ( K khoảng, đoạn hay nửa khoảng) Hàm số F  x  gọi nguyên hàm hàm số f  x  K F '  x   f  x  với x  K b Định lí: 1) Nếu F  x  nguyên hàm hàm số f  x  K với số C , hàm số G  x   F  x   C nguyên hàm f  x  K 2) Nếu F  x  nguyên hàm hàm số f  x  K nguyên hàm f  x  K có dạng F  x   C , với C số Do F  x   C , C   họ tất nguyên hàm f  x  K Ký hiệu  f  x  dx  F  x   C Tính chất nguyên hàm Tính chất 1:   f  x  dx   f  x   f '  x dx  f  x  C  kf  x  dx  k  f  x  dx với k số khác Tính chất 3:   f  x   g  x  dx   f  x  dx   g  x  dx Tính chất 2: Chú ý:   f  x  g  x  dx   f  x  dx. g  x  dx; f  x  g  x dx   f  x  dx  g  x  dx Sự tồn nguyên hàm Định lí: Mọi hàm số f  x  liên tục K có nguyên hàm K Bảng nguyên hàm số hàm số sơ cấp Nguyên hàm hàm số Nguyên hàm hàm số hợp Nguyên hàm hàm số hợp u  u  x  u  ax  b; a   sơ cấp   0dx  C  0du  C  dx  x  C  du  u  C Giáo viên: LÊ BÁ BẢO…0935.785.115…  CLB Giáo viên trẻ TP Huế […Chuyên đề Trắc nghiệm Toán 12…] x  dx   1 x C  1 NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG   ax  b     1   1  1 1 dx  ax  b   C  a  1 1  ax  b dx  a ln ax  b  C  e dx  e e x C  ax  b 1 dx  e axb  C a  e du  e u u C u  a du   a  0, a  1  a  0, a  1  a  0, a  1  sin xdx   cos x  C  sin  ax  b  dx    cos xdx  sin x  C  cos  ax  b  dx   cos2 x dx  tan x  C  cos  ax  b  dx   sin2 x dx   cot x  C cot  ax  b  d x   C  sin2  ax  b  a ax C ln a C  u du  ln u  C Aax b ax  b A d x  C  a ln A x  a dx   1   1  x dx  ln x  C x  u du    u cos  ax  b  a sin  ax  b  a a  sin udu   cos u  C C  cos udu  sin u  C C tan  ax  b  au C ln a  cos C u  sin u du  tan u  C du   cot u  C II – PHƢƠNG PHÁP TÍNH NGUYÊN HÀM Phƣơng pháp đổi biến số Định lí 1: Nếu  f u du  F  u  C u  u  x  hàm số có đạo hàm liên tục  f u  x  u '  x  dx  F u  x   C Hệ quả: Nếu u  ax  b  a   ta có  f  ax  b  dx  a F  ax  b   C Phƣơng pháp nguyên hàm phần Định lí 2: Nếu hai hàm số u  u  x  v  v  x  có đạo hàm liên tục K  u  x  v '  x  dx  u  x  v  x   u '  x  v  x  dx Vì v '  x  dx  dv, u '  x  dx  dv nên đẳng thức viết dạng: Giáo viên: LÊ BÁ BẢO…0935.785.115…  udv  uv   vdu CLB Giáo viên trẻ TP Huế […Chuyên đề Trắc nghiệm Toán 12…] NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG II – BÀI TẬP TỰ LUẬN MINH HỌA: Nhóm kỹ năng: MỘT SỐ PHÉP BIẾN ĐỔI CƠ BẢN Ví dụ 1: Xác định: a)   x  1  2x  1 dx b) x4  3x2  x  dx  x c)  4  x  x dx  x   Lời giải: a) Ta có:   x  1  2x  1 dx    x 2     x   x  1 dx   x3  3x2  dx  x4  x  x  C x  3x  x   2 x 3x b) Ta có:  dx    x  3x    dx    x  ln x  C x x  c) Ta có, với x  :    x 3x 12 x  x dx    x  3x  dx    x x  x x  C 5    Ví dụ 2: Xác định: a)  x 1  b)  e  e x dx x  e2x   e4x dx c)  ex dx Lời giải: a) Ta có:  42 x 1 dx  x 1  C ln 4 x  x 1 x 1 4x    16 x  (để phát