Chương III - Bài 3 : Phương trình đường thẳng trong Không gian

Chương III : PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN Bài : Biên soạn Phạm Quốc Khánh Chương trình thay sách giáo khoa 2008 Click I Phương trình tham số đường thẳng Trong không gian cho điểm M0(1;2;3) điểm M1(1+t;2+t;3+t) ; M2(1+2t;2+2t;3+2t) di động với thamur t Chứng tỏ rằngu uđiểm ln thẳng hàng u u số uuu u uu u3 r M M = ( 2t ; 2t ; 2t ) Giải : Xét M M = ( t ; t ; t ) uuur uuu u u ur uuu Vậy M M = ( 2t ; 2t ; 2t ) = 2M M Chứng tỏ điểm thẳng hàng Định lí : Trong không gian Oxyz cho đường thẳng ∆ qua điểm M0(x0;y0;z0) nhận r a = ( a1 ; a2 ; a3 ) làm vectơ phương Điều kiện cần đủ để điểm M(x;y;z) nằm ∆ có số thực t cho :  x = x0 + ta1   y = y0 + ta2  z = z + ta  uuu u uu r M M = ( x − x0 ; y − y0 ; z − z0 ) Điểm M nằm ∆ Chứng minh : Xét uuu u uu r uuu u uu r r r M M phương với a Nghĩa M M = t.a Điều tương đương với :  x − x0 = ta1   y − y0 = ta2  z − z = ta  hay  x = x0 + ta1   y = y0 + ta2  z = z + ta  Click Định nghĩa : Phương trình tham số đường thẳng ∆ qua điểm M0(x0;y0;z0) có vectơ  x = x0 + ta1 r  phương a = ( a1 ; a2 ; a3 ) phương trình có dạng  y = y0 + ta2 (t tham số)  z = z + ta  Chú ý : Nếu a1 ; a2 ; a3 khác người ta viết phương trình đường thẳng ∆ dạng tắc : x − x0 y − y0 z − z0 = = a1 a2 a3 Ví dụ : Viết phương trình tham số đường thẳng ∆ qua điểm M(1;2;3) có r vectơ phương a = ( 1; −4; −5 ) x = 1+ t  Giải : Ta có phương trình tham số ∆ :  y = − 4t  z = − 5t  Ví dụ : Viết phương trình tham số đường thẳng AB với A(1;-2;3) B(3;0;0) uu ur Giải : AB có vectơ phương : AB = ( 2; 2; −3)  x = + 2t Vậy phương trình tham số AB :  y = 2t   z = −3t  Click x = 1+ t  Ví dụ : Chứng minh đường thẳng d :  y = + 2t  z = + 3t  Giải : vuông góc với mặt phẳng (α) : 2x + 4y + 6z + = r d có vectơ phương : a = ( 1; 2;3) r (α) có vectơ pháp tuyến : n = ( 2; 4; ) r r Vậy ta có : n = ( 2; 4;6 ) = ( 1; 2;3) = 2a Nên d ⊥ (α) Ví dụ áp dụng lớp : Cho đường thẳng ∆ có phương trình tham số :  x = −1 + 2t   y = − 3t  z = + 4t  Hãy tìm tọa độ điểm M đường thẳng ∆ tọa độ vectơ phương ∆ Giải : Tọa độ điểm M (-1;3;5) Click r ∆ có vectơ phương : a = ( 2; −3; ) Hỏi : Các điểm sau có thuộc ∆ không ? Vectơ vectơ phương ∆ ? M1 (-2 ; ; 10) u r a1 = ( 4; −6;8 ) M2 (1 ; ; 9) u u r a2 = ( −1;3;5 ) M3 (-3 ; ; 1) u u r a3 = ( −2;3; −4 ) ( M −1 + 2;3 − 2;5 + u u r a4 = −2 − 3;3 − 3; −4 − ( ) ) II Điều kiện để hai đường thẳng song song , cắt , chéo Cho đường thẳng d d’ có phương trình tham số , :  x = + 2t  d :  y = + 4t z = + t  x = + t '  d ' :  y = 1− t '  z = + 2t '  a) Hãy chứng tỏ điểm M(1;2;3) điểm chung