Chương III - Bài 3: Phương trình elip

Ng­êi thùc hiÖn: NguyÔn Kh¾c S©m Những hình ảnh về đường Elip trong khoa học và đời sống 1. ĐỊNH NGHĨA Trong mặt phẳng cho 2 điểm cố đònh F 1 , F 2 với F 1 F 2 = 2c > 0. Tập hợp các điểm M của mặt phẳng sao cho MF 1 + MF 2 = 2a (a là hằng số lớn hơn c) được gọi là một elip. M ∈ Elip ⇔ MF 1 + MF 2 = 2a > 2c ° °  F 1 F 2 M 2c 2c ° ° M M ∈ Elip ⇔ MF 1 + MF 2 = 2a > 2c F 1 F 2 °F 1 và F 2 được gọi là các tiêu điểm của elip. °F 1 F 2 = 2c được gọi là tiêu cự của elip. °Nếu điểm M nằm trên elip thì các khoảng cách MF 1 và MF 2 được gọi là các bán kính qua tiêu điểm của điểm M. 2. PHƯƠNG TRÌNH CHÍNH TẮC CỦA ELIP CHỌN HỆ TRỤC TỌA ĐỘ CHỌN HỆ TRỤC TỌA ĐỘ THIẾT LẬP PHƯƠNG TRÌNH THIẾT LẬP PHƯƠNG TRÌNH ° ° M 1 F 1 F 2 M •• •• M 3 M 2 °°°°° x y O ° M ∈ Elip ⇔ MF 1 + MF 2 = 2a > 2c [...]...2 PHƯƠNG TRÌNH CHÍNH TẮC CỦA ELIP Giả sử đã cho elip (E) là tập hợp tất cả các điểm M sao cho MF1 + MF2 = 2a, trong đó F1F2 = 2c Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ : y -c  F1 O M c  F2 x PHƯƠNG ÁN : M ∈ Elip( E) ⇔ MF1+ MF2 = 2a ⇔ (MF1+ MF2)2 - 4a2 = 0 ⇔[(MF1+ MF2) 2- 4a2][(MF1-MF2) 2- 4a2 ] = 0 (MF1-MF2) 2- 4a2 ≠ 0 ? MF 1- MF2 ≤ F1F2 =2c < 2a Cm: ⇒ (MF 1- MF2)2 < 4a2 ⇒ (MF 1- MF2) 2- 4a2 ≠ 0 CÁC... MF22 ; MF12 - MF22 ; MF12 + MF22 Ta có: F1(-c,0) ; F2(c,0) Với mọi M(x,y) ta có MF1 = (x+c) + y 2 2 2 (x-c)2 + y2 MF2 = 2 y M -c  F1 O Suy ra: MF12 - MF22 = 4cx 2(x2+y2+c2) MF + MF2 = 2 1 2 vì: MF 1- MF2 ≤ F1F2 = 2c < 2a ⇒ (MF 1- MF2)2 < 4a2 ⇒ (MF 1- MF2) 2- 4a2 ≠ 0 c  F2 x Ta có: M(x,y) ∈ Elip( E) ⇔ MF1+ MF2 = 2a ⇔ (MF1+MF2)2 - 4a2 = 0 ⇔ [(MF1+MF2) 2- 4a2][(MF1-MF2) 2- 4a2 ] = 0 ⇔ (MF1 2- MF22) 2- 8a2(MF12+... MF22)+16a4 = 0 4cx 2(x2+y2+c2) … ⇔ x2(a2 - c2) + a2y2 = a2(a2 - c2) 2 x + y ⇔ a a −c 2 2 2 2 =1 đặt: b2 = a 2- c2 (b > 0) Phương trình trở thành: x +y a b 2 2 2 2 =1 (1) Phương trình (1) được gọi là phương trình chính tắc của Elip (E) đã cho ( a, b, c > 0 và a 2 = b2 + c2 ) Chú ý: 1) Nếu M(x,y)∈(E) có phương trình (1) thì MF1+ MF2 = 2a và MF12 - MF22 = 4cx 2cx Do đó MF1 - MF2 = a Suy ra: MF1 = MF2 = cx a+... cx a− a 2) Nếu chọn hệ trục tọa độ sao cho: F1(0,-c) ; F2(0,c) thì Elip sẽ có phương trình: x +y b a 2 2 2 2 =1 ( với a, b, c nói ở trên ) y c  F2 O -c  F1 x Phương trình trên không được gọi là phương trình chính tắc của elip TÓM TẮT 1) Đònh nghóa: M∈ Elip ⇔ MF1 + MF2 = 2a (hằng số) F1, F2 cố đònh : tiêu điểm F1F2 = 2c : tiêu cự ; a > c 2) Phương trình chính tắc (E) : a , b , c > 0 ; a 2 = b 2 +... = b 2 + c2 3) Nếu M(x,y)∈(E): cx MF1 = a + a x +y a b 2 2 2 2 =1 cx ; MF2 = a − a 3 CÁC VÍ DỤ 1) Trong mpOxy cho (E): Tìm tiêu cự của (E) ĐS: a) 4 b) 2 c) 8 d) 16 x +y 2 25 9 2 =1 2)Viết phương trình chính tắc của elip (E) biết nó có tiêu cự là 10 và đi qua điểm M(0,2) ĐS: a) x 2 x 2 29 b) 28 y + 2 y + 2 =1 4 4 =1 c) x 2 29 d) x 2 29 y + 2 =1 3 y + 5 2 =1 3) Trong mp Oxy cho (E): x +y 2 9 2 3 Cho điểm . b, c nói ở trên ) Phương trình trên không được gọi là phương trình chính tắc của elip. thì Elip sẽ có phương trình: F 2 x O F 1 y   -c c 1 a y b x 2 2. 4a 2 = 0 ⇔ đặt: b 2 = a 2 - c 2 (b > 0) Phương trình trở thành: Phương trình (1) được gọi là phương trình chính tắc của Elip (E) đã cho. ( a, b, c