triển đáp án vấn đề trắc nghiệm) Nhận xét: ln 4 ln ln ln ln  b) Ta có:  e x  e x c) Ta có:      dx   e x  4e x  e x dx   4e x  4e x  e x dx  4e x  2e x  e3x  C e2x   e4x e3x e5x 3x x 5x x d x  e  e  e d x   e   C  ex    Ví dụ 3: Xác định: a)   sin 4x  3cos 5x  1 dx c)  sin 3xdx b)   sin d)   sin  x  cos2 x dx  2x  cos4 x dx Lời giải: a) Ta có:   sin 4x  3cos 5x  1 dx   cos x 3sin 5x   x  C Giáo viên: LÊ BÁ BẢO…0935.785.115… CLB Giáo viên trẻ TP Huế […Chuyên đề Trắc nghiệm Toán 12…] b) Ta có:    sin NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG  2x  cos2 x dx   2 1  cos x   1  cos x  dx    3cos x  cos x   dx 3sin x sin x   x  C 2  c) Ta có: sin 3x  sin 3x  2   cos x   2   cos x  cos x  2     1  cos12 x  cos12 x    cos x    cos x   2  3 cos12 x  3x sin x sin12 x Vậy  sin 3xdx     cos x  dx     C   48 4 1  cos x cos x d) Ta có: sin x  cos4 x   sin x     2 4 Vậy   sin  cos x  sin x x  cos4 x dx     dx  x   C   32 4  Ví dụ 4: Xác định: a)  sin 3x cos 2xdx b)  sin 4x sin 2xdx c)  cos 5x cos 2xdx d)  sin 3x cos 2x sin xdx Lời giải: a) Ta có:  sin 3x cos xdx    sin x  sin 5x  dx   cos x  b) Ta có:  sin x sin xdx  3  cos x  cos x  dx  c) Ta có:  cos 5x cos xdx  cos 5x  C 3sin x sin x   C 2 sin 3x sin x cos 3x  cos7 x  dx    C   14 d) Ta có: sin 3x cos 2x sin x   sin x  sin 5x  sin x  sin x sin x  sin x sin 6x   cos 5x  cos7 x    cos x  cos11x   cos x  cos 5x  cos7 x  cos11x Vậy  sin 3x cos 2x sin xdx    cos x  cos 5x  cos7 x  cos11x  dx  sin x  sin 5x sin x sin11x    C 11 Bài tập tự luyện: Xác định nguyên hàm sau: 1)   3x  1  2x  1 dx Giáo viên: LÊ BÁ BẢO…0935.785.115… x4  x2  2x  dx 2)  x2 CLB Giáo viên trẻ TP Huế […Chuyên đề Trắc nghiệm Toán 12…] 3)  4  x  x dx  x    5)  e x  e  x 7) NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG  4)  92 x1 dx dx   3sin 2x  cos7 x  1 dx 6) e2x   e4x dx  ex 8)   sin   sin  2 x  cos2 x dx x  cos4 x dx  9)  sin xdx 10) 11)  sin 3x cos xdx 12)  10 sin 2x sin 8xdx 13)  cos 5x cos 3xdx 14)  16 sin x cos 3x sin xdx Nhóm kỹ năng: NGUYÊN HÀM CÁC HÀM SỐ PHÂN THỨC Nội dung: Để tìm nguyên hàm hàm số P( x ) , P( x), Q( x) đa thức, ta thực Q( x) sau: - Nếu bậc P( x) không nhỏ bậc Q( x) , ta tách phần nguyên ra, tức biểu biễn: P ( x) P ( x) P( x)  M( x)  , M( x) đa thức, phân thức có bậc Q( x) Q( x) Q( x) P1 ( x) nhỏ bậc Q( x) - Nếu bậc tử nhỏ bậc mẩu, ta phân tích mẫu thành tích nhị thức bậc tam thức bậc hai có biệt số âm: Q( x)  ( x  a)m ( x2  px  q)n   p2  4q  - Phân tích phân thức hữu tỉ thành phân thức đơn giản: P( x)  x  a  x m  px  q A1    x  a n  x  Am A2    m 1 x  a    x  a B1 x  C1  px  q B2 x  C2   x n  px  q  n 1  Bn x  Cn x  px  q  - Đồng hai vế để tìm hệ số A1 , A2 , , Am , B1 , , Bn Cuối việc tìm nguyên hàm