d d’ b) Hãy chứng tỏ d d’ có vectơ phương khơng phương / Giải : a) Thế tọa độ M vô phương trình d d’ 1 = + 2t  M ∈ d ⇔ 2 = + 4t ⇔ t = −1 3 = + t  1 = + t '  M ∈ d ' ⇔  = − t ' ⇔ t ' = −1 3 = + 2t '  Vậy M điểm chung d d’ b) Tìm vectơ phương d d’ r a d có vectơ phương : r = ( 2; 4;1) d’ có vectơ phương : b = ( 1; −1; ) r r Vậy : a ≠ b Nên d d’ không phương : Click Điều kiện để hai đường thẳng song song : Trong không gian Oxyz cho đường thẳng d d’ có phương trình tham số :  x = x0 + ta1  d :  y = y0 + ta2  z = z + ta  r a = ( a1 ; a2 ; a3 )  x = x '0 + t ' a '1  d ' :  y = y '0 + t ' a '2 z = z ' + t ' a '  u u r a ' = ( a '1 ; a '2 ; a '3 ) r u u r a = ka '  • d song song với d’ :  M ∉ d ' r u u r a = ka '  • d trùng với d’ :  M ∈ d '  M(x0;y0;z0) ∈ d M r a d u u r a' d’ Ví dụ : Chứng minh đường thẳng sau song song x = 1+ t  d :  y = 2t z = − t   x = + 2t '  & d ' :  y = + 4t '  z = − 2t '  r Giải : d có vectơ phương : a = ( 1; 2; −1) M(1;0;3) ∈ d r d’ có vectơ phương : b = ( 2; 4; −2 ) = ( 1; 2; −1) r r b = 2a  ⇒ M ∉ d '  Click Ví dụ áp dụng : Chứng minh đường thẳng sau trùng x = − t  d : y = 4+t  z = − 2t  * HD : tìm  x = − 3t '  & d ' :  y = + 3t '  z = − 6t '  r r a = ( −1;1; −2 ) = ? ( −1;1; −2 ) = ?.b = ? ( −3;3; −6 ) M ( 3; 4;5 ) ∈ d & d ' Điều kiện để hai đường thẳng cắt : * d cắt với d’ hệ phương trình sau có nghiệm :  x0 + ta1 = x '0 + t ' a '1  ( 1)  y0 + ta2 = y '0 + t ' a '2  z + ta = z ' + t ' a ' 3  Chú ý : Nếu (1) có nghiệm (t0 ; t0’) để tìm giao điểm M0 d d’ ta thay t0 vào phương trình tham số d t’0 vào d’ Click Ví dụ : Tìm giao điểm đường thẳng sau : x = 1+ t  d :  y = + 3t z = − t  Giải :  x = − 2t '  & d ' :  y = −2 + t '  z = + 3t '  Xét hệ phương trình : 1 + t = − 2t '  2 + 3t = −2 + t ' 3 − t = + 3t '  t = −1 ⇔ Vậy có : M(0;-1;4) t ' =1  Điều kiện để hai đường thẳng chéo : r u u r * d chéo với d’ a & a ' khơng phương hệ phương trình sau vơ nghiệm  x0 + ta1 = x '0 + t ' a '1   y0 + ta2 = y '0 + t ' a '2  z + ta = z ' + t ' a ' 3  ( 1) Click Ví dụ : Xác định vị trí tương đối đường thẳng :  x = + 2t  d :  y = −1 + 3t z = + t  Giải :  x = + 3t '  & d ' :  y = −2 + 2t '  z = −1 + 2t '  • Xét hệ phương trình :  t=−  1 + 2t = + 3t '     3  2 ⇔ +  − ÷ ≠ −1 +  − ÷ Hệ vô nghiệm −1 + 3t = −2 + 2t ' ⇔ t ' = −  5  5 5 + t = −1 + 2t '   5 + t = −1 + 2t '   r u u r r u u r • Ta có : a = ( 2;3;1) & a ' = ( 3; 2; ) ⇒ a ≠ a ' Nên d d’ khơng phương • Vậy d d’ chéo Click Ví dụ : Chứng minh đường thẳng sau vng góc : x = − t  d :  y = −3 + 2t  z = 4t   x = + 2t '  & d ' :  y = 13 + 3t ' z = 1− t '  r u u r Giải : • d d’ có vectơ phương : a = ( −1; 