Bài tập tích vô hướng của hai vectơ

1 S S 2 Tích vô hướng của hai véc tơ Sở giáo dục và đào tạo hải phòng Trường THPT trần hưng đạo Thực hiện: Nguyễn Thị Vân 2 • O • ϕ O’ F A =  F  .OO’cosϕ Trong ®ã  F  lµ c­êng ®é lùc F tÝnh b»ng Niut¬n (N) OO’ ®é dµi OO’ tÝnh b»ng mÐt (m) ϕ Lµ gãc gi÷a OO’ vµ F 3 1.Định nghĩa: Cho hai véc tơ a và b khác véc tơ 0.Tích vô hướng của a và b Là một sô ký hiệu là a.b,được xác định bởi công thức sau: a.b = a . b cos(a,b). Trường hơp ít nhất một trong hai véc tơ a hoặc b bằng véc tơ 0 Ta quy ước: a.b = 0 Chú ý a)Với a và b khác véc tơ 0 ta có a.b = 0 a b b) Khi a = b => a.a = a 2 Gọi là bình phương vô hướng của véc tơ a a 2 = a . a cos 0 0 = a 2 4 Ghi nhí a.b =  a . b cos(a,b). VÝ dô:Cho tam gi¸c ®Òu ABC cã c¹nh b»ng a vµ cã chiÒu cao AH. A B C H Khi ®ã: AB.AC = a . a. cos 60 0 = 1 2 a 2 AC.CB = a . a. cos 120 0 = -1 2 a 2 AH.BC = a. cos 90 0 = 0 a√ 3 2 5 Ghi nhí a.b =  a . b cos(a,b). (*) 2.TÝnh chÊt cña tÝch v« h­íng b  lµ mét sè a  lµ mét sè cos ( a,b ) lµ mét sè a. b = b. a ( tÝnh chÊt giao ho¸n ) a. ( b + c ) = a. b + a . c (t/c ph©n phèi) ( k a ). b = k ( a.b ) = a.(k b); a 2 ≥ 0, a 2 = 0  a = 0 NhËn xÐt: (a + b ) 2 = a 2 + 2a.b + b 2 ( a - b ) 2 = a 2 - 2a.b + b 2 ( a + b ). (a – b ) = a 2 – b 2 6 Ghi nhí a.b =  a . b cos(a,b). (*) Cho hai vÐc t¬ a vµ b ®Òu kh¸c vÐc t¬ 0 Khi nµo th× tÝch v« h­íng cña hai vÐc t¬ lµ sè d­¬ng? Lµ sè ©m? B»ng 0? *) a . b > 0  0 0 < ( a , b ) < 90 0 *) a . b < 0  90 0 < ( a , b ) < 180 0 *) a . b = 0  [ a = 0 b = 0 ( a , b ) = 0 0 tøc lµ a ⊥ b 1 7 A • B • F F 2 F 1 ( F , AB ) = α F 1 ⊥ AB F 2 lµ h×nh chiÕu vu«ng gãc cña F lªn AB F = F 1 +F 2 C«ng A = F . AB = ( F 1 + F 2 ).AB = F 1 . AB + F 2 .AB A = F 2 .AB 8 3.Biểu thức tọa độ của tích vô hướng Trên mặt phẳng tọa độ (O, i, j ),cho hai véc tơ a = (a 1 ;a 2 ), b = (b 1 ;b 2 ) Khi đó tích vô hướng a.b = a 1 .b 1 +a 2 .b 2 Học sinh tự chứng minh Nhận xét:hai véc tơ a = (a 1 ;b 1 ) và b= (a 2 ;b 2 ) khác véc tơ 0 Vuông góc với nhau khi và chỉ khi a 1 .b 1 + a 2 b 2 = 0 9 2 Trên mặt phẳng tọa độ Oxy cho ba điểm A( 2;4),B(1;2) C(6;2).Chứng minh rằng AB AC Học sinh cùng nhau chứng minh. AB = (-1 ; -2 ) AC = (4 ; -2 ) AB . AC = (-1).4 + (-2).(-2) = -4 +4 =0 => AB AC Ghi nhớ a.b = a . b cos(a,b). (*) Trên mặt phẳng tọa độ (O, i, j ), cho hai véc tơ a = (a 1 ;a 2 ), b = (b 1 ;b 2 ) a.b = a 1 .b 1 +a 2 .b 2 a b a 1 .b 1 +a 2 .b 2 = 0 Ghi nhớ a.b = a . b cos(a,b). (*) 3.Trên mặt phẳng tọa độ (O, i, j ), cho hai véc tơ a = (a 1 ;a 2 ), b = (b 1 ;b 2 ) a.b = a 1 .b 1 +a 2 .b 2 a b a 1 .b 1 +a 2 .b 2 = 0 4.áp dụng: a.Độ dài của véc tơ ba 2 1 2 1 += a b) Góc giữa hai véc tơ: cos ( a , b ) = a .b a . b = a 1 b 1 + a 2 b 2 baba 2 2 2 2 2 1 2 1 . ++ ... hay tích độ dài Bài 1: Cho ABC , tìm tập hợp điểm M thoả mãn:   a) MA.MB  k , k số cho trước   b) MA2  MA.MB    c) MB  MA.MB  a với BC = a Bài 2: Cho ABC , tìm tập. .. BCD Bài 6: Cho ABC nội tiếp đường tròn tâm O Gọi BH CK đường cao ABC CMR OA  HK           Bài 7: Cho vectơ a, b với a  b Tìm góc chúng biết p  a  2b  q  5a  4b Dạng 4: Tập. .. d) sABC  AB AC  ( AB AC ) Dạng 3: Chứng minh hai vectơ vuông góc - Thiết lập điều kiện vuông góc Bài 1: CMR tam giác ba đường cao đồng quy Bài 2: Cho ABC cân A, O tâm đường tròn ngoại tiếp