phân thức hữu tỉ đưa nguyên hàm đa thức phân thức hữu tỉ đơn giản LUYỆN TẬP: Ví dụ 1: Xác định nguyên hàm sau: Giáo viên: LÊ BÁ BẢO…0935.785.115… CLB Giáo viên trẻ TP Huế […Chuyên đề Trắc nghiệm Toán 12…] a) I1   3x  dx x4 NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG b) I   x4  4x  dx 2x  Lời giải a) Ta có: I1   b) Biểu diễn: 3x  3( x  4)  13 dx   dx   3dx  13 dx  3x  13ln x   C x4 x4 x4 x4  x  x3 x2 x 47 1      2x  12 24 24 x  Lúc đó: I2    x3 x2 x 31 63  x4  4x  x x x 31x 63 dx        d x      ln x   C  2x  16 16 x  12 16 16 32   Ví dụ 2: Xác định nguyên hàm sau: a) I1   dx x 4 b) I   dx x  5x  c) I   dx x  3x  Lời giải a) Ta có: I1   3 ( x  2)  ( x  2)  1  x2 dx  3 dx   dx     dx  ln C  ( x  2)( x  2) ( x  2)( x  2)  x2 x2 x2 x 4 b) Tương tự: I2   1 ( x  2)  ( x  3)  1  x3 dx   dx   dx     dx  ln C  ( x  2)( x  3) ( x  2)( x  3) x2 x  5x   x3 x2 c) Phân tích:  x  3x   1  x  1  x   2    1   x     x  1  1  dx Hướng 1: I   dx   dx       1  1  x  3x   x  1  x     x  1  x    2         1  x 1 2x      C  ln C  dx  ln 2x   x  x   x  2 Hướng 2: I   1 (2 x  1)  2( x  1) dx   dx   dx x  3x   x  1 2x  1  x  1 2x  1 Giáo viên: LÊ BÁ BẢO…0935.785.115… CLB Giáo viên trẻ TP Huế […Chuyên đề Trắc nghiệm Toán 12…] NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG   x 1    dx  ln x   ln x   C  ln C  2x   x  2x   Nhận xét: Hướng giải tốt gọn gàng Ví dụ 3: Xác định nguyên hàm sau: a) 2x   x2  5x  4dx b) x2  x  x2  5x  6dx c) x3  x  x2  3x  2dx Lời giải 2x  2x  A B    x  5x   x  1 x   x  x  a) Phân tích:  Cách 1: (*)  2x  A( x  4)  B( x  1)  (*)  x  1 x    x  1 x    A  B x   4 A  B 2x    x  1 x    x  1 x   A  B   A  1  x    A  B  x   4 A  B     4 A  B  B  Cách 2: Từ (*) đồng ta có: 2x   A( x  4)  B( x  1) (**) Thay x  vào (**):  3 A  A  1 Thay x  vào (**):  3B  B  Lúc đó: 2x  1    x  5x  x  x  Cách 3: x x 2x  1 dx    dx  3 dx   ln x   3ln x   C x 1 x4  5x     x  1  2x  2x  dx   dx   dx     dx  x   x  1 x     5x   x  1 x    x  1 x     Nhận xét: Cách giải 2, tỏ khoa học tốt cách Ví dụ 4: Xác định nguyên hàm sau: a) I1   x2  x  dx x  3x  x b) I   x2  dx  x  1  x  3 c) I   x2  x  1 dx Lời giải a) Phân tích: x2  x  x2  x  x2  x    x( x  1)( x  2) x  3x  x x x  3x   Giáo viên: LÊ BÁ BẢO…0935.785.115…  CLB Giáo viên trẻ TP Huế […Chuyên đề Trắc nghiệm Toán 12…] NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG x2  x  A B C Sử dụng đồng thức:    x( x  1)( x  2) x x  x  x  x2  x  A( x  1)( x  2)  Bx( x  2)  Cx( x  1)  x x( x  1)( x  2) x( x  1)( x  2)   x2  x   A( x  1)( x  2)  Bx( x  2)  Cx( x  1) x (*) Thay x  vào (*), ta được:  A  A  Thay x  vào (*), ta được:  B  B  4 Thay x  vào (*), ta được:   2C  C  Lúc đó: I1   b) Phân tích: x2  x   4  dx      dx  ln x  