2; ) & a ' = ( 2;3; −1) ru u r a a ' = −1.2 + 2.3 + ( −1) = Ta có : • Vậy : d ⊥ d’ Nhận xét :  x = x0 + ta1  Trong không gian Oxyz cho mp (α ) : Ax + By + Cz + D = đt d :  y = y0 + ta2  z = z + ta  • Xét phương trình : A(x0 + ta1) + B(y0 + ta2) + C(z0 + ta3) + D = (1) t ẩn +) Nếu phương trình (1) vơ nghiệm d (α) khơng có điểm chung ⇒ d // (α) +) Nếu phương trình (1) có nghiệm t = t0 d cắt (α) M(x0+t0a1 ; y0+t0a2 ; z0+t0a3 ) = d ∩ (α) +) Nếu phương trình (1) có vơ số nghiệm d thuộc (α) Click d d M α) α) α) d Ví dụ áp dụng : Tìm số giao điểm mp (α) : x + y + z - = với đt d : x = + t  a) d :  y = − t z =  Giải :  x = + 2t  b) d :  y = − t z = 1− t  c)  x = + 5t  d :  y = − 4t  z = + 3t  • tọa độ (x ; y ; z) d vô (α) , tìm t = ? +) ta có (2 + t) +(3 - t) + (1) - = ⇔ 0.t = -3 VN ⇒ d không cắt (α) +) ta có (1 + 2t) +(1 - t) + (1 - t) - = ⇔ 0.t = VSN ⇒ d nằm (α) +) ta có (1 + 5t) +(1 - 4t) + (1 +3 t) - = ⇔ 4.t = ⇒ d ∩ (α) = M(1;1;1) Click III Củng cố dặn dò : Bài tập trắc nghiệm : Bài : Cho đường thẳng ∆ qua điểm M(2;0;-1) có vectơ phương r a = ( 4; −6; ) Phương trình tham số đường thẳng ∆ : ( A) Bài :  x = −2 + 4t   y = −6t  z = + 2t  ( B)  x = −2 + 2t   y = −3t z = 1+ t  ( C)  x = + 2t   y = −3t  z = −1 + t  ( D)  x = + 2t   y = −6 − 3t z = + t  Cho đường thẳng d qua điểm A(1;2;3) vng góc với mặt phẳng : (α) : 4x + 3y – 7z + = Phương trình tham số d : ( A)  x = −1 + 4t   y = −2 + 3t  z = −3 − 7t  ( B)  x = + 4t   y = + 3t  z = − 7t  ( C)  x = + 3t   y = − 4t  z = − 7t  ( D)  x = −1 + 8t   y = −2 + 6t  z = −3 − 14t  Click Bài : Cho đường thẳng :  x = + 2t  d1 :  y = + 3t  z = + 4t   x = + 4t '  & d :  y = + 6t '  z = + 8t '  Trong mệnh đề sau , mệnh đề ? (A) : d1 ⊥ d2 Bài : (B) : d1 // d2 (C) : d1 ≡ d2 (D) : d1 chéo d2 Cho mặt phẳng (α) : 2x + y + 3z + = đường thẳng d có  x = −3 + t  Tìm mệnh đề ? phương trình tham số d :  y = − 2t z =  (A) : d ⊥ (α) (B) : d cắt (α) (C) : d ⊂ (α) (D) : d // (α) Click Bài tập : Bài tập nhà 1;2;3;4;5;6 ;7;8;9;10 trang 89 ; 90 ; 91 sgk hh12 - 2008 ... M(1;1;1) Click III Củng cố dặn dò : Bài tập trắc nghiệm : Bài : Cho đường thẳng ∆ qua điểm M(2;0 ;-1 ) có vectơ phương r a = ( 4; −6; ) Phương trình tham số đường thẳng ∆ : ( A) Bài :  x = −2 +...  Giải : Ta có phương trình tham số ∆ :  y = − 4t  z = − 5t  Ví dụ : Viết phương trình tham số đường thẳng AB với A(1 ;-2 ;3) B (3; 0;0) uu ur Giải : AB có vectơ phương : AB = ( 2; 2; ? ?3)  x... a1 ; a2 ; a3 khác người ta viết phương trình đường thẳng ∆ dạng tắc : x − x0 y − y0 z − z0 = = a1 a2 a3 Ví dụ : Viết phương trình tham số đường thẳng ∆ qua điểm M(1;2 ;3) có r vectơ phương a =