ln x   3ln x   C x  3x  x  x x 1 x   x2   x  1  x  3   A B C   x  ( x  1) x  x2   x  1  x      x  A( x  1)( x  3)  B( x  3)  C( x  1)2  x  1  x    x  x   A( x  1)( x  3)  B( x  3)  C( x  1)2 x  (*) Thay x  vào (*) ta được:  B  B  Thay x  3 vào (*) ta được: 10  16C  C  Thay x  vào (*) ta được:  3 A  3B  C  A  3B  C     1  dx     dx  ln x    ln x   C Lúc đó: I   2   x 1  x  ( x  1) x    x  1  x  3   x2  c) Phân tích: x2  x  1  A B C D E     x  ( x  1) ( x  1) ( x  1) ( x  1)5 Sử dụng phương pháp đồng thức Bài tập tƣơng tự: Xác định nguyên hàm sau: 1)  4x2  9dx 2) 2x   x2  5x  4dx 3) 2x3  x  x2  3x  2dx 4) 2x    x   3x  1dx 5) x2  x    x  1 x   x  dx 6)  x  x  dx Giáo viên: LÊ BÁ BẢO…0935.785.115… x2 CLB Giáo viên trẻ TP Huế […Chuyên đề Trắc nghiệm Toán 12…] x3  x 7)  dx x  6x  10)  8) x3  2x x  1 dx  11)   x2  x  NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG 5x3  17 x2  18 x  9)  dx  x  1  x   dx x2  dx 12)  x  1  x  3 Nhóm kỹ năng: x5   x4  8x2  16dx NGUYÊN HÀM TỪNG PHẦN I   f ( x) DẠNG 1: sin x cosx dx , f ( x) : đa thức   du  f / ( x)dx u  f ( x) Phương pháp: Đặt  dv  sinxdx chän: v   sin xdx   Ví dụ 1: Xác định: a)   x  1 sin 2xdx b) x   x cos xdx Lời giải u  x   du  dx  a) Đặt  cos x sin xdx  dv  chän v     Ta có:   x  1 sin 2xdx    x  1 cos 2x    x  1 cos 2x  sin 2x  C cos x dx   2  u  x  x  du   x  1 dx Đặt  Ta có:  cos xdx  dv  chän v  sin x Xét  x     x cos xdx  x2  x sin x    2x  1 sin xdx u  x   du  2dx   2x  1 sin xdx Đặt sin xdx  dv  chän v   cos x   2x  1 sin xdx    2x  1 cos x   cos xdx    2x  1 cos x  sin x  C Vậy   x  x  cos xdx   x  x  sin x   2x  1 cos x  sin x  C ' Ta có: 2 I   f ( x).e x dx , f ( x) : đa thức DẠNG 2:   du  f / ( x)dx u  f ( x) Phương pháp: Đặt  dv  e x dx chän: v   e x dx   Ví dụ 2: Xác định: a)   x  1 e 2x dx Giáo viên: LÊ BÁ BẢO…0935.785.115… b) x   x e x dx CLB Giáo viên trẻ TP Huế […Chuyên đề Trắc nghiệm Toán 12…] NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG Lời giải u  x   du  dx  a) Đặt  x e x Ta có: e d x  d v  chän v    2x   x  1 e dx   u  x  x  du   x   dx b) Đặt  x Ta có: x  e dx  dv  chän v  e Xét  x  x  1 e  2x     x  1 e e2x dx  2 2x  e2x  C  4x e x dx  x2  4x e x    2x   e x dx  u  x   du  2dx x x  chän v  e    2x   e dx Đặt e dx  dv x   2x   e dx   2x   e   2e dx   2x   e  2e Vậy   x  4x  e dx   x  4x  e   2x   e  2e  C ' x Ta có: x x x x x I   f ( x) DẠNG 3: x x  C x ln x dx , f ( x) : đa thức log a x   du  dx u  ln x x Phương pháp: Đặt  dv  f ( x)dx chän: v  f ( x)dx   Ví dụ 3: Xác định: a)    2x  1 ln xdx  b)  x ln x2  x dx Lời giải  u  ln x  du  dx a) Đặt  x  x  1 dx  dv  chän v  x  x  Ta có:   2x  1 ln xdx   x     x ln x    x  1 dx  x  x ln x  x2  x C  2x  u  ln x  x  du  x  x dx a) Đặt   xdx  dv  chän v  x    x2 x  x  1 Ta có:  x ln x  x dx  ln x  x   dx 2 x2  x     x2   x2 x2 x 2  ln x  x    x   dx  ln x  x    ln x  �� sin 5x  sin x  C sin 5x  sin x  C sin 5x  sin x  C B  f ( x)dx  D  f ( x)dx   sin 5x  sin x  C Câu 38 Nguyên hàm hàm số f ( x)  sin4 x  cos4 x sin x C 16 B  f ( x)dx   x  sin x C 16 D  f ( x)dx   x  A  f ( x)dx  x  C  f ( x)dx  x  sin x C 16 sin x C 16 Câu 39 Nguyên hàm hàm số f ( x)  sin6 x  cos6 x 3sin x C B  f ( x)dx  x  3sin x C 32 D  f ( x)dx  x  A  f ( x)dx  x  C  f ( x)dx  x  3sin x C 32 3sin x C Câu 40 Nguyên hàm hàm số f ( x)  sin4 x  cos4 x  sin6 x  cos6 x sin x C 16 A  f ( x)dx   C  f ( x)dx  x  sin x C 16 Giáo viên: LÊ BÁ BẢO…0935.785.115… 30 sin x C 16 sin x C 16 B  f ( x)dx  x  D  f ( x)dx  x  CLB Giáo viên trẻ TP Huế [...]... BẢO…0935.785.115… 41 CLB Giáo viên trẻ TP Huế [ Chuyên đề Trắc nghiệm Toán 12…] NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG Xin phép quý thầy cô là những ngƣời sở hữu các câu hỏi có trong tài liệu, cho phép chúng em biên tập và sử dụng để giúp cho các em học sinh thân yêu có tƣ liệu học tập Vì mục đích không kinh doanh nên mong quý thầy cô đồng ý ạ, chúng em xin chân thành cảm ơn! CLB sử dụng hệ thống sách chất lƣợng của... hàm của hàm số f ( x)  e x 2  e  x là A F( x)  2e x  x  C Giáo viên: LÊ BÁ BẢO…0935.785.115… B F( x)  2e x  e x ln e x  C 31 CLB Giáo viên trẻ TP Huế [ Chuyên đề Trắc nghiệm Toán 12…] C F( x)  2e x  NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG 1 C ex D F( x)  2e x  x  C  Câu 48 Nguyên hàm của hàm số f ( x)  e x  e  x A F( x)   2 e 2 x  e 2 x  4 C 2 B F( x)  e 2 x  e 2 x  2x  C... 4x  10 ln 2  x  C B 4x  10 ln 2  x  C C 4x  10 ln 2  x  C D 4x  ln 2  x  C Giáo viên: LÊ BÁ BẢO…0935.785.115… 32 CLB Giáo viên trẻ TP Huế [ Chuyên đề Trắc nghiệm Toán 12…] Câu 54 Biết một nguyên hàm của hàm số NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG f  x  Khi đó F  x  là hàm số nào sau đây? 2 là hàm số F  x  thỏa mãn F  2   0 2x  1 A F  x   ln 2x  1  ln 3 B F  x   ln 2x  1... B 1 2x ln  C 4 2x Câu 59 Tính A 1  4x 2 dx ta được kết quả 1 ln  2  x  2  x   C 4 Giáo viên: LÊ BÁ BẢO…0935.785.115… 33 CLB Giáo viên trẻ TP Huế [ Chuyên đề Trắc nghiệm Toán 12…] 1 4 C  ln Câu 60 Tính NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG 2x  C 2x D x 2  3x  4  x2  3x  2 dx ta được kết quả A x  2 ln  x  1 x  2   C C x  2 ln Câu 61 Tính A  x 2 B x  2 ln x2  C x 1 2 dx... 1 Câu 64 Tính A  1 2  2 x  1 2 3  C x 1 4 D 2 x   C x 1 B 2   C Giáo viên: LÊ BÁ BẢO…0935.785.115… B  34 1  2x  1 2  C CLB Giáo viên trẻ TP Huế [ Chuyên đề Trắc nghiệm Toán 12…] C 1  2x  1 2 NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG  C D Câu 66 Biết một nguyên hàm của hàm số f  x   Khi đó F  x  là hàm số nào sau đây? 1 2  2 x  1 2  C 2 x2  4 x là hàm số F  x  thỏa mãn F  2... Câu 72 Hàm số f  x  thỏa mãn f '  x   Giáo viên: LÊ BÁ BẢO…0935.785.115… C cos x  4  sin x  35 2 4x  1  C là CLB Giáo viên trẻ TP Huế [ Chuyên đề Trắc nghiệm Toán 12…] A f  x   C f  x   sin x  4  cos x  2 NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG B f  x    C D f  x    1  C 4  cos x Câu 73 Nguyên hàm của hàm số f ( x)   f  x  dx   C  f  x  dx  2 1 2x 1  C 4  sin x... B 2 x  3 3 x  3  3 Giáo viên: LÊ BÁ BẢO…0935.785.115… D 36  f  x  dx   4  x  3 3  f  x  dx  3 x3 C 2  1 x  2   3 C 3 CLB Giáo viên trẻ TP Huế [ Chuyên đề Trắc nghiệm Toán 12…] NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG Câu 79 Nguyên hàm của hàm số f ( x)  3 1  3x là A  f  x  dx   4 1  3x  1 3 1  3x  C B  f  x  dx   4 1  3x  3 3 1  3x  C 2  1 3 3 C D f x... 3 a Câu 84 Biết F( x)  6 1  x là một nguyên hàm của hàm số f ( x)  Khi đó giá trị của a 1 x bằng Giáo viên: LÊ BÁ BẢO…0935.785.115… 37 CLB Giáo viên trẻ TP Huế [ Chuyên đề Trắc nghiệm Toán 12…] A 3 NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG B 3 C 6 D 1 6 Câu 85 Tính F( x)   x sin xdx ta được kết quả A F( x)  x sin x  cos x  C B F( x)  sin x  x cos x  C C F( x)  sin x  x cos x  C D F(...  3  e  C B F( x)  3  x  3  e  C x  3 x3 C F( x)  e  C 3 x  3 x3 D F( x)  e  C 3 Giáo viên: LÊ BÁ BẢO…0935.785.115… 38 CLB Giáo viên trẻ TP Huế [ Chuyên đề Trắc nghiệm Toán 12…] Câu 91 Tính F( x)   NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG x dx ta được kết quả cos2 x A F( x)  x tan x  ln cos x  C B F( x)  x cot x  ln cos x  C C F( x)  x tan x  ln cos x  C D F( x)  x cot x  ln... D t  x 3 ln 3 x  x dx là 3ln 2 x  ln 3 x x2 B ln 4 x  C 4x Giáo viên: LÊ BÁ BẢO…0935.785.115… C 39 ln 4 x  C 4 D 3ln2 x  C CLB Giáo viên trẻ TP Huế [ Chuyên đề Trắc nghiệm Toán 12…] Câu 99 Để tính  xe x2 NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG dx theo phương pháp đổi biến số, để tối ưu ta nên đặt biến số phụ 2 2 C t  xe x B t  e x A t  x2 D t  e x x  xe dx là 2 Câu 100 Kết quả của 2 ex ...LB Giáo viên trẻ TP Huế [ Chuyên đề Trắc nghiệm Toán 12…] NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG Xin phép quý thầy cô ngƣời sở hữu câu hỏi có tài liệu, cho phép chúng em biên tập sử dụng để giúp cho ... BÁ BẢO…0935.785.115…  udv  uv   vdu CLB Giáo viên trẻ TP Huế [ Chuyên đề Trắc nghiệm Toán 12…] NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG II – BÀI TẬP TỰ LUẬN MINH HỌA: Nhóm kỹ năng: MỘT SỐ PHÉP BIẾN... viên: LÊ BÁ BẢO…0935.785.115… CLB Giáo viên trẻ TP Huế [ Chuyên đề Trắc nghiệm Toán 12…] b) Ta có:    sin NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG  2x  cos2 x dx   2 1  cos x   